Квадрат тэгшитгэл

Одоогоос дөрвөн мянгаад жилийн өмнө эртний Египтчүүд {ax^2=c} маягийн тэгшитгэлийг, тэдэнтэй нэг цаг үеийн Вавилончууд {x(b\pm x)=c} маягийн квадрат тэгшитгэлүүдийг бодож чаддаг байсан ул мөр бий. Үүнээс хойш квадрат тэгшитгэлийн талаарх ойлголт яаж хөгжсөн, энэ нь алгебр гэсэн шинэ салбарыг төрүүлээд зогсохгүй орчин үеийн математикийн тэмдэглэгээг үүсэхэд хэрхэн нөлөөлснийг товч өгүүлье.

  • МЭӨ 300–500 оны үеийн «Таттварха-сутра» зэрэг эртний Энэтхэг судруудад квадрат тэгшитгэлийг геометр аргаар бодсон жишээнүүд тохиолддог.
  • Евклидийн «Эхлэл» болон «Өгөгдөл» (МЭӨ 300 оны орчим) бүтээлд Вавилоны {x(b\pm x)=c} тэгшитгэлүүдийг (шулуун ба тойргийн огтлолцлыг олох бодлогод шилжүүлэн) геометр аргаар бодсон буй.
  • Эртний Хятадын «Есөн бүлэгт тооны урлаг» бүтээл (МЭӨ 2-р зуун) болон түүн дээр Лю Хуэйгийн нэмсэн тэмдэглэлд (МЭ 3-р зуун) {x^2+bx=c} маягийн хэд хэдэн тэгшитгэлийг бодсон байдаг.
  • Бахшалийн гар бичмэлд (МЭ 3-р зуун) квадрат тэгшитгэл бодсон жишээ бий.
  • Диофантын «Арифметик» (МЭ 250 оны орчим) бүтээлд эерэг коэффициенттэй, эерэг шийдтэй байж болох бүх төрлийн квадрат тэгшитгэлийг бодсон жишээнүүд бий. Гэхдээ ерөнхий аргын талаар нэг ч үг дурдаагүй, зөвхөн эерэг рациональ шийдүүдийг л авч үзсэнээс гадна квадрат тэгшитгэл хоёр шийдтэй байж болох талаар ойлголттой байсан шинж байхгүй.
  • Энэтхэгийн математикч Ариабхата (МЭ 476–550) арифметик прогрессыг судлах явцдаа (өөрөө мэдэлгүйгээр) ерөнхий коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийг бодсон.
  • Түүнчлэн, Брахмагупта (МЭ 598–668) тэг болон сөрөг тоотой ажиллах дүрмүүдийг түүхэнд анх удаа боловсруулж, квадрат тэгшитгэлийг бодох ерөнхий аргыг томъёолсон. Квадрат тэгшитгэл хоёр шийдтэй байж болно гэдгийг Брахмагупта мэддэг байсан бөгөөд сөрөг болон иррациональ шийдүүдийг ч авч үзсэн. Гэхдээ тэр үед сөрөг тооноос квадрат язгуур авдаггүй байсан учраас мэдээж комплекс шийдтэй тохиолдлуудыг орхигдуулсан.

Бүр эртний математикт одоогийнх шиг «томъёо» гэсэн ойлголт байхгүй, бүх зүйлийг үгээр тайлбарладаг байсан бол, Диофант, Брахмагупта нар алгебрын тооцоог ихээр хялбарчилсан тэмдэглэгээнүүдийг оруулж ирснээрээ онцлогтой. Жишээлбэл,

\displaystyle  x^2-2x-3=2

гэсэн тэгшитгэл Диофантын тэмдэглэгээгээр

\displaystyle  \Delta\!^\gamma\bar\alpha\Psi\varsigma\bar\beta M\bar\gamma\iota\sigma M\bar\delta

болно. Үүнд

  • {\Delta\!^\gamma} нь үл мэдэгдэгчийн квадрат зэрэг (ө.х. {x^2}),
  • {\varsigma} нь үл мэдэгдэгчийн дан зэрэг (ө.х. {x^1=x}),
  • {M} нь үл мэдэгдэгчийн тэг зэрэг (буюу 1),
  • {\bar\alpha,\bar\beta,\bar\gamma,\bar\delta} нь харгалзан 1, 2, 3, 4 тоонууд,
  • {\iota\sigma} нь «тэнцүү» гэсэн үгийн товчлол,
  • {\Psi} тэмдгийн өмнөх гишүүд эерэг, ардах гишүүд нь бүгд сөрөг (ө.х. өмнөө хасах тэмдэгтэй) гэж тооцогдоно. [Үнэндээ Диофант доошоо харсан {\Psi} тэмдэгтийг хэрэглсэн боловч энэ блог дээр тийм тэмдэгт гаргах боломж олдсонгүй.]

