Эйлерийн өнцгүүд

Гурван хэмжээст огторгуй дахь эргүүлэлтийг дүрслэх хамгийн эртний бөгөөд хялбар арга нь Эйлерийн өнцгүүд юм. Эйлерийн \alpha,\beta,\gamma өнцгүүдээр илэрхийлэгдэх эргүүлэлтийг дараах маягаар байгуулна.

  • Эхлээд z тэнхлэгийг тойруулан \alpha өнцгөөр эргүүлнэ. Үр дүнд нь x тэнхлэг байсан цэгүүд N байрлалд ирнэ.
  • Одоо N тэнхлэгийг тойруулан \beta өнцгөөр эргүүлнэ. Энэ үед z тэнхлэг дээр байсан цэгүүд Z байрлалд ирнэ.
  • Ингээд Z тэнхлэгийг тойруулан \gamma өнцгөөр эргүүлнэ.

Эйлерийн өнцгүүд (эх сурвалж: Викимедиа)

Энэ процедурыг бэхлэгдсэн тэнхлэгүүдийг тойрох эргүүлэлтүүдэд дараах маягаар бас задалж болно.

  • Эхлээд z тэнхлэгийг тойруулан \gamma өнцгөөр эргүүлнэ.
  • Дараа нь x тэнхлэгийг тойруулан \beta өнцгөөр эргүүлнэ.
  • Эцэст нь z тэнхлэгийг тойруулан \alpha өнцгөөр эргүүлнэ.

Тэгэхээр Эйлерийн \alpha,\beta,\gamma өнцгүүдээр илэрхийлэгдэх эргүүлэлтийн матриц нь

R(\alpha,\beta,\gamma)=R_{z,\alpha}R_{x,\beta}R_{z,\gamma}

болох ба

R_{z,\alpha}= \begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha&0\\\sin\alpha&\cos\alpha&0\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad R_{x,\beta}= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos\beta&-\sin\beta\\0&\sin\beta&\cos\beta\end{pmatrix}

томъёонуудыг орлуулан тооцвол

R(\alpha,\beta,\gamma)=\begin{pmatrix}\cos\alpha\cos\gamma-\sin\alpha\cos\beta\sin\gamma&-\cos\alpha\sin\gamma-\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma&\sin\alpha\sin\beta\\\sin\alpha\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta\sin\gamma&-\sin\alpha\sin\gamma+\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma&-\cos\alpha\sin\beta\\\sin\beta\sin\gamma&\sin\beta\cos\gamma&\cos\beta\end{pmatrix}

гарна. Баруун гар тал дахь илэрхийлэл нь \alpha,\beta,\gamma хувьсагч тус бүрээс 2\pi үетэйгээр хамаарах ба Эйлерийн өнцгүүд

R:\mathbb{T}^3\to SO(3)

буулгалтыг тодорхойлно. Үүнд \mathbb{T}=\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}\eqsim S^1. Дээрх томъёоноос

R(\alpha,-\beta,\gamma)=R(\alpha\pm\pi,\beta,\gamma\pm\pi)

гэдэг нь илэрхий тул Эйлерийн өнцгүүдэд

-\pi<\alpha\leq\pi,\qquad0\leq\beta\leq\pi,\qquad-\pi<\gamma\leq\pi

гэсэн хязгаарлалт тавихад алдах юм байхгүй. Одоо R буулгалтын сюръектив (ө.х. Эйлерийн өнцгүүдээр ямар ч эргүүлэлтийг илэрхийлж болно) гэдгийг харуулах үүднээс

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\in SO(3)

матриц өгөгдсөн байгаа гэж үзье. Юун түрүүнд

\cos\beta=a_{33}

нөхцлөөс \beta\in[0,\pi] өнцөг нэг утгатай тодорхойлогдоно. Тухайлбал, хэрэв a_{33}=1 бол \beta=0 буюу

R(\alpha,0,\gamma)=\begin{pmatrix}\cos\alpha\cos\gamma-\sin\alpha\sin\gamma&-\cos\alpha\sin\gamma-\sin\alpha\cos\gamma&0\\\sin\alpha\cos\gamma+\cos\alpha\sin\gamma&-\sin\alpha\sin\gamma+\cos\alpha\cos\gamma&0\\0&0&1\end{pmatrix}.

