Куб тэгшитгэл

Куб тэгшитгэлийн (эерэг) шийдүүдийг олох ерөнхий геометр аргыг анх томъёолсон хүн бол Персийн алдарт яруу найрагч, математикч Омар Хайям (1048–1131) билээ. Омар Хайямын бүтээлийг исламын алтан үеийн математикийн оргил цэг гэж үзэж болно. Түүнээс өмнө куб тэгшитгэлийн судлал яаж хөгжиж ирсэн талаар товч дурдъя.

МЭӨ 20-р зууны үед эртний Вавилончууд {x^3+x^2=b} маягийн тэгшитгэлийг (ойролцоогоор) бодохдоо {n^3+n^2} хэмжигдэхүүнийг ({n=1,2,\ldots} үед) жагсааж бичсэн хүснэгт ашигладаг байсан ул мөр бий. Үнэндээ ямар ч куб тэгшитгэлийг ийм хэлбэрт шилжүүлэх боломжтой. Гэхдээ Вавилончууд ингэж шилжүүлж чаддаг байсныг батлах баримт олдоогүй.

Өгөгдсөн кубээс 2 дахин их эзэлхүүнтэй кубын ирмэгийн уртыг олох бодлого эртний Грект «куб ихэрлүүлэх бодлого» нэрээр ихэд алдаршжээ. Үүнээс дутахааргүй алдартай өөр нэг бодлого бол өгөгдсөн өнцгийг 3 тэнцүү хуваах бодлого юм. Грекийн сонгодог геометрт гортиг шугамаар байгуулсан байгуулалт л зөвшөөрөгдөх тул, одоогийн өндөрлөгөөс харвал, куб ихэрлүүлэх бодлого нь {\sqrt[3]{2}} урттай хэрчмийг, өнцгийг 3 хуваах бодлого нь {4x^3-3x=b} тэгшитгэлийн шийдийг гортиг шугам ашиглан байгуулах бодлогуудтай дүйнэ. Эдгээр бодлогуудыг үнэндээ гортиг шугамаар шийдэх боломжгүй гэдгийг 1837 онд Францын математикч Пьер Ванцель (1814–1848) баталсан. Харин эртний Грекчүүд гортиг шугамаар яаж ч оролдоод бүтэхгүй болохоор илүү ерөнхий геометр байгуулалтууд руу шилжихээс өөр аргагүй байдалд хүрсэн. Координатын хавтгай, функцийн график байтугай алгебрын тэмдэглэгээ тэр үед хөгжөөгүй байсан тул дор дурдагдах байгуулалтуудыг бид орчин үеийн тэмдэглэгээ ашиглан тайлбарлах боловч тэр үедээ бол бүгд цэвэр геометр хэлбэртэй байсан гэдгийг анхаараарай.

  • Гиппократ (МЭӨ 470–410) өнцгийг 3 тэнцүү хувааж чадах механик багаж санаачлав. Мөн куб ихэрлүүлэхийг {\frac{1}{x}=\frac{x}{y}=\frac{y}{2}} пропорцод шилжүүлэв.
  • Гиппий (МЭӨ 5-р зуун) өөрийн санаачилсан квадратис нэртэй муруйг ашиглан, Архит (МЭӨ 428–347) гурван хэмжээст геометр байгуулалт ашиглан тус тус кубыг ихэрлүүлэв.
  • Куб ихэрлүүлэх бодлогыг Менехм (МЭӨ 380–320) {y^2=2x} ба {x^2=y} гэсэн хоёр параболын огтлолцол хэлбэрээр, мөн {y^2=2x} ба {xy=1} гэсэн парабол, гиперболын огтлолцол хэлбэрээр бодов.
  • Архимед (МЭӨ 287–212) {x^2-x^3=b} тэгшитгэлийг {y=x^2} ба {(1-x)y=b} гэсэн парабол, гиперболын огтлолцол хэлбэрээр бодов. Өнцөг 3 хуваах бодлогыг шийдэх хоёр арга санаачлав: Нэг нь Архимедийн спираль гэгддэг муруйг, нөгөө нь сүүлд конхоид гэж нэрлэгдсэн муруйн шинж чанарыг ашигласан.
  • Филон (МЭӨ 280–220) куб ихэрлүүлэх бодлогыг Филоны шулуун ашиглан бодов. Сүүлд Аполлоний (МЭӨ 262–190), Герон (МЭ 10–70) нар үүнтэй үндсэндээ адилхан бодолтууд олсон. Эдгээр байгуулалтууд хоёр параболын огтлолцол олж байгаатай эквивалент.
  • Никомед (МЭӨ 280–210) конхоид муруйг тодорхойлж, Гиппократ, Архимед нарын өнцгийг 3 хуваах шийдлүүд үнэндээ конхоид ашигласан болохыг тогтоов. Цааш нь, конхоидоо ашиглан кубыг ихэрлүүлэв.
  • Эратосфен (МЭӨ 276–194) {\frac{1}{x}=\frac{x}{y}=\frac{y}{z}} пропорцтой хэрчмүүдийг шууд байгуулдаг механик багаж санаачлав. Одоогийн хэлээр бол, энэ нь үндсэндээ {z=x^3} функцийн графикийг байгуулдаг багаж байсан.
  • Аполлоний (МЭӨ 262–190) алдарт «Конус огтлол» бүтээлээ туурвиж, куб ихэрлүүлэх, өнцөг 3 хуваах бодлогуудад конус огтлолыг ашиглав.
  • Диокл (МЭӨ 240–180) өөрийн санаачилсан циссоид муруйн тусламжтайгаар кубыг ихэрлүүлэв.
  • Диофантын «Арифметик» (МЭ 250 оны орчим) бүтээлд {x^3+x=4x^2+4} тэгшитгэлийн шийдийг шууд {x=4} гэж (тааж) олсон байдаг. Гэхдээ 2 хувьсагчтай куб тэгшитгэлийг зохих орлуулгын тусламжтайгаар 1 хувьсагчтай квадрат тэгшитгэл рүү шилжүүлэн рациональ шийд олсон жишээ олон бий.

