Галилейн сарнууд ба гэрлийн хурд

2016 оны зун Жуно хөлөг Бархасбадь руу дөхөж байх үедээ авсан зурагнуудыг эвлүүлэн хөдөлгөөнтэй дүрс болгож харахад ийм байна.
Дагуулуудынх нь нэр хамгийн дотор талаасаа эхлээд Ио, Европа, Ганимед, Каллисто гэж явна. Бархасбадийн сүүдэрт эдгээр дагуулууд байн байн орж «хиртэж» байгааг сайн ажиглаарай. Үнэндээ бол дотор талын 3 дагуул гаригаа тойрох болгондоо ингэж сүүдрээр дайрч гардаг. Тэгэхээр Бархасбадь дээрээс ажиглавал эдгээр сарнууд тэргэл болох бүртээ хиртэнэ гэсэн үг. Дэлхий дээрээс харахад бол дагуул байхгүй байж байгаад гэнэт гараад ирж байгаа юм шиг, эсвэл гэнэт алга болчих шиг санагдана. Энэ үзэгдлийг ашиглаж эдгээр дагуулуудын гаригаа тойрох үеийг нь анх тогтоосон гэдэг.

Иогийн тойрог замын радиус нь ойролцоогоор 420 мянган км, гаригаа нэг тойрох үе буюу «хиртэлтийн үе» нь 42.5 цаг орчим байдаг. Тэгээд Европагийн хиртэлтийн үе Иогийнхоос яг 2 дахин их, Ганимедийн хиртэлтийн үе Европагийнхаас яг 2 дахин их (ө.х. дагуулууд 4:2:1 харьцаатай «резонанст» байна). Бархасбадь дээр байгаа ажиглагчийн хувьд энэ нь юу гэсэн үг вэ гэвэл эдгээр сарнууд одот тэнгэрийн тодорхой тогтсон хэсгүүдэд л бие биенийгээ гүйцэж уулздаг гэсэн үг. Одоо Европа, Ганимед хоёрын гаригаа тойрох үеүдийг нь мэдэж байгаа юм чинь Кеплерийн 3-р хуулийг ашиглаж тойрог замын радиусыг нь тооцоолж болно. Үнэндээ бол Бархасбадийн дагуулууд дээр Кеплерийн 3-р хууль биелж байсан нь тухайн үедээ энэ хуулийг бүр бататгаж өгсөн байгаа.

Бархасбадийн энэ 4 дагуулыг анх Галилео Галилей 1609-1610 оны үед нээсэн бөгөөд «Галилейн сарнууд» гэж нэрлэдгийг мэдэж байгаа байх. Эдгээр дагуулыг Галилейгээс хамааралгүйгээр (Галилейгээс арай өмнө ч байж магадгүй) Германы одон оронч Симон Марий бас нээсэн боловч түүнийгээ эрт зарлаагүйн дээр ажиглалтын тэмдэглэл нь бүрхэгдүү байснаас уг нээлтийн алдар хүндийг Галилей хүртэх болсон юм. Симон Марий өөрөө ч нэг их маргаан гаргаагүй. Харин Симон Марийгийн дагуулуудад өгсөн нэршил нь одоогийн бидний хэрэглэдэг нэршил бөгөөд Галилейн өгсөн нэршлийг түүхийн явцад «ялж гарсан» нь юм байна.

Галилейн үед тулгараад байсан нэг том асуудал нь далайд (болон газар дээр) байгаа ажиглагч өөрийн уртрагийг нарийн тодорхойлох арга олох явдал байсан (Өргөрөгийг бол одоор, эсвэл нараар тодорхойлоход тийм хэцүү биш). Ийм арга байхгүйгээс болоод усан онгоцнууд байрлалаа тодорхойлохдоо 500-1000 км-ийн алдаа гаргах нь хэвийн үзэгдэл байж. Уртрагийг тодорхойлох нь тухайн орон нутгийн цагийг урьдчилан сонгож авсан өөр нэг газрын цагтай харьцуулахтай адилхан. Үүнийг жишээгээр тайлбарлавал, та Улаанбаатарын цагаар цагаа тааруулж гараад Москвад очоод нар яг хэзээ хамгийн өндөр цэгтээ ирэхийг нь харвал таны цагаар оройн 5 цагийн орчимд байх вий. Эндээс Москва хотын уртраг Улаанбаатарынхаас 75° орчмоор баруун тийшээ байна гэж гарна. Мэдээж үүнийг практик арга болгоё гэвэл алдаагүй ажилладаг цаг, нарны өнцгийг нарийн хэмждэг багаж зэрэг зүйлс хэрэгтэй. Шөнө бол нарны оронд оддыг ашиглаж болно. Гэтэл тэр үед усан онгоцон дээр сайн ажилладаг цаг байгаагүй. Үүнийг шийдэхийн тулд Галилей Бархасбадийн дагуулуудыг цаг болгож ашиглах санал гаргасан байна. Тодруулбал, Бархасбадийн дагуулуудын байрлалыг цаг цагаар нь нарийн жагсаасан хүснэгт хийчихвэл усан онгоцон дээрээс тэр дагуулуудыг ажиглаж хэмжилт хийх замаар цагийг нарийн тодорхойлж болох юм.

Галилейг нас барснаас хойш 30-аад жилийн дараа энэ санааг гүйцэлдүүлэхээр Парисын одон орны хүрээлэнгийн захирал, Итали эрдэмтэн Жованни Кассини ханцуй шамлан орж, Бархасбадийн дагуулуудын хөдөлгөөнийг нарийн судалж эхэлсэн байна. Энэ төсөл дээрээ Данийн залуу одон оронч Оле Рёмерийг авч ажиллуулснаараа түүхэнд мөнхөрч үлдэх нэгэн чухал нээлтийн гарааг тавьснаа Кассини хэрхэн мэдэх билээ. Рёмер юу ажигласан бэ гэхээр Иогийн хиртэлтийн үеийг хэмжиж байгаад, дэлхий Бархасбадиас холдох үед хиртэлтийн үе нь арай ихсээд, ойртох үед арай багасаад байгааг ажигласан байна. Өөрөөр хэлбэл нар жаргасны дараа Бархасбадь тэнгэрт байх үед Иогийн тойролт арай удаан, нар гарахын өмнө Бархасбадь тэнгэрт байх үед Иогийн тойролт арай хурдан юм шиг байж. Гэхдээ Ио гаригаа ганц удаа тойрох хугацааг хэмжээд мэдэгдэхүйц ялгаа гарахгүй боловч хэд хэдэн удаа тойрох хугацааг нь хэмжвэл нийт дүн нь байх ёстой утгаасаа бага зэрэг зөрөөд байсан. Энэ нь юу гэсэн үг вэ гэвэл нэг удаа тойрох хугацааны зөрөө маш бага бөгөөд энэ зөрөө олон удаа тойроход хуримтлагдаад хэмжилтээр илэрч байна гэсэн үг. Үүнийг тайлбарлахын тулд гэрлийг хязгааргүй хурдтай биш гэсэн таамаглалыг Рёмер дэвшүүлсэн.Зургийн зүүн гар тал дахь хэсэгт дэлхий байхад Ио яг Бархасбадийн сүүдрээс гарах агшинд цацарсан гэрэл (улаан шугам) дэлхий дээр тодорхой агшинд ирж бүртгэгджээ гэе. Тэгвэл 42.5 цаг орчмын дараа Ио дараагийн удаа хиртэлтээс гарч ирэхэд цацарсан гэрэл (ногоон шугам) дэлхий дээр иртлээ арай урт зам туулах учраас Иогийн хиртэлтийн үе байгаагаасаа арай урт болж бүртгэгдэнэ. Дэлхий нөгөө талдаа байхад яг эсрэгээрээ, Иогийн хиртэлтийн үе байгаагаасаа арай богино болж бүртгэгдэнэ. Рёмер 42.5 цагт дэлхий өөрийнхөө диаметрийг 210 дахин туулна гэж үнэлсэн (яг үнэндээ 300 гаранг туулна). Тэгээд хэрэв дэлхийн диаметрийг гэрэл 1 секундэд туулдаг бол, Иогийн хиртэлтийн үе 210 секундээр их ба бага болж бүртгэгдэх ёстой. Ийм зөрөө ажиглагдахгүй байгаа тул гэрлийн хурд маш их юм байна гэж дүгнэжээ. Тэгэхээр гэрлийн хурдыг хэмжихийн тулд Иогийн олон тойролтын хугацааг хэмжиж хуримтлагдсан зөрөөгөөр тооцох хэрэгтэй болж байна. Дэлхий Бархасбадиас холдохдоо (эсвэл ойртохдоо) яг шулуунаар жигд хурдтай явдаггүй, нарыг тойрч эргэж байгаа болохоор дэлхий яг хаана байгаагаас хамаараад Иогийн хиртэлтийн үеийн зөрөө нь их бага янз бүр гарна. Үүнийг зураг дээр илүү тодорхой тайлбарлая.