Тэгэхээр дээрх тэгшитгэл

\displaystyle  x^2\cdot1-(x^1\cdot2+x^0\cdot3)=x^0\cdot4

маягтай бичигдэж байна гэсэн үг. Иймэрхүү тэмдэглэгээнүүд нь одоогийнхтой харьцуулахад болхи мэт боловч тэр үедээ том дэвшил байсан байж таараа.

Брахмагупта квадрат тэгшитгэлийг бодох ерөнхий аргыг томъёолсон боловч түүнийгээ яагаад зөв бэ гэдгийг харуулах гэж оролдоогүй. Үүнийг түүхэнд анх хийсэн хүн нь Перс гаралтай Араб эрдэмтэн Мухаммад ибн Муса аль-Хорезм (МЭ 780–850) юм. Тухайн үеийн Арабын эзэнт гүрэн нь Ойрхи Дорнод төдийгүй Газар дундын тэнгисийн эргийн дагуух ихэнх газрыг захирдаг том гүрэн байсан ба Грек, Еврей, Перс, Европ, Энэтхэг гэх мэт олон үндэстний сор эрдэмтдийг цуглуулан эртний бүтээлүүдийг Араб хэлнээ хөрвүүлэх, тайлбар бичих, цааш нь хөгжүүлэх ажлыг улсын хэмжээнд нэг гол зорилгоо болгон хэрэгжүүлдэг байжээ. Энэ их ажлын хамгийн том төв болох Багдад хотын эрдмийн ордонд аль-Хорезм ажилладаг байв (Зарим эх сурвалжид түүнийг Багдад хотын алдарт номын сангийн захирал байсан гэдэг). Тэрбээр МЭ 820 оны орчим бичсэн «Аль-жебр ва-ль-мукабаля» бүтээлдээ квадрат тэгшитгэлийг бодох ерөнхий аргыг томъёолж, түүнийгээ зөв болохыг нь геометр аргаар баталсан. Энэ номны нэрнээс «алгебр» гэсэн үг, зохиогчийнх нь нэрнээс «алгоритм» гэсэн үг үүссэн түүхтэй. Үнэндээ номных нь нэрийг ойролцоолж буулгавал «Тэнцүүгийн тэмдгийн нэг талаас нөгөө тал руу гишүүн шилжүүлэх, төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэх аргаар тооцоо хийх нь» болно.

Эртний Египт, Вавилон, Грек, Энэтхэгийн бүхий л математикийн мэдлэг Арабчуудад нээлттэй байсан боловч аль-Хорезмийн номонд сөрөг тоог огт дурдаагүй, томъёо хэрэглэхгүйгээр бүх зүйлийг зөвхөн үгээр тайлбарлаж бичсэн нь Брахмагупта төдийгүй Диофанттай харьцуулахад ухарсан алхам болсон юм. Тоог тэмдэглэх аравтын систем, үүнтэй уялдуулаад тэг, цаашилбал иррациональ тоонуудтай ажиллах дүрмүүдийг арабчууд Энэтхэгээс зээлж аваад байсан нь аль-Хорезмын номонд илэрдэг. Харин тэгшитгэлийн ангилал, (үл мэдэгдэгчийг «юм» эсвэл «үндэс, язгуур» гэж нэрлэдэг гэх мэт) нэр томъёон дээр ихэнхдээ Диофантыг дагасан байгаа. Үүнд, тэгшитгэлийн шийд нь ч, коэффициент нь ч сөрөг байж болохгүй гэсэн нөхцөл тавиад, аль-Хорезм квадрат тэгшитгэлийг

