Абелийн нийлбэрийн томъёонууд

Энэ постоор бид Нильс Хенрик Абелийн нээсэн, Абелийн хэсэгчилсэн нийлбэрийн томъёо гэгддэг, хоорондоо нягт уялдаатай хоёр томъёог батална.

Теорем 1 (Абель 1826). \{a_k\} ба \