Бархасбадь гаригийг r=0 гэсэн босоо тэнхлэгээр, Бархасбадийн сүүдрээс Ио гарах болгонд цацарсан гэрлийг ташуу шар зурааснуудаар төлөөлүүлсэн. Эхлээд Бархасбадь дээр байсан ажиглагч жигд хурдаар холджээ гэж бод (улаан хэрчим). Тэгвэл ижил хугацаанд (тасархай зураас) улаан зураасан дээр босоо тэнхлэгийг бодвол цөөхөн ташуу шар зураас ирж байгаа учраас уг ажиглагчид Иогийн хиртэлтийн үе удаан болж харагдана. Харин уг ажиглагч эргээд Бархасбадь руу ойртох үедээ (цэнхэр хэрчим) босоо тэнхлэгийг бодвол олон зураас хүлээж авах тул түүнд Иогийн хиртэлтийн үе хурдан болж үзэгдэнэ. Одоо баруун талын өнгө алагласан муруй бол дэлхий нарыг нэг тойроход Бархасбадь хуртэлх зай нь яаж өөрчлөгдөхийг төлөөлж байгаа. Эндээс дэлхий Бархасбадиас холдож байх үед Иогийн хиртэлтийн үе ерөнхийдөө удаашраад, ойртож байх үед ерөнхийдөө хурдсаад байгаа нь харагдана. Дашрамд дурдахад гэрлийн болон дууны долгионы Доплерийн эффектийг яг энэ зургаар тайлбарлаж болно.Дээрх зураг дээр хэвтээ тэнхлэгийн дагуу Бархасбадь яг нарны эсрэг талд ирэхээс эхлээд тоолсон хугацаа, босоо тэнхлэгийн дагуу дэлхий дээрээс харахад Ио гаригаа хэдэн удаа тойрсныг илэрхийлсэн тоо байгаа. Тасархай шугам нь хэрэв гэрэл хязгааргүй хурдтай байсан бол Ио яаж ажиглагдах байсан бэ гэдгийг харуулна. Хэвтээ тэнхлэг дээр байгаа Δt гэсэн хэсэг Иогийн n дэх тойролт жигд хурдтай гэж тооцсон хугацаанаас хоцорч бүртгэгдэж байгааг үзүүлнэ.

Энэ бүхнийг тооцсоны үндсэн дээр Рёмер дэлхийгээс нар хүртэлх зайг гэрэл 11 минутанд туулна гэж тооцсон. Дэлхий нар хоёрын хоорондох зайн жинхэнэ утгыг үүнд орлуулаад бодвол Рёмерын хэмжилтээр гэрлийн хурд 230000км/сек гэж гарна. Гэрлийг анх удаа хязгааргүй биш хурдтай гэж үзүүлсэн түүх энэ.

Уртраг тодорхойлох Галилейн нөгөө санаа юу болсон бэ гэвэл, усан онгоцон дээрээс одон орны нарийн хэмжилт хийхэд төвөгтэй байснаас энэ санаа үнэндээ хэрэгжээгүй. Гэхдээ газар дээр бол нилээд ашиглагддаг байсан. Уртрагийг хэмжих асуудал 18-р зууны дундуур нарийвчлал сайтай механик цаг бүтээгдэх хүртэл бүрэн шийдэгдээгүй.

Advertisements
Posted in Одон орон, Физик, түүх | Tagged , , , , , , | Сэтгэгдэл бичих

Оддын байрлал

Одон орон сонирхож эхэлж буй хүмүүст зориулаад дор үзүүлсэн шиг оддын зурган дээрх тоонууд нь ямар учиртай юм бэ, зургийг бодит тэнгэртэй яаж холбох вэ гэдэг талаар ойлголт өгөх гэж оролдъё.

Долоон бурхан

Дэлхийн газрын зурагт уртраг, өргөрөг ашигладаг шиг оддын зураг дээр одны байрлалыг бас хоёр тоогоор илэрхийлдэг. Энэ зураг дээр бол хамгийн өргөн хэрэглэгддэг «экваторын координатын систем» гэгчийг ашигласан байна. Үүнд хэвтээ чиглэл дэх тоог нь «цэх мандал» гэдэг бөгөөд 0-оос эхлээд 360˚ хүртэл баруунаас зүүн тийшээ тэнгэрийг бүтэн тойрдог. Цэх мандлыг бас цаг, минут, секундээр илэрхийлдэг (тэгвэл 360˚= 24 цаг буюу 1 цаг = 15˚гэж үзнэ). Хүн таван одны W үсэгний хамгийн баруун талын од ойролцоогоор 0 дээр байгаа. Тэгээд Мичид 57˚ (4 цаг) орчимд, Марал 82˚ (5 цаг 30 мин) орчимд, Долоон бурхны шанаганы толгой 165˚ (11 цаг) орчимд, шанаганы бариулынх нь үзүүр 210˚ (14 цаг) орчимд байна.

Аполлон-11 хөлгийнхний авч явсан оддын зураг

Зураг дээр хойшоо урагшаа байрлалыг заасан тоог нь «хазайлт» гэж нэрлэдэг ба «тэнгэрийн экватороос» эхлээд хойшоо урагшаа градусаар тоолдог. «Тэнгэрийн экватор» гэдэг нь дэлхийн экваторын хаа нэгтээгээс харахад яг орой дээр харагдах однуудыг агуулна. Тэгэхээр жишээ нь Алтан гадас одны хазайлт 90˚ орчим, Долоон бурхных 60˚ хавьцаа байна. Түүнчлэн Мичид 24˚ орчимд, Марал 0˚ орчимд байрладаг. Харин Хөхдэй мэргэн одны хазайлт –16° байдаг нь энэ од тэнгэрийн экватороос урагшаа байрлана гэсэн үг. Манай орны хувьд бол газарзүйн өргөрөг нь 45˚ орчим байдаг учраас тэнгэрийн экватор яаж харагдах вэ гэвэл, тэнгэрийн зүүн хаяанаас эхлээд баруун хаяа руу орсон, хамгийн өндөр цэг нь газраас 45˚ өнцгийн өндөрт байрлах тэнгэр дээрх хагас тойрог болж харагдана.