Нөгөө талаас, a_{33}=1 үед A матрицын хэлбэр

A= \begin{pmatrix}\cos\delta&-\sin\delta&0\\\sin\delta&\cos\delta&0\\0&0&1\end{pmatrix}

байх ёстой. Иймд \alpha,\gamma өнцгүүдийг \alpha+\gamma=\delta байхаар сонговол

A=R(\alpha,0,\gamma)

тэнцэл биелнэ. Түүнчлэн, a_{33}=-1 бол \beta=\pi буюу

R(\alpha,\pi,\gamma)=\begin{pmatrix}\cos\alpha\cos\gamma+\sin\alpha\sin\gamma&-\cos\alpha\sin\gamma+\sin\alpha\cos\gamma&0\\\sin\alpha\cos\gamma-\cos\alpha\sin\gamma&-\sin\alpha\sin\gamma-\cos\alpha\cos\gamma&0\\0&0&-1\end{pmatrix}.

Нөгөө талаас, a_{33}=-1 үед A матрицын хэлбэр

A= \begin{pmatrix}\cos\delta&\sin\delta&0\\\sin\delta&-\cos\delta&0\\0&0&-1\end{pmatrix}

байх ёстой. Иймд \alpha,\gamma өнцгүүдийг \alpha-\gamma=\delta байхаар сонговол

A=R(\alpha,\pi,\gamma)

тэнцэл биелнэ.

Одоо -1<a_{33}<1 буюу 0<\beta<\pi тохиолдол үлдлээ. Энэ үед \sin\beta\neq0 тул

\sin\alpha\sin\beta=a_{13},\qquad-\cos\alpha\sin\beta=a_{23},\\\sin\gamma\sin\beta=a_{31},\qquad\cos\gamma\sin\beta=a_{32},

харьцаануудаас \alpha,\gamma\in(-\pi,\pi] өнцгүүд нэг утгатай тодорхойлогдоно. Энд A матрицын мөр баганууд нь нэгж векторууд тул тухайлбал

a_{13}^2+a_{23}^2=a_{31}^2+a_{32}^2=\sin^2\!\beta

болохыг санаарай. Цааш нь,

B=R_{z,-\alpha}AR_{z,-\gamma}

гэсэн матриц оруулаад, хэлбэрийг нь тооцвол

B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&0\\b_{21}&b_{22}&-\sin\beta\\0&\sin\beta&\cos\beta\end{pmatrix}\in SO(3)

байна. Үүний эхний ба сүүлийн багана хоорондоо ортогональ гэдгээс b_{21}=0 ба b_{11}=\pm1, эхний ба сүүлийн мөр хоорондоо ортогональ гэдгээс b_{11}=0 гэж гарна. Ингээд 2 ба 3-р багануудын ортогональ байх нөхцлөөс b_{22}=\cos\beta болох ба, \det B=1 гэдгээс b_{11}=1 гэж мөрдөнө. Өөрөөр хэлбэл, B=R_{x,\beta} буюу

B=R_{z,-\alpha}AR_{z,-\gamma}=R_{x,\beta}\qquad\Longrightarrow\qquad A=R_{z,\alpha}R_{x,\beta}R_{z,\gamma}=R(\alpha,\beta,\gamma).

Дээрхийг дүгнэвэл

  • Ямар ч A\in SO(3) матрицыг A=R_{z,\alpha}R_{x,\beta}R_{z,\gamma} гэж задалж болно.
  • Хэрэв 0<\beta<\pi бол A=R_{z,\alpha}R_{x,\beta}R_{z,\gamma} задаргаа -\pi<\alpha,\gamma\leq\pi, 0\leq\beta\leq\pi мужид цор ганц байна.
  • Харин \beta=0 эсвэл \beta=\pi бол A=R_{z,\alpha}R_{x,\beta}R_{z,\gamma} задаргаанд зөвхөн \alpha+\gamma эсвэл \alpha-\gamma хэмжигдэхүүн л (харгалзан) нэг утгатай тодорхойлогдоно. Энэ горимыг нугасны түгжрэл (gimbal lock) гэж нэрлэдэг.

Нугасны түгжрэлийн үед \alpha,\gamma параметрүүд хамтдаа \alpha+\gamma эсвэл \alpha-\gamma гэсэн нэг л параметрийн үүрэг гүйцэтгэх тул Эйлерийн өнцгүүдээр тодорхойлогдох

R:\mathbb{T}^3\to SO(3)

буулгалтын ранг 3-аас бага болдог гэсэн үг (гэтэл SO(3) нь 3 хэмжээстэй цогц). Тухайлбал, энэ үед R буулгалтын дифференциалын урвуу оршин байхаа больно. Үүнтэй холбоотойгоор, нугасны түгжрэл бүхий төлөвт ойртох тусам Эйлерийн өнцгүүдийн эргүүлэлтээс хамаарах хамаарал маш мэдрэмтгий болж ирдэг. Ийм дутагдалгүй параметрчлэл гэвэл жишээ нь кватернионууд байна.

