Арифметик функцүүд

Эерэг бүхэл тоонууд дээр тодорхойлогдсон, бодит (эсвэл комплекс) утга авдаг функцийг тооны онолд арифметик функц гэдэг. Арифметик функцүүдийн жишээ гэвэл

f(n)=n^2+3,\qquad g(k)=k!,\qquad h(n)=(-1)^n,

гэх мэтийг дурдаж болно. Тооны онолоос бусад салбарт бол эдгээрийг зүгээр л тоон дарааллууд гэх байсан. Мэдээж захын нэг арифметик функцийг судлаад байх нь тийм ч сонирхолтой биш. Тооны онолд зарим арифметик функц онцгой байр суурь эзэлдэг. Жишээлбэл, бид өмнө нь

\displaystyle\pi(n)=\sum_{p\leq n}1,\qquad\theta(n)=\sum_{p\leq n}\ln p,\qquad\psi(n)=\sum_{p^k\leq n}\ln p

болон n=p^k үед \Lambda(n)=\ln p байдаг, n\neq p^k үед \Lambda(n)=0 байдаг Мангольдтын

\displaystyle\Lambda(n)=\begin{cases}\ln p&\textrm{if}\quad n=p^k\\0&\textrm{if}\quad n\neq p^k\end{cases}

функцтэй тааралдсан.

Хэрэв бид хэдэн арифметик функц жагсааж бичих төдийхнөөр орхих байсан бол тэдгээрт ийм сүртэй нэр өгөх хэрэггүй байх байсан. Арифметик функцүүдийг жинхэнэ «амилуулахын» тулд тооны онолын үүднээс сонирхолтой үйлдлүүдийг тэдгээр дээр тодорхойлох хэрэгтэй. Ийм үйлдлүүдийг анх системтэйгээр судалсан хүн нь Николай Васильевич Бугаев юм. Одоо ямар үйлдлүүд чухал байж мэдэх талаар ойлголт авах үүднээс Чебышёвын онолын суурь хэсгийг эргэн санацгаая. Арифметикийн үндсэн теоремоос дурын натурал тоог

\displaystyle n=\prod_{p^k|n}p

байдлаар задалж болох ба эндээс логарифм авбал

\displaystyle \ln n=\sum_{p^k|n}\ln p=\sum_{b|n}\Lambda(b)\qquad(*)

болдгийг бид мэднэ. Чебышёв үүнийг нийлбэрчилсэн

\displaystyle \ln[x]!=\sum_{n\leq x}\sum_{b|n}\Lambda(b)

томъёог гарааны цэгээ болгож аваад анхны тоонуудын тархалтын талаар дүгнэлт хийсэн байгаа. Одоо ингэж тойруу замаар явалгүйгээр (*) томъёог «урвуулж» Мангольдтын функцийг шууд олох гээд үзье. Ерөнхий томъёо гаргах үүднээс

\displaystyle f(n)=\sum_{b|n}g(b)

гэж үзээд,

\displaystyle f(1)=g(1),\\ f(2)=g(2)+g(1),\\ f(3)=g(3)+g(1),\\ f(4)=g(4)+g(2)+g(1),\\ f(5)=g(5)+g(1),\\ f(6)=g(6)+g(3)+g(2)+g(1),\\ f(7)=g(7)+g(1),\\ f(8)=g(8)+g(4)+g(2)+g(1),\\ f(9)=g(9)+g(3)+g(1),

гэх мэтчилэн бичье. Үүний n-р мөрнөөс өмнөх мөрүүдийг нь нэмж хасах замаар баруун гар талд нь байгаа g(n)-ээс бусад бүх гишүүдийг устгаж байна гэж төсөөл. Тэгвэл дараах зүй тогтол ажиглагдана.