Тэнгэрийн экватор нь дэлхийн экватор дээр зогсож байгаа хүмүүс чанх дээшээ харахад харагдах оддыг агуулна.

Оддын хувьд бол цэх мандал, хазайлтаар илэрхийлсэн тэнгэр дэх координат нь маш удаан өөрчлөгддөг. Ер нь оддын тэнгэр дэх харилцан байрлал өөрчлөгдөхгүй тогтмол байдаг гээд бодчиход нэг их буруудахгүй. Тэнгэрийн бөмбөлөг ододтойгоо цуг бүхлээрээ зүүнээс баруун тийш, хоногт нэг бүтэн эргэнэ. Өөрөөр хэлбэл өдрийн гэрлээс болоод одот тэнгэр биднээс үе үе халхлагддаг л болохоос хоёр туйлын ойролцоох однуудаас бусад бүх од нар шиг мандаж жаргаж байдаг. Энэ мэдээж дэлхийн хоногийн эргэлттэй холбоотой. Харин ямар од хэзээ мандах вэ гэдэг нь улирлаас хамаарна. Энэ нь дэлхийн нарыг тойрч байгаа хөдөлгөөнтэй холбоотой.

Одод тэнгэрт хэр удаан үзэгдэх нь хазайлтаасаа хамаараад өөр өөр байдаг. Яагаад ингэдгийг нь дэлхийн хойд хагаст байгаа ажиглагчийн хувьд зургаар тайлбарлав.

Од мандахаас жаргах хүртлээ тэнгэрт хэр удах вэ гэдэг нь тухайн од тэнгэрт хэр зэрэг «хойшоо» байрласан бэ гэдгээс, өөрөөр хэлбэл одны хазайлтаас хамаардаг. Жишээлбэл долоон бурхан, алтан гадас гэх мэт зарим одод бол ер жаргадаггүй, нартай үед харагддаггүй л болохоос байнга тэнгэрт байж байдаг. Харин мичид зургаа өдөр бүр тэнгэрт 16 цаг орчим, Хөхдэй мэргэн 9 цаг орчмыг өнгөрөөдөг. Бүр урдуур байрласан Өмнөд хаалганы гялаан (альфа центавр) гэх мэт одод бол манай орноос хэзээ ч харагдахгүй.

Хэрэв бид дэлхийн умард туйлын ойролцоо очвол тэнгэрийн экватороос урагш байрласан одод тэндээс хэзээ ч харагддаггүй бөгөөд тэнгэрийн экватороос хойших одод нь тэнгэрт байнга байж байдаг болохыг ажиглана. Харин дэлхийн экваторын ойролцоогоос харахад бол бараг бүх одод хоногийн яг талыг тэнгэрт өнгөрөөдөг. Цаашлаад, жишээлбэл Австалид очвол алтан гадас харагдахаа болих ба Өмнөд хаалганы гялаан гэх мэт манай эндээс харагддаггүй одод их элбэг үзэгддэг болж ирнэ.

starvis.png

Зураг дээр одод тэнгэрийн экватороос хазайх хазайлтаасаа хамаараад хоногийн хэдэн цагийг тэнгэрт өнгөрөөх вэ гэдгийг үзүүлэв.

  • Улаан муруй: Канадын хойд нутагт 82° орчим өргөрөгт байх Алерт гэдэг суурингаас одод яаж харагдах нь. Эндээс жишээ нь Хөхдэй мэргэн од хэзээ ч харагдахгүй. Ер нь бараг бүх оддыг хэзээ ч харагддаггүй, байнга тэнгэрт байдаг гэсэн хоёр бүлэгт хувааж болно.
  • Цэнхэр муруй: Улаанбаатар хот, өргөрөг 48° орчим. Ерөнхийдөө «алтан дундаж».
  • Ногоон муруй: Сингапур, өргөрөг 1° орчим. Экваторт маш ойрхон тул харагдахгүй од гэж бараг байхгүй, бараг бүх од яг 12 цагийг тэнгэрт өнгөрөөнө.

Оддын тэмдэглэгээний тайлбар:

  • α Cen – Өмнөд хаалганы гялаан (Альфа Центавр)
  • α CMa – Хөхдэй мэргэн (Сириус)
  • α Ori – Маралын гялаан (Бетельгейзе)
  • M45 – Мичид зургаа
  • UMa – Долоон бурхан
  • α UMi – Алтан гадас

Цаашилбал, одны тэнгэр дэх байрлал улирлаас яаж хамаарахыг багцаалдахад маш амархан. Үүнд одны цэх мандал дээр 12 цагийг нэмбэл хавар өдөр шөнө тэнцэх үеэр тэр од хэзээ яг орой дээр (ө.х. хамгийн өндөр цэгтээ) ирэхийг заана. Жишээлбэл, Долоон бурхны цэх мандал 12 цаг орчим учраас хавар 3 сарын 20-доор Долоон бурхан яг орой дээр шөнө дунд ирнэ гэсэн үг. Харин Маралын цэх мандал 5:30 цаг болохоор оройн 17:30-ын үед орой дээр ирнэ. Энэ үед нар хараахан жаргаагүй байх болохоор од харагдахгүй. Тэгэхээр харанхуй болсны дараа Марал тэнгэрийн баруун хэсэгт харагдаад хэсэг хугацааны дараа жаргах юм.

Бусад улирлын хувьд бол тухайн нэг одны орой дээр ирэх мөч 1 сард 2 цагаар урагшилна (эрт болно). Жишээлбэл 4 сарын 20-доор Долоон бурхан орой дээр 10 цагийн үед ирнэ. Харин Марал өдрийн 3:30-ын үед орой дээр ирэх болохоор нар жаргасны дараа харагдах хугацаа нь улам улам багассаар сүүлдээ шөнө огт харагдахаа болих ба сар орчмын дараа өглөө үүрээр нар гарахын өмнө зүүн талаас манддаг болох юм. Тодруулбал 6 сарын дундуур Марал өдрийн 12 цагийн үед орой дээр ирнэ. Энэ мөчид нар бас яг орой дээр байх болохоор орой нь Марал нартай хамт жаргаад тэр өдөртөө харагдахгүй өнгөрнө. Үүний өмнөхөн, жишээ нь 6 сарын эхээр Марал нарнаас 1 цагийн дараа жаргах учир орой маш богинохон хугацаанд үзэгдэнэ. Харин 7 сарын эхээр нарнаас 1 цагийн өмнө мандах бөгөөд үүрээр зүүн зүгт гялс харагдаад өнгөрнө гэсэн үг. Ингээд намар өдөр шөнө тэнцэх үеэр одны цэх мандал нь тухайн од хэзээ орой дээр ирэхийг шууд зааж өгнө. Энэ нь цэх мандлын тэгийг анхнаасаа ингэж тааруулснаас болж байгаа хэрэг.

