Сильвестрийн процедур

Өмнөх постоор танилцсан шинэ ойлголтуудынхаа хүрээнд Чебышёвын онолыг «тайлбарлах» гэж оролдъё. Чебышёвын онолын гол асуудал нь

\displaystyle \sum_{k\leq x}\psi(x/k)=T(x)\equiv\sum_{n\leq x}\ln n=x\ln x-x+O(\ln x)

харьцааг ойролцоогоор ч болтугай урвуулж, \psi(x) функцийн талаар мэдээлэл гаргаж авах явдал байгаа. Үүнийг урвуулах нэг арга бол, \Lambda=\mu*\ln адилтгалаас эхлээд, өмнөх постны хуйлаасыг нийлбэрчлэх теоремыг ашиглан

\displaystyle \psi(x)=\sum_{n\leq x}\Lambda(n)=\sum_{n\leq x}(\mu*\ln)(n)=\sum_{k\leq x}\mu(k)T(x/k)

гэж гаргах явдал юм. Энэ томъёо \psi(x) функцийг T(x) функцээр яг илэрхийлэх боловч, өмнө өгүүлснээр Мёбиусын функцийн талаарх мэдлэгийг шаардах тул,  \mathit1*\Lambda=\ln адилтгалыг \nu\approx\mu гэсэн функцтэй хуйлбал

\nu*\mathit1*\Lambda=\nu*\ln

болно. Үүнийг нийлбэрчилбэл

\displaystyle V(x)=\sum_{n\leq x}(\nu*\mathit1*\Lambda)(n)=\sum_{n\leq x}(\nu*\ln)(n)=\sum_{k\leq x}\nu(k)T(x/k)\qquad(*)

болох ба зүүн гар талыг нь

\displaystyle V(x)=\sum_{n\leq x}(\nu*\mathit1*\Lambda)(n)=\sum_{k\leq x}(\nu*\mathit1)(k)\psi(x/k)=\sum_{k\leq x}E(x/k)\Lambda(k)\qquad(**)

гэж хоёр янзаар нийлбэрчлэх боломжтой. Энд

\displaystyle E(x)=\sum_{n\leq x}(\nu*\mathit1)(n)=\sum_{k\leq x}\Big[\frac{x}{k}\Big]\nu(k).

Жишээлбэл, Чебышёвын

\displaystyle V(x)=T(x)-T(x/2)-T(x/3)-T(x/5)+T(x/30)

 сонголтыг (*) томъёотой харьцуулбал

\nu_*=\delta_1-\delta_2-\delta_3-\delta_5+\delta_{30}

функцэд харгалзах нь харагдана. Энд \delta_m(n)=\delta_{m,n} буюу, \delta_m(n) нь n=m үед л \delta_m(n)=1, бусад үед \delta_m(n)=0 гэж тодорхойлогдсон функц.

Одоо (*)-(**) томъоноос \psi(x) функцийн үнэлгээг гаргаж авч болдог байхын тулд \nu функц ямар ямар шинж чанартай байх хэрэгтэй вэ? гэсэн ауултанд хариулахыг оролдъё.

  • Юуны түрүүнд, T(x)=x\ln x+O(x) гэдгийг санаад, (*) томъёоны зүүн гар тал \approx\psi(x) гэж бодвол, уг томъёоны баруун гар тал O(x) хэмжээтэй байхын тулд \sum_n\nu(n)/n=0 байх хэрэгтэй. Чебышёвын схем энэ шаардлагыг хангана.
  • Хоёрдугаарт, (*) томъёоны зүүн гар тал буюу (**) томъёоны баруун гар тал \approx\psi(x) байхын тулд ядаж x бага үед E(x)\approx1 байх хэрэгтэй. Чебышёвын схемын хувьд 1\leq x<6 мужид E(x)=1 байгаа.
  • Эцэст нь, хялбарыг бодож \nu(n)\neq0 байх n-ийн тоог төгсгөлөг гэж шаардаж болно.

Ерөнхий тохиолдолд

\displaystyle \sum_n\frac{\nu(n)}n=0\qquad(\dagger)

гэж шаардвал, Стирлингийн T(x)=x\ln x-x+O(\ln x) ойролцооллыг ашиглан (*) томъёоноос

\displaystyle V(x)=\sum_{n\leq x}\nu(n)T(x/n)=\underbrace{-\Big(\sum_{n}\frac{\nu(n)\ln n}{n}\Big)}_{A(\nu)}x+O(\ln x)=A(\nu)x+O(\ln x)

гэж гарна. Жишээ нь, Чебышёвын схемийн хувьд

\displaystyle A_*=A(\nu_*)=\frac{\ln2}2+\frac{\ln3}3+\frac{\ln5}5-\frac{\ln30}{30}=0.92129\ldots

байдгийг бид мэднэ. Цааш нь, x\geq1 үед

E(x)\leq1

гэж үзвэл (**) томъёоноос \psi(x)-ийн доод зааг

\displaystyle V(x)=\sum_{k\leq x}E(x/k)\Lambda(k)\leq\sum_{k\leq x}\Lambda(k)=\psi(x)

гээд шууд гарч ирнэ. Нөгөө талаас, 1\leq x<N үед

E(x)\geq1

гэж үзвэл

\displaystyle V(x)=\sum_{k\leq x}E(x/k)\Lambda(k)\geq\sum_{x/N<k\leq x}\Lambda(k)=\psi(x)-\psi(x/N)