  • Хэрэв n нь 2-т хуваагддаг бол, g(\frac{n}2) гишүүнийг баруун гар талаас арилгахын тулд (\frac{n}2)-р мөрийг хасах хэрэгтэй. Энэ явцад g(\frac{n}{2m}) маягийн бүх гишүүд хамтдаа устана. Жишээ нь 8-р мөрнөөс 4-р мөрийг хасахад g(4)+g(2)+g(1) гишүүд устана.
  • Хэрэв n нь 3-т хуваагддаг бол, g(\frac{n}3) гишүүнийг баруун гар талаас арилгахын тулд (\frac{n}3)-р мөрийг хасах хэрэгтэй. Энэ явцад g(\frac{n}{3m}) маягийн бүх гишүүд хамтдаа хасагдана. Жишээ нь 18-р мөрнөөс 6-р мөрийг хасахад g(6) төдийгүй g(2) гишүүн бас хасагдана.
  • Гэх мэтчилэн, хэрэв n нь p анхны тоонд хуваагддаг бол, g(\frac{n}p) гишүүнийг баруун гар талаас арилгахын тулд (\frac{n}p)-р мөрийг хасна. Энэ явцад g(\frac{n}{mp}) маягийн бүх гишүүд хамтдаа хасагдана.
  • Хэрэв n нь 4-т хуваагддаг бол, g(\frac{n}4) гишүүн өмнө нь (\frac{n}2)-р мөрийг хасах үед хасагдчихсан учраас, (\frac{n}4)-р мөрийг хасах шаардлага байхгүй.
  • Үүнчлэн хэрэв n нь (4m)-д хуваагддаг бол, g(\frac{n}{4m}) гишүүн өмнө нь (\frac{n}2)-р мөрийг хасах үед хасагдчихсан учраас, (\frac{n}{4m})-р мөрийг хасах шаардлага байхгүй.
  • Гэх мэтчилэн, хэрэв n нь mp^2 хэлбэрийн тоонд хуваагддаг бол, g(\frac{n}{mp^2}) гишүүн өмнө нь (\frac{n}{p})-р мөрийг хасах үед хасагдчихсан учраас, (\frac{n}{mp^2})-р мөрийг хасах шаардлага байхгүй.
  • Нөгөө талаас, хэрэв n нь 6-д хуваагддаг бол, g(\frac{n}6) гишүүн өмнө нь (\frac{n}2)-р ба (\frac{n}3)-р мөрүүдийг хасах үед 2 удаа хасагдсан учраас, (\frac{n}6)-р мөрийг нэмж өгөх хэрэгтэй.
  • Гэх мэтчилэн, хэрэв n нь pq хэлбэрийн, ялгаатай хоёр анхны тооны үржвэрт хуваагддаг бол, g(\frac{n}{pq}) гишүүн өмнө нь (\frac{n}p)-р ба (\frac{n}q)-р мөрүүдийг хасах үед 2 удаа хасагдсан учраас, (\frac{n}{pq})-р мөрийг нэмж өгөх хэрэгтэй.
  • Цаашилбал, хэрэв n нь pqr хэлбэрийн, гурван ялгаатай анхны тооны үржвэрт хуваагддаг бол, g(\frac{n}{pqr}) гишүүн өмнө нь (\frac{n}p)-р, (\frac{n}q)-р ба (\frac{n}r)-р мөрүүдийг хасах үед 3 удаа хасагдаад, (\frac{n}{pq})-р, (\frac{n}{pr})-р ба (\frac{n}{qr})-р мөрүүдийг нэмэх үед 3 удаа нэмэгдээд «хуучин байрандаа» ирчихсэн байсан учраас, (\frac{n}{pqr})-р мөрийг одоо хасч өгөх хэрэгтэй.

Эцэст нь, хэрэв n нь p_1p_2\cdots p_m хэлбэрийн, m ялгаатай анхны тооны үржвэрт хуваагддаг бол, (\frac{n}{p_1p_2\cdots p_m})-р мөрийг (-1)^m тэмдэгтэйгээр нэмэхэд g(\frac{n}{p_1p_2\cdots p_m}) гишүүн устана гэдгийг индукцээр харуулъя. Дээр m=1,2,3 тохиолдлуудыг бид шалгачихсан байгаа.