Эртний Хятадад бодлогын шийдийг аравтын орон орноор нь тооцдог аргууд нилээд хөгжсөн. Тухайлбал, «Есөн бүлэгт тооны урлаг» (МЭӨ 2-р зуун) бүтээлд тооноос куб язгуур гаргадаг алгоритмыг дурдсан байдаг. Ван Сяо-тун (МЭ 580–640) «Эртний математикийн үргэлжлэл» бүтээлдээ куб тэгшитгэлийн ойролцоо шийдийг олсон олон жишээ оруулсан боловч яг ямар аргаар бодсоноо тайлбарлаагүй. Куб язгуур гаргах алгоритмыг Цзя Сянь (1010–1070) төгс хэлбэрт нь оруулсан бол, үүнийг куб (болон өндөр зэргийн) тэгшитгэл боддог болгож өргөтгөсөн хэлбэрийг Ли Е (1192–1279), Цинь Цзюшао (1202–1261) нар бичиж үлдээсэн байдаг.

Энэтхэгт Ариабхата (МЭ 476–550) куб язгуур гаргах алгоритмыг нээсэн боловч куб тэгшитгэлийн судалгаа тухайн үедээ сайн хөгжөөгүй. Бүр сүүлд Бхаскара II (1114–1185) {x^3+12x=6x^2+35} тэгшитгэлийг шууд {x^3-6x^2+12x-8=(x-2)^3} гэсэн задаргааны тусламжтай бодсон байдаг.

Исламын алтан үеийн математик нь эртний Грек болон тухайн үеийн Энэтхэг, Хятадын математикийн уулзвар цэг дээрээс гараагаа эхэлснээрээ онцлогтой.

  • Жафар аль-Хазин (900–971), Ибн Лайс (10-р зуун), Ибн аль-Хайсам (965–1040) нар зарим куб тэгшитгэлийг конус огтлолын тусламжтай бодов.
  • Аль-Бируни (973–1050) өнцгийг 3 хуваах бодлогыг ойролцоогоор бодсон.
  • Бидний мэдэж байгаагаар тооноос куб язгуур гаргах алгоритмын талаар Араб хэл дээрх анхны бүтээлийг аль-Уклидиси (МЭ 10-р зуун) бичсэн юм. Түүнчлэн, ибн Лаббан (971–1029), ибн Тахир (980–1037), ан-Насави (1011–1075) нар энэ сэдвээр туурвисан байдаг. Эдгээр алгоритмууд Энэтхэг, Хятадын алгоритмуудтай «хамаатнууд» байж мэдэх боловч ийм холбоо байсан гэдгийг нотлох баттай баримт олдоогүй.
  • Дээрх алгоритмыг Шарафуддин ат-Туси (1135–1213) дурын куб тэгшитгэлийн шийдийг орон орноор нь бодох алгоритм болгож өргөтгөсөн. Мөн куб тэгшитгэлийн дискриминантыг нээв. Сонирхолтой нь, ат-Тусийн алгоритм, Хятадын Цзюшаогийн алгоритм, сүүлд Европт Виетээр эхлээд Руффини, Горнер нарын төгөлдөржүүлсэн алгоритм гурав хоорондоо эгч дүүс гэж хэлж болохоор маш төстэй алгоритмууд юм.

Ингээд бид Омар Хайямын үедээ буцаж ирлээ. Омар Хайям 1048 оны 5 сарын 18-нд Нишапур хотноо төрсөн. Тэрбээр ерөнхий куб тэгшитгэлийг конус огтлол ашиглан бодсоноос гадна, тооноос {n} зэргийн язгуур гаргах алгоритмыг боловсруулсан, Евклидийн 5-р постулатын судалгаандаа Евклидийн биш геометрийн теоремуудыг баталсан зэрэг гавъяатай. Түүнийг агуу математикч, агуу яруу найрагч гэдгээрээ түүхэнд эн тэнцүү дурсагддаг цорын ганц хүн гэж хэлэх нь бий.

Омар Хайямын алгебрт оруулсан хувь нэмэр юу вэ гэвэл (эерэг шийдтэй) бүх куб тэгшитгэлүүдийг нийт 25 ангид хуваагаад, анги тус бүрийн хувьд шийдийг нь олох ерөнхий геометр аргыг боловсруулсан явдал болно. Эдгээр 25 ангид нь

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  x=c,&\qquad x^2=c,\qquad x^3=c,\\ x^2=bx,&\qquad x^3=bx,\qquad x^3=ax^2, \end{array}

ба

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  x^2+ax=b,&\qquad x^2+b=ax,\qquad x^2=ax+b,\\ x^3+ax^2=bx,&\qquad x^3+bx=ax^2,\qquad x^3=ax^2+bx, \end{array}

гэсэн 12 хялбар тохиолдлоос гадна

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  x^3+bx=c,&\qquad x^3+c=bx,\qquad x^3=bx+c,\\ x^3+ax^2=c,&\qquad x^3+c=ax^2,\qquad x^3=ax^2+c, \end{array}

гэсэн 3 гишүүнтэй 6 тохиолдол,

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  x^3+ax^2+bx=c,&\qquad x^3+ax^2+c=bx,&\\ x^3+bx+c=ax^2,&\qquad x^3=ax^2+bx+c,&\\ x^3+ax^2=bx+c,&\qquad x^3+bx=ax^2+c,&\\ x^3+c=ax^2+bx, \end{array}

гэсэн 4 гишүүнтэй 7 тохиолдол багтана. Сүүлийн 13 тохиолдлыг квадрат тэгшитгэлд шилжүүлэх аргагүй тул Омар Хайям тохиолдол тус бүрийнх нь шийдийг конус огтлол (буюу эллипс, парабол, гипербол) ашиглаж байгуулах аргуудыг томъёолсон. Жишээлбэл, {x^3+bx=c} тэгшитгэлийг {x^3+\alpha^2x=2\alpha^2\beta} хэлбэртэй бичээд, {\alpha y=x^2} гэсэн параболыг {y^2+(x-\beta)^2=\beta^2} тойрогтой оглолцуулахад шийд нь гарч ирнэ (Зураг).

Дундад зууны Европоос гарсан анхны том математикч бол Пизагийн Леонардо буюу бидний нэрлэж заншсанаар Фибоначчи (1170–1240) билээ. Түүнийг 1225 онд Ариун Ромын эзэнт гүрний хаан Фридрих II (1194–1250) хүлээж авч уулзсан ба энэ үеэр нь ордны тоочин сорилго болгож хэд хэдэн бодлого өгсний нэг нь

\displaystyle  x^3+2x^2+10x=20

гэсэн куб тэгшитгэл байв. Энэ тэгшитгэлийг Фибаноччи {x\approx1.36880810785} гэж ойролцоогоор бодсон нь 9 орны нарийвчлалтай таардаг. Гэхдээ Фибоначчи үүнд санаа амарсангүй, Евклидийн «Эхлэл» бүтээл дэх иррациональ тоонуудын ангилалд орсон тоонуудын аль нь ч дээрх тэгшитгэлийн шийдийг яг илэрхийлж чадахгүй гэж харуулсан. Одоогийн математикийн хэлээр үүнийг тоймловол {x=\sqrt[4]{p}\pm\sqrt[4]{q}} байдаг {p}, {q} гэсэн рациональ тоонууд олдохгүй гэсэн үг юм.