болох ба,

\displaystyle \psi(x)-\psi(x/N)\leq V(x)=A(\nu)x+O(\ln x),\\\psi(x/N)-\psi(x/N^2)\leq V(x/N)=A(\nu)x/N+O(\ln x),\\\psi(x/N^2)-\psi(x/N^3)\leq V(x/N^2)=A(\nu)x/N^2+O(\ln x),\\\ldots

гэсэн [\frac{\ln x}{\ln N}] ширхэг мөрийг хооронд нь нэмснээр

\displaystyle \psi(x)\leq(1+N^{-1}+N^{-2}+\ldots)A(\nu)x+O(\ln^2\!x)=\frac{N}{N-1}A(\nu)x+O(\ln^2\!x)

гэсэн зааг олдоно. Дээрх хоёр заагийг нэгтгэж бичвэл

\displaystyle A(\nu)x+O(\ln x)\leq\psi(x)\leq\frac{N}{N-1}A(\nu)x+O(\ln^2\!x).\qquad(\dagger\dagger)

Чебышёвын схемийн хувьд E(x) нь 30 үетэй, үргэлж 0\leq E(x)\leq1 байдаг. Түүнчлэн x<6 үед E(x)=1 тул N=6 гэсэн үг. Эндээс бидний танил

\displaystyle A_*x+O(\ln x)\leq\psi(x)\leq\frac65A_*x+O(\ln^2\!x)

зааг шууд мөрдөнө. Дараах зурагт Чебышёвын схемд харгалзах E(x) функцийг дүрслэв.

(**) томъёоноос

\displaystyle V(x)=\sum_{n\leq x}E(x/n)\Lambda(n)=\sum_{n\leq x}\big(E(n)-E(n-1)\big)\psi(x/n)

тул V(x) функцийг \psi(x/n) функцүүдээр задалсан задаргааг энэ график дээрээс шууд «уншиж» болно. Жишээлбэл, Чебышёвын схем дээр

\displaystyle V(x)=\psi(x)-\psi(x/6)+\psi(x/7)-\psi(x/10)+\psi(x/11)-\psi(x/12)+\ldots.

Энэ зургийг харж байгаад, \psi(x) функцийн үл буурах чанарыг ашиглаад

\displaystyle V(x)=\psi(x)\underbrace{-\psi(x/6)+\psi(x/7)}_{\leq0}\underbrace{-\psi(x/10)+\psi(x/11)}_{\leq0}\underbrace{-\psi(x/12)+\ldots}_{\leq0}\\{}\qquad\leq\psi(x)

\displaystyle V(x)=\psi(x)-\psi(x/6)+\underbrace{\psi(x/7)-\psi(x/10)}_{\geq0}+\underbrace{\psi(x/11)-\psi(x/12)}_{\geq0}+\ldots\\{}\qquad\geq\psi(x)-\psi(x/6)

тэнцэл бишүүдийг гаргаж авахад амархан. Үүнийг дор зургаар дүрсэлж үзүүлэв. Үл буурах чанараар хооронд нь хослуулан устгасан гишүүдийг тасархай улаан шугамаар холбосон. 

Чебышёвын ажлаас 30-40 жилийн дараа Жеймс Сильвестр ба түүний хамтрагч Жеймс Хаммонд нар

\nu_1=\delta_1-2\delta_2,\\\nu_2=\delta_1-\delta_2-2\delta_3+\delta_6,\\\nu_3=\delta_1-\delta_2-\delta_3-\delta_4+\delta_{12}

гэсэн 3 шинэ схемийг олсон. Сильвестрийн өөрийнх нь тэмдэглэгээгээр эдгээрийг

\nu_1=[1;2,2],\qquad\nu_2=[1,6;2,3,3],\qquad\nu_3=[1,12;2,3,4]

гэж бичнэ. Энэ тэмдэглэгээгээр Чебышёвын схем

\nu_*=[1,30;2,3,5]

болно гэсэн үг. Дээрх шинэ схемүүд бүгд {}(\dagger) нөхцлийг хангах ба үргэлж 0\leq E(x)\leq1 байдаг. Түүнчлэн

  • \nu_1 схемийн хувьд E(x)-ийн үе нь 2 ба x<2 үед E(x)=1.
  • \nu_2 схемийн хувьд E(x)-ийн үе нь 6 ба x<3 үед E(x)=1.
  • \nu_3 схемийн хувьд E(x)-ийн үе нь 12 ба x<4 үед E(x)=1.

Дээрх 3 схемийн E(x) функцүүдийг дараах зурагт дүрслэв.

Ингээд (\dagger\dagger) томъёонд орсон A(\nu) ба B(\nu)=\frac{N}{N-1}A(\nu) тогтмолуудыг дээрх схем тус бүр дээр бодвол

A(\nu_1)=0.6931\ldots,\qquad B(\nu_1)=2A(\nu_1)=1.3862\ldots,\\A(\nu_2)=0.7803\ldots,\qquad B(\nu_2)=\frac32A(\nu_2)=1.1705\ldots,\\A(\nu_3)=0.8522\ldots,\qquad B(\nu_3)=\frac43A(\nu_3)=1.1363\ldots

гарна. Эдгээр хосуудын аль нь ч Чебышёвын

A(\nu_*)=0.9212\ldots,\qquad B(\nu_*)=\frac65A(\nu_*)=1.1055\ldots

хосыг давж гарахгүй боловч \psi(x)=O(x) ба \frac1{\psi(x)}=O(x) заагуудыг нэг их ажил удалгүйгээр өгөх тул зарим үед илүү сонирхол татаж мэднэ. Жишээлбэл, Бертраны постулатыг батлахад \nu_2 схем байхад л хангалттай.

