Чебышёвын теоремын мөрдлөгөөнүүд

Өмнөх постоороо бид Чебышёвын онолын дараах тулгуур теоремыг баталсан.

Теорем. Хичнээн ч том бүхэл тоо k, хичнээн ч бага бодит тоо \alpha>0 өгөгдсөн байсан,

\displaystyle\pi(n)<\mathrm{Li}(n)+\frac{\alpha n}{\ln^k\!n}

байх төгсгөлгүй олон индекс n олдоно. Түүнчлэн,

\displaystyle\pi(n)>\mathrm{Li}(n)-\frac{\alpha n}{\ln^k\!n}

тэнцэл биш төгсгөлгүй олон n-ийн хувьд биелнэ. Өөрөөр хэлбэл дурын k бүхэл тооны хувьд

\displaystyle\liminf_{n\to\infty}\big(\pi(n)-\mathrm{Li}(n)\big)\frac{\ln^k\!n}n\leq0,\qquad\limsup_{n\to\infty}\big(\pi(n)-\mathrm{Li}(n)\big)\frac{\ln^k\!n}n\geq0.

Одоо үүнээс гарах зарим чухал мөрдлөгөөнүүдийг авч үзье.

Мөрдлөгөө 1. Хэрэв

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\pi(n)\ln n}{n},\qquad\lim_{n\to\infty}\frac{\pi(n)(\ln n-1.08366)}{n},\qquad\lim_{n\to\infty}\frac{\pi(n)}{\mathrm{Li}(n)}

хязгааруудын аль нэг нь л оршин байдаг бол, бусад нь мөн оршин байх бөгөөд, утга нь бүгд 1-тэй тэнцүү байх ёстой. Иймд Гаусс-Лежандрын таамаглалыг батлахын тулд энэ хязгаар оршин байхыг харуулах л үлдэнэ.

Баталгаа. Ямар ч \beta тогтмолын хувьд

\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{{x}/{(\ln x+\beta)}}{\mathrm{Li}(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac1{\ln x+\beta}-\frac{x}{(\ln x+\beta)^2}\cdot\frac1x}{\frac1{\ln x}}=1

тул

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\pi(n)(\ln n+\beta)}{n}=L\qquad\Longleftrightarrow\qquad\lim_{n\to\infty}\frac{\pi(n)}{\mathrm{Li}(n)}=L.

Одоо энэ хязгаар оршин байдаг бөгөөд утга нь L-тэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл \varepsilon>0 тоо хичнээн ч бага байсан n хангалттай их л бол

\displaystyle L-\varepsilon<\frac{\pi(n)}{\mathrm{Li}(n)}<L+\varepsilon

байдаг гэж үзье. Тухайлбал, L>1 бол \varepsilon=\frac{L-1}2 гэж сонгож авснаар хангалттай их бүх n-ийн хувьд

\displaystyle \frac{\pi(n)}{\mathrm{Li}(n)}>L-\varepsilon=\frac{L+1}2=1+\varepsilon

гэж гарна. Энэ нь жишээлбэл төгсгөлгүй олон n-ийн хувьд

\displaystyle\pi(n)<\mathrm{Li}(n)+\frac{n}{\ln^2\!n}

байна гэдэгт харшлах тул L>1 байж болохгүй. Үүнтэй төстэйгөөр, L<1 байж болохгүй гэдгийг харуулна. Мөрдлөгөө батлагдлаа.

Анхны тоонуудын тархалтын талаар

\displaystyle\pi(n)\approx\frac{n}{\ln n-1.08366}

гэсэн таамаглал Лежандр дэвшүүлснийг бид мэднэ. Үүнийг эхний ээлжинд

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\pi(n)(\ln n-1.08366)}{n}=1

гэж тайлбарлаж болох бөгөөд энэ нь

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\pi(n)}{\mathrm{Li}(n)}=1

гэсэн Гауссын таамаглалтай эквивалент. Эдгээрийг хамтад нь бид «Гаусс-Лежандрын таамаглал», эсвэл «анхны тооны теорем» гэж яриад байгаа.

Гэвч дээрх тайлбар Лежандрын таамаглалд байгаа 1.08366 гэсэн тогтмолын учрыг тайлбарлахад хүчин мөхөстөнө. Үүний тулд

\displaystyle\pi(n)=\frac{n}{\ln n+\beta(n)}

харьцаагаар \beta(n) гэсэн функц тодорхойлоод,

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\beta(n)=-1.08366

буюу

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\Big(\frac{n}{\pi(n)}-\ln n\Big)=-1.08366

гэсэн дараагийн шатны (арай нарийн) таамаглал дэвшүүлж болно. Чебышёв өөрийн теоремыг хэрэглэн энэ таамаглалд засвар хэрэгтэй гэдгийг харуулсан.