  • Тэгэхээр g(\frac{n}{p_1p_2\cdots p_m}) гишүүний өмнөх коэффициент анх 1 байж байгаад, g(\frac{n}{p_i}) хэлбэрийн гишүүдийг устгах үед 1-m болно. Энд m=1 үед 1-m=0 байгааг ажиглаарай.
  • Ингээд g(\frac{n}{p_ip_j}) хэлбэрийн гишүүдийг устгах үед 1-m+\binom{m}2 болно. Энд m=2 үед 1-m+\binom{m}2=0 байгааг ажиглаарай.
  • Дараа нь g(\frac{n}{p_ip_jp_k}) хэлбэрийн гишүүдийг устгах үед 1-m+\binom{m}2-\binom{m}3 болно. Энд m=3 үед 1-m+\binom{m}2-\binom{m}3=0 байгааг ажигла.

Ингэж явсаар, хамгийн сүүлд (\frac{n}{p_1p_2\cdots p_m})-р мөрийг (-1)^m тэмдэгтэйгээр нэмсний дараа g(\frac{n}{p_1p_2\cdots p_m}) гишүүний өмнөх коэффициент

1-m+\binom{m}2-\binom{m}3+\ldots+(-1)^{m-1}\binom{m}{m-1}+(-1)^m=(1-1)^m=0

болж, бидний батлах гэсэн зүйл батлагдана.

Дээр өгүүлсэн бүгдийг дүгнэж бичихийн тулд, a=p_1p_2\cdots p_m гэсэн m ялгаатай анхны тооны үржвэрүүдийн хувьд \mu(a)=(-1)^m байдаг, бусад тохиолдолд (ө.х. a тооны задаргаанд анхны тооны квадрат болон түүнээс дээш зэрэг орсон л бол) \mu(a)=0 байдаг \mu(a) гэсэн функц тодорхойлбол

\displaystyle g(n)=\sum_{b|n}\mu(n/b)f(b)=\sum_{ab=n}\mu(a)f(b)\qquad(**)

гэсэн томъёо гарна. Үүнд g(n)-ийн томъёонд f(n)-ийн өмнөх коэффициент үргэлж 1 байх ёстой тул \mu(1)=1 гэж авна. Энэ томъёог Мёбиусын урвуугийн томъёо, \mu функцийг Мёбиусын функц гэж нэрлэдэг. Мёбиусын функцийн эхний 20 утгыг жагсааж бичвэл

\mu(n)=(1,-1,-1,0,-1,1,-1,0,0,1,-1,0,-1,1,1,0,-1,0,-1,0,\ldots).

Одоо Мёбиусын томъёог (*) адилтгалд хэрэглэснээр

\displaystyle \Lambda(n)=\sum_{b|n}\mu(n/b)\ln b\qquad(\dagger)

болно. Энэ томъёог ашиглан \Lambda(n) функцийн талаар хангалттай мэдээлэл гарган авч, анхны тооны теоремыг батлах боломжтой юу? Харамсалтай нь, үүний тулд Мёбиусын функцийн талаар сайн мэдэх хэрэгтэй ба, Мёбиусын функцийг судлахын тулд анхны тооны тархалтын талаар мэдээлэл хэрэгтэй. Тухайлбал, анхны тооны теорем нь дараах тэнцэл биштэй эквивалент гэдгийг Эдмунд Ландау 1906 онд баталсан:

\displaystyle\sum_{n\leq x}\mu(n)=o(x).