Үнэндээ, дээрх 4 схемээс өөр 0\leq E(x)\leq1 байдаг схем өдий хүртэл олдоогүй. Чебышёвын тогтмолуудыг сайжруулахын тулд энэ шаардлагыг хангадаггүй илүү ерөнхий схемүүдийг Сильвестр авч үзсэн. Тухайлбал

\nu_4=\delta_1-\delta_2-\delta_3-\delta_6,\\\nu_5=\delta_1+\delta_{15}-\delta_2-\delta_3-\delta_5-\delta_{30},\\\nu_6=\delta_1+\delta_6+\delta_{70}-\delta_2-\delta_3-\delta_5-\delta_7-\delta_{210}

буюу Сильвестрийн тэмдэглэгээгээр

\nu_4=[1,6;2,3],\qquad\nu_5=[1,15;2,3,5,30],\qquad\nu_6=[1,6,70;2,3,5,7,210]

схемүүд бүгд {}(\dagger) нөхцлийг хангах ба үргэлж 0\leq E(x)\leq2 байдаг. Түүнчлэн

  • \nu_4 схемийн хувьд E(x)-ийн үе нь 6 ба x<6 үед E(x)\geq1, x<5 үед E(x)=1.
  • \nu_5 схемийн хувьд E(x)-ийн үе нь 30 ба x<6 үед E(x)=1, x<17 үед E(x)\leq1.
  • \nu_6 схемийн хувьд E(x)-ийн үе нь 210 ба x<10 үед E(x)=1, x<13 үед E(x)\leq1.

Сүүлийн схемийн E(x) функцийн үе 210 тул дээрх зурагт багтаагүй байгаа. Үүний нэг бүтэн үеийг дор дүрслэв.

Одоо x\geq1 үед \chi(x)=1 байдаг, x<1 үед \chi(x)=0 байдаг \chi(x) гэсэн функц тодорхойлбол, дээр авч үзсэн E(x) функцүүд бүгд

E(x)\geq\chi(x)-\chi(x/N),\qquad E(x)\leq\chi(x)+\chi(x/M)

тэнцэл бишүүдийг хангана. Үүнд

  • \nu_4 схемийн хувьд N=6 ба M=5.
  • \nu_5 схемийн хувьд N=6 ба M=17.
  • \nu_6 схемийн хувьд N=10 ба M=13.

Эдгээр схемүүдийн A(\nu) тогтмолууд нь

A(\nu_4)=1.0114\ldots,\quad A(\nu_5)=0.9675\ldots,\quad A(\nu_6)=0.9787\ldots.

Бидний анх гаргасан (\dagger\dagger) томъёоны дээд заагт ямар ч өөрчлөлт орохгүй:

\displaystyle V(x)=\sum_{k\leq x}E(x/k)\Lambda(k)\geq\sum_{x/N<k\leq x}\Lambda(k)=\psi(x)-\psi(x/N)

тул

\psi(x)\leq\frac{N}{N-1}A(\nu)x+O(\ln^2\!x).\qquad(\ddagger)

Нөгөө заагийнх нь хувьд

\displaystyle V(x)=\sum_{k\leq x}E(x/k)\Lambda(k)\leq\sum_{k\leq x}\Big(1+\chi\Big(\frac{x}{Mk}\Big)\Big)\Lambda(k)=\psi(x)+\psi(x/M)

болох ба (\ddagger) заагаа ашиглавал

\psi(x)\geq V(x)-\psi(x/M)\geq\big(1-\frac{N}{M(N-1)}\big)A(\nu)x+O(\ln^2\!x)

гэж гарна. Жишээ болгож \nu_5 схемийн хувьд V(x)\leq\psi(x)+\psi(x/17) ба V(x)\geq\psi(x)-\psi(x/6) тэнцэл бишүүдийг график аргаар яаж гаргаж болохыг үзүүлье.

Ингээд A'(\nu)=\big(1-\frac{N}{M(N-1)}\big)A(\nu) ба B(\nu)=\frac{N}{N-1}A(\nu) тогтмолуудыг схем тус бүр дээр бодвол

A'(\nu_4)=\frac{19}{25}A(\nu_4)=0.7686\ldots,\qquad B(\nu_4)=\frac65A(\nu_4)=1.2136\ldots,\\A'(\nu_5)=\frac{79}{85}A(\nu_5)=0.8992\ldots,\qquad B(\nu_5)=\frac65A(\nu_5)=1.1610\ldots,\\A'(\nu_6)=\frac{107}{117}A(\nu_6)=0.8951\ldots,\qquad B(\nu_6)=\frac{10}9A(\nu_6)=1.0875\ldots.

Энэ дундаас B(\nu_6) тогтмол Чебышёвын B(\nu_*)=1.1055\ldots тогтмолоос бага байгаа нь бидний хөдөлмөр ямар ч байсан талаар болоогүйг харуулна. Гэхдээ иймэрхүү маягаар явбал ахиц гаргахад их хүндрэх төлөвтэй.