18556812_1927887787490037_5445126467938969262_o.png

Улаанбаатарт нарны мандаж жаргах хугацааг гурван маралын мандаж жаргах хугацаатай хамтаар зурав. Цэнхэр өнгөөр өдрийн гэрэлтэй (ө.х. нар мандаж жаргахын хоорондох) үеийг, цайвар өнгөөр гурван маралын мандаж жаргахын хоорондох үеийг тэмдэглэсэн.

Тухайлбал, яг шинэ жилийн үеэр гурван марал оройн 17 цаг орчимд зүүнээс мандах ба 23 цагийн үед орой дээр ирээд, өглөөний 5 цагийн үед жаргана. Тэгээд 1-р сарын дундуур нар шингэж байхтай зэрэгцэж зүүнээс мандана (акроник мандалт). Цаашаа жаргах хугацаа нь урагшилсаар 5 сарын дундуур нартай хамт жаргах учир шөнө харагдахаа болино.

Ингээд хүмүүсийг бэтгэрүүлж бэтгэрүүлж сая 7 сарын сүүлээр нар мандахаас өмнөхөн зүүнээс гарч ирдэг болно (нартай мандалт буюу гелиакал мандалт).

Иймэрхүү үзэгдлүүдийг хүмүүс эрт баларын үеэс ажиглаж ирсэн байгаа. Жишээлбэл Нил мөрний үерлэх нь Хөхдэй мэргэн одны нартай мандахтай жил бүр таардаг учраас Хөхдэй мэргэнийг эртний Египтчүүд бурханчлан шүтдэг байсан. Хөхдэй мэргэний нартай мандах үзэгдлийг хэдэн мянган жилийн турш ажигласны үндсэн дээр тэд жилийг 365.25 хоногийн урттай гэж тогтоож, энэ нь сүүлд Юлийн календарийн үүсэлд нөлөөлсөн (Бидний одоогийн хэрэглэж байгаа Григорийн календарь нь Юлийн календарийн бага зэрэг сайжруулсан хувилбар юм).

 

Posted in Одон орон | Tagged , | Сэтгэгдэл бичих

Тэнгэр дэх сарны хөдөлгөөн

Нэг сарын урт, эсвэл «битүүнээс битүүний хоорондох» хугацаа дунджаар ≈29.53 хоног байдаг гэж та сонссон байх. Энэ яг юу гэсэн үг юм бэ? Шинийн сарнаас эхлээд нар сарны харилцан байрлал орой нар жаргах үед ямар байх нь вэ гэдгийг ажиглаад явах юм бол өдөр ирэх бүр сар зүүн тийшээ шилжээд, гэрэлтэй хэсэг нь улам томроод (ө.х. «арвижаад») байхыг харж болно. Ингэсээр сар дугариг болох үед нар баруун талд жаргах, сар зүүн талаас гарах хоёр бараг зэрэгцэж ирнэ. Үүний дараа нар жаргах үед сар харагдахгүй, харин нилээд хойно зүүн талаас гардаг болох бөгөөд хэмжээ нь багасаж (ө.х. «хомсдож») эхэлнэ. Эцэстээ үүр цайхын өмнөхөн нарийхан хавирган сар гарч ирээд мандах нарны гэрэлд алга болдог болно.

Гурван өдрийн турш нар жаргах үед сарыг ажиглавал байрлал ба хэлбэр нь хэрхэн өөрчлөгдөж болохыг үзүүлэв. Ногоон шугам нь «шар зам» буюу нарны явах зам.

Тэгэхээр нарыг тэнгэрт хөдөлгөөнгүй байна гэж төсөөлбөл, газар дээрээс харахад сар дэлхийг баруунаас зүүн тийшээ тойрон эргэлдэж байдаг гэсэн үг. Ингэж яг нэг бүтэн тойроод ирэх хугацааг нь бид «билгийн сар» эсвэл зүгээр «сар» гээд байгаа юм. Нийт 360° өнцгийг сар ≈29.53 хоногт тойрч байна гэхээр хоногт 12.19° өнцгөөр, цагт ойролцоогоор 0.5° өнцгөөр шилжинэ. Сар нарыг дайрч өнгөрөхдөө ихэнх тохиолдолд яг урдуур нь ордоггүй (тэгвэл нар хиртэлт болно), гэхдээ маш ойрхон зөрж өнгөрдөг. Яагаад яг урдуур нь орох тохиолдол цөөхөн байдаг юм бэ гэвэл сарны тойрог замын хавтгай дэлхийн тойрог замын хавтгайтай дахцдаггүй, 5° орчим өнцөг үүсгэж байрладаг учраас тэр. Ингээд нар сар хоёр хоорондоо хамгийн ойртож ирэх мөчийг «сар битүүрэх» гэх бөгөөд энэ мөчөөс 0° гээд тоолбол сарны байрлал 90° дээр ирэхэд тал сар, 180° дээр ирэхэд тэргэл сар тохиох гэх мэтчилэн явна. Байрлал заасан энэ өнцгийг нар сарны хоорондох өнцөг гээд бодчиход нэг их алдахгүй.

Moon_phases_mn

Сарны арвидал хомсдол нь дэлхий дээрээс харахад нар сар хоорондоо ямар өнцөг үүсгэж байрласан байгаагаас хамаардаг. Сарны арвидал хомсдолын үе буюу «билгийн сар» нь ≈29.53 хоног байдаг бол сарны дэлхийг тойрох үе буюу «одны сар» нь ≈27.32 хоног байдаг. Энэ хоёр хугацаа хоорондоо зөрөөтэй байгаа нь дэлхийн нарыг тойрох хөдөлгөөнтэй холбоотой (Хамгийн баруун гар талд ногооноор будагдсан хэсгийг хар).

Өнөөдөр оройн яг 6 цагт сар битүүрэх мөч тохиожээ гэе. Тэгвэл 10 өдрийн дараа оройн 6 цагт нар сарны хоорондох өнцөг 10 · 12.19° = 121.9° орчим байх уу? Энэ тоо сайн багцаа өгөх боловч сарны хөдлөх хурд яг нэг жигд байдаггүй, заримдаа хойрголоод, заримдаа «авч давхичих гээд» байж мэдэх болохоор бодит байдлаас жаахан зөрнө. Үүнийг хүмүүс эртнээс мэддэг байсан бөгөөд дээр бидний 121.9° гэж гаргадаг шиг сарыг жигд хурдтай гэж бодож нэг суурь хариу гаргаад, түүн дээрээ бага зэрэг засвар хийх замаар сарны байрлалыг тооцдог. Энэ засвар нь ойрын үед ямар байх вэ гэдгийг дорх зурагт үзүүлэв.

Хэвтээ тэнхлэг дээр 0 нь 2017 оны 1 сарын 1-нд харгалзах ба үүнээс хойш 500 хоног явж байгаа. Хөх график нь сарыг жигд хурдтай гэж бодсон дунджаас бодит байрлал нь хэр зэрэг хазайх вэ гэдгийг градусаар илэрхийлнэ. Улаан график нь шинэ сарнаас тэргэл сар хүртэлх хугацаанд 1, тэргэл сарнаас битүүн хүртэлх хугацаанд 0 утгатай байгаа. Доод талынх нь хар цагаан алагласан зурвасны хувьд бол улаан шугамтай харьцуулаад харвал ямар учиртай юм бэ гэдэг нь ойлгомжтой болно. Улаан (эсвэл хар цагаан) графикийн үе нь дунджаар ≈29.53 хоног байгаа.