Мөрдлөгөө 2. Хэрэв

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\Big(\frac{n}{\pi(n)}-\ln n\Big)

хязгаар оршин байдаг бол утга нь (–1)-тэй тэнцүү байх ёстой.

Баталгаа. Дээрх хязгаар оршин байдаг бөгөөд утга нь B-тэй тэнцүү, ө.х.

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\Big(\frac{n}{\pi(n)}-\ln n\Big)=B\qquad(*)

гэж үзье. Иймд \varepsilon>0 тоо хичнээн ч бага байсан n хангалттай их л бол

\displaystyle B-\varepsilon<\frac{n}{\pi(n)}-\ln n<B+\varepsilon\qquad(**)

байна. Энэ тэнцэл бишүүдийг (\ln n)-д хуваавал

\displaystyle \frac{B-\varepsilon}{\ln n}<\frac{n}{\pi(n)\ln n}-1<\frac{B+\varepsilon}{\ln n}

гарах тул юуны өмнө

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\pi(n)\ln n}{n}=1\qquad(\dagger)

гэж мөрдөнө. Тэгэхээр (*) нь Гаусс-Лежандрын таамаглалаас илүү хүчтэй таамаглал гэсэн үг.

Одоо B>-1 гэж үзээд, (**) тэнцэл бишид B-\varepsilon=-1+\delta<0 ба \delta>0 байхаар \varepsilon параметрийг сонговол

\displaystyle \frac{n}{\ln n}-\pi(n)>(B-\varepsilon)\frac{\pi(n)}{\ln n}=(-1+\delta)\frac{\pi(n)}{\ln n}

гарна. Нөгөө талаас, (\dagger) томъёоноос, n хангалттай их үед

\displaystyle \pi(n)<(1+\delta)\frac{n}{\ln n}

тул

\displaystyle \frac{n}{\ln n}-\pi(n)>(-1+\delta)\frac{\pi(n)}{\ln n}>(-1+\delta^2)\frac{n}{\ln^2\!n}

буюу

\displaystyle\pi(n)-\frac{n}{\ln n}-\frac{n}{\ln^2\!n}<-\delta^2\frac{n}{\ln^2\!n}\qquad(\dagger\dagger)

гэж дүгнэж болно. Үүнийг теоремтойгоо холбохын тулд

\displaystyle\mathrm{Li}(x)=\frac{x}{\ln x}+\frac{x}{\ln^2\!x}+O\Big(\frac{x}{\ln^3\!x}\Big)

гэсэн үр дүнг санацгаая. Тухайлбал,

\displaystyle\frac{n}{\ln n}+\frac{n}{\ln^2\!n}-\mathrm{Li}(n)<C\frac{n}{\ln^3\!n}

байх C тогтмол олдоно. Энэ тэнцэл бишийг (\dagger\dagger) дээр нэмбэл хангалттай их бүх n-ийн хувьд

\displaystyle\pi(n)-\mathrm{Li}(n)<-\delta^2\frac{n}{\ln^2\!n}+C\frac{n}{\ln^3\!n}

болох тул жишээлбэл төгсгөлгүй олон n-ийн хувьд

\displaystyle\pi(n)-\mathrm{Li}(n)>-\frac{n}{\ln^3\!n}

байна гэдэгт харшилж, B>-1 байж болохгүй нь харагдана. Үүнтэй төстэйгөөр, B<-1 байж болохгүй. Мөрдлөгөө батлагдлаа.

Дээрх баталгаануудаас нэг ажиглалт хийхэд, эхний мөрдлөгөөний баталгаанд

\displaystyle\pi(n)-\mathrm{Li}(n)<\frac{n}{\ln^2\!n}

тэнцэл биш зөвхөн төгсгөлөг тооны n-ийн хувьд биелэхэд хүрч, зөрчил үүсгэж байсан бол хоёрдахь мөрдлөгөөний баталгаанд

\displaystyle\pi(n)-\mathrm{Li}(n)<\frac{n}{\ln^3\!n}

тэнцэл биш төстэй үүрэг гүйцэтгэсэн. Үүний цаад учир нь юу вэ гэвэл, 1-рт, хэрэв f(n) функц

