Зета функцийн туйл

Анхны тоонуудын урвуунуудын нийлбэр сарнина гэдгийг харуулах нэг арга нь Эйлерийн

\displaystyle \zeta(s)=\sum_n\frac1{n^s}=\prod_p\frac1{1-p^{-s}}

адилтгалын хоёр талаас логарифм аваад,

\displaystyle \ln\zeta(s)=-\sum_p\ln(1-p^{-s})\leq\sum_p\frac2{p^s}

тэнцэл бишийг ашиглах явдал гэдгийг бид мэднэ. Үнэндээ, x бага үед \ln(1+x)\approx x тул

\displaystyle \ln\zeta(s)=-\sum_p\ln(1-p^{-s})\sim\sum_p\frac1{p^s}

маягийн харьцаа биелэх ёстой. Одоохондоо \sim тэмдэглэгээг ‘хоорондоо ямар нэг утгаар ойролцоо’ гэж уншихад болно. Дээрх харьцааны зүүн гар талыг эргүүлээд \zeta(s) функцтэй өөртэй нь ямар нэг байдлаар холбох санаа Чебышёвт төрсөн бөгөөд, тэндээсээ

\displaystyle \sum_p\frac{\ln p}{p^s}\sim\sum_n\frac1{n^s}

маягийн харьцаанд хүрсэн. Эндээс дараалсан хоёр анхын тооны хоорондох зай дунджаар \ln p гэдэг нь харагдаж байгаа. Чебышёв үүнийг сайн «шүүсэлсэн» боловч Гаусс-Лежандрын таамаглалыг бүрэн баталж чадаагүй. Гэхдээ анхны тооны тархалтын талаар хэд хэдэн чухал дүгнэлт хийсэн. Жишээлбэл,

\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)\ln x}x

хязгаар оршин байдаг бол, утга нь 1-тэй тэнцүү байх ёстой. Мөн

\displaystyle\lim_{x\to\infty}\Big(\frac{x}{\pi(x)}-\ln x\Big)

хязгаар оршин байдаг бол, утга нь (–1)-тэй тэнцүү байх ёстой. Тухайлбал энэ хязгаарыг (–1.08366)-тай тэнцүү гэсэн Лежандрын таамаглал няцаагдсан гэсэн үг. Бид эдгээр болон бусад үр дүнгүүдийн баталгааг ойрын хэд хоногт дэлгэрэнгүй нийтэлнэ.

Энэ удаадаа \zeta(s) функцийн туйлын талаар авч үзье. Юуны өмнө, \zeta(s) функцийн тодорхойлолтон дахь нийлбэрийг интегралаар соливол

\displaystyle\zeta(s)=\sum_n\frac1{n^s}\sim\int_1^\infty\frac{dx}{x^s}=\frac{x^{1-s}}{1-s}\Big|_1^\infty=\frac1{s-1}\qquad(s>1)

болох тул s\to1 үед \zeta(s) функц \frac1{s-1} маягаар хувьсана гэсэн таамаглал төрнө.

Одоо s>0 үед \Gamma(s) функцийг

\displaystyle\Gamma(s)=\int_0^\infty e^{-x}x^{s-1}dx

гэсэн абсолют нийлдэг интегралаар тодорхойлоод,

\displaystyle\Gamma(s+1)=\int_0^\infty e^{-x}x^{s}dx=-e^{-x}x^{s}\Big|_0^\infty+s\int_0^\infty e^{-x}x^{s-1}dx=s\Gamma(s)

адилтгалыг тэмдэглэж авъя. Үүнийг s>1 үед

\displaystyle\frac1{s-1}=\frac{\Gamma(s-1)}{\Gamma(s)}\qquad(*)

хэлбэртэйгээр дор бид ашиглана.

Цаашилбал, s>1 үед {}e^{-x}x^{s-1}+e^{-2x}x^{s-1}+\ldots цуваа жигд нийлэх тул

\displaystyle\int_0^\infty \frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}x^{s-1}dx=\int_0^\infty\big(e^{-x}+e^{-2x}+\ldots\big)x^{s-1}dx\\{}\qquad=\int_0^\infty e^{-x}x^{s-1}dx+\int_0^\infty e^{-2x}x^{s-1}dx+\ldots

бөгөөд үүнд

\displaystyle\int_0^\infty e^{-nx}x^{s-1}dx=\frac1{n^s}\int_0^\infty e^{-nx}(nx)^{s-1}d(nx)=\frac{\Gamma(s)}{n^s}

гэдгийг орлуулбал

\displaystyle\int_0^\infty \frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}x^{s-1}dx=\Gamma(s)+\frac{\Gamma(s)}{2^s}+\frac{\Gamma(s)}{3^s}+\ldots=\Gamma(s)\zeta(s)

болно. Үүнийгээ (*) адилтгалтай хамтатгавал

\displaystyle\zeta(s)-\frac1{s-1}=\frac1{\Gamma(s)}\int_0^\infty \Big(\frac1{1-e^{-x}}-\frac1x\Big)e^{-x}x^{s-1}dx\qquad(**)

томъёо гарна.

Теорем. s>1 үед тодорхойлогдсон

\displaystyle f_1(s)=\zeta(s)-\frac1{s-1}

функцийн бүх зэргийн уламжлал s\to1 хязгаарт төгсгөлөг утгатай байна (Бүх зэргийн уламжлал гэдэгт мэдээж 0-р зэргийнх багтана).

Баталгаа. Юуны өмнө

\displaystyle g(x)=\frac1{1-e^{-x}}-\frac1x

нь  g(0)=\frac12 байх, зааглагдсан, тасралтгүй функц тул (**) адилтгалаас

\displaystyle\lim_{s\to1}f_1(s)

хязгаар төгсгөлөг гэж гарна. Одоо (**) адилтгалаас  уламжлал авбал

\displaystyle f_1'(s)=\frac1{\Gamma(s)}\int_0^\infty g(x)e^{-x}x^{s-1}\ln x\,dx+\Big(\frac1{\Gamma(s)}\Big)'\int_0^\infty g(x)e^{-x}x^{s-1}dx

болох ба дээрхтэй адил шалтгаанаар

\displaystyle\lim_{s\to1}f_1'(s)

хязгаар төгсгөлөг болох нь харагдана. Үүнийг цааш нь үргэлжлүүлбэл, f_1(s)-ийн n зэргийн уламжлал нь

\displaystyle\Big(\frac1{\Gamma(s)}\Big)^{(n-k)}\int_0^\infty g(x)e^{-x}x^{s-1}\ln^k\!x\,dx

хэлбэрийн гишүүдийн нийлбэр болох нь тодорхой. Ингээд теорем батлагдлаа.

Сурталчилгаа
This entry was posted in Анализ, Тооны онол and tagged , . Bookmark the permalink.

1 Response to Зета функцийн туйл

  1. tengis хэлдэг:

    unheer mundag hund mash oilgomjtoi tailbarlaj ogson baina zarim bagshaas oilgohgui baisan zuilsee dahin dahin unshaad oilgoj medej baina iim ih unetei medeeleliig bid nart hurgej baigaa oort chin mash ih bayarlaj bn unheer tsaashdaa mash ih zuiliig hiigeerei

Хариу Үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Та WordPress.com гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Google photo

Та Google гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Twitter picture

Та Twitter гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Facebook photo

Та Facebook гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Connecting to %s