\displaystyle  ax^2 = bx, \qquad ax^2 = c , \qquad bx = c

ба

\displaystyle  x^2 + bx = c , \qquad x^2 + c = bx , \qquad x^2 = bx + c

гэсэн 6 ангид хуваасан ба, анги тус бүрийн хувьд шийдийг нь олох ерөнхий алгоритмыг томъёолж, алгоритмынхаа зөв болохыг геометр байгуулалт ашиглан тайлбарласан байдаг. Үүний сүүлийн алхам нь Диофантын биш, Евклидийн төрлийн математик болно. Жишээлбэл, {x^2+10x=39} тэгшитгэлийг бодох аргыг тайлбарлахдаа дараах зурагт үзүүлсэн байгуулалтыг хийж, {(x+5)^2=64} тэгшитгэлд шилжүүлнэ. Энэ зураг «бүтэн квадрат ялгах» буюу «квадратыг бүтэн болгох» гэдэг хэлцэнд жинхэнэ геометр утга олгож байгааг ажиглаарай.

x² + 10= 39 тэгшитгэлээс бүтэн квадрат ялгаснаар (x + 5)² = 39 + 25 тэгшитгэлийг гарган авч байгаа нь.

Аль-Хорезмийн гол гавъяа нь квадрат тэгшитгэлийг ямар нэг бодлого бодох үед гарч ирсэн хажуугийн алхам мэтээр биш, биеэ даасан «гол дүр» болгож судалсан ба, түүнийг бодох ерөнхий аргыг гаргалгаатай нь хамт томъёолсон явдал болно. Эртний Грект бүх математик Евклидийн геометрээс гарах ёстой, тухайлбал, гортиг шугамаар байгуулж болох хэрчмүүд л оршин байдаг, бусад нь оршин байдаггүй гэж үздэг байсан бол, аль-Хорезмын ном алгебрын болон Евклидийн геометрийн объектуудын аль нь ч илүү тулгуур биш, хоорондоо «тэгш эрхтэй» гэсэн үзлийн эхлэлийг тавьсан юм.

Одоо эртний Грек-Энэтхэг-Арабын мэдлэг дундад зууны «харанхуй» Европт яаж орж ирснийг товч дурдъя. Ромын эзэнт гүрний хүчирхэгжлийн үеэс эхлээд 12-р зуун хүртэл Европын математик (болон байгалийн шинжлэл) зогсонги байдалд байсан нь эсрэг тэсрэг хоёр шалтгаантай.

  • Ромын үед математик яагаад хөгжөөгүй вэ гэвэл, Ромчууд практик талыг хэт их анхаардаг байсан болохоор тэр. Эртний Египт, Вавилоны төвшний мэдлэг байхад амьдралын наад захын шаардлагыг өлхөн хангах тул үүнээс цааш юмсыг танин мэдэх тухай ярихыг тэд утгагүй хий хоосон цэцэрхэл гэж үздэг байж.
  • Харин Өрнөд Ромын уналтын үеэс эхлэн Христосын шашин хүчирхэгжсэн тул, махан бие, материаллаг ертөнцийн явдлыг сонирхох нь «бидний жинхэнэ зорилго» болох хойд насны диваажингийн амьдралд тус болохгүй гэсэн шалтгаанаар ямар ч хэрэгцээгүй (тэр ч байтугай бүр нүгэлтэй) зүйл болж хувирсан. Ариун Библид бүх мэдлэг агуулагдах тул энэ номоо л уншчихвал мэдэж болох бүхнийг мэдчихнэ гэж үздэг байж.

Өөрөөр хэлбэл, Ромчууд дан газартаа, Христосчууд дан тэнгэртээ амьдраад байсан учраас шинжлэх ухааныг өндөр төвшинд хөгжүүлж чадаагүй. Харин 12-р зуунаас эхлэн аялал, худалдаа, дайн дажны улмаас Европчуудын Араб, Визант гүрнүүдтэй харилцах харилцаа нь идэвхжиж, эртний Грек болон Араб эрдэмтдийн бүтээлүүдтэй анх танилцсанаар тэднийг бишрэн шүтэх болж, ийм бүтээлүүдийг баруун зүүнгүй эрж хайгчид, худалдаалагчид, цуглуулагчид, орчуулагчдын тоо олширч эхэлсэн байна. Аль-Хорезмын «Аль-жебр ва-ль-мукабаля» 1145 онд, Брахмагуптагийн «Брахмын тогтсон таалал» 1126 онд, Диофантын «Арифметик» 1570 онд, Евклидийн «Эхлэл» 1120 онд латин хэлнээ тус тус хөрвүүлэгджээ.