\displaystyle \pi(n)-f(n)=O\Big(\frac{n}{\ln^k\!n}\Big)

шинж чанартай бол

\displaystyle f(n)=\mathrm{Li}(n)+O\Big(\frac{n}{\ln^k\!n}\Big)

байхаас өөр аргагүй, 2-рт,

\displaystyle\mathrm{Li}(n)=\frac{n}{\ln n}+\frac{n}{\ln^2\!n}+\frac{2n}{\ln^3\!n}+\ldots+\frac{(k-1)!n}{\ln^{k}\!n}+O\Big(\frac{n}{\ln^{k+1}\!n}\Big)

гэсэн задаргаа биелдэг явдал юм. Жишээлбэл

\displaystyle\frac{n}{\ln n-A}=\frac{n}{\ln n}+\frac{An}{\ln^2\!n}+\frac{A^2n}{\ln^3\!n}+O\Big(\frac{n}{\ln^4\!n}\Big)

задаргаа A=1 үед дээрх задаргаатай эхний 2 гишүүнээрээ, A\neq1 үед зөвхөн эхний ганц гишүүнээрээ нийцтэй. Иймд A\neq1 үед

\displaystyle \pi(n)=\frac{n}{\ln n-A}+O\Big(\frac{n}{\ln^2\!n}\Big)

байх боломжтой боловч

\displaystyle \pi(n)=\frac{n}{\ln n-A}+O\Big(\frac{n}{\ln^3\!n}\Big)

байх боломжгүй. Харин

\displaystyle \pi(n)=\frac{n}{\ln n-1}+O\Big(\frac{n}{\ln^3\!n}\Big)

байх боломжтой боловч

\displaystyle \pi(n)=\frac{n}{\ln n-1}+O\Big(\frac{n}{\ln^4\!n}\Big)

байх боломжгүй.

Дээрх ажиглалтыг эмхэтгэж бичье.

Мөрдлөгөө 3. Хэрэв

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\Big(f(n)-\mathrm{Li}(n)\Big)\frac{\ln^k\!n}n\neq0

өөрөөр хэлбэл

\displaystyle f(n)-\mathrm{Li}(n)\neq o\Big(\frac{n}{\ln^{k}\!n}\Big)

бол

\displaystyle\pi(n)=f(n)+O\Big(\frac{n}{\ln^{k+1}\!n}\Big)

байх боломжгүй.

Баталгаа.  Ерөнхий чанарыг алдалгүйгээр

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\Big(f(n)-\mathrm{Li}(n)\Big)\frac{\ln^k\!n}n<0

гэж үзье. Тэгвэл n хангалттай их үед

\displaystyle f(n)-\mathrm{Li}(n)<-\frac{\alpha n}{\ln^k\!n}

байх \alpha>0 тогтмол олдоно. Нөгөө талаас,

\displaystyle\pi(n)=f(n)+O\Big(\frac{n}{\ln^{k+1}\!n}\Big)

гэдгээс ямар нэг C тогтмолын хувьд

\displaystyle\pi(n)-f(n)<\frac{Cn}{\ln^{k+1}\!n}

байна гэж гарна. Одоо хоёр тэнцэл бишээ хооронд нэмснээр

\displaystyle\pi(n)-\mathrm{Li}(n)<-\frac{\alpha n}{\ln^k\!n}+\frac{Cn}{\ln^{k+1}\!n}

болж, төгсгөлгүй олон n-ийн хувьд

\displaystyle\pi(n)-\mathrm{Li}(n)>-\frac{n}{\ln^{k+1}\!n}

гэсэн тулгуур теоремын үр дүнтэй зөрчилдөнө.

Дасгал. Өмнөх мөрдлөгөөг ашиглан,

\displaystyle\pi(n)=f(n)+O\Big(\frac{n}{\ln^{4}\!n}\Big)

байх боломжтой

\displaystyle f(n)=\frac{n\ln n}{\ln^2\!n-\ln n+c}

хэлбэрийн бүх функцийг ол. Өөрөөр хэлбэл,

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\Big(\frac{n}{\pi(n)}-\ln n+1\Big)\ln n

хязгаар оршин байдаг бол, утга нь хэд байх ёстой вэ?

Сурталчилгаа
This entry was posted in Анализ, Тооны онол and tagged , , , . Bookmark the permalink.

Хариу Үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Та WordPress.com гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Google photo

Та Google гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Twitter picture

Та Twitter гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Facebook photo

Та Facebook гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Connecting to %s