Чебышёвын онолд Сильвестрийн оруулсан гол хувь нэмэр нь ямар ч схем өгөгдсөн байсан гэсэн түүнээс гарах тогтмолуудын утгыг давтагдах процесс ашиглан сайжруулах арга олсон явдал юм. Хялбарыг бодоод гол санааг нь \nu_4 схемийн хувьд тайлбарлая. Энэ схемийн хувьд a_0=A'(\nu_4)b_0=B(\nu_4) тогтмолуудтайгаар

a_0x+O(\ln^2\!x)\leq\psi(x)\leq b_0x+O(\ln^2\!x)\qquad(\ddagger\ddagger)

байгаа. Үүнийг анх гаргахдаа

\displaystyle V(x)=\psi(x)-\psi(x/6)+\underbrace{\psi(x/5)-\psi(x/6)}_{\geq0}+\underbrace{\psi(x/7)+\psi(x/11)-2\psi(x/12)}_{\geq0}+\ldots\\{}\qquad\geq\psi(x)-\psi(x/6)

ба

\displaystyle V(x)=\psi(x)+\psi(x/5)\underbrace{-2\psi(x/6)+\psi(x/7)+\psi(x/11)}_{\leq0}\underbrace{-2\psi(x/12)+\psi(x/13)+\psi(x/17)}_{\leq0}+\ldots\\{}\qquad\leq\psi(x)+\psi(x/5)

заагуудыг ашигласан. Эдгээрийг сайжруулах үүднээс эхнийхийг нь

\displaystyle V(x)=\psi(x)-\psi(x/6)+\underbrace{\psi(x/5)-\psi(x/6)}_{\geq0}+\psi(x/7)-\psi(x/12)+\underbrace{\psi(x/11)-\psi(x/12)}_{\geq0}+\ldots\\{}\qquad\geq\psi(x)-\psi(x/6)+\psi(x/7)-\psi(x/12)

хоёрдахийг нь

\displaystyle V(x)=\psi(x)+\psi(x/5)-\psi(x/6)+\psi(x/11)\underbrace{-\psi(x/6)+\psi(x/7)}_{\leq0}\underbrace{-2\psi(x/12)+\ldots}_{\leq0}\\{}\qquad\leq\psi(x)+\psi(x/5)-\psi(x/6)+\psi(x/11)

болгож өөрчлөе. Гол санаа нь юу вэ гэхээр жишээ нь \psi(x/7)-\psi(x/12) илэрхийлэлд x/7 ба x/12 нь хоорондоо хол учраас үүнийг \psi(x/7)-\psi(x/12)\geq0 гээд орхисны оронд (\ddagger\ddagger) үнэлгээнүүдээ хэрэглэвэл илүү үр дүнтэй байж мэднэ. Дээрх хоёр заагийг графикаар дүрсэлбэл

Үүнд цэнхэр цэгүүд нь өмнө нь байсан гишүүдийг, ногоон цэгүүд нь сая нэмэгдсэн гишүүдийг тэмдэглэнэ. Цаашид бид цэнхэр цэгүүдийг нь онцгой цэгүүд гэж ярьж байх болно. Ингээд

\displaystyle \psi(x)-\psi(x/6)\leq V(x)-\psi(x/7)+\psi(x/12)\leq V(x)-\big(\frac{a_0}7-\frac{b_0}{12}\big)x+O(\ln^2\!x)

\displaystyle \psi(x)\geq V(x)-\psi(x/5)+\psi(x/6)-\psi(x/11)\geq V(x)+\big(\frac{a_0}6-\frac{b_0}{11}-\frac{b_0}{5}\big)x+O(\ln^2\!x)

гарах ба A=A(\nu_4) гэсэн тэмдэглэгээтэйгээр

\displaystyle \big(A+\frac{a_0}6-\frac{b_0}{11}-\frac{b_0}{5}\big)x+O(\ln^2\!x)\leq\psi(x)\leq \frac65\big(A-\frac{a_0}7+\frac{b_0}{12}\big)x+O(\ln^2\!x).

Тэгэхээр \{a_i\} ба \{b_i\} дарааллуудыг

\begin{cases}a_{i+1}&=A+\frac{a_i}6-\frac{b_i}{11}-\frac{b_i}{5}\\b_{i+1}&=\frac65\big(A-\frac{a_i}7+\frac{b_i}{12}\big)\end{cases}\qquad(\S)

рекуррент томъёогоор тодорхойлбол,

\displaystyle a_ix+O(\ln^2\!x)\leq\psi(x)\leq b_ix+O(\ln^2\!x)

байх нь ойлгомжтой. Одоо i\to\infty үед a_i\to a=\alpha A ба b_i\to b=\beta A гэж таавал, дээрх рекуррент харьцаанууд хязгаартаа

\begin{cases}\alpha&=1+\frac{\alpha}6-\frac{\beta}{11}-\frac{\beta}{5}\\\beta&=\frac65\big(1-\frac{\alpha}7+\frac{\beta}{12}\big)\end{cases}

болж хувирах ба эндээс

\displaystyle\alpha=\frac{4242}{5391}=0.7868\ldots,\qquad\beta=\frac{6380}{5391}=1.0552\ldots

гэж гарна. Иймд хэрэв бидний таамаглал

a_i\to a=\alpha A=0.7958\ldots,\qquad b_i\to b=\beta A=1.1969\ldots

үнэн бол ямар ч \varepsilon>0 тооны хувьд

\displaystyle (a-\varepsilon)x+O(\ln^2\!x)\leq\psi(x)\leq (b+\varepsilon)x+O(\ln^2\!x)