Фибоначчаас хойш 16-р зууны эхэн үе хүртэл Европын математикт бараг өөрчлөлт гарсангүй. Жишээлбэл, 1494 онд хэвлэгдсэн, тухайн үеийн математикийн мэдлэгийг нэгтгэж бичсэн Лука Пачолийн (1445–1517) алдарт «Арифметикийн толь» ном ерөнхийдөө Фибоначчийн «Тооцохуйн ном» бүтээлтэй адилхан агуулгатай байв. Пачоли куб тэгшитгэлийг бодох ерөнхий арга олдохгүй гэж тунхагласан. Дашрамд дурдахад, Пачоли энэ номондоо орчин үеийн нягтлан бодох бүртгэлийн амин сүнс болсон хос баганын аргыг анх томъёолжээ.

Тривиаль биш куб тэгшитгэлийг анх бодсон хүн бол Сципион дель Ферро (1465–1526) юм. Түүний аав нь цаасны үйлдвэрт ажилладаг байсан, өөрөө 1496 оноос эхлээд 1526 онд нас барах хүртлээ Болоний их сургуульд багшилж байсан гэдгээс өөр хувийн амьдралынх нь талаарх мэдээлэл бараг хадгалагдаж үлдсэнгүй. Дээр дурдагдсан Лука Пачоли 1501–1502 оны үед Болоний их сургуульд айлчилж, тэндхийн багш нартай математикийн талаар хэлэлцдэг байсан нь дель Феррогийн сонирхлыг куб тэгшитгэл рүү хазайхад нөлөөлсөн байж болзошгүй. Ямар ч байсан дель Ферро 1505 оны үед

\displaystyle  x^3+bx=c \ \ \ \ \ (1)

хэлбэрийн куб тэгшитгэлийг бодох аргыг олчихсон байсан. Энэ нь сөрөг тоог Европт ойлгож эхлэх яагаа ч үгүй байсан үе тул тэгшитгэлүүдийн шийдүүд болон коэффициентүүд бүгд эерэг тоонууд байх ёстой. Тухайлбал, {b>0} ба {c>0}.

Тухайн үеийн Италид математикчид хоорондоо халз тулаан хийж өрсөлддөг байсан ба тэдний хаа нэг газар ажилд орох нь халз тулаанаас олж авсан нэр хүндээс нь хамаардаг байжээ. Иймд ямар нэг хэцүү бодлогыг бодох аргыг олсон хүн тэрийгээ хэнд ч хэлэлгүй нуух нь түгээмэл үзэгдэл байв. Дель Ферро ч энэ уламжлалаас гажсангүй, нас барахаасаа өмнө өөрийн аргыг тоотой хэдэн хүнд задруулсны дотор түүний хүргэн Аннибал Нав, шавь Антонио Фиор нар багтаж байв. Үүнээс Нав нь дель Феррогийн хуучин ажлыг авсан бол, Фиор нь «би куб тэгшитгэлийг бодож чадна» гэж онгирон, энд тэнд халз тулаан хийж, нэр алдраа цуурайтуулж эхлэв. Ингээд хэдэн жил өнгөрсний дараа Бреша хотын Тарталья нэртэй нэг сайн математикч байна гэдгийг Фиор сонсоод Тартальяг халз тулаанд дуудаж, бие биендээ гуч гучин бодлого өгөөд, 40–50 хоногийн дараа хэн нь олон бодлого бодсоноороо ялагчаа тодруулъя гэж тохиролцов. Тарталья төрөл бүрийн 30 бодлого дэвшүүлсэн бол, Фиорын дэвшүүлсэн бодлогууд бүгд (1) хэлбэрийн куб тэгшитгэлүүд байсан.

Бреша хотын Тарталья гэгч хэн байв? Яг үнэндээ түүний жинхэнэ нэр нь Никколо Фонтана (1499–1557) боловч «Тарталья» буюу «Ээрүү» гэсэн хочоороо алдаршсан хүн байжээ. Тэрбээр Бреша хотын нэгэн ядуу гэр бүлд төрсөн ба 6 настай байхад нь аав нь хүний гарт үрэгдсэнээс болоод гуйлгачны амьдралаар өсөж торниход хүрсэн. Түүгээр ч барахгүй 1512 онд Францын цэрэг Бреша хотод хядлага үйлдэх үеэр нүүрээ цавчуулж, үхэх шахсан боловч ээжийнхээ уйгагүй асралаар амь гарч, амныхаа хэсгээр эвгүй том сорвитой үлдсэнээс маш их ээрч ярьдаг болсон аж. Тарталья уншиж бичих, тоо бодохыг өөрөө сурсан бөгөөд авъяас чадварыг нь үнэлэх ивээн тэтгэгч олж, Падуя хотод дээд боловсрол эзэмшсэн. Ингээд энд тэнд математикийн багш хийж явж байгаад 1534 оноос Венец хотод суурьшжээ.

Одоо Фиор–Тартальягийн халз тулаан руугаа эргэж орвол, Фиорын өгсөн 30 бодлогыг Тарталья ихэд сандарсан байдалтай өдөр шөнөгүй нухаж байгаад, болзсон хугацаанаас дөнгөж 7–8 хоногийн өмнө буюу 1535 оны 2 сарын 12-ны шөнө (1) хэлбэрийн куб тэгшитгэлүүдийг бодох ерөнхий аргыг олсон байна. Тэгээд Фиорын 30 бодлогыг 2 цагийн дотор бодож дуусгасан ба, халз тулааны өдөр ирэхэд Фиорт бодсон бодлого бараг байгаагүй тул Тартальягийн цэвэр ялалтаар өндөрлөв. Куб тэгшитгэлийг бодох арга байхгүй гэж Лука Пачолийн бичсэнд бат итгэж байсан олон хүнийг Тартальягийн ялалт цочирдуулсны дотор нилээд нэр хүндтэй эрдэмтэн Жероламо Кардано багтаж байв. Кардано тэр үед математикийн ном бичиж байсан ба номондоо Тартальягийн аргыг оруулъя гэж Тартальягаас гуйсанд цаадах нь би өөрөө бас ном бичиж байгаа гээд ер халгаасангүй. Кардано бууж өгсөнгүй, Милан хотын нөлөө бүхий баян хүнтэй танилцуулна гэж Тартальяг гэртээ урьж авчраад, та өөрийнхөө номонд оруул, би хэнд ч хэлэхгүй, үхэхдээ авсандаа хамт авч орно гэсэн тангараг өргөж, хэд хоног амттан шимттэнд умбуулж, янз бүрээр ятгасаар байгаад нэг юм ам алдуулсан байна. Яг ам алддаг өдөр нь 1539 оны 3 сарын 25 гэж тэмдэглэгдэж үлдсэн байдаг. Тарталья тэр үед (1) хэлбэрийнхээс гадна