Ер нь R:\mathbb{T}^3\to SO(3) төрлийн ямар ч параметрчлэл нугасны түгжрэлгүй байх боломжгүй. Учир нь, хэрэв x\in\mathbb{T}^3 гэсэн цэг болгоны хувьд R нь урвуутай байх орчин олддог (ө.х. R нь локаль гомеоморфизм) бол, \mathbb{T}^3 нь SO(3)-ын хучилт гэсэн үг. Иймд \mathbb{T}^3-ын универсаль хучилт нь SO(3)-ын универсаль хучилттай адилхан болоход хүрнэ. Гэтэл SO(3)-ын универсаль хучилт нь S^3 ба, \mathbb{T}^3-ын универсаль хучилт нь \mathbb{R}^3 тул, R:\mathbb{T}^3\to SO(3) хэлбэрийн ямар ч параметрчлэл \mathbb{T}^3-ын зарим цэгүүдийн орчинд урвуугүй байна.

Тэйт-Брайены өнцгүүд

Эйлерийн R_{z,\alpha}R_{x,\beta}R_{z,\gamma} параметрчлэлийг бага зэрэг өөрчилсөн R_{z,\alpha}R_{y,\beta}R_{z,\gamma} эсвэл R_{x,\alpha}R_{y,\beta}R_{x,\gamma} гэх мэт хувилбарууд бас үзэгддэг. Хоёр захын тэнхлэгүүд нь хоорондоо адилхан гэвэл нийтдээ 6 боломж байх нь тодорхой. Мэдээж эдгээр нь чанарын хувьд Эйлерийн «ориг» өнцгүүдээс огт ялгагдахгүй. Харин гурван тэнхлэг гурвуулаа бие биендээ перпендикуляр гэвэл Эйлерийн өнцгүүдээс арай өөр, Тэйт-Брайений өнцгүүд гэгддэг параметрчлэлийн төрөл гарч ирнэ (Энд мөн 6 янзын боломж бий). Энэ нэршил 19-р зууны дунд үеийн Шотландын алдарт физикч Питер Тэйт, нисэх онгоцны математик онолыг анх судалсан Английн математикч Жорж Брайен нараас улбаатай. Агаар болон сансрын техникт маш өргөн хэрэглэгддэг Тэйт-Брайений өнцгүүдийн

R(\psi,\theta,\varphi)=R_{z,\psi}R_{y,\theta}R_{x,\varphi}\qquad\qquad(*)

параметрчлэлийг дорх зурагт үзүүлэв (зургийг Викимедиагаас).

Зүүн гар талын зургийг (*) томъёотой холбон тайлбарлая.

  • Эхлээд x тэнхлэгийг тойруулан \varphi өнцгөөр эргүүлнэ (хазайлт).
  • Дараа нь y тэнхлэгийг тойруулан \theta өнцгөөр эргүүлнэ (өлийлт).
  • Эцэст нь z тэнхлэгийг тойруулан \psi өнцгөөр эргүүлнэ (зүглэл).

Энэ процедурыг бас хөдөлгөөнт тэнхлэгүүдийг тойрох эргүүлэлтүүдээр илэрхийлж болно (Баруун гар талын зураг).

  • Эхлээд z тэнхлэгийг тойруулан \psi өнцгөөр эргүүлнэ. Үр дүнд нь y тэнхлэг байсан цэгүүд N байрлалд, x тэнхлэг байсан цэгүүд {\bf N}^\perp байрлалд ирнэ.
  • Одоо N тэнхлэгийг тойруулан \theta өнцгөөр эргүүлнэ. Энэ үед {\bf N}^\perp тэнхлэг дээр байсан цэгүүд X байрлалд ирнэ.
  •  Ингээд X тэнхлэгийг тойруулан \varphi өнцгөөр эргүүлнэ.