Мёбиусын (**) эсвэл (\dagger) томъёог шууд хэрэглэхэд төвөгтэй байж мэдэх ч арифметик функцүүд дээрх гол чухал үйлдлийг эдгээр томъёо бидэнд бэлэглэнэ: f ба g функцүүдийн хуйлаас гэж нэрлэгдэх, f*g гэж тэмдэглэгдэх функцийг

\displaystyle (f*g)(n)=\sum_{b|n}f(n/b)g(b)=\sum_{ab=n}f(a)g(b)

томъёогоор тодорхойлъё. Хуйлаасыг нэг төрлийн үржвэр гэж ойлгох хэрэгтэй. Тэгвэл (\dagger) томъёог

\displaystyle \Lambda=\mu*\ln

гэж бичиж болно. Түүнчлэн, анхны (*) томъёо маань

\displaystyle \ln=\mathit1*\Lambda

болж хувирна. Үүнд \mathit1 нь \mathit1(n)=1 гэж тодорхойлогдсон функц.

Хуйлаас орсон өөр жишээнүүд гэвэл, n-ийн хуваагчдын тоо

\displaystyle d(n)=\sum_{b|n}1

тул

\displaystyle d=\mathit1*\mathit1.

Хэрэв n=p^k үед \lambda_p(n)=1 байдаг, n\neq p^k үед \lambda_p(n)=0 байдаг \lambda_p гэсэн функц тодорхойлбол, n-ийн анхны тоон задаргаан дахь p-ийн зэрэг нь

\displaystyle \nu_p(n)=\sum_{b|n}\lambda_p(b)

буюу

\displaystyle \nu_p=\mathit1*\lambda_p

томъёогоор өгөгдөнө.

Арифметик функцүүдийн хуйлаасны

\displaystyle (f*g)(n)=\sum_{ab=n}f(a)g(b)

тодорхойлолтоос хуйлах үйлдэл коммутатив

f*g=g*f

болох нь тодорхой. Цаашилбал

\displaystyle (f*g*h)(n)=\sum_{ab=n}\Big(\sum_{jk=a}f(j)g(k)\Big)h(b)=\sum_{jkb=n}f(j)g(k)h(b)

тул хуйлах үйлдэл ассоциатив

(f*g)*h=g*(f*h).

Мөн \delta гэсэн функцийг \delta(1)=1 ба n\geq2 үед \delta(n)=0 гэж тодорхойлбол

\displaystyle (\delta*g)(n)=\sum_{ab=n}\delta(a)g(b)=g(n)

буюу

\delta*g=g

тул \delta нь хуйлах үйлдлийн хувьд нэгжийн үүрэг гүйцэтгэнэ. Одоо

\delta*\mathit1=\mathit1

адилтгалыг Мёбиусын томъёогоор урвуулбал,

\delta=\mathit1*\mu.

Өөрөөр хэлбэл Мёбиусын функц нь (хуйлах үйлдлийн хувьд) \mathit1 функцийн урвуу нь юм. Энэ чанарыг сууриа болгож аваад,

f=\mathit1*g

тэнцлийн хоёр талыг Мёбиусын функцээр үржүүлж, хуйлах үйлдлийн ассоциатив чанарыг ашиглан, Мёбиусын урвуугийн томъёог гаргаж авч бас болно:

\mu*f=\mu*\mathit1*g=\delta*g=g.

Чебышёвын онолд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг өөр нэг үйлдэл бол

H(x)=\displaystyle\sum_{n\leq x}h(n)

маягийн нийлбэр юм. Ялангуяа h нь өөрөө h=f*g хэлбэртэй нийлбэр их тохиолддог. Үүнд

\displaystyle\sum_{n\leq x}(f*g)(n)=\sum_{n\leq x}\sum_{ab=n}f(a)g(b)=\sum_{ab\leq x}f(a)g(b)=\sum_{a\leq x}f(a)\sum_{k\leq x/a}g(k)

гэдгээс дараах теорем гарна.