\displaystyle  x^3+c=bx, \qquad x^3=bx+c \ \ \ \ \ (2)

хэлбэрийн куб тэгшитгэлүүдийг бодох аргыг бас олчихсон байсан ба эдгээр 3 хэлбэрийг бодох 3 аргыг шүлэг хэлбэрээр Карданод хэлж өгсөн. Одоогийн бидний нүдээр харвал энд үнэндээ 3 тохиолдол биш, ганц л тохиолдол байгаа: Хэрэв {b}, {c} коэффициентүүд сөрөг байж болно гэвэл эдгээр 3 хэлбэр хоорондоо нэгдэнэ. Тэр жилээ Кардано «Арифметикийн практик» нэртэй номоо хэвлүүлсэн ба үүндээ Тартальягийн аргын талаар ер дурдаагүй.

Жероламо Карданы (1501–1576) намтар математикийн түүхэнд хамгийн хачин жигтэй намтар байж мэднэ. Хоорондоо гэр бүл болоогүй хосод олдсон түүнийг хэвлийдээ байхад нь ээж нь үр зулбуулах олон аргыг хэрэглээд хараахан зулбуулж чадаагүй бөгөөд байнга өвчин зовлонд ороогдсон, маш сул биетэй хүн болж төрсөн. Аав нь хуульч боловч дээд сургуульд хичээл заах хэмжээний математикийн мэдлэгтэй байсан тул түүнд математик анх зааж өгсөн аж. Тэрбээр Павия болон Падуягийн их сургуулиудад анагаах ухаанаар суралцаж, 1525 онд төгсөөд хувийн эмнэлэг нээсэн нь бүтэлгүйтэж, мөрийтөй тоглоомонд бүх хөрөнгөө өгөөд, сүүлдээ гудамжинд гарсан. Ингэж байгаад 1534 оны орчим Милан хотод математикийн багш хийх болсон ба заваараа өвчтөн үзэж, нөлөө бүхий олон хүнийг өвчнөөс ангижруулснаар Карданы нөлөө ч өсч, амьдрал нь ч сайжирч эхэлсэн байна. Кардано амьдралынхаа туршид анагаах ухаан, биологи, хими, геологи, физик, механик, одон орон, зурхай, философи, криптограф, математик зэрэг сэдвээр 200 гаруй ном бичсэн. Үүн дотор Кардан дамжуулгыг оролцуулаад төрөл бүрийн механик төхөөрөмжүүдийг зохион бүтээсэн, магадлалын онолыг үндэслэсэн, комплекс тоон дээр анх тооцоо хийсэн зэрэг ололтуудыг дурдаж болно. Тэрбээр дэлхийн хамгийн шилдэг эмч, шилдэг математикч, шилдэг эрдэмтэн гэсэн алдрыг зүүж, Ромын Папаас эхлүүлээд энд тэндхийн хаад ноёд, ихэс дээдсийг уригдан эмчилж, олны дунд шагшигдан магтагддаг байв. Гэвч дотор эрхтнүүд нь өвдөж тарчлаадаг, өтгөн шингэн нь цустай гардаг, гэнэт гэнэт биенд нь том том нүх гаран идээ бээр гоождог, заримдаа 8 хоногоор нойр нь хүрдэггүй зэрэг зовлонгууд түүнийг байнга дагаж явсан. Сүүлдээ хааяа нэг биед нь ямар нэг өвдөлт мэдрэгдэхгүй үе тохиолдвол Кардано өөрийгөө зориуд өвтгөж байж санаа амардаг болсон. Биеийн шаналал дээр нэмээд, эхнэр нь 3 хүүхэд гаргаад залуу байхдаа өнгөрсөн, том хүү нь эхнэртээ хор өгч алаад өөрөө цаазаар авахуулсан, бага хүү нь гэмт хэргийн замаар орж шоронгийн хаалга байнга татах болсон, өөрөө хижээл насандаа шашны асуудлаар шоронд орсон, ганц хайртай гарын шавь (Феррари) нь атаа жөтөөнд автсан гэрийнхэндээ хорлогдож нас эцэслэсэн зэрэг нь түүнийг сэтгэлийн шаналалаас хэзээ ч чөлөөлсөнгүй. Кардано амьдралынхаа сүүлийн 5–6 жилийг ач хүүтэйгээ хамт Ромын Папын ивээл дор өөрийн намтрыг бичиж өнгөрүүлсэн. Намтартаа сүүлийн жилүүдийнхээ талаар дурдаагүй тул зовлон гачлангаар дүүрэн амьдралынх нь төгсгөлд ач хүү нь түүнд бага ч гэсэн баяр жаргалыг авчирсан гэдэгт итгэх л үлдэнэ. Тэрбээр өөрийн нас барах өдрийг зурхайн аргаар урьдчилж хэлсэн ба үүнийгээ үнэн болгохын тулд амиа хорлосон гэдэг.