Тэйт-Брайений (*) параметрчлэлийг дэлгэрүүлж бичвэл

R(\psi,\theta,\varphi)=\begin{pmatrix}\cos\psi\cos\theta&-\sin\psi\cos\varphi+\cos\psi\sin\theta\sin\varphi&\sin\psi\sin\varphi+\cos\psi\sin\theta\cos\varphi\\\sin\psi\cos\theta&\cos\psi\cos\varphi+\sin\psi\sin\theta\sin\varphi&-\cos\psi\sin\varphi+\sin\psi\sin\theta\cos\varphi\\-\sin\theta&\cos\theta\sin\varphi&\cos\theta\cos\varphi\end{pmatrix}

болох ба, эндээс

R(\psi,\frac\pi2-\theta,\varphi)=R(\psi\pm\pi,\theta,\varphi\pm\pi)

гэдэг нь харагдах тул Тэйт-Брайений өнцгүүдэд

-\pi<\psi\leq\pi,\qquad-\frac\pi2\leq\theta\leq\frac\pi2,\qquad-\pi<\varphi\leq\pi

гэсэн хязгаарлалт тавихад алдах юм байхгүй. Мөн түүнчлэн, R параметрчлэл нь SO(3) бүлгийг бүрхэнэ гэдгийг Эйлерийн өнцгүүд дээрхтэй төстэйгөөр баталж болно. Цаашилбал, Тэйт-Брайений өнцгүүд нь \theta=\pm\frac\pi2 үед нугасны түгжрэлд орох нь илэрхий байгаа.

Давенпортын теорем

Эйлерийн өнцгүүд болон Тэйт-Брайений өнцгүүдийн аль алийг агуулсан хамгийн ерөнхий параметрчлэл нь дараах томъёогоор өгөгдөнө.

R(\alpha,\beta,\gamma)=R_{u,\alpha}R_{v,\beta}R_{w,\gamma}\qquad\qquad(**)

Үүнд u,v,w\in S^2 нь бэхлэгдсэн нэгж векторууд. Жишээ нь, Эйлерийн «ориг» өнцгүүдийн хувьд u,w нь x тэнхлэгийн дагуух нэгж вектор, v нь z тэнхлэгийн дагуух нэгж вектор болно. Энэ параметрчлэлийг Эйлерийн өргөтгөсөн өнцгүүд, эсвэл Давенпортын өнцгүүд гэхчилэн нэрлэдэг.

Теорем (Давенпорт 1973). Дээрх (**) томъёогоор өгөгдсөн R:\mathbb{T}^3\to SO(3) буулгалт сюръектив байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь

u\perp v,\qquad w\perp v

байх явдал юм.

Өөрөөр хэлбэл, хоёр захын тэнхлэгүүд дундах тэнхлэгтээ перпендикуляр байх хэрэгтэй.

Теоремын нөхцлийн зайлшгүй болохыг харуулъя. Давенпортын параметрчлэл сюръектив бөгөөд, w векторыг u векторт хувиргадаг эргүүлэлт A\in SO(3) нь

A=R_{u,\alpha}R_{v,\beta}R_{w,\gamma}

гэж задардаг гэе. Энэ томъёоны зүүн баруун талаар w вектор дээр үйлчилбэл

u=Aw=R_{u,\alpha}R_{v,\beta}R_{w,\gamma}w=R_{u,\alpha}R_{v,\beta}w

гарна. Одоо зүүн гар талаас нь R_{u,-\alpha} матрицаар үржүүлбэл

u=R_{u,-\alpha}u=R_{u,-\alpha}R_{u,\alpha}R_{v,\beta}w=R_{v,\beta}w.

Дүгнэвэл, u ба w векторууд хоорондоо v тэнхлэгийг тойрсон эргэлтээр холбогддог байх ёстой. Тэгэхээр u ба w векторуудын v тэнхлэгийн дагуух байгуулагчууд адилхан байна гэсэн үг:

u\cdot v=w\cdot v.\qquad\qquad(\dagger)

Нөгөө талаас, w векторыг -u векторт хувиргадаг эргүүлэлтийг B\in SO(3) гээд

B=R_{u,\alpha'}R_{v,\beta'}R_{w,\gamma'}

хэлбэрт задалж болох ба, дээрх аргументыг давтан хэрэглэвэл

-u\cdot v=w\cdot v

гэж мөрдөнө. Үүнийг (\dagger) тэнцэтгэлтэй нэгтгэвэл

u\cdot v=w\cdot v=0

болж, бидний зорилго биеллээ.

Питер Тэйт (1831–1901). Жорж Брайен (1865–1928).

Сурталчилгаа
This entry was posted in Алгебр, Геометр and tagged , , , , , , . Bookmark the permalink.

Хариу Үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Та WordPress.com гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Google photo

Та Google гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Twitter picture

Та Twitter гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Facebook photo

Та Facebook гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Connecting to %s