Жишээлбэл, 58 дахь хоног дээр улаан шугам «огцом дээшилж» байгаа нь энэ жилийн цагаан сарын шинийн нэгэнд харгалзана. Яг одоо (3 сарын 20-нд) бид 80 дахь хоног орчимд явж байгаа гээд харвал сарны байрлал дунджаасаа –5°-аар зөрнө гэж гарна. Цагаан сараас хойш 21 өдөр өнгөрөөд байгаа тул сарны дундаж байрлал нь 21 · 12.19° ≈ 256° орчим байх ёстой. Тэгэхээр нар сарны хоорондох өнцөг өнөөдөр 256° – 5° = 251° орчим гэж гарна. Сүүлийн алхам бол үнэндээ тооцооны зарчмыг нь л тайлбарлах зорилготой болохоос практикт ямар ч ач холбогдолгүй алхам. Сар нэг хоногт 12.19° явах учраас яг цагийн нарийвчлалтай л тооцоо хийх гээгүй бол 5°-ыг нэмнэ үү хасна уу нэг их нөлөө үзүүлэхгүй. Өөрөөр хэлбэл битүүний яг хэдэн цагт сар битүүрснийг, эсвэл өнөө өглөө 5 цагт сарны байрлал яг ямар байсныг мэдэж байж тооцооны нарийвчлал 5° руу орж ирнэ гэсэн үг.

Зураг дээрээс сарны байрлал дундаж утгаасаа хамгийн ихдээ 8°-аар зөрж болох нь харагдаж байна. Хөх муруйг харахад хоёр гол зүй тогтол ажиглагдана. Нэгдүгээрт, ≈27.5 хоногийн үетэй нэг хурдан хэлбэлзэл байна (Зураг дээр жишээ нь 30 дахь өдрөөс 140 дэх өдрийн хооронд 4 ширхэг хэлбэлзэл явж байгааг ажигла). Үүнийг «сарны нэгдүгээр аномаль» гэдэг бөгөөд цаад шалтгаан нь сар дэлхийг тойрохдоо эллипсээр тойрдогтой холбоотой. Тэгэхээр сар дэлхийд нэг ойртож ирээд буцаж холдоод дахиад нэг ойртож ирэх (ө.х. перигейгээс перигейн) хооронд ≈27.5 хоног байдаг гэсэн үг. Зураг дээрээс, энэ хурдан хэлбэлзлийн далайц нь өөрөө барагцаагаар ≈200 хоногийн үетэйгээр «лугшиж» байгааг ажиглаж болно. «Сарны хоёрдугаар аномаль» гэгддэг энэ лугшилт нь сарны тойрог замд нарны үзүүлэх нөлөөтэй холбоотой. Дээрх хоёроос гадна сарыг дундаж хөдөлгөөнөөс нь хазайлгах гэсэн олон үйлчлэл байдаг ч тэдгээр нь бүгд нийлээд 1°-аас бага зөрөө өгдөг. Үүнтэй харьцуулбал хоёрдугаар аномаль 2° орчим зөрөө өгдөг. Тэгэхээр зөвхөн нэгдүгээр аномалийг тооцоод бусдыг нь тооцохгүй байсан ч алдаа нь 3°-аас хэтрэхгүй.

Энэ засварыг Төвд-Монгол календарьт яаж тооцдогийг дээрх зурагт үзүүлэв. Хөх график нь өмнөх зурагтай адилаар сарыг жигд хурдтай гэж бодсон дунджаас бодит байрлал нь хэр зэрэг хазайх вэ гэдгийг градусаар илэрхийлнэ. Улаан график нь энэ хазайлтыг Төвд-Монгол календарьт яаж тооцдог вэ гэдгийг харуулна. Эндээс Төвд-Монгол календарьт сарны нэгдүгээр аномалийг тооцдог боловч хоёрдугаар аномалийг тооцолгүй орхидог болох нь харагдаж байгаа байх. Үүнчлэн Төвд-Монгол календарьт сарны байрлалыг тооцдог аргачлал ихэнх үед бараг алдаа гаргахгүй бөгөөд хааяа нэг үсрээд 3°-ын алдаа өгч болно.

Posted in Одон орон, цаг тоолол | Tagged , , | Сэтгэгдэл бичих

Цагаан сарын аажим шилжилт

Төгсбуянтын тооллын цагаан сар жилээс жилд хэзээ болж байсан, ирээдүйд хэзээ болох вэ, ерөнхийдөө хойшилж эсвэл урагшилж байгаа юу гэдэг асуудлыг сонирхоё. Дорх зурагт 1900–2024 оны хоорондох цагаан сарын шинийн нэгэн аргын тооллоор ямар өдөр тохиохыг үзүүлэв.

1900–2024 оны хоорондох цагаан сарын шинийн нэгэн

Энд хэд хэдэн ойролцоо зүй тогтол шууд ажиглагдаж байгаа. Нэгдүгээрт, өнгөрсөн жил илүү саргүй жил байсан бол цагаан сар өнгөрсөн жилийнхээс 11 хоног орчмоор эрт болно. Харин илүү сартай байсан бол 19 орчим хоногоор хойшилно. Энэ мэдээж сарны үечлэл (буюу хоёр битүү сарны хоорондох хугацаа) ≈29.530588 хоног учраас 12 билгийн сар 29.53 · 12 ≈ 354 хоног, харин 13 билгийн сар 29.53 · 13 ≈ 384 хоногийн урттай байдагтай холбоотой. Цаашилбал, ихэнх тохиолдолд 3 жил тутамд нэг илүү сар орж байгаа. Ийм үед билгийн тооллоор 3 жил нь 29.53 · (12+13+12) ≈ 1092.6 хоног, харин аргын тооллоор 1095 эсвэл 1096 хоног. Тэгэхээр дунд нь 2 илүү сар орчихгүй л бол 3 жил болоод цагаан сар 2–4 өдрийн өмнөх байрлалд «буцаж ирнэ» гэсэн үг. График дээр энэ нь зүүн дээрээс үл ялиг баруун доошоо чиглэсэн, хар цэгүүдийг холбосон шулуунууд болж харагдана. Ингэж явж байгаад хэт эрт болох гээд ирэнгүүт нь 2 илүү сар оруулаад бүр «дээш нь шидчихнэ».

Өөр нэг ойролцоо зүй тогтол ажиглагдаж байгаа нь 5 жил тутамд цагаан сар ойролцоогоор 5 хоногоор хойшилж байгаа. График дээр энэ нь зүүн доороос баруун тээшээ чиглэсэн, хар цэгүүдийг холбосон шулуунууд болж харагдана. Ийм үед дунд нь дандаа 2 илүү сар орж байгаа. Өмнөх маягаар тооцоо хийвэл ийм билгийн 5 жил 29.53 · (12+13+12+13+12) ≈ 1831 хоногийн урттай, харин аргын 5 жил 1826 юм уу 1827 хоногийн урттай байна. Эндээс шууд 4 юм уу 5 хоногоор хойшлох нь харагдаж байгаа. Ингэж хойшлуулж байгаад хэт хойшлоод ирэнгүүт нь 5 жилд ганц илүү сар өгөөд «доош нь татчихна».