1535 онд Кардано (1) болон (2) хэлбэрийн куб тэгшитгэлүүдийг бодох аргыг Тартальягаас сурч авсныг дээр дурдсан. Үүн дээр дөрөөлөөд, Кардано өөрийн шавь Лодовико Ферраритай (1522–1565) хамтран, дурын

\displaystyle  x^3+ax^2+bx=c \ \ \ \ \ (3)

хэлбэрийн куб тэгшитгэлийн бодох аргыг олсноор барахгүй, 4 зэргийн тэгшитгэлийг ч бодож чаддаг болов. Түүнчлэн, Тарталья өөрийн аргуудыг яаж гаргаж авснаа хэлээгүй, зөвхөн яаж ашиглахыг нь л зааж өгсөн бол, Тартальягийн аргуудыг яаж гаргаж авах, эдгээр аргууд яагаад зөв үр дүн өгөөд байгааг тайлбарлах онолыг Кардано боловсруулсан. Кардано, Феррари хоёр энэ бүх нээлтүүдээ ном болгож хэвлүүлмээр байсан ч, Тартальяд өгсөн амлалтаасаа болоод яаж ч чадахгүй гацчихаад байж байтал нэг санаандгүй явдал болов. Тэр хоёр 1543 онд Болоний их сургуульд айлчилж, тэндхийн багш Аннибал Наваас түүний хадам аав дель Ферро зарим куб тэгшитгэлийг бодох аргыг нээсэн талаар сонсож, Навын хадгалж байсан дель Феррогийн тэмдэглэлийн дэвтрээс энэ нь Тартальягийн аргатай үндсэндээ адил арга болохыг тогтоов. Кардано мухардлаас гарах гарцыг ийнхүү олов: Нэгэнт дель Ферро (1) хэлбэрийн тэгшитгэлийг бодох аргыг Тартальягаас түрүүлж нээсэн бөгөөд энэ аргыг нь дель Феррогийн дэвтрээс Кардано сурсан нь үнэн тул, Тартальяд өгсөн амлалтаасаа буцалгүйгээр, куб тэгшитгэл бодох аргуудыг олонд түгээх боломж бүрдэж ирнэ. Ингээд Кардано квадрат, куб болон 4 зэргийн тэгшитгэлийг бодох ерөнхий аргуудыг гаргалгаатай нь хамт тайлбарласан «Агуу урлаг» бүтээлээ 1545 онд хэвлүүлэв. Энэхүү бүтээл нь Николай Коперникийн (1473–1543) «Тэнгэрийн бөмбөлгүүдийн эргэлтэнд», Андреас Везалийн (1514–1564) «Хүний биеийн бүтэц» бүтээлүүдтэй хамтаар сэргэн мандлын үеийн шинжлэх ухааны 3 өндөрлөгт тооцогддог. Аль Хорезм, дель Ферро, Тарталья, Феррари нарын нэрсийг Кардано зохих газарт нь харамгүй дурдаж, одоогийн стандартаар бол хэн ч гомдохооргүй болгосон боловч, энэ номыг үзээд Тарталья маш ихээр уурсаж, боломжит бүх сувгаар Карданог довтолж эхэлсэн. Гэвч үүнд нь Кардано өөрөө хариу үйлдэл үзүүлсэнгүй, авъяаслаг шавь Ферраригаа өмнөөс нь «тавьсан» ба сүүлдээ Феррари, Тарталья хоёр халз тулаанд орж, энэ нь Тартальягийн гутамшигтай ялагдлаар өндөрлөсөн.

Куб тэгшитгэлийг бодох арга одоо үед «Карданы томъёо» нэрээр алдаршсан боловч «дель Ферро – Тарталья – Карданы томъёо» гэж нэрлэх нь илүү зохимжтой. Түүнчлэн, тэр үеийн математикчид комплекс тоо байтугай сөрөг тооноос хүртэл ихэд халгадаг байсан тул Карданы арга нь маш олон тохиолдлуудад салдаг, куб тэгшитгэл яг хэдэн шийдтэй байх тал дээр тодорхой юм хэлдэггүй, 3 бодит шийдтэй тохиолдолд гацдаг зэрэг дутагдлуудтай байсныг нь Рафаэль Бомбелли (1526–1572), Франсуа Виет (1540–1603), Жон Колсон (1680–1760) нар өөрсдийн судалгаагаар бүрэн засаж төгөлдөржүүлсэн. Одоо бид энэ төгөлдөр хэлбэрийг нь орчин үеийн математик хэрэглэн (ө.х. сөрөг болон комплекс тоонуудаас айж цэрвэлгүйгээр) тайлбарлах гэж оролдъё.

Куб тэгшитгэлийн дискриминант

Юуны өмнө, ерөнхий

\displaystyle  z^3+az^2+bz=c \ \ \ \ \ (4)

хэлбэрийн тэгшитгэлд

\displaystyle  z=y+k \ \ \ \ \ (5)

маягийн орлуулга хийж үзвэл

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  z^3+az^2+bz &=& y^3 + 3ky^2+3k^2y+k^3 + ay^2+2aky+ak^2+by+bk \\ &=& y^3 + (3k+a)y^2+(3k^2+2ak+b)y +k^3 +ak^2+bk \end{array}

болох тул {k=-a/3} гэж авснаар {y^2}-ын өмнөх коэффициент устаж,

\displaystyle  y^3+\beta y=\gamma \ \ \ \ \ (6)

гэсэн хураангуй хэлбэрт шилжинэ. Үүнд

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \beta &=& 3k^2+2ak+b = b - \frac{a^2}3 , \\ \gamma &=& c - (k^3+ak^2+bk) = c + \frac{ab}3 - \frac{2a^3}{27} . \end{array}

Мэдээж (5) хувиргалт нь {k} гэсэн ганц чөлөөт параметртэй тул ерөнхий тохиолдолд энэ хувиргалтаар куб тэгшитгэлийн 2 коэффициентийг зэрэг устгах боломж байхгүй.

  • Гэхдээ {a^2=3b} байх «азтай» тохиолдолд {\beta=0} болно. Өөрөөр хэлбэл, анхны (4) тэгшитгэлээс «бүтэн куб» ялгарах бөгөөд, (6) тэгшитгэл маань {y=\sqrt[3]{\gamma}} гээд шууд бодогдоно.
  • Хэрэв {\beta\neq0} бол эерэг сөргөөс нь хамааруулан {\beta=\pm r^2} гэж бичээд, {y=rx} гэсэн орлууга хийвэл (6) тэгшитгэл

    \displaystyle  r^3x^3\pm r^3x = \gamma

    буюу

    \displaystyle  x^3\pm x = d

    хэлбэрт орно. Үүнд {d={\gamma}/r^3}.

Дүгнэвэл, бүтэн куб ялгардаг, эсвэл квадрат тэгшитгэлд шууд шилждэг куб тэгшитгэлүүдийг «тривиаль» тэгшитгэлүүд гэвэл, тривиаль биш ямар ч куб тэгшитгэлийг дараах хоёр хэлбэрийн аль нэгэнд нь шилжүүлж болно:

\displaystyle  x^3+x = d ,\qquad x^3-x = d .

Дасгал 1. Үнэндээ, {x^3+x=d} хэлбэрийн тэгшитгэлийг {x\mapsto \frac1{x+k}} маягийн хувиргалтаар {x^3-x=d} хэлбэрт шилжүүлж болно.

