Эйлерийн дөрвөн квадратат адилтгал

Диофантын адилтгалыг дөрвөн квадратын нийлбэр рүү Эйлер өргөтгөж, дараах үр дүнд хүрсэн:

(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)\\=(a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4)^2 +(a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)^2 \\+(a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2)^2 +(a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1)^2.

Тухайлбал, 4 бүхэл тооны квадратуудын нийлбэрт тавигддаг тоонуудыг үржүүлэхэд мөн тийм төрлийн тоо гарна:

(\Box+\Box+\Box+\Box)(\Box+\Box+\Box+\Box)=\Box+\Box+\Box+\Box.

Үнэндээ, ямар ч натурал тоог 4 квадратын нийлбэр хэлбэртэй бичиж болно гэдгийг Диофантын үеийн Грекчүүд туршлагаар олж тогтоосон бол 1770 онд Жозеф Луи Лагранж эцэслэн баталсан байгаа. Тэгэхээр Эйлерийн адилтгал нь энд ямар үүрэг гүйцэтгэх вэ гэвэл Лагранжийн теоремын баталгааг анхны тоонуудын хувьд хийхэд хангалттай болгоно гэсэн үг.

Эйлерийн адилтгал нь Диофантын адилтгалын адил ямар ч коммутатив цагирагт хүчинтэй. Адилтгалын батлахын тулд, баруун гар тал дахь 4 гишүүнийг тус тусад нь задалж бичье:

(a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4)^2=a_1^2b_1^2+a_2^2b_2^2 + a_3^2b_3^2 + a_4^2b_4^2\\+2a_2a_3b_2b_3+2a_2a_4b_2b_4+2a_3a_4b_3b_4-2a_1a_2b_1b_2-2a_1a_3b_1b_3-2a_1a_4b_1b_4

(a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)^2=a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2 + a_3^2b_4^2 + a_4^2b_3^2\\+2a_1a_2b_1b_2+2a_1a_3b_2b_4+2a_2a_3b_1b_4-2a_1a_4b_2b_3-2a_2a_4b_1b_3-2a_3a_4b_3b_4

(a_1 b_3 + a_3 b_1 + a_4 b_2 - a_2 b_4)^2=a_1^2b_3^2+a_3^2b_1^2 + a_2^2b_4^2 + a_4^2b_2^2\\+2a_1a_3b_1b_3+2a_1a_4b_2b_3+2a_3a_4b_1b_2-2a_1a_2b_3b_4-2a_2a_3b_1b_4-2a_2a_4b_2b_4

(a_1 b_4 + a_4 b_1 + a_2 b_3 - a_3 b_2)^2=a_1^2b_4^2+a_4^2b_1^2 + a_2^2b_3^2 + a_3^2b_2^2\\+2a_1a_4b_1b_4+2a_2a_4b_1b_3+2a_1a_2b_3b_4-2a_3a_4b_1b_2-2a_1a_3b_2b_4-2a_2a_3b_2b_3

Эдгээр тэнцэтгэлийн баруун гар талд a_i^2b_k^2 хэлбэрийн 16 гишүүн, a_ia_kb_kb_\ell хэлбэрийн 24 гишүүн байгаа. Дурдагдсан 16 гишүүдийн нийлбэр Эйлерийн адилтгалын зүүн гар тал дахь

(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)

үржвэртэй тэнцүү. Харин үлдсэн 24 гишүүд нь хос хосоороо устана. Яаж усталцаж байгааг нь дараах диаграмаар дүрсэлж харуулав.

Сурталчилгаа
This entry was posted in Алгебр, Тооны онол and tagged , . Bookmark the permalink.

Хариу Үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Та WordPress.com гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Google+ photo

Та Google+ гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Twitter picture

Та Twitter гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Facebook photo

Та Facebook гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Connecting to %s