Шугаман хувиргалт

E ба F нь K талбар дээрх шугаман огторгуйнууд болог. Хэрэв T:E\rightarrow F буулгалт дурын x,y\in E векторууд ба \alpha\in K скалярын хувьд T(\alpha x+y)=\alpha T(x)+T(y) нөхцлийг хангадаг бол түүнийг шугаман хувиргалт (өөрөөр шугаман функц, шугаман буулгалт, шугаман оператор) гэнэ. Шугаман хувиргалтын дүр ба цөмийг харгалзан

\mathrm{im}\, T=\{Tx : x\in E\}

ба

\mathrm{ker}\,T=\{x\in E:Tx=0\}

гэж тодорхойлно.

Жишээ 1. Дурын бэхлэгдсэн \alpha\in K элементийн хувьд x\mapsto\alpha x : E\rightarrow E нь шугаман хувиргалт болно. Иймд адилтгал хувиргалт x\mapsto x, тэг буулгалт x\mapsto0 нь шугаман хувиргалтууд.

Лемм. \mathrm{im}\,T\subset F ба \mathrm{ker}\,T\subset E нь шугаман дэд огторгуйнууд болно. Мөн T:E\rightarrow F нь инъектив байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь \mathrm{ker}\,T=\{0\} байх явдал ба цаашилбал T нь инъектив үед түүний урвуу T^{-1}:\mathrm{im}\,T\rightarrow E нь шугаман хувиргалт байна.

Дасгал 1. Дээрх леммыг батал.

Жишээ 2. X нь E-ийн шугаман дэд огторгуй бол натурал проекцлол \pi:E\rightarrow E/X нь шугаман хувиргалт болно. Цаашилбал дурын шугаман хувиргалт T:E\rightarrow F нь E\stackrel{\pi}\rightarrow E/X\stackrel{t}\rightarrow F гэж задрах зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь X\subset\mathrm{ker}\,T байх явдал болно.

Хэрэв шугаман хувиргалт T:E\rightarrow F нь инъектив ба сюръектив бол түүнийг E-ийн F дээрх (шугаман огторгуйн) изоморфизм гэнэ. Хоёр шугаман огторгуйн хооронд изоморфизм оршдог бол тэдгээрийг хоорондоо изоморф огторгуйнууд гэдэг. Хоорондоо изоморф огторгуйнууд ижил шугаман бүтэцтэй байна.

S,T:E\rightarrow F хоёр шугаман хувиргалт өгөгдсөн үед тэдгээрийн нийлбэрийг

(S+T)(x)=S(x)+T(x),\qquad x\in E,

гэж, \alpha\in K ба T-ийн үржвэрийг

(\alpha T)(x)=\alpha T(x),\qquad x\in E,

гэж тодорхойлъё. Тэгвэл E-ээс F рүү буулгасан бүх шугаман хувиргалтуудын олонлог L(E,F) нь дээрх үйлдлүүдийн хувьд K дээрх шугаман огторгуй болно. Бид L(E,K) огторгуйг E-ийн (алгебрын) хосмог огторгуй гээд E^*=L(E,K) гэж тэмдэглэнэ. Энэ хосмог огторгуйн элементүүдийг E дээрх шугаман хэлбэрүүд (эсвэл шугаман функционалиуд) гэж ярьна.

Одоо E,F ба G нь K дээрх шугаман огторгуйнууд, T:E\rightarrow F ба S:F\rightarrow G нь шугаман хувиргалтууд болог. Тэгвэл ST үржвэрийг композиц ашиглан ST=S\circ T:E\rightarrow G гэж тодорхойлно. S ба T-ийн композиц (буюу давхарлалт) нь

(S\circ T)(x)=S(T(x)),\qquad x\in E,

гэж тодорхойлогддогийг санавал шугаман хувиргалтуудын үржвэрийн дараах чанаруудыг (хэрэгтэй бүх үржвэрүүд нь тодорхойлогдсон үед) хялбархан баталж болно:

  1. R(ST)=(RS)T,
  2. R(S+T)=RS+RT; (R+S)T=RT+ST,
  3. \alpha (ST) = (\alpha S)T = S(\alpha T).

Хэрэв вектор огторгуйд дээрх 3 нөхцлийг хангахаар үржих үйлдэл тодорхойлгогдсон бол түүнийг (шугаман) ассоциатив алгебр гэдэг. Алгебрын үржих үйлдэл нь нэгжтэй бол түүнийг нэгжтэй (эсвэл унитал) алгебр гэнэ. Алгебрын элементүүд урвуутай байх албагүй.

Тэгэхээр E дээрх бүх шугаман хувиргалтуудын огторгуй L(E)=L(E,E) нь шугаман ассоциатив алгебр болох нь. Адилтгал хувиргалт композиц үржвэрийн хувьд нэгж учир энэ нь нэгжтэй алгебр. T\in L(E) нь урвуутай байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь \mathrm{im}\,T=E ба \mathrm{ker}\,T=\{0\} байх явдал болно.

Дээр S ба T-ийн композицийг бид E\stackrel{T}\rightarrow F\stackrel{S}\rightarrow G\,=\,E\stackrel{S\circ T}\rightarrow G гэж тодорхойлсон байгаа. Энд S нь

S_*:T\mapsto S\circ T:L(E,F)\rightarrow L(E,G)

гэсэн буулгалт тодорхойлж байна. S_*T=S\circ T элементийг T-ийн S-ийн дагуух түлхлэг гэж нэрлэдэг. Нөгөө талаас, T нь

T^*:S\mapsto S\circ T:L(F,G)\rightarrow L(E,G)

гэсэн буулгалт тодорхойлно. T^*S=S\circ T элементийг S-ийн T дээрх татлага гэж нэрлэдэг. S_* ба T^* буулгалтуудыг шугаман болохыг хялбархан харуулж болно.

Татлагын тодорхойлолтонд G=K гэж авснаар T^*:L(F,K)\rightarrow L(E,K) буюу T^*:F^*\rightarrow E^* байна. Өөрөөр хэлбэл T:E\rightarrow F шугаман хувиргалт болгоны хувьд T^*:F^*\rightarrow E^* гэсэн шугаман хувиргалт харгалзуулж болно. Энэ T^*T-ийн хосмог (эсвэл хөрвүүлсэн) хувиргалт гэдэг.

This entry was posted in Алгебр, Шугаман алгебр and tagged , , , , , , , , . Bookmark the permalink.

Хариу Үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Та WordPress.com гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Google photo

Та Google гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Twitter picture

Та Twitter гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Facebook photo

Та Facebook гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Connecting to %s