Теорем. Арифметик функцүүдийн нийлбэрийн хувьд

F(x)=\displaystyle\sum_{n\leq x}f(n),\qquad G(x)=\displaystyle\sum_{n\leq x}g(n)

гэсэн тэмдэглэгээнүүд оруулбал

\displaystyle H(x)=\sum_{n\leq x}(f*g)(n)=\sum_{a\leq x}f(a)G(x/a)=\sum_{b\leq x}F(x/b)g(b).\qquad(\dagger\dagger)

Мөрдлөгөө 1. \nu_p=\lambda_p*\mathit1 гэдгээс

\displaystyle\nu_p(n!)=\sum_{k\leq n}(\lambda_p*\mathit1)(k)=\sum_{a\leq n}\lambda_p(a)\sum_{k\leq n/a}1=\sum_{a\leq n}\lambda_p(a)\cdot\Big[\frac{n}{a}\Big]=\sum_{k\geq1}\Big[\frac{n}{p^k}\Big]

гээд Лежандрын теорем мөрдөнө.

Мөрдлөгөө 2. Арифметикийн үндсэн теоремын \ln=\mathit1*\Lambda бичиглэлээс Чебышёвын онолын үндсэн адилтгал

\displaystyle T(x)=\ln[x]!=\sum_{n\leq x}\ln n=\sum_{n\leq x}(\mathit1*\Lambda)(n)=\sum_{k\leq x}\psi(x/k)

гарах ба зүүн гар талд нь Стирлингийн ойролцооллыг хэрэглэснээр

\displaystyle\sum_{k\leq x}\psi(x/k)=x\ln x-x+O(\ln x).

Мөрдлөгөө 3. d=\mathit1*\mathit1 гэдгээс

\displaystyle D(x)=\sum_{n\leq x}d(n)=\sum_{n\leq x}(\mathit1*\mathit1)(k)=\sum_{a\leq x}\sum_{k\leq x/a}1=\sum_{a\leq x}\Big[\frac{x}{a}\Big].

Сүүлийн мөрдлөгөөг сайжруулах үүднээс, нийлбэрийн томъёоны Дирихле гиперболын арга гэж нэрлэгдсэн нэг хувилбарыг авч үзье.

Теорем. Өмнөх теоремын тэмдэглэгээг хэрэглэн, 1<y<x үед

\displaystyle H(x)=\sum_{a\leq y}f(a)G(x/a)+\sum_{b<x/y}F(x/b)g(b) - F(y)G(x/y).

Баталгаа. Өмнөх теоремын үр дүнг

\displaystyle H(x)=\sum_{a\leq y}f(a)G(x/a)+\sum_{y<a\leq x}f(a)G(x/a)

гэж бичээд, сүүлийн нийлбэрийг

\displaystyle\sum_{y<a\leq x}f(a)G(x/a)=\sum_{y<a\leq x}\sum_{b\leq x/a}f(a)g(b)=\sum_{b<x/y}\sum_{y<a\leq x/b}f(a)g(b)\\{}\quad=\sum_{b<x/y}\big(F(x/a)-F(y)\big)g(b)=\sum_{b<x/y}F(x/a)g(b)-F(y)G(x/y)

гэж хувиргаснаар теорем батлагдана.

Мөрдлөгөө. Гиперболын аргыг y=\sqrt{x} үед d=\mathit1*\mathit1 адилтгалын хувьд хэрэглэвэл

\displaystyle\sum_{n\leq x}d(n)=\sum_{a\leq\sqrt{x}}\Big[\frac{x}{a}\Big]+\sum_{b<\sqrt{x}}\Big[\frac{x}{b}\Big]-\big[\sqrt{x}\big]^2=2\sum_{n\leq\sqrt{x}}\Big[\frac{x}{n}\Big]-x+O(\!\sqrt{x}\,).

Энд орсон нийлбэрийг

\displaystyle\sum_{n\leq\sqrt{x}}\Big[\frac{x}{n}\Big]=\sum_{n\leq\sqrt{x}}\Big(\frac{x}{n}-\big\{\frac{x}{n}\big\}\Big)=\sum_{n\leq\sqrt{x}}\frac{x}n+O(\sqrt{x})=x\ln\sqrt{x}+\gamma x+O(\!\sqrt{x}\,)

маягаар үнэлбэл

\displaystyle D(x)=\sum_{n\leq x}d(n)=x\ln x+(2\gamma-1)x+O(\!\sqrt{x}\,)

гэсэн Дирихлен алдарт үнэлгээ гарч ирнэ.