Ямар ч Төвд-Монгол календарь илүү сараа тооцохдоо дараах хялбар дүрмийг дагадаг. Үүнд илүү саруудын хооронд орж байгаа «энгийн» саруудын тоо нь 33, 32, 33, 32, … гэх мэтчилэн ээлжилдэг. Өөрөөр хэлбэл билгийн 65 жилд энгийн, илүү нийлээд 65·12+2·12=804 сар байна. Энэ нь ойролцоогоор 29.530588 · 804 ≈ 23742.5927 хоног. Харин Григорийн тоололд жилийн урт дунджаар 365.2425 хоног гэдгээс аргын 65 жилд 365.2425 · 65 = 23740.7625 хоног байна. Тэгэхээр 65 жилд цагаан сар ойролцоогоор 1.83 хоногоор (эсвэл 250 жилд 7 хоногоор) хойшлоно гэсэн үг.

Дорх зурагт 1747–2100 оны хоорондох цагаан сарын шинийн нэгнүүдийг дүрслэв. Эндээс цагаан сар аажмаар хойшилж байгаа нь тодорхой харагдана. Тухайлбал, Төгсбуянтын тоололд цагаан сар анх удаа 3 сард тохиох явдал 2025/3/1-нд болох юм. Үүнээс хойш энэ зуунд нийтдээ 3 удаа ийм орой цагаан сар болох нь 2044/2/29, 2063/3/1, 2090/3/1-ний өдрүүдэд таарна.

1747–2100 оны хоорондох цагаан сарын шинийн нэгэн

Posted in Одон орон, цаг тоолол | Tagged , , | Сэтгэгдэл бичих

Вейлийн хууль

Хоёр цэгийн хооронд чанга татаж бэхлэгдсэн утсыг доргиоход ямар давтамжтай хэлбэлзэх нь тухайн утасны уян харимхай чанар, урт, өргөнөөс хамаарна. Эдгээр параметрүүдийг нь удирдах замаар хийл, төгөлдөр хуур, гитар гэх мэт хөгжмийн зэмсгийг утасны хэлбэлзлийг ашиглан янз бүрийн давтамжтай дуу гаргахаар зохион бүтээсэн байдаг. Хэрэв бид жишээ нь гитарын нэг утасны гаргах дууг бичиж аваад давтамжаар нь салгаж үзвэл энэ утасны дуу зөвхөн ганц «цэвэр» давтамжаас бүтдэггүй болох нь харагдана. Сонирхолтой нь энэ дууны давтамжийн найрлага дотор хамгийн бага нэг давтамж байх бөгөөд найрлагад нь орсон бусад бүх давтамж энэ хамгийн бага давтамжийг бүхэл тоо дахин авсантай тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл гитарын утасны хэлбэлзэл нэг үндсэн давтамж f, мөн цаашаагаа 2f, 3f, 4f, 5f гэх мэт давтамжуудыг л агуулна. Эдгээр давтамжуудыг тухайн утасны хувийн давтамжууд гэдэг бөгөөд хоорондоо гармоник (буюу зохицолтой) харьцаанд байна, эсвэл f-ийн гармоникууд гэж ярьдаг. Хоорондоо гармоник харьцаанд байгаа давтамжуудыг зэрэг сонсоход хүний чихэнд тааламжтай байдгийг МЭӨ 500 оны үед Пифагор нээсэн нь Өрнийн хөгжимд маш чухал үүрэг гүйцэтгэдэг хууль юм. Үнэндээ гитарын нэг утсыг татахад дууных нь найрлагад маш олон давтамж байгаа боловч тэдгээр нь хоорондоо нийцтэй сонсогдох болохоор хүнд цэвэр давтамж мэтээр сонсогдоно гэсэн үг. Дээр өгүүлсэн зүйлийг арай тодруулбал, A урттай утсанд f гэсэн өгөгдсөн заагаас хэтрэхгүй хэдэн ширхэг хувийн давтамж байх нь

N(f) = cAf

гэсэн томъёогоор өгөгдөнө. Үүнд c нь тогтмол тоо. Өөрөөр хэлбэл f-ээс хэтрэхгүй хувийн давтамжийн тоо f ба A-д хоёуланд пропорциональ байна. Математикийн хувьд утасны хэлбэлзлийн бодлого нь үндсэндээ хоёрдугаар эрэмбийн уламжлалын хувийн утгын (Штурм-Лиувиллийн бодлого ч гэдэг) бодлого болох ба 18-р зууны дунд үед Брук Тейлор, Иоганн ба Даниел Бернулли, Жан Лерон Даламбер, Леонард Эйлер нарын ажлаар бүрэн шийдэгдсэн асуудал юм.

Гитарын утасны хэлбэлзлийн давтамжийн найрлага. Хэвтээ тэнхлэгийн дагуу давтамж, килоГерцээр. Босоо тэнхлэгийн дагуу дууны хүч, децибелээр. Энд 3, 6, 9, 12-р гармоникууд байхгүй байгаа нь утсыг анх татсан хурууны байрлалаас болж байгаа. Мөн энэ хэмжилт нь идеал биш бодит гитарын хэмжилт учраас цэвэр гармоникуудад харгалзах «шовх оргилуудын» хооронд бага зэрэг ч гэсэн бусад давтамжууд бас холилдсон байгааг ажиглаарай.

Одоо бид дээрх бодлогыг өргөтгөөд бөмбөрийн гадаргуу, хонхны гадаргуу, эсвэл өрөөн доторх дууны хэлбэлзлийн хувийн давтамжууд юу байх вэ гэсэн асуулт тавьж болно. Энэ нь хоёр юм уу гурван хэмжээстэй муж дахь Лаплас операторын хувийн утгын бодлогод хүргэх бөгөөд тэгш өнцөгт гэх мэт хялбар мужууд дээрх шууд тооцооноос f их үед

N(f) = cAf^n + o(f^n)

байж магадгүй гэсэн таамаглал гарч ирнэ. Үүнд A нь тухайн мужийн талбай юм уу эзэлхүүн, n нь огторгуйн хэмжээс (ө.х. бөмбөрийн хувьд n=2, өрөөний хувьд n=3), o(f^n) гэдэг нь f нь их үед f^n-ээс удаан өсдөг ямар нэг гишүүн. Тэгэхээр жишээ нь бөмбөрийн хувийн давтамж ба уг давтамжийн дугаар хоёрын хооронд утасных шиг шугаман хамаарал байхгүй учир бөмбөрийн хувийн давтамжууд хоорондоо гармоник харьцаатай биш. Үүгээр бөмбөр болон утсан хөгжмийн хооронд дууны чанарын эрс ялгаа байдгийг тайлбарлана.

Дугуй хэлбэртэй бөмбөрийн гадаргуугийн хувийн хэлбэлзлийн горимууд (ө.х. ганц «цэвэр» давтамжтай хэлбэлзлүүд).