Дундад зууны Европоос гарсан математикийн анхны том бүтээл бол 1202 онд хэвлэгдсэн Пизагийн Леонардо буюу бидний нэрлэж заншсанаар Фибоначчийн (1170–1240) «Тооцохуйн ном» юм. Энэ номны нөлөөгөөр Европт хуучин Ром тоонуудыг халж Араб тоонууд дэлгэрсэн түүхтэй. Фибоначчи номондоо квадрат тэгшитгэлийг бодох аль-Хорезмын дүрмүүдийг бас оруулсан. Үүний дараа дурдагдах ёстой нэг чухал бүтээл бол 1545 онд хэвлэгдсэн Жероламо Карданы (1501–1576) «Агуу урлаг» болно. «Агуу урлаг» бүтээлд куб болон 4 зэргийн тэгшитгэлийг бодох ерөнхий аргууд анх хэвлэгдсэн. Квадрат тэгшитгэлийн хувьд Кардано аль-Хорезмийн аргыг дагасан бөгөөд, комплекс тоо түүхэнд анх удаа энд дурдагдана: {x(10-x)=40} буюу

\displaystyle  x^2-10x+40 = 0 , \ \ \ \ \ (1)

гэсэн тэгшитгэлийн нэг шийд нь аль-Хорезмийн дүрмээр

\displaystyle  x=5+\sqrt{25-40}=5+\sqrt{-15}.

Үүний шийд үү үгүй юу гэдгийг шалгавал

\displaystyle  x(10-x) = (5+\sqrt{-15}) (5-\sqrt{-15}) = 5^2 - (\sqrt{-15})^2 = 25 - (-15) = 40 .

Өөрөөр хэлбэл, {x=5+\sqrt{-15}} гэсэн «тоо» ямар нэг утгаар (1) тэгшитгэлийн шийд болох мэт. Кардано дээрх тооцоог хачин жигтэй хэрнээ ямар ч хэрэгцээгүй жишээ маягаар дурдаад өнгөрсөн бол, түүнтэй нэг үед (нэг улсад) амьдарч байсан Рафаэль Бомбелли (1526–1572) өөрийн 1572 онд хэвлүүлсэн «Алгебр» бүтээлд комплекс тоотой ажиллах дүрмүүдийг анх томъёолсон.

Кардано, Бомбелли нарын үеийн математикийн тэмдэглэгээ нь ерөнхийдөө Диофант, Брахмагупта нарын хэмжээнд оччихсон байсан. Жишээлбэл,

\displaystyle  (5+\sqrt{-15}) (5-\sqrt{-15}) = 25 - (-15) = 40 .

гэсэн тооцоо Карданы тэмдэглэгээгээр

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  5\textrm{p:} \textrm{Rm:}15& \\ 5\textrm{m:} \textrm{Rm:}15& \\ 25\textrm{m:m:}15 &\textrm{qd. est}\,\, 40 \end{array}

гэж бичигдэнэ. Үүнд «p:» нь нэмэх, «m:» нь хасах, «R» нь язгуур гаргах үйлдлийг төлөөлнө. Түүнчлэн,

\displaystyle  x^3+5x^2-6x=7

тэгшитгэлийг Кардано

\displaystyle  cubus\,\,\textrm{p:} \,\,5\,\, quadratum\,\, \textrm{m:}\,\, 6\,\, rebus\,\, \textrm{aeqtur}\,\, 7

гэж, Бомбелли

\displaystyle  1\textcircled{3}\,\,\textrm{p.}\,\,5\textcircled{2}\,\,\textrm{m.}\,\,6\textcircled{1} \quad\textrm{Eguale} \quad7

маягтай бичих байсан (Энэ блогийн техникийн боломжоос шалтгаалан Бомбеллийн тэмдэглэгээг бага зэрэг өөрчилж дүрслэв). Үүнд

  • {cubus} болон {\textcircled{3}} нь үл мэдэгдэгчийн куб зэргийг,
  • {quadratum} болон {\textcircled{2}} нь үл мэдэгдэгчийн квадрат зэргийг,
  • {rebus} болон {\textcircled{1}} нь үл мэдэгдэгчийн дан зэргийг тус тус тэмдэглэнэ.