Зураг дээрээс харахад,

  • {x^3+x=d} хэлбэрийн тэгшитгэл үргэлж цор ганц бодит шийдтэй.
  • {x^3-x=d} хэлбэрийн тэгшитгэл үргэлж бодит шийдтэй боловч, бодит шийдийн тоо нь 1, 2, эсвэл 3 байж болно.

Эхний өгүүлбэр нь {f(x)=x^3+x} функц эрс өсөх бөгөөд {x\rightarrow\pm\infty} үед {f(x)\rightarrow\pm\infty} гэдгээс шууд мөрдөнө. Сүүлийн өгүүлбэр нь {g(x)=x^3-x} функцийн өсөх буурах завсруудыг шинжилснээр гарч ирнэ. Тухайлбал, {g} функц нь

\displaystyle  x_{-} = -\frac1{\sqrt3}, \qquad x_{+} = \frac1{\sqrt3}

цэгүүд дээр локаль максимум, минимум утгуудаа авах ба, эдгээр утгууд нь

\displaystyle  g(x_\pm) = \mp\frac2{3\sqrt3} .

Тэгэхээр {x^3-x=d} тэгшитгэл

  • {|d|>\frac2{3\sqrt3}} үед 1 бодит шийдтэй,
  • {|d|=\frac2{3\sqrt3}} үед 2 бодит шийдтэй,
  • {|d|<\frac2{3\sqrt3}} үед 3 бодит шийдтэй.

Эдгээр нөхцлүүд (6) тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн тусламжтайгаар харгалзан

\displaystyle  \frac{\gamma^2}{4} + \frac{\beta^3}{27} > 0, \qquad \frac{\gamma^2}{4} + \frac{\beta^3}{27} = 0, \qquad \frac{\gamma^2}{4} + \frac{\beta^3}{27} < 0, \ \ \ \ \ (7)

гэж илэрхийлэгдэнэ. Үүнд {d=\gamma/r^3} ба {\beta=-r^2} гэдгээс

\displaystyle  d^2 = \frac{\gamma^2}{r^6} = -\frac{\gamma^2}{\beta^3} ,

болохыг ашигласан. Өөрөөр хэлбэл, (6) тэгшитгэлийн дискриминант гэгддэг

\displaystyle  D=\frac{\gamma^2}{4} + \frac{\beta^3}{27} \ \ \ \ \ (8)

хэмжигдэхүүний тусламжтайгаар, {\beta<0} үед (6) тэгшитгэлийн 1, 2, 3 ширхэг бодит шийдтэй байхыг {D>0}, {D=0}, {D<0} нөхцлүүдийн аль нь биелэхийг шалгаснаар шууд таньж болно. Харин {\beta>0} үед (6) тэгшитгэл үргэлж цор ганц бодит шийдтэй байдгийг бид мэднэ. Нөгөө талаас, энэ үед үргэлж {D>0} тул дээрх шалгууртай нийцтэй байна. Эцэст нь, {\beta=0} үед (6) тэгшитгэл {y^3=\gamma} хэлбэрт орох ба, {D=\gamma^2/4} тул, {D>0} үед ганц бодит шийдтэй гэсэн дээрх шалгууртай нийцтэй. Харин {D=0} үед шалгуур маань 2 бодит шийдтэй гэж хэлэх боловч (6) тэгшитгэл үнэндээ ганц л бодит шийдтэй. Иймд ерөнхий тохиолдолд, дараах шалгуур гарч ирнэ.

  • {D>0} үед (6) тэгшитгэл 1 бодит шийдтэй.
  • {D<0} үед (6) тэгшитгэл 3 бодит шийдтэй.
  • {D=0} ба {\beta\neq0} үед (6) тэгшитгэл 2 бодит шийдтэй.
  • {D=0} ба {\beta=0} үед (6) тэгшитгэл 1 бодит шийдтэй.

Дель Ферро – Тарталья – Кардано – Колсон

Энэ хэсэгт (6) хэлбэрийн «хураангуй» тэгшитгэлийг бодох дель Ферро – Тарталья – Карданы томъёог гаргана. Үүний тулд {\beta\neq0} гэж үзээд, {\beta=3p} ба {\gamma=2q} гэсэн тэмдэглэгээнүүд оруулан, тэгшитгэлээ

\displaystyle  x^3+3px=2q \ \ \ \ \ (9)

гэж бичье. Тэгвэл дискриминант нь {D=p^3+q^2} гэсэн арай хялбар хэлбэрт орно. Одоо

\displaystyle  x=u+v

гэж аваад, (9) тэгшитгэлийн зүүн гар талыг тооцвол

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  x^3+3px &=& u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+3p(u+v) \\ &=& u^3+v^3+3(uv+p)(u+v) \end{array}

тул, тэгшитгэл маань

\displaystyle  u^3+v^3+3(uv+p)(u+v)=2q \ \ \ \ \ (10)

болж хувирна. Үүнийг хялбарчлах үүднээс

\displaystyle  uv+p=0 \ \ \ \ \ (11)

гэсэн нөхцөл оруулбал дээрх тэгшитгэл

\displaystyle  u^3+v^3=2q \ \ \ \ \ (12)

болох ба, (11) нөхцлөөс {v=-p/u} гэж олоод, тэгшитгэлдээ орлуулснаар

\displaystyle  u^3-\frac{p^3}{u^3}=2q \ \ \ \ \ (13)

буюу

\displaystyle  u^6-2qu^3-p^3=0 \ \ \ \ \ (14)

гэсэн тэгшитгэл гарч ирнэ. Энэ тэгшитгэл нь {u^3}-ийн хувьд квадрат тэгшигтэл бөгөөд шийд нь

\displaystyle  u^3 = q\pm\sqrt{q^2+p^3} = q\pm\sqrt{D} . \ \ \ \ \ (15)

Түүнчлэн

\displaystyle  (q-\sqrt{D})(q+\sqrt{D}) = q^2-D^2 = - p^3 \ \ \ \ \ (16)

гэдгээс

\displaystyle  v^3 = - \frac{p^3}{u^3} = - \frac{p^3}{q\pm\sqrt{D}} = q\mp\sqrt{D} \ \ \ \ \ (17)

тул алдарт Карданы томъёо гарлаа:

\displaystyle  \boxed{x = u + v = \sqrt[3]{q+\sqrt{D}} + \sqrt[3]{q-\sqrt{D}}.} \ \ \ \ \ (18)

Гэхдээ энд орсон 2 куб язгуур нь үнэндээ {u}, {v} хувьсагчдыг төлөөлж байгаа, эдгээр нь {uv=-p} гэсэн нөхцлийг хангах ёстойг анхаарах хэрэгтэй. Тэгэхээр (18) томъёо ерөнхий тохиолдолд 9 биш, 3 өөр утга л өгнө. Үүнийг тодруулъя.