Энэ бодлого нь зөвхөн дууны хэлбэлзэл төдийгүй бүхий л долгиолог процесст хамаатай. Тухайлбал төгс ойлгодог гадаргуугаар доторлосон битүү саван доторх цахилгаан соронзон орны хувийн давтамжуудыг тооцох нь математикийн хувьд дээрхтэй яг ижил бодлого. Ийм савны доторх цахилгаан соронзон орныг ойлгох нь «хар биеийн цацаргалт» нэрийн дор 19-р зууны төгсгөл үед физикийн хамгийн тулгуур асуудлуудын нэг байсан бөгөөд эцэстээ квант механикийг нээхэд хүргэсэн юм. Тэгэхээр дээр дурдсан таамаглалыг дууны долгион болон хар биеийн цацаргалттай холбоотойгоор 1910 онд Арнольд Зоммерфельд, Хендрик Антон Лоренц нар дэвшүүлсэн байна. Зоммерфельд-Лоренцийн таамаглалын гол сонирхолтой бөгөөд батлахад хүндрэлтэй зүйл нь гэвэл хувийн утгуудын асимптот шинж чанар мужийн хэлбэр дүрсээс хамааралгүй, зөвхөн эзэлхүүнээс хамаарч байгаа явдал юм. Анх яаж батлагдсан түүх нь бас их сонирхолтой. Паул Волфскел (1856-1906) гэдэг герман эмч гэрээслэлдээ Фермагийн сүүлчийн теоремыг баталсан хүнд өгөөрэй, түүнээс өмнө хүүгээр нь жил бүр математик физикээр алдартай эрдэмтнийг Гёттингенд урьж 6 лекц уншуулж бай гэж 100 мянган марк үлдээжээ. Анхны 6 лекцийг 1909 онд Анри Пуанкарье, дараагийн 6 лекцийг 1910 оны намар Хендрик Антон Лоренц уншсан байна. Лоренц сүүлийн 3 лекцэндээ хар биеийн цацаргалтын талаар ярих үедээ дээрх Зоммерфельд-Лоренцийн таамаглалыг дурдсан аж. Лекцийн танхимд Давид Гильберт сууж байсан ба таамаглалыг сонсоод тэрбээр «намайг амьд байхад лав шийдэгдэхгүй асуудал байна» гэж дуу алдсан гэдэг. Гильбертийн хажууханд түүний шавь Герман Вейль бас сууж байсан бөгөөд ердөө хагас жилийн дотор тэрбээр Зоммерфельд-Лоренцийн таамаглалыг бүрэн баталсан байна. Гильбертийн шавь учраас Вейль анхны баталгаандаа интеграл тэгшитгэлийн онолыг ашигласан бол сүүлд вариацийн аргаар бас баталж болохыг үзүүлсэн. Ингээд Зоммерфельд-Лоренцийн таамаглал нь Вейлийн хууль нэртэй болсон. Дашрамд дурдахад Волфскелийн лекцийн уламжлал бараг 100 жил үргэлжилсний эцэст 1997 онд Эндрю Уайлс шагналынх нь мөнгийг гэрээслэл ёсоор гардан авснаар дуусгавар болжээ.

1915 он гэхэд Вейль өөрийн хуулийг цахилгаан соронзон болон хатуу биет доторх дууны долгионы хувьд өргөтгөн баталчихсан байсан. Мөн уг хуулийг цааш нь нарийсгасан дараах таамаглалыг дэвшүүлсэн.

N(f) = cAf^n + eBf^(n-1) + o( f^(n-1) )

Үүнд B нь мужийн хилийн урт, e нь тогтмол тоо. Вейлийн таамаглал гэгдэх болсон энэ бодлогон дээр олон математикч хөлсөө дуслуулсан бөгөөд хамгийн сүүлд 1980-аад онд Виктор Иврийгийн ажлаар үндсэндээ батлагдсан гэж үзэж болно. Энэ баталгаанд хүргэсэн гол аргачлал нь 1930-аад оны дундуур Торстен Карлеманы дэвшүүлсэн Лаплас операторын функцийн мөрийг (trace) хувийн утгуудын тоотой Тауберийн теоремийн тусламжтайгаар холбодог арга юм. Лаплас операторын функц гэдэгт ресольвент, дулааны болон долгионы тэгшитгэлийн шийдийн операторууд байж болох ба эдгээрээс хамгийн нарийвчлал сайтай үр дүн өгдөг нь долгионы тэгшитгэлийн шийдийн оператор болох нь тогтоогдсон. Тухайлбал Фурье интеграл оператор технологийн тусламжтайгаар долгионы тэгшитгэлийн шийдийн операторын мөрийг богино хугацаанд асимптот байдлаар үнэлэх замаар Ганс Дейстермаат (Hans Duistermaat), Виктор Гийемин (Victor Guillemin) хоёр 1975 онд Вейлийн таамаглалыг битүү цогцуудын (closed manifolds) хувьд баталсан байгаа. Энэ баталгааг хилтэй мужууд руу өргөтгөх хэцүү ажлыг Виктор Иврий хийсэн юм.

Орчин үед дифференциал операторын хувийн утга, хувийн функцийн судалгаа анализийн нэг гол салбар хэвээр байна. Одоогоор нилээд “халуун” байгаа зарим сэдвийг дурдвал Вейлийн таамаглалыг бутархай эрэмбийн болон өөртөө хосмог биш операторууд руу өргөтгөх, хувийн функцүүдийн төрөл бүрийн норм хэрхэн өсөхийг нарийвчлан судлах, хувийн функцүүдийг тэглэдэг олонлогийн хэмжээнд зааг тогтоох, гиперболлог хавтгайн муж дээрх Лаплас операторын спектрийн судалгаа зэрэг болно.

Зураг дээр: (А) Дугуй хэлбэртэй бөмбөрийн гадаргуугийн хувийн хэлбэлзлийн горимууд (ө.х. ганц “цэвэр” давтамжтай хэлбэлзлүүд). (Б) Гитарын утасны хэлбэлзлийн давтамжийн найрлага. Хэвтээ тэнхлэгийн дагуу давтамж, килоГерцээр. Босоо тэнхлэгийн дагуу дууны хүч, децибелээр. Энд 3, 6, 9, 12-р гармоникууд байхгүй байгаа нь утсыг анх татсан хурууны байрлалаас болж байгаа.

Posted in Анализ, Дифференциал тэгшитгэл, Математикийн түүх, Физик | Tagged , , | Сэтгэгдэл бичих

Бүх хүн зэрэг үсэрвэл дэлхий хөдлөх үү?

Дэлхийн бүх хүн нэг газар цуглаж байгаад зэрэг үсэрвэл дэлхийг хөдөлгөж чадах болов уу? Хэдүүлээ маш хялбар тооцоо хийгээд үзье л дээ. Дэлхийн хүн амыг ихээр бодож 8 тэрбум, нэг хүний дундаж массыг 70кг гэвэл нийт хүний масс хамгийн ихдээ 0.6 тэрбум тонн буюу 6\cdot10^{11}кг болно. Дэлхийн масс ойролцоогоор 6\cdot10^{24}кг, энэ нь бүх хүний массаас 10^{13} дахин их. Хүмүүс үсэрч ч байсан яаж ч байсан ялгаагүй нийт системийн хүндийн төв хадгалагдана. Тэгэхээр жишээлбэл, бүх хүн яг зэрэг 1метр өндөрт үсэрсэн гэвэл дэлхий 10^{-13}м буюу 0.1пикометр хэмжээгээр шилжинэ. Энэ нь устөрөгчийн атомын диаметрээс 1000 дахин бага юм. Дэлхий ийм бага хэмжээнд шилжих ба нөгөө хүмүүс маань эргээд газар буухад дэлхий маань мэдээж буцаад байрандаа оччихно.