Европын эхний үеийн математик нь эртний Грек-Энэтхэг-Арабын математикийг сурах, тайлбарлах, голдрилыг нь алдагдуулахгүйгээр цааш нь хөгжүүлэх үйлс дээр төвлөрч байсан бол, математикийн голдрилыг үндсээр нь өөрчилж, цоо шинэ төвшинд гаргах хувьсгалын эхлэлийг Францын хуульч, математикч Франсуа Виет (1540–1603) тавьсан юм. Энэ хувьсгалын гол цөм нь Виетийн алгебрын тэмдэглэгээнд хийсэн шинэчлэл болно. Тухайлбал, Виет 1591 онд хэвлэгдсэн «Аналитик урлагийн эхлэл» номондоо үл мэдэгдэгчдийг латин цагаан толгойн эгшиг үсгүүдээр, өгөгдсөн тогтмолуудыг гийгүүлэгч үсгүүдээр тэмдэглэх санаа дэвшүүлсэн. Жишээ нь Виетийн

\displaystyle  A\,\,cubus+B\,\,in\,\,A\,\,quad + D\,\,in\,\,A, \quad aequatur\quad F

гэсэн илэрхийлэл орчин үеийн тэмдэглэгээгээр

\displaystyle  A^3+BA^2+DA=F

гэсэн (ерөнхий куб) тэгшитгэлд буух ба үүнд {A} нь үл мэдэгдэгч, {B,D,F} нь мэдэгдэж байгаа (өгөгдсөн) тогтмол тоонууд гэж үзнэ. Энэ тэмдэглэгээ нь урьд хожид байгаагүй дараах боломжуудыг нээж өгсөн.

  • Өгөгдсөн тогтмолуудыг үсгээр тэмдэглэснээр ерөнхий коэффициенттэй тэгшитгэлийг бодох аргыг бичиж тэмдэглэхэд маш хялбар болсон.
  • Түүнчлэн, нэг тэгшитгэлийг нөгөө тэгшитгэл рүү хувиргах хувиргалт, хоёр тэгшитгэлийн шийдүүдийн хоорондох хамаарал гэх мэт ойлголтуудын тухай ярих үүд хаалга нээгдэнэ.
  • Үсгэн коэффициенттэй тэгшитгэлийг судлах нь ({2x=6} гэх мэт) ганц тэгшитгэлийг биш, ({ax=b} гэх мэт) хязгааргүй олон тэгшитгэлийг нэг дор судалж байгаа хэрэг болно.
  • Олон үл мэдэгдэгчтэй тэгшитгэл бичихэд төвөггүй.

Виетийн шинэчлэлийн ачаар, тэгшитгэл бодох ерөнхий аргыг нээх гэж оролдох нь (тодорхой дүрмийн дагуу) үсэг, тэмдэгтүүдийг нааш цааш нь болгож хувиргах тоглоом тоглож байгаатай адилхан юм байна гэдэг нь тодорхой болж эхэлжээ. Виет өөрөө үүнийг сайн ойлгож байсан бөгөөд эртний Грекийн суутнууд геометрийн нээлтүүдээ хийхдээ алгебрын томъёо ашиглаж хийчихээд, яг номоо бичихдээ бүгдийг нь геометр хэл рүү хөрвүүлчихдэг байсан гэж итгэдэг байсан байгаа. Ингэж геометр хэл рүү хөрвүүлэх ажиллагааг тэр синтез, харин үүний урвуу процесс болох геометрийн бодлогыг алгебрын томъёо руу хөрвүүлэх ажиллагааг анализ гэж нэрийдсэн. Жишээлбэл, өгөгдсөн өнцгийг гурван тэнцүү хуваах бодлогыг тригонометр ашиглан куб тэгшитгэл бодох бодлогонд шилжүүлж болохыг Виет ажиглаж, шинэ алгебр нь хуучин Евклидийн геометрийн гортиг шугамын байгуулалтуудыг бодвол илүү хүчтэй багаж юм байна гэсэн дүгнэлтэнд хүрсэн. Виетийн гавъяа нь Арабын алгебрын судлагдахууныг тодорхой болгосноор алгебрыг эртний Грекийн сонгодог геометртэй нэг төвшинд аваачиж, тэдгээрийн хооронд гүүр барьж эхэлсэн явдал болно. Энэ гүүрийг хагас зууны дараа Рене Декарт өөрийн «Геометр» бүтээлээрээ гүйцээсэн билээ.