  • {q+\sqrt{D}} тооны нэг куб язгуурыг {A} гэж тэмдэглэвэл, нөгөө 2 куб язгуур нь {\omega A} ба {\omega^2A}. Үүнд {\omega=-\frac1{2}+\frac{\sqrt3}{2}i} ба {\omega^2=-\frac1{2}-\frac{\sqrt3}{2}i} нь 1-ийн куб язгуурууд.
  • Одоо {A} тоогоо бэхэлчихвэл, {q-\sqrt{D}} тооны куб язгууруудын дотроос {AB=-p} байх {B} гэсэн утга ганц л олдоно. Учир нь {p\neq0} тул нөгөө хоёр утгуудынх нь хувьд {A(\omega B)=-\omega p\neq p} ба {A(\omega^2B)=-\omega^2p\neq p}.
  • Дээрх шаардлагыг хангах {A}, {B} хос олдсон бол, {\omega A}, {\omega^2 B} ба {\omega^2A}, {\omega B} гэсэн хосууд бас тэр шаардлагыг хангана.

Иймд (18) томъёо нь

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  x_1 &=& A + B , \\ x_2 &=& \omega A + \omega^2B , \\ x_3 &=& \omega^2A + \omega B , \end{array}

гэсэн 3 шийд өгнө гэсэн үг. Үүний учрыг анх олсон хүн бол Английн математикч Жон Колсон (1680–1760) юм.

Жишээ 2. Жишээ болгоод

\displaystyle  x^3+6x=20

тэгшитгэлийг авч үзье. Энд {p=2}, {q=10} байгаа. Дискриминантыг нь бодвол

\displaystyle  D = p^3+q^2 = 108

ба, {q+\sqrt{D}=10+6\sqrt3} хэмжигдэхүүний бодит куб язгуурыг

\displaystyle  A = \sqrt[3]{10+6\sqrt3}

гэвэл,

\displaystyle  B = - \frac{p}{A} = - \frac{2}{\sqrt[3]{10+6\sqrt3}} = \sqrt[3]{10-6\sqrt3}

нь {q-\sqrt{D}=10-6\sqrt3} хэмжигдэхүүний бодит куб язгуур болно. Тэгэхээр манай тэгшитгэлийн шийдүүд

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  x_1 &=& A + B = \sqrt[3]{10+6\sqrt3} + \sqrt[3]{10-6\sqrt3} , \\ x_2 &=& \omega A + \omega^2B = \big(-\frac1{2}+\frac{\sqrt3}{2}i\big) \sqrt[3]{10+6\sqrt3} - \big(\frac1{2}+\frac{\sqrt3}{2}i\big) \sqrt[3]{10-6\sqrt3} , \\ x_3 &=& \omega^2A + \omega B = -\big(\frac1{2}+\frac{\sqrt3}{2}i\big) \sqrt[3]{10+6\sqrt3} + \big(-\frac1{2}+\frac{\sqrt3}{2}i\big) \sqrt[3]{10-6\sqrt3} . \end{array}

Жишээ 3. 1572 онд хэвлүүлсэн «Алгебр» бүтээлдээ Рафаэль Бомбелли (1526–1572) дараах жишээг авч үзсэн:

\displaystyle  x^3 - 15x = 4 . \ \ \ \ \ (19)

Энд

\displaystyle  D = p^3+q^2 = (-5)^3+2^2=-121 < 0

тул бид {q\pm\sqrt{D}=2\pm11i} гэсэн комплекс тооноос куб язгуур авах шаардлагатай болно. Бомбелли

\displaystyle  \sqrt[3]{2 \pm11i}=2 \pm i

гэж таагаад, үүнийгээ

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  (2 \pm i)^3 &=& 2^3 \pm 3\cdot2^2\cdot i + 3\cdot2\cdot i^2 \pm i^3 \\ &=& 8 \pm 12i + 6\cdot(-1) \pm (-i) \\ &=& 2 \pm 11i , \end{array}

маягаар шууд шалгасан. Өөрөөр хэлбэл,

\displaystyle  A = 2+i, \qquad B = 2-i ,

гэвэл,

\displaystyle  A^3 = 2+11i, \qquad B^3 = 2-11i , \qquad AB = 5 = -p ,

болно. Тэгэхээр (19) тэгшитгэлийн эхний шийд нь

\displaystyle  x_1 = A + B = (2 + i) + (2 - i) = 4 ,

хоёрдахь шийд нь

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  x_2 &=& \omega A + \omega^2B = \big(-\frac1{2}+\frac{\sqrt3}{2}i\big)(2 + i) - \big(\frac1{2}+\frac{\sqrt3}{2}i\big)(2-i) \\ &=& -\frac1{2}\cdot4 + \frac{\sqrt3}{2}i\cdot2i = -2 - \sqrt3 , \end{array}

гуравдахь шийд нь

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  x_3 &=& \omega^2 A + \omega B = - \big(\frac1{2}+\frac{\sqrt3}{2}i\big)(2 + i) + \big(-\frac1{2}+\frac{\sqrt3}{2}i\big)(2-i) \\ &=& -\frac1{2}\cdot4 - \frac{\sqrt3}{2}i\cdot2i = -2 + \sqrt3 , \end{array}

гэсэн үг. Энд яагаад хуурмаг хэсгүүд нь яг таарч устаад байна вэ гэвэл {A}, {B} тоонууд хоорондоо комплекс хосмог учраас {\omega A}, {\omega^2 B} ба {\omega^2A}, {\omega B} бас хос хосоороо хосмог байх ёстой. Куб тэгшитгэл 3 бодит шийдтэй үед дискриминант нь сөрөг ({D<0}) учир Карданы томъёонд комплекс тоо зайлшгүй гарч ирдэг явдал нь комплекс тоонуудын чухлыг илтгэсэн анхны жишээ болсон юм.

Дасгал 4. Дараах тэгшитгэлийг бод:

\displaystyle  x^3 + 6x^2 + 3x + 18 = 0 .

