Гипер-эллипслэг интегралын тухай Лежандрын теорем

Өмнөх постоор бид R(u,v) нь 2 хувьсагчийн рационал функц, g(z) нь квадрат олон гишүүнт бол R(x,\sqrt{g(z)}) хэлбэрийн иррационал функцийн интеграл нь Эйлерийн орлуулгаар рационал функцийн интегралд хувирдгийг харсан. Тэгвэл g(z) нь n зэргийн олон гишүүнт бол юу болох бол? Энд n=3 эсвэл n=4 бол

\displaystyle\int R(z,\sqrt{g(z)})dz\qquad(*)

хэлбэрийн интегралыг эллипслэг интеграл, n-ийн хувьд хязгаар заагаагүй бол гипер-эллипслэг интеграл гэж нэрлэдэг. Ямар ч эллипслэг интегралыг 3 төрлийн «үндсэн» эллипслэг интегралын тусламжтай илэрхийлж болно гэдгийг 1790 оны үед Адриен-Мари Лежандр баталсан. Түүний теоремын эхний хагас нь гипер-эллипслэг тохиолдолд ч хүчинтэй:

Ямар ч рационал функц R(u,v)-ийн хувьд гипер-эллипслэг интеграл (*) нь дараах төрлийн интегралуудаар бүрэн илэрхийлэгдэнэ. Үүнд

\displaystyle \int\frac{dz}{(z-\alpha)\sqrt{g(z)}},\quad\int\frac{dz}{\sqrt{g(z)}},\quad\int\frac{zdz}{\sqrt{g(z)}},\quad\ldots,\quad\int\frac{z^{n-2}dz}{\sqrt{g(z)}}.

Жишээлбэл, n=2 тохиолдолд

\displaystyle \int\frac{dz}{(z-\alpha)\sqrt{az^2+bz+c}},\qquad\int\frac{dz}{\sqrt{az^2+bz+c}}

гэсэн 2 интегралыг л бодоод сурчихвал

\displaystyle\int R(z,\sqrt{az^2+bz+c})dz

хэлбэрийн бүх интеграл дагаад бодогдоно гэсэн үг.

Энэ постоор бид дээрх үр дүнг батална. Лежандр өөрөө зөвхөн бодит хувьсагчийн функцүүдтэй ажиллаж байсан боловч бид энд хялбар бас ерөнхийг бодож комплекс хувьсагчийн функцүүдийг шууд авч үзнэ. Юуны түрүүнд P(u,v),\,Q(u,v) гэсэн олон гишүүнтүүдийг оруулан

\displaystyle R(u,v)=\frac{P(u,v)}{Q(u,v)}

гэж бичээд, P(u,v),\,Q(u,v) олон гишүүнтүүдээ v хувьсагчийнх нь хувьд тэгш сондгой зэргээр нь ялгавал

\displaystyle R(z,\sqrt{g})=\frac{P(z,\sqrt{g})}{Q(z,\sqrt{g})}=\frac{P_1(z,g)+\sqrt{g}P_2(z,g)}{Q_1(z,g)+\sqrt{g}Q_2(z,g)}

болно. Энд P_1(u,v),\,P_1(u,v),\,Q_1(u,v),\,Q_2(u,v) нь олон гишүүнтүүд. Дээрх илэрхийллийн хуваарийг иррационалаас чөлөөлснөөр

\displaystyle R(z,\sqrt{g})=\frac{(P_1+\sqrt{g}P_2)(Q_1-\sqrt{g}Q_2)}{(Q_1+\sqrt{g}Q_2)(Q_1-\sqrt{g}Q_2)}=\frac{P_1Q_1-gP_2Q_2+\sqrt{g}(P_2Q_1-P_1Q_2)}{Q_1^2-gQ_2^2}

буюу

\displaystyle R(z,\sqrt{g})=\frac{P_0(z)+\sqrt{g(z)}P_3(z)}{Q_0(z)}

хэлбэрт орно. Үүний \frac{P_0(z)}{Q_0(z)} нь жирийн рационал функц тул ямар ч гипер-эллипслэг интегралыг дараах хэлбэрийн иррационал интегралд шилжүүлж болно гэсэн үг:

\displaystyle \int\frac{P_3(z)\sqrt{g(z)}}{Q_0(z)}dz.

Интеграл дорх илэрхийллийн хүртвэрийг иррационалаас чөлөөлөн

\displaystyle \int\frac{g(z)P_3(z)}{Q_0(z)\sqrt{g(z)}}dz=\int\frac{P_4(z)}{Q_0(z)\sqrt{g(z)}}dz

гэж бичиж бас болно. Лежандр энэ сүүлийн хэлбэрийг нь гарааны цэгээ болгосон байгаа. Одоо \frac{P_4(z)}{Q_0(z)} бутархайн

\displaystyle \frac{P_4(z)}{Q_0(z)}=p(z)+\frac{A_{1}}{(z-a)}+\frac{A_2}{(z-a)^2}+\ldots+\frac{B_1}{(z-b)}+\ldots

задаргааг ашиглан, дээрх интеграл нь

\displaystyle \Pi_k=\int\frac{z^kdz}{\sqrt{g(z)}},\qquad\qquad\Pi'_{-k}=\int\frac{dz}{(z-\alpha)^k\sqrt{g(z)}},\qquad(k=0,1,\ldots),

хэлбэрийн интегралуудад задрахыг харж болно. Энд байгаа төгсгөлгүй олон интеграл бие биеэсээ ихээр хамаардаг байх ёстой.