Одоо Виетийн тэмдэглэгээнээс бид уншаад төвөггүй ойлгохоор хэмжээний тэмдэглэгээ рүү шилжихэд ердөө ганцхан алхам л хэрэгтэй. Энэ алхмыг Английн математикч Томас Хэрриот (1560–1621) хийсэн юм. Түүний дэвшүүлсэн санаа нь «квадрат», «куб» гэх мэт үгнүүдийг томъёон дотор бичихийн оронд, тухайн үсгийг нь харгалзан 2 эсвэл 3 удаа давтаж бичих явдал байв. Жишээлбэл, дээр бидний авч үзсэн тэгшитгэл

\displaystyle  aaa + baa + da = f

гэж бичигдэнэ. Хэрриот том үсгийн оронд жижиг үсэг хэрэглэснээс гадна (Роберт Рекордын санаачилсан) тэнцүүгийн тэмдгийг бас ашигласан. Түүний бүтээл (нас барсных нь дараа) 1631 онд «Аналитик урлагийн дадлага ажил» номонд нь хэвлэгджээ. Зэрэгт тэмдэглэгээ (ж. {aaa=a^3}) болон хувьсагчдыг латин цагаан толгойн сүүлийн үсгүүдээр, тогтмолуудыг эхний үсгүүдээр тэмдэглэх явдал Декартаас эхтэй.

Эцэст нь, квадрат тэгшитгэлийг бодох томъёоны хэдэн гаргалгааг толилуулъя.

Гаргалгаа 1. Дараах хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч үзье.

\displaystyle  x^2+2px+q = 0 . \ \ \ \ \ (2)

Үүний зүүн гар талаас бүтэн квадрат ялгавал

\displaystyle  x^2+2px+q =x^2+2px+p^2-p^2+q =(x+p)^2-p^2+q

тул {(x+p)^2=p^2-q} болох ба, эндээс шууд

\displaystyle  \boxed{x = -p\pm\sqrt{p^2-q}}

гэж шийд нь олдоно. Үүнд,

\displaystyle  p^2-q>0 , \qquad p^2-q=0 , \qquad p^2-q<0 ,

нөхцлүүдэд харгалзан хоёр бодит шийд, нэг бодит шийд, хоёр комплекс шийд оршин байна. Хоёр комплекс шийдтэй үед дээрх томъёог язгуур дор эерэг тоо ордог байхаар

\displaystyle  x = -p\pm i\sqrt{q-p^2}

гэж бичиж бас болно.

Цаашилбал, ерөнхий

\displaystyle  ax^2+bx+c=0 \ \ \ \ \ (3)

хэлбэрийн тэгшитгэлийг (2) хэлбэрт

\displaystyle  p = \frac{b}{2a}, \qquad q = \frac{c}{a}

орлуулгаар шилжүүлэн, шийдийг нь

\displaystyle  x = -\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\Big(\frac{b}{2a}\Big)^2-\frac{c}{a}} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

гэж олж болно.

Гаргалгаа 2. Ерөнхий (3) хэлбэрийг {4a}-аар шууд үржүүлэн

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  4a^2x^2+4abx+4ac &=& 0 \\ 4a^2x^2+4abx+b^2-b^2+4ac &=& 0 \\ (2ax+b)^2 -b^2 + 4ac &=& 0 \end{array}

гэж бүтэн квадрат ялгаж бас болно.

Гаргалгаа 3. Шинэ {y} гэсэн хувьсагчид

\displaystyle  x = y - k

гэсэн орлуулгаар шилжвэл, (3) тэгшитгэлийн зүүн гар тал

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  ax^2+bx+c &=& a(y^2-2ky+k^2) + b(y-k) + c \\ &=& ay^2 + (b-2ak)y + ak^2 - bk + c \end{array}

болно. Эндээс {y}-ийн өмнөх коэффициентийг тэг болгохын тулд

\displaystyle  k = \frac{b}{2a}

гэсэн сонголт хийвэл

\displaystyle  ax^2+bx+c = ay^2 + a\cdot\frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c = ay^2 - \frac{b^2}{4a} + c

буюу

\displaystyle  y^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} = \frac{b^2-4ac}{a^2} .

Мухаммад ибн Муса аль-Хорезм (МЭ 780–850)

This entry was posted in Алгебр and tagged , , , , , , , , . Bookmark the permalink.

Хариу Үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Та WordPress.com гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Google photo

Та Google гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Twitter picture

Та Twitter гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Facebook photo

Та Facebook гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Connecting to %s