Одоо арифметик функцүүдийг арай өөр өнцгөөс харах гээд үзье. Зэрэгт цуваануудыг үржүүлэх

\displaystyle \Big(\sum_{j=0}^\infty a_jx^j\Big)\Big(\sum_{k=0}^\infty b_kx^k\Big)=\sum_{n=0}^\infty\Big(\sum_{j+k=n}a_jb_k\Big)x^n

томъёоноос \sum a_jx^j ба \sum b_kx^k цуваануудын үржвэр \sum c_nx^n цувааны коэффициентүүд

\displaystyle c_n=\sum_{j+k=n}a_jb_k\qquad(\ddagger)

гэж өгөгдөнө. Үүнийг

\displaystyle (f*g)(n)=\sum_{jk=n}f(j)g(k)\qquad(\ddagger\ddagger)

томъёотой харьцуулаад хар. Зэрэгт цувааны үржвэрийн (\ddagger) томъёоны хувьд

 \displaystyle x^jx^k=x^{j+k}

чанар гол үүрэг гүйцэтгэж байгааг ажиглавал,

\displaystyle e_j(x)e_k(x)=e_{jk}(x)\qquad(\S)

чанарыг хангадаг e_n(x) функцүүд орсон \sum a_ne_n(x) хэлбэрийн цуваануудыг үржүүлэхэд

\displaystyle \Big(\sum_{j=0}^\infty a_je_j(x)\Big)\Big(\sum_{k=0}^\infty b_ke_k(x)\Big)=\sum_{n=0}^\infty\Big(\sum_{jk=n}a_jb_k\Big)e_n(x)

үржвэрийнх нь коэффициентүүд яг (\ddagger\ddagger) томъёогоор өгөгдөнө. Дээрх (\S) нөхцлийг хангадаг хялбар функц гэвэл

\displaystyle e_n(x)=n^{\alpha x}

байна. Цаашилбал, x>0 үед

\displaystyle\sum_n a_ne_n(x)=\sum_n a_nn^{\alpha x}

цувааг нийлэхэд нь саад болох зүйл аль болох бага байлгая гэвэл \alpha<0 гэж авбал дээр. Ингээд хялбарыг бодож \alpha=-1 гэсэн сонголт хийснээр арифметик функцүүдийг бодит (эсвэл комплекс) хувьсагчийн функцүүд рүү хувиргадаг Дирихлен цуваа нэртэй

\displaystyle F(s)=\sum_{n} \frac{f(n)}{n^s}\qquad(\S\S)

хувиргалт гарч ирнэ. Дирихлен цуваа нь тоон дарааллыг үүсгэгч функцэд нь хувиргадаг зэрэгт цуваа

\displaystyle A(x)=\sum_n a_nx^n,

Фурье коэффициентүүдийг функцэд нь хувиргадаг Фурьегийн цуваа

\displaystyle g(x)=\sum_n \hat g(n)e^{-inx}

зэрэгтэй «нэг тэрэгний дугуйнууд» юм. Зэрэгт болон Фурьегийн цуваа нь коэффициентуудынхаа аддитив чанарыг илүү тусгаж авдаг бол, Дирихлен цуваа нь мултипликатив чанартай холбоотой байдгаараа онцлогтой. Хамгийн алдартай Дирихлен цуваа бол мэдээж \mathit1(n)=1 функцэд харгалзах зета функц

\displaystyle\zeta(s)=\sum_{n} \frac1{n^s}

болно. Дирихлен цувааны (\S\S) харгалзааг

f\longleftrightarrow F

гэж илэрхийлэхээр тохирвол

\mathit1\longleftrightarrow\zeta.

