Бернуллийн тэнцэл биш

Алдарт Бернуллийн тэнцэл биш нь \alpha\geq1 ба x\geq-1 үед биелдэг

(1+x)^\alpha\geq 1+\alpha x

хэлбэрийн тэнцэл биш байгаа. Үүнд \alpha=1 эсвэл x=0 биш л бол Бернуллийн тэнцэл биш нь эрс тэнцэл биш болно.

Энэ тэнцэл бишийг Якоб Бернулли 1689 онд хэвлүүлсэн номондоо оруулснаас үүдэн  бид Бернуллийн тэнцэл биш гэж нэрлэдэг. Гэвч үнэндээ Бернуллийг 13 настай байхад Бельгийн математикч Рене-Франсуа де Слюз энэ тэнцэл бишийг хэвлүүлж байжээ.

Слюзийн номыг нь унших гэж оролдоод барсангүй. Харин Бернуллийн номны холбогдох хэсгийг Google Translate руу хийж байгаад харахад иймэрхүү маягаар томъёолсон байна:

A, B, C, D, E, … гэсэн геометр прогресс, A, B, F, G, H, … гэсэн арифметик прогресс өгөгдсөн ба A, B гэсэн хоёр тоогоор хоёулаа гараагаа эхэлдэг бол, геометр прогрессын үлдсэн гишүүд нь арифметик прогрессынхоо харгалзах гишүүдээс их, гуравдахь гишүүн нь гуравдахь гишүүнээсээ, дөрөвдэх нь дөрөвдэхээсээ, сүүлчийнх нь сүүлчийнхээсээ, гэх мэтчилэн.

Латин эх нь:

J. Bernoulli. Positiones Arithmeticae de Seriebus Infinitis (Basel, 1689). 380-р тал.

Бернуллийн тэнцэл бишийг \alpha\in\mathbb{N} үед индукцээр батлахад амархан. Ерөнхий тохиолдолд бол уламжлал оролцуулсан шинжүүр хэрэглэж болно. Энд логарифм функцийн чанарыг ашигласан нэгэн хялбар баталгааг толилуулъя. Юуны түрүүнд, логарифмын хотгор чанараас

\displaystyle  \frac1\alpha\log(1+x)  =\frac{\alpha-1}\alpha\log1+\frac1\alpha\log(1+x)  \leq\log\big(\frac{\alpha-1}\alpha+\frac{1+x}\alpha\big)  =\log\big(1+\frac{x}\alpha\big)

гэж гарна. Үүнд \alpha\neq1 ба x\neq0 бол тэнцэтгэл биш эрс байна гэдгийг анхаар. Мөн илэрхийлэлд орсон логарифмын утгууд тодорхойлогдож байхын тулд x>-1, хотгор чанарын тэнцэл биш биелдэг байхын тулд \alpha\geq1 байх хэрэгтэй. Одоо логарифмын өсөх чанараас (1+x)^{\frac1\alpha}  \leq1+\frac{x}\alpha буюу

\displaystyle  1+x  \leq\big(1+\frac{x}\alpha\big)^{\alpha}

гэж гарах ба, эндээс \frac{x}\alpha\mapsto x гэсэн орлуулгаар

\displaystyle  1+\alpha x  \leq(1+x)^{\alpha}

болно. Энэ гаргалгаанд шаардагдсан нөхцлүүдийг дахин дүгнэвэл: \alpha\geq1 ба x>-\frac1\alpha.

Дасгал. Дээрх аргыг ашиглан 0\leq\alpha\leq1 ба x\geq-1 үед

(1+x)^\alpha\leq 1+\alpha x

байна гэж батал. Эрс тэнцэл биш нь ямар үед биелэх вэ?

Сурталчилгаа
This entry was posted in Анализ, Тэнцэл биш and tagged , , . Bookmark the permalink.

Хариу Үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Та WordPress.com гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Google photo

Та Google гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Twitter picture

Та Twitter гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Facebook photo

Та Facebook гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Connecting to %s