Дээр дурдсан хамаарлуудыг илрүүлэхийн тулд

\displaystyle \big(z^k\sqrt{g(z)}\big)'=kz^{k-1}\sqrt{g(z)}+\frac{z^kg'(z)}{\sqrt{g(z)}}=\frac{z^{k-1}(2kg(z)+zg'(z))}{2\sqrt{g(z)}}\qquad(**)

гэсэн тооцоонд

g(z)=a_nz^n+\ldots+a_1z+a_0

гэж орлуулснаар

\displaystyle \big(z^k\sqrt{g(z)}\big)'=\frac{(2k+n)a_nz^{n+k-1}+\ldots+(2k+1)a_1z^{k}+2ka_0z^{k-1}}{2\sqrt{g(z)}}

болох ба, үүнийг интегралчилбал \Pi_{n+k-1},\Pi_{n+k-2},\ldots,\Pi_{k},\Pi_{k-1} интегралуудын хооронд холбоо тогтоно. Ялангуяа, a_n\neq0 тул \Pi_{n+k-1} интегралыг бусад интегралуудынх нь тусламжтай илэрхийлж болно гэсэн үг. Энэ процедурыг доош нь k=0 хүртэл явуулж болно. Өөрөөр хэлбэл, \Pi_k хэлбэрийн бүх интеграл нь зөвхөн \Pi_0,\ldots,\Pi_{n-2} буюу

\displaystyle \int\frac{dz}{\sqrt{g(z)}},\quad\int\frac{zdz}{\sqrt{g(z)}},\quad\ldots,\quad\int\frac{z^{n-2}dz}{\sqrt{g(z)}},

гэсэн n-1 ширхэг интегралаар бүрэн илэрхийлэгдэнэ.

Одоо \Pi'_{-k} төрлийн интегралаа w=z-\alpha орлуулгаар

\displaystyle \Pi'_{-k}=\int\frac{dw}{w^k\sqrt{g(w+\alpha)}}

болгож хувиргая. Уламжлалын (**) томъёо мэдээж k нь сөрөг үед ч хүчинтэй. Тэгэхээр

g(w+\alpha)=b_nw^n+\ldots+b_1w+b_0

гэж бичээд

\displaystyle \big(w^k\sqrt{g(w+\alpha)}\big)'=\frac{(2k+n)b_nw^{n+k-1}+\ldots+(2k+1)b_1w^{k}+2kb_0w^{k-1}}{2\sqrt{g(w+\alpha)}}

гэсэн томъёог гаргаж болно. Дээрхтэй төстэйгөөр, эндээс \Pi'_{n+k-1},\Pi'_{n+k-2},\ldots,\Pi'_{k},\Pi'_{k-1} интегралуудын хооронд холбоо тогтох бөгөөд \Pi'_{-2},\Pi'_{-3},\ldots хэлбэрийн бүх интегралыг \Pi'_{-1},\Pi'_{0},\ldots,\Pi'_{n-2} интегралуудын тусламжтай илэрхийлэх боломжтой нь харагдана. Энд b_0\neq0 гэж үзсэн байгаа. Хэрэв b_0=0 бол хамгийн бага индекстэй b_j\neq0 гишүүнийг ашиглан дээш нь хөөх хэрэгтэй. Эцэст нь, j\geq0 үед

\displaystyle \Pi'_{j}=\int\frac{w^jdw}{\sqrt{g(w+\alpha)}}=\int\frac{(z-\alpha)^jdz}{\sqrt{g(z)}}

тул, \Pi'_j нь \Pi_0,\ldots,\Pi_j интегралуудаар илэрхийлэгдэнэ гэсэн үг. Иймд \Pi_k,\,\Pi'_k,\,(k=0,1,\ldots) интегралуудын аль нь ч \Pi'_{-1},\Pi_0,\ldots,\Pi_{n-2} буюу

\displaystyle \int\frac{dz}{(z-\alpha)\sqrt{g(z)}},\quad\int\frac{dz}{\sqrt{g(z)}},\quad\int\frac{zdz}{\sqrt{g(z)}},\quad\ldots,\quad\int\frac{z^{n-2}dz}{\sqrt{g(z)}}

интегралуудын тусламжтай бүрэн илэрхийлэгдэнэ. Бидний батлах гэсэн зүйл батлагдлаа.

Адриен-Мари Лежандр (1752–1833)

Сурталчилгаа
This entry was posted in Анализ and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

Хариу Үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Та WordPress.com гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Google photo

Та Google гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Twitter picture

Та Twitter гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Facebook photo

Та Facebook гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Connecting to %s