Дээрх тооцоонд дэлхийг үнэмлэхүй хатуу биет гэж үзсэн байгаа. Яг үнэндээ бол дэлхийн хөрсний нэг хэсэгт ямар ч хүчтэй цохилт доргио болсон гэсэн нөгөө хэсэгтээ тэр дороо мэдэгдэхгүй, энэ доргио нь газар дотуур дууны хурдаар тархана. Газраар дамждаг хамгийн хурдан дууны долгион 10км/сек орчим хурдтай тархдаг. Хүн 1метр өндөрт үсрээд буухад 1 секунд орчим хугацаа зарцуулна. Энэ хугацаанд «хүмүүс үсэрсэн тухай мэдээлэл» дөнгөж 10км орчим газарт тархсан байна. Өөрөөр хэлбэл хүмүүс үсрээд буухад дэлхий бүхлээрээ хөдлөхгүй, сайндаа л 10–20км хэмжээтэй газар жаахан доргилт өгөөд л дуусна гэсэн үг.

Энэ үсрэлтээр тэр хавийн газар орон хэр их доргих вэ гэдэг талаар ойлголт авахын тулд ялгаруулсан энергийг нь тооцоё. Бүх хүн 1метр өндөрт үсэрсэн гэвэл 6\cdot10^{12}жоуль буюу 6теражоуль энерги ялгаруулна. Энэ нь Рихтерийн шатлалаар 5 баллын газар хөдлөлттэй дүйцэхүйц энерги бөгөөд иймэрхүү газар хөдлөлт барилга байгууламжинд бараг нөлөөлдөггүй, үл ялиг мэдрэгддэг сул газар хөдлөлтөндөө ордог. Тэсрэх бөмбөгний ялгаруулах энергитэй жишвэл 6теражоуль энерги нь 1500тонн тринитротолуолын тэсрэлтээс үүсэх энерги, эсвэл Хирошима дээр хаясан атомын бөмбөгнийхөөс 10 дахин бага энергид харгалзах юм.

Эцэст нь зүгээр зугаа болгож дэлхийн бүх хүнийг цуглуулахад хэр их талбай хэрэгтэй вэ гэдгийг бодож үзье. Нэг хүнд 1 квадрат метр талбай ногдуулна гэвэл 8000 квадрат км буюу ойролцоогоор Говьсүмбэр, Дархан-Уул хоёр аймгийг нийлүүлчихсэн юм шиг хэмжээний талбай хэрэг болно. Улаанбаатар хотын талбай 4700 квадрат км гэж байгаа тэгэхээр сайн шахаж байгаад дөрвөн уулын дунд багтаавал багтаачихаар л юм байна.

Posted in Физик, Хялбар тооцоо, Элдэв зүйлс | Tagged , | Сэтгэгдэл бичих

Нуур яагаад ёроолдоо хүртэл хөлддөггүй вэ?

Гол, нуурын ус өвөл яагаад ёроолдоо хүртэл хөлдчихгүй байна вэ? Хэдүүлээ энд нэг хялбарчилсан тооцоо хийгээд үзье л дээ.

Нуурын мандалд нимгэхэн мөс тогтчихсон байна гэж төсөөл. Тэгвэл мөсний дээд захын температур агаарын температуртай адилхан, доод захын температур 0˚C байна. Мөсний доод захаар хиллэсэн ус аажмаар хөлдөж мөсний зузааныг нэмэгдүүлэх бөгөөд ус хөлдөхөд ялгарсан дулаан мөсөөр дамжиж дээшээ агаарт цацагдана. Одоо мөсний гадаргуу дээр S талбайтай квадрат зураад тэр квадратын яг дор орших мөсөн баганыг авч үзье. Нуурын мөсний зузааныг x, мөсний дээд ба доод захын хоорондох температурын зөрөөг T гэвэл (ө.х. агаарын температур нь -T), мөсөн баганын дээд гадаргуугаар ∆t хугацаанд алдагдах дулаан 

k · T · S · ∆t / x

байна. Үүнд k ≈ 2.22 Ватт / (метр·градус) нь мөсний хувийн дулаан дамжуулалт. Энэ хугацаанд мөсөн баганын доод талд ∆x зузаантай мөс нэмэгдсэн гэвэл усны хөлдөлтөөр тэнд ялгарах дулаан

σ · ρ · ∆x · S · ∆t

байна. Үүнд ρ ≈ 0.92 г / см² нь мөсний нягт ба σ ≈ 334 Жоуль / г нь мөсний хайлалтын хувийн дулаан. Дээрх хоёр илэрхийллийг хооронд нь тэнцүүлбэл, C = k/(ρσ) тогтмолтой

x’ = ∆x / ∆t = CT / x

гэсэн дифференциал тэгшитгэлд хүрэх ба хугацаа t = 0 үед x = 0 байх шийд нь

x² = 2C·T·t

болно. Энэ томъёоноос мөсний зузаан хугацаанаас квадрат язгуур авсан мэтээр өсөх нь харагдаж байна. Одоо C тогтмолыг тооцвол

C ≈ 6 см² / (хоног·градус)

гэж гарах ба дээрх томъёог практикт ашиглахад амар байдлаар

x² ≈ 3.5² · T · t

гэж бичиж болно. Үүнд T нь градусаар, t нь хоногоор өгөгдөх бөгөөд хариу нь см-ээр гарна. Жишээлбэл, агаарын температур -20˚C бол температурын зөрөө T = 20˚C болох бөгөөд t = 30 хоног гэвэл T · t = 600, үүнээс язгуур аваад 24.5. Тэгэхээр

x ≈ 3.5 · 24.5 ≈ 86 см.

Одоо T = 20˚C ба t = 100 хоног гэвэл T · t = 2000, язгуур аваад 44.7, ингээд

x ≈ 3.5 · 44.7 ≈ 156 см.

Тэгэхээр нэг өвлийн турш мөсний зузаан 1-2 метрээс илүү гарах боломж бараг байхгүй гэж дүгнэж болох нь.

Мөсөн дээр хүн явахад цөмөрчихгүй байхын тулд мөс дор хаяж 10 см зузаантай байх хэрэгтэй гэдэг. Агаарын температур -20˚C үед 10 см зузаантай мөс бүрэлдэхэд хэрэгтэй хугацааг олбол

t ≈ 100 / (3.5² · 20) ≈ 0.4 хоног ≈ 10 цаг.

Эцэст нь хэлэхэд бид мөсөн дээрх цасны дулаан тусгаарлах чанар, мөсөн дорх усны дулаан хадгалах чанарыг тооцоогүй тул мөс бүрэлдэх явц бодит байдал дээр энд тооцсоноос арай удаан байна гэдгийг анхаараарай. Бодит жишээ авъя гэвэл олон жилийн ажиглалтаар Канадын нууруудын мөсний зузаан 1 метрээс дээш гарсан тохиолдол бараг байхгүй гэнэ. Тэгэхээр бидний гаргасан томъёо тийм ч их алдаатай биш болох нь харагдаж байна.

Posted in Физик, Хялбар тооцоо | Tagged , | Сэтгэгдэл бичих