Зета функцийн логарифм ба эх функц

Өмнөх постоор бид s>1 үед тодорхойлогдсон

\displaystyle f_1(s)=\zeta(s)-\frac1{s-1}

функцийн бүх зэргийн уламжлал s\to1 хязгаарт төгсгөлөг утгатай байна гэдгийг баталсан. Үүнийг

\displaystyle\zeta(s)\sim\frac1{s-1}\qquad(*)

маягаар төсөөлбөл зохимжтой. Нөгөө талаас, Эйлерийн үржвэрийн теоремоос

\displaystyle \ln\zeta(s)=-\sum_p\ln(1-p^{-s})\sim\sum_p\frac1{p^s}

маягийн харьцаа биелнэ гэж бид тааж байгаа (Үүнийг дараагийн постоор жин тан болгоно).

Дээрх хоёр харьцааг хооронд нь холбохын тулд (*) харьцаанаас

\displaystyle\ln\zeta(s)\sim\ln\frac1{s-1}=-\ln(s-1)

гэж таагаад

\displaystyle f_2(s)=\ln\zeta(s)+\ln(s-1)=\ln\big((s-1)\zeta(s)\big)=\ln\big((s-1)f_1(s)+1\big)

функцийн s\to1 хязгаарын шинж чанарыг сонирхоё. Юуны өмнө

\displaystyle\lim_{s\to1}f_1(s)

хязгаар төгсгөлөг учир

\displaystyle\lim_{s\to1}f_2(s)=\lim_{s\to1}\ln\big((s-1)f_1(s)+1\big)=\ln1=0

гэж гарна. Цаашилбал

\displaystyle f_2'(s)=\frac{f_1(s)+(s-1)f_1'(s)}{(s-1)f_1(s)+1}

болох ба

N(s)=f_1(s)+(s-1)f_1'(s)\to f_1(1),\qquad D(s)=(s-1)f_1(s)+1\to1

тул f_2'(s)\to f_1(1) байна. Түүнчлэн

\displaystyle f_2''(s)=\frac{N'D-ND'}{D^2},\qquad f_2'''(s)=\frac{(N''D-ND'')D^2-2(N'D-ND')DD'}{D^4}

гэх мэтчилэн явах бөгөөд s\to1 үед N(s) ба D(s) функцүүдийн бүх уламжлал төгсгөлөг хязгаартай тул дараах лемм батлагдав.

Лемм. s>1 үед тодорхойлогдсон

\displaystyle f_2(s)=\ln\zeta(s)-\ln\frac1{s-1}

функцийн бүх зэргийн уламжлал s\to1 хязгаарт төгсгөлөг утгатай байна.

Одоо \zeta(s) ба \ln\zeta(s) функцүүдийг хооронд нь яаж холбох вэ? Мэдээж \zeta(s)\sim\ln\zeta(s) бол худлаа. Харин

\displaystyle\frac{d}{ds}\ln(s-1)=\frac1{s-1}

гэдгийг санавал,

\displaystyle\zeta(s)\sim\frac1{s-1}=\frac{d}{ds}\ln(s-1)\sim-\frac{d}{ds}\ln\zeta(s)=-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}

гарна. Өөрөөр хэлбэл,

\displaystyle f_2'(s)=\frac{d}{ds}\Big(\ln\zeta(s)-\ln\frac1{s-1}\Big)=\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}+\frac1{s-1}

тул

\displaystyle f_3(s)=\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}+\zeta(s)=\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}+\frac1{s-1}+\zeta(s)-\frac1{s-1}=f_2'(s)+f_1(s)

функцийн бүх зэргийн уламжлал s\to1 хязгаарт төгсгөлөг утгатай байна.

Дээрх харьцаа «сөрөг зэргийн уламжлал» буюу эх функцүүдийн хувьд бас хүчинтэй. Зета функцийн тодорхойлолтонд n\geq2 байх гишүүн тус бүрийг интегралчлаад

\displaystyle Z(s)=-\sum_{n\geq2}\frac1{n^s\ln n}

гэсэн функц тодорхойлбол, Z'(s)=\zeta(s)-1 харьцаа биелнэ. Тухайлбал

\displaystyle Z(2)-Z(s)=s-2+\int_s^2\zeta(t)dt

буюу

\displaystyle Z(s)=Z(2)+2-s-\int_s^2\zeta(t)dt.

Үүнтэй төстэйгөөр

\displaystyle \ln\zeta(s)=\ln\zeta(2)-\int_s^2\frac{\zeta'(t)}{\zeta(t)}dt

гэдгээс C=Z(s)+2+\ln\zeta(2) тогтмолтойгоор

\displaystyle Z(s)+\ln\zeta(s)=C-s-\int_s^2\Big(\zeta(t)+\frac{\zeta'(t)}{\zeta(t)}\Big)dt=C-s-\int_s^2f_3(t)dt

гарна. Энд f_3(s) нь s=1 дээр төгсгөлөг утгатай, тасралтгүй функц тул s\to1 үед

\displaystyle Z(s)+\ln\zeta(s)=C-s-\int_s^2f_3(t)dt\to C-1-\int_1^2f_3(t)dt.

Ингээд дараах теорем батлагдлаа.

Теорем. s>1 үед тодорхойлогдсон

\displaystyle f_4(s)=Z(s)+\ln\zeta(s)

функцийн бүх зэргийн уламжлал s\to1 хязгаарт төгсгөлөг утгатай байна (Бүх зэргийн уламжлал гэдэгт мэдээж 0-р зэргийнх багтана).

Advertisements
This entry was posted in Анализ, Тооны онол and tagged . Bookmark the permalink.

Хариу Үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Та WordPress.com гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Google+ photo

Та Google+ гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Twitter picture

Та Twitter гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Facebook photo

Та Facebook гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

w

Connecting to %s