тэнцэл биш биелэх тул, эдгээр a,\,b тогтмолууд нь анхны

A'(\nu_4)=0.7686\ldots,\qquad B(\nu_4)=1.2136\ldots

тогтмолуудын утгыг дээрх рекуррент процедурын хүчинд бага зэрэг сайжруулчихлаа гэсэн үг. Энэ таамаглалыг батлахын тулд a_i=(\alpha+\Delta\alpha_i)A ба b_i=(\beta+\Delta\beta_i)A гэсэн тэмдэглэгээнүүд оруулснаар

\begin{cases}\Delta\alpha_{i+1}&=\frac{\Delta\alpha_i}6-\frac{\Delta\beta_i}{11}-\frac{\Delta\beta_i}{5}=\frac{\Delta\alpha_i}6-\frac{16}{55}\Delta\beta_i\\\Delta\beta_{i+1}&=\frac65\big(-\frac{\Delta\alpha_i}7+\frac{\Delta\beta_i}{12}\big)=-\frac{6}{35}\Delta\alpha_i+\frac1{10}{\Delta\beta_i}\end{cases}

буюу

\displaystyle \begin{pmatrix}\Delta\alpha_{i+1}\\\Delta\beta_{i+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac16&-\frac{16}{55}\\-\frac{6}{35}&\frac1{10}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\Delta\alpha_{i}\\\Delta\beta_{i}\end{pmatrix}

болно. Энд орсон матрицын хувийн утгууд нь

\lambda_1=-0.0924\ldots,\qquad\lambda_2=0.3591\ldots

тул C_1,\ldots,C_4 тогтмолуудын утга ямар ч байсан гэсэн

\displaystyle \Delta\alpha_{i}=C_{1}\lambda_1^i+C_{2}\lambda_2^i,\qquad\Delta\beta_{i}=C_{3}\lambda_1^i+C_{4}\lambda_2^i

дарааллууд i\to\infty үед хоёул 0 рүү тэмүүлнэ. Түүнчлэн, энэ процедурын үр дүн болсон a,\,b тогтмолуудын утга нь эхний a_0,\, b_0 тогтмолуудаас хамаарахгүй, зөвхөн (\S) рекуррент харьцааны коэффициентүүдээс хамаарах нь тодорхой. Үнэндээ a_0=0 эсвэл a_0<0 байсан ч дээрх томъёонууд бүгд хүчинтэй болохыг дахиад нэг шалгаарай. Тэгэхээр Сильвестрийн процедур нь, жишээ нь a_0=0,\,b_0=100 гэсэн маш хялбар заагаас эхлээд, сайн чанарын заагийг дараалан дөхөх аргаар гаргаж авдаг арга юм. Дорх зурагт a_0=0.1,\,b_0=3 ба a_0=0,\,b_0=6 гэсэн хоёр янзын анхны нөхцөлтэй \{a_i\},\,\{b_i\} дарааллууд ямар байхыг үзүүлэв.

Сильвестрийн процедурыг цааш нь хэрэглэхээсээ өмнө, рекуррент томъёонд хүргэдэг тэнцэл бишүүдийг анх гаргахдаа V(x)-ийн задаргаанаас аль гишүүдийг нь авч үлдэхээ яаж шийдэх вэ гэсэн асуудлыг авч үзье. Энэ процедурын i-р алхмаар

\displaystyle a_ix+O(\ln^2\!x)\leq\psi(x)\leq b_ix+O(\ln^2\!x)

гэсэн зааг гарч ирнэ. Үүний дараагийн алхам дахь дээд заагт \psi(x/m)-\psi(x/n) хос ямар нөлөө үзүүлэх вэ гэвэл

V(x)=\psi(x)+\ldots+\psi(x/m)-\psi(x/n)+\ldots\\{}\qquad\displaystyle\geq\psi(x)+\ldots+\big(\frac{a_i}{m}-\frac{b_i}{n}\big)x+\ldots

тул, \displaystyle\frac{a_i}{m}-\frac{b_i}{n}>0 буюу

\displaystyle\frac{n}{m}>\frac{b_i}{a_i}

үед эерэг нөлөөтэй, эсрэгээрээ

\displaystyle\frac{n}{m}<\frac{b_i}{a_i}

үед сөрөг нөлөөтэй. Өөрөөр хэлбэл, индексээрээ хэт ойрхон хосуудыг процедурт оруулбал эцсийн үр дүнд муугаар нөлөөлнө. Доод заагийн хувьд мэдээж адилхан.

Тэгэхээр \rho>1 гэсэн нэг тогтмол тоог сонгож аваад, онцгой гишүүдээсээ гадна, V(x)-ийн дээд заагт \frac{n}{m}>\frac{b_i}{a_i} байх бүх \psi(x/m)-\psi(x/n) хэлбэрийн хосуудыг, V(x)-ийн доод заагт \frac{n}{m}>\frac{b_i}{a_i} байх бүх -\psi(x/m)+\psi(x/n) хэлбэрийн хосуудыг оруулъя. Жишээлбэл, \nu_4 схем дээр \rho=1.3 гэж авбал, дараах цэгүүд гарч ирнэ.

Цэнхрээр тэмдэглэгдсэн нь мэдээж байнга байж байх ёстой «онцгой гишүүд». Дээрх жишээтэй харьцуулахад зааг бүрт нэг нэг хос нэмэгдсэн байгаа. Тодруулбал

\displaystyle V(x)\geq\psi(x)-\psi(x/6)+\psi(x/7)-\psi(x/12)+\psi(x/13)-\psi(x/18)

\displaystyle V(x)\leq\psi(x)+\psi(x/5)-\psi(x/6)+\psi(x/11)-\psi(x/12)+\psi(x/17)

заагуудаас

\begin{cases}a_{i+1}&=A+\big(\frac16+\frac1{12}\big)a_i-\big(\frac15+\frac1{11}+\frac1{17}\big)b_i\\b_{i+1}&=\frac65A-\big(\frac17+\frac1{13}\big)\cdot\frac65a_i+\big(\frac1{12}+\frac1{18}\big)\cdot\frac65b_i\end{cases}

гэсэн давталт төрөх ба хязгаар нь

a_i\to a=0.7852\ldots,\qquad b_i\to b=1.5381\ldots

Энэ нь бидний дээр олсон a=0.7958\ldots,\,\,b=1.1969\ldots утгуудыг бодвол сул байгаа нь процедурт анхнаасаа хэтэрхий олон гишүүн нэмчихжээ гэсэн үг. Бидний сүүлд нэмсэн гишүүд \psi(x/13)-\psi(x/18) ба -\psi(x/12)+\psi(x/17) байгаа. Эдгээрийн индексүүдийн харьцааг хос хосоор нь бодож үзвэл

\displaystyle\frac{18}{13}=1.3846\ldots<\frac{b}{a}=1.5381\ldots,\qquad\frac{17}{12}=1.4166\ldots<\frac{b}{a}

тул давталтын төгсгөл хавьд эдгээр хосууд нь \frac{b}{a} харьцааг багасгахгүй «хойш нь чангааж» байсан болж таарлаа. Үүнээс дүгнэвэл

  • Ямар нэг хосын индексүүдийн харьцаа эцсийн \frac{b}{a} харьцаанаас бага бол уг хосыг процедураас хассанаар эцсийн харьцаа сайжирна.
  • Анхнаасаа \rho параметрийг \rho\approx\frac{b}{a} гэж эцсийн харьцаатай ойролцоо байхаар таахыг оролдох хэрэгтэй.

Дорх зурагт \nu_4 схемийн хувьд Сильвестрийн процедурын үр дүн \rho параметраас хэрхэн хамаарахыг үзүүлэв. Эхний график дээр a,\,b тогтмолуудыг, хоёрдахь графикт давталтын матрицын хувийн утгуудыг, гуравдахь графикт V(x) функцийн дээд доод заагт хэдэн ширхэг гишүүн оруулсныг дүрсэлсэн. Эндээс a,\,b тогтмолуудын оптималь утга нь \rho=1.5 утгын ойролцоо, V(x)-ийн дээд доод заагт тус бүр 4 гишүүн авах үед тохионо гэдэг нь харагдаж байгаа. Энэ нь бидний дээр олсон a=0.7958\ldots,\,\,b=1.1969\ldots утгууд юм.

Одоо Сильвестрийн процедурыг Чебышёвын схем дээр хэрэглэе. Үүнд \rho=1.2 гэж авснаар

\displaystyle V(x)=\psi(x)-\psi(x/6)+\psi(x/7)-\psi(x/10)+\underbrace{\psi(x/11)-\psi(x/12)+\ldots}_{\geq0}\\{}\qquad\geq\psi(x)-\psi(x/6)+\psi(x/7)-\psi(x/10)

\displaystyle V(x)=\psi(x)\underbrace{-\psi(x/6)+\psi(x/7)-\ldots+\psi(x/23}_{\leq0})-\psi(x/24)+\psi(x/29)\underbrace{-\psi(x/30)+\ldots}_{\leq0}\\{}\qquad\leq\psi(x)-\psi(x/24)+\psi(x/29)

үнэлгээнүүд гарч ирнэ. Эдгээрийг графикаар дүрсэлбэл

Эндээс

\begin{cases}a_{i+1}&=A+\frac{a_i}{24}-\frac{b_i}{29}\\b_{i+1}&=\frac65\big(A-\frac{a_i}7+\frac{b_i}{10}\big)\end{cases}

гэсэн давталт үүснэ. Үүнд A=A(\nu_*)=0.9212\ldots. Өмнөх жишээг дагаад a_i=\alpha_i A ба b_i=\beta_i A гэсэн тэмдэглэгээнүүд оруулбал рекуррент харьцаа маань

\displaystyle \begin{pmatrix}\alpha_{i+1}\\\beta_{i+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\\frac65\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac1{24}&-\frac1{29}\\-\frac{6}{35}&\frac6{50}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha_{i}\\\beta_{i}\end{pmatrix}

боллоо. Энд орсон матрицын хувийн утгууд нь

\lambda_1=-0.0054\ldots,\qquad\lambda_2=0.1671\ldots

тул C_1,\ldots,C_4 тогтмолуудын утга ямар ч байсан гэсэн

\displaystyle \alpha_{i}=\alpha+C_{1}\lambda_1^i+C_{2}\lambda_2^i,\qquad\beta_{i}=\beta+C_{3}\lambda_1^i+C_{4}\lambda_2^i

дарааллууд i\to\infty үед харгалзан \alpha ба \beta гэсэн тогтмолууд руу тэмүүлнэ. Рекуррент харьцаандаа \alpha_i=\alpha,\,\beta_i=\beta гэж тавьснаар эдгээр тогтмолуудын утга

\displaystyle\alpha=\frac{51072}{50999},\qquad\beta=\frac{59595}{50999}

гэж шууд олдох ба, эндээс

\displaystyle a_ix+O(\ln^2\!x)\leq\psi(x)\leq b_ix+O(\ln^2\!x)

тэнцэл бишүүд

a_i\to\alpha A=0.9226\ldots,\qquad b_i\to\beta A=1.0765\ldots

байх тогтмолуудтайгаар мөрдөгдөнө. Үүнийг Чебышёвын

A(\nu_*)=A=0.9212\ldots,\qquad B(\nu_*)=\frac65A=1.1055\ldots

тогтмолуудтай харьцуулахад мэдэгдэхүйц сайжирсан байгаа. Эдгээр нь Чебышёвын схемийн хувьд оптималь юм (Зураг).

Чебышёвын схем дээр рекуррент процедураа хэрэглэх замаар өмнөх параграфт дурдсан a=0.9226\ldots,\,\,b=1.0765\ldots утгуудыг Сильвестр 1881 оны ажлаараа (хуудас 530–545) гаргаж авсан. Энэ ажилд \nu_1 ба \nu_4 схемүүд анх дурдагдсан. Сүүлд энэ сэдвээр тэр 1892 онд бас нэг ажил (хуудас 687–731) хэвлүүлсэн бөгөөд тэндээ \nu_2,\,\nu_3,\,\nu_5,\,\nu_6 схемүүдээс гадна

\nu_7=[1,6,10,210,231,1155;2,3,5,7,11,105]\\\nu_8=[1, 6, 10, 14, 105;2, 3, 5, 7, 11, 13, 385, 1001]

гэсэн хоёр аварга схем шинээр дэвшүүлсэн. Энэ дотроос \nu_3 схемийг нь Сильвестрийн хамтрагч Хаммонд олсныг мөн тэмдэглэсэн байгаа.

Сильвестрийн процедурыг \nu_5 схем дээр \rho=1.2 параметртэйгээр хэрэглэвэл дараах дүр зураг харагдана.

Өөрөөр хэлбэл

\displaystyle V(x)\leq\psi(x)+\psi(x/17)-\psi(x/24)+\psi(x/29)\\{}\qquad-\psi(x/30)+\psi(x/47)-\psi(x/60)+\psi(x/77)

\displaystyle V(x)\geq\psi(x)-\psi(x/6)+\psi(x/7)-\psi(x/10)+\psi(x/13)-\psi(x/30)\\{}\qquad+\psi(x/43)-\psi(x/60)+\psi(x/73)-\psi(x/90)

гэсэн үнэлгээнүүд төрөх ба эндээс гарах давталт нь

\begin{cases}a_{i+1}&=A+\big(\frac1{24}+\frac1{30}+\frac1{60}\big)a_i-\big(\frac1{17}+\frac1{29}+\frac1{47}+\frac1{77}\big)b_i\\b_{i+1}&=\frac65A-\big(\frac17+\frac1{13}+\frac1{43}+\frac1{73}\big)\cdot\frac65a_i+\big(\frac1{10}+\frac1{30}+\frac1{60}+\frac1{90}\big)\cdot\frac65b_i\end{cases}

Үүний хязгаарыг олбол

a_i\to a=0.9119\ldots,\qquad b_i\to b=1.0909\ldots

ба харьцаа нь \frac{b}{a}=1.1963\ldots. Эдгээр нь \nu_5 схемийн хувьд оптималь утгууд болно (Зураг).

Дараачийн \nu_6 схемийн хувьд, \rho=1.1 гэж авбал

V(x)\leq\psi(x)+\psi(x/13)-\psi(x/10)+\psi(x/11)-\psi(x/15)+\psi(x/17)\\{}\qquad-\psi(x/14)+\psi(x/19)-\psi(x/20)+\psi(x/73)-\psi(x/230)+\psi(x/283)\\{}\qquad-\psi(x/440)+\psi(x/493)-\psi(x/110)+\psi(x/139)

V(x)\geq\psi(x)-\psi(x/10)+\psi(x/11)-\psi(x/15)+\psi(x/17)-\psi(x/21)\\{}\qquad+\psi(x/23)-\psi(x/28)+\psi(x/31)-\psi(x/35)+\psi(x/71)-\psi(x/100)\\{}\qquad+\psi(x/281)-\psi(x/310)+\psi(x/137)-\psi(x/190)+\psi(x/347)-\psi(x/400)

гэсэн гишүүд шүүгдэж үлдэнэ. Сильвестр өөрөө \rho=1.1 гэж авсан боловч дээрх заагуудаас харгалзан -\psi(x/440)+\psi(x/493) ба \psi(x/281)-\psi(x/310) гишүүдийг (санамсаргүй эсвэл санаатай) орхигдуулснаар

a=0.941854\ldots,\qquad b=1.056726\ldots

гэсэн үр дүнд хүрсэн. Орхигдуулсан гишүүдийг оруулаад тооцвол

a=0.941806\ldots,\qquad b=1.056825\ldots

болох тул Сильвестр дээр дурдагдсан гишүүдийг зориуд орхигдуулсан байж болох талтай. Гэхдээ яасан ч байлаа гэсэн, \nu_6 схемийн хувьд дээрх утгууд оптималь биш бөгөөд, оптималь утга нь \rho=1.105 дээр

a=0.944462\ldots,\qquad b=1.055800\ldots

байгаа. Дорх зурагт \rho параметрийг хувьсгасан үр дүнг үзүүлэв.

Эцэст нь, сүүлийн хоёр аварга схемийг нэг нэгээр нь сонирхоё. Эхний \nu_7 схемийн хувьд E(x)-ийн үе нь 2310 бөгөөд үргэлж -2\leq E(x)\leq2. Цаашилбал, x<15 үед E(x)\geq1 ба хамгийн анхны E(x)=2 болох цэг нь x=13. Түүнчлэн, хамгийн анх x=105 дээр E(x)=-1x=616 дээр E(x)=-2 утгаа авдаг.

Энд ялангуяа V(x)-ийн доод заагтай ажиллахад хэт нүсэр тул Сильвестр \rho=1.1 утганд \nu_7 схемээс гарах дээд заагийг \nu_6 схемээс гарах доод заагтай хамтатган давталт зохиож,

a=0.946197\ldots,\qquad b=1.055185\ldots

гэсэн үр дүн гаргаж авсан. Түүнчлэн, V(x)-ийн доод заагийн зөвхөн \psi(x/616) хүртэлх гишүүдийг тооцон дахиад ганц давталт хийснээр

b=1.054239\ldots

болтол нь сайжруулсан. Бидний хувьд бол компьютер ашиглан \nu_7 схемийн хувьд оптималь параметр нь \rho=1.113 гэдгийг төвөггүй олж болох ба энэ үед

a=0.946585\ldots,\qquad b=1.054309\ldots

байна. Тэгэхээр \nu_7 схемийг \nu_6 схемтэй эрлийзжүүлснээр b тогтмолын утга сайжирчээ. Дорх зурагт \nu_7 схемийн хувьд \rho параметрийг хувьсган судалсан үр дүнг үзүүлэв.

Хамгийн сүүлд, манай үнэмлэхүй аварга \nu_8 схемийн хувьд E(x)-ийн үе нь 30030 бөгөөд үргэлж -1\leq E(x)\leq4. Цаашилбал, x<15 үед E(x)\geq1 ба хамгийн анхны E(x)=2 болох цэг нь x=19. Түүнчлэн, хамгийн анх x=66 дээр E(x)=-1x=229 дээр E(x)=3x=1891 дээр E(x)=4 утгаа авдаг.

Сильвестр үүнээс

a=0.95695\ldots,\qquad b=1.04423\ldots

гэсэн хувийн рекордоо гаргаж авсан. Үнэндээ, энэ схемийн оптималь үр дүн \rho=1.09 дээр тохиох ба

a=0.957600\ldots,\qquad b=1.043521\ldots

юм. Дорх зурагт \rho параметрийн утгыг хувьсгасан судалгааг дүрслэв.

Дээр дурдсан оптималь a,\,b утганд хүргэдэг тэнцэл бишүүдийг сонирхуулбал:

V(x)\leq\psi(x)+\psi(x/19)+\psi(x/229)+\psi(x/1891)-\psi(x/15)+\psi(x/17)\\{}\qquad-\psi(x/26)+\psi(x/29)-\psi(x/65)+\psi(x/71)-\psi(x/21)+\psi(x/31)\\{}\qquad-\psi(x/33)+\psi(x/43)-\psi(x/44)+\psi(x/61)-\psi(x/63)+\psi(x/73)\\{}\qquad-\psi(x/75)+\psi(x/103)-\psi(x/385)+\psi(x/421)-\psi(x/242)+\psi(x/271)\\{}\qquad-\psi(x/285)+\psi(x/323)-\psi(x/385)+\psi(x/439)-\psi(x/440)+\psi(x/493)\\{}\qquad-\psi(x/494)+\psi(x/571)-\psi(x/770)+\psi(x/841)-\psi(x/1155)+\psi(x/1273)\\{}\qquad-\psi(x/3080)+\psi(x/3361)-\psi(x/1924)+\psi(x/3001)\\{}\qquad-\psi(x/3003)+\psi(x/3781)-\psi(x/4004)+\psi(x/4861)\\{}\qquad-\psi(x/5005)+\psi(x/6511)-\psi(x/6864)+\psi(x/7981)\\{}\qquad-\psi(x/7995)+\psi(x/8821)-\psi(x/8853)+\psi(x/9931)\\{}\qquad-\psi(x/10725)+\psi(x/11933)-\psi(x/11934)+\psi(x/13441)\\{}\qquad-\psi(x/13442)+\psi(x/14923)-\psi(x/17654)+\psi(x/19951)

ба

V(x)\geq\psi(x)-\psi(x/15)-\psi(x/66)+\psi(x/67)-\psi(x/78)+\psi(x/79)-\psi(x/418)\\{}\qquad+\psi(x/419)-\psi(x/2068)+\psi(x/2081)-\psi(x/3135)+\psi(x/3149)-\psi(x/5005)\\{}\qquad+\psi(x/5039)-\psi(x/7007)+\psi(x/7349)-\psi(x/8086)\\{}\qquad+\psi(x/8087)-\psi(x/9009)+\psi(x/9011)-\psi(x/10036)\\{}\qquad+\psi(x/10079)-\psi(x/12376)+\psi(x/15107)-\psi(x/16588)\\{}\qquad+\psi(x/16589)-\psi(x/18096)+\psi(x/17)-\psi(x/22)+\psi(x/23)-\psi(x/26)\\{}\qquad+\psi(x/29)-\psi(x/35)+\psi(x/41)-\psi(x/45)+\psi(x/47)-\psi(x/52)\\{}\qquad+\psi(x/59)-\psi(x/65)+\psi(x/107)-\psi(x/135)+\psi(x/210)-\psi(x/275)\\{}\qquad+\psi(x/289)-\psi(x/385)+\psi(x/521)-\psi(x/585)+\psi(x/629)-\psi(x/795)\\{}\qquad+\psi(x/839)-\psi(x/936)+\psi(x/1049)-\psi(x/1144)+\psi(x/1717)-\psi(x/1925)\\{}\qquad+\psi(x/19)-\psi(x/21).

Жич: Энэ постны тооцоо болон зургуудыг хийсэн Python програмыг энэ хаягнаас авч болно.

 

Сурталчилгаа
This entry was posted in Тооны онол and tagged , , . Bookmark the permalink.

Хариу Үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Та WordPress.com гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Google+ photo

Та Google+ гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Twitter picture

Та Twitter гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Facebook photo

Та Facebook гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Connecting to %s