Виет

Куб тэгшитгэл 3 бодит шийдтэй бол дискриминант нь сөрөг ({D<0}) байдгийг бид мэднэ. Үүнийг үл задрах тохиолдол гэж нэрлэдэг ба энэ тохиолдолд Карданы (18) томъёог хэрэглэх гэвэл, {q\pm\sqrt{D}} гэсэн комплекс тооноос куб язгуур авах шаардлага гарч ирнэ. Үнэндээ, комплекс тооны тухай ойлголт бүрэлдэн тогтоогүй байсны улмаас үл задрах тохиолдолд Кардано өөрийн томъёог хүчингүй гэж боддог байв. Хэрэв комплекс тоонуудаас «айхгүй» бол Карданы томъёо нь үнэндээ ямар ч тохиолдолд хүчинтэй юм гэдгийг (өмнөх жишээнд өгүүлснээр) Бомбелли анх таамаглаж, Колсон баталсан. Энэ хооронд, куб тэгшитгэлийн үл задрах тохиолдлыг Франсуа Виет (1540–1603) тригонометр ашиглан бүрэн шийдэж, «Хос бүтээл» (1615) номондоо хэвлүүлжээ.

Виетийн аргын гарааны цэг нь

\displaystyle  \cos3\theta =4\cos^3\theta-3\cos\theta \ \ \ \ \ (20)

гэсэн гурвалсан өнцгийн томъёо юм. Эндээс харахад, хэрэв {|Q|\leq1} бол,

\displaystyle  4x^3-3x=Q \ \ \ \ \ (21)

тэгшитгэл

\displaystyle  x = \cos\big(\frac13\arccos Q\big) \ \ \ \ \ (22)

томъёогоор шууд бодогдох нь. Тодруулбал, (21) тэгшитгэлд {x=\cos\theta} гэсэн орлуулга хийвэл

\displaystyle  Q=4x^3-3x=4\cos^3\theta-3\cos\theta=\cos3\theta \ \ \ \ \ (23)

хэлбэрт шилжинэ. Үүнийг бодохын тулд {\cos\alpha=Q} тэгшитгэлийн бүх шийдийг

\displaystyle  \alpha = \pm\alpha_0 + 2\pi n , \qquad n\in{\mathbb Z} ,

гэж бичвэл, {\cos3\theta=Q} тэгшитгэлийн бүх шийд

\displaystyle  \theta = \frac\alpha3=\pm\frac{\alpha_0}3 + \frac{2\pi n}3 , \qquad n\in{\mathbb Z} ,

болно.

cos α = Q тэгшитгэл.

Одоо {x}-ийг олохын тулд үүнээс косинус авах хэрэгтэй ба, энэ үед косинус функцийн чанараас болоод олон утгууд давхардаж гарч ирнэ. Тухайлбал,

\displaystyle  \cos\big(-\frac{\alpha_0}3 + \frac{2\pi n}3\big) = \cos\big(\frac{\alpha_0}3 - \frac{2\pi n}3\big)

тул

\displaystyle  \theta = \frac{\alpha_0}3 + \frac{2\pi n}3 , \qquad n\in{\mathbb Z} ,

гэж авч болно. Цаашилбал, косинус функцийн үе нь {2\pi} тул энд {n=0,1,2} утгуудыг авахад хангалттай. Дүгнэвэл, {\cos\alpha=Q} тэгшитгэлийн нэг шийд {\alpha_0} бол, (21) тэгшитгэлийн шийдүүд

\displaystyle  x_1 = \cos\big(\frac{\alpha_0}3\big), \qquad x_2 = \cos\big(\frac{\alpha_0+\pi}3\big), \qquad x_3 = \cos\big(\frac{\alpha_0+2\pi}3\big), \ \ \ \ \ (24)

гэж олдоно.

Эцэст нь, үл задрах куб тэгшитгэл бүрийг Виетийн (21) хэлбэрт оруулж болох уу гэсэн асуудлыг сонирхъё. Үүний тулд хураангуй (6) хэлбэрээ {\beta=-r^2} тэмдэглэгээ оруулан

\displaystyle  y^3 - r^2y = \gamma \ \ \ \ \ (25)

маягтай бичвэл, үл задрах тохиолдол нь

\displaystyle  D = \frac{\beta^3}{27} + \frac{\gamma^2}4 = \frac{\gamma^2}4 - \frac{r^6}{27} < 0

нөхцлөөр тодорхойлогдоно. Энд {y=kx} гэсэн орлуулга хийвэл {k^3x^3-r^2kx = \gamma} буюу

\displaystyle  4x^3-\frac{4r^2}{k^2}x = \frac{4\gamma}{k^3}

хэлбэрт шилжих ба, {\frac{4r^2}{k^2}=3} нөхцлөөс

\displaystyle  k = \frac{2r}{\sqrt3} , \qquad \frac{4\gamma}{k^3} = \frac{3\sqrt3\gamma}{2r^3}

гэж олдоно. Өөрөөр хэлбэл, (25) тэгшитгэл

\displaystyle  4x^3-3x=\frac{3\sqrt3\gamma}{2r^3}

тэгшитгэлтэй эквивалент. Үүнийг Виетийн аргаар бодъё гэвэл

\displaystyle  \frac{3\sqrt3|\gamma|}{2r^3}\leq1 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{\gamma^2}4\leq \frac{r^6}{27} \qquad\Longleftrightarrow\qquad D\leq0

нөхцөл биелэх шаардлагатай. Дүгнэвэл, Виетийн тригонометр арга нь үл задрах тохиолдолд л ажилладаг, Карданы томъёог «нөхдөг» арга байх нь.

Виетийн аргын «цаадах» шалтгаан нь мэдээж Абрахам де Муаврын (1667–1754)

\displaystyle  \cos n\theta + i\sin n\theta = (\cos\theta+i\sin\theta)^n

болон их багшийн

\displaystyle  e^{i\theta} = \cos\theta+i\sin\theta

томъёонуудтай холбоотой.

Дасгал 5. Дараах тэгшитгэлийг Виетийн аргаар бод:

\displaystyle  x^3 - 3x + 1 = 0 .

Дасгал 6. Шууд {y=k\cos\theta} орлуулгыг (25) тэгшитгэлд хэрэглэн Виетийн аргыг гарга.

Омар Хайям (1048–1131). Сципион дель Ферро (1465–1526). Никколо Тарталья (1499–1557). Жероламо Кардано (1501–1576).

This entry was posted in Алгебр and tagged , , , , , , , , . Bookmark the permalink.

Хариу Үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Та WordPress.com гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Google photo

Та Google гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Twitter picture

Та Twitter гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Facebook photo

Та Facebook гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Connecting to %s