Түүнчлэн, дээр өгүүлснээр

f*g\longleftrightarrow FG,

ө.х. арифметик функцүүдийн хуйлаас нь Дирихлен цуваан дор функцүүдийн (жирийн) үржвэрт хувирна.

Теорем. Хэрэв f(n)=O(n^\lambda) бол 

\displaystyle F(s)=\sum_{n} \frac{f(n)}{n^s}

цуваа \alpha>\lambda+1 байх [\alpha,\infty) хэлбэрийн бүх муж дээр абсолют нийлнэ. Үүн дээр нэмээд g(n)=O(n^\lambda) бол 

\displaystyle F(s)G(s)=\sum_{n} \frac{(f*g)(n)}{n^s}

тэнцэтгэл s>\lambda+1 мужид хүчинтэй.

Баталгаа. Эхнийх нь өгүүлбэр

\displaystyle s\geq\alpha\quad\Longrightarrow\quad\frac{f(n)}{n^s}=O(n^{\lambda-\alpha})

ба \lambda-\alpha<-1 гэдгээс шууд гарна. Хоёрдахь өгүүлбэр нь абсолют нийлдэг цуваануудыг гишүүнчлэн үржүүлж, гишүүдийг нь яаж ч бүлэглэж болно гэсэн классик теоремоос мөрдөнө.

Энэ теоремыг \mu*\mathit1=\delta адилтгалд хэрэглэвэл, s>1 үед

\displaystyle\zeta(s)\sum_{n} \frac{\mu(n)}{n^s}=1

буюу

\displaystyle\frac1{\zeta(s)}=\sum_{n} \frac{\mu(n)}{n^s}

гэж гарна. Мөн d=\mathit1*\mathit1 адилтгалаас

\displaystyle\zeta^2(s)=\sum_{n} \frac{d(n)}{n^s}\qquad(s>1).

Түүнчлэн, \ln=\mathit1*\Lambda адилтгалыг

\displaystyle\sum_{n}\frac{\ln n}{n^s}=\zeta(s)\sum_{n}\frac{\Lambda(n)}{n^s}\qquad(s>1)

гэж бичиж болно. Үүнийг цааш нь хялбарчлахын тулд, Дирихлен (\S\S) цуваанаас уламжлал авахад, абсолют нийлдэг муж дотроо

\displaystyle F'(s)=-\sum_{n}\frac{f(n)\ln n}{n^s}

байна гэдгийг ажиглая. Эндээс

\displaystyle \zeta'(s)=-\sum_{n}\frac{\ln n}{n^s}

гарах тул

\displaystyle-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=\sum_{n}\frac{\Lambda(n)}{n^s}\qquad(s>1)

болно. Энэ нь арифметикийн үндсэн теоремыг Дирихлен цуваануудаар илэрхийлсэн илэрхийлэл юм.

Эцэст нь, Дирихлен цувааны уламжлалыг арифметик функц талд нь бүр илэрхий болгох үүднээс, арифметик функцүүдийн «уламжлалыг»

f'(n)=f(n)\ln n

гэж тодорхойлж болно. Энэ уламжлал нь хуйлаас үйлдлийн хувь Лейбницийн хуулийг дагадаг:

\displaystyle (f*g)'(n)=(f*g)(n)\ln n=\sum_{ab=n}f(a)g(b)\ln n=\sum_{ab=n}f(a)g(b)(\ln a+\ln b)\\{}\qquad=\sum_{ab=n}f'(a)g(b)+\sum_{ab=n}f(a)g'(b)=f'*g+f*g'.

Дээрх тэмдэглэгээг ашиглан арифметикийн үндсэн теоремыг

\Lambda*\mathit1=\mathit1'

гэж илэрхийлж болно.

Advertisements
This entry was posted in Тооны онол and tagged , , , , , , , , . Bookmark the permalink.

Хариу Үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Та WordPress.com гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Google+ photo

Та Google+ гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Twitter picture

Та Twitter гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Facebook photo

Та Facebook гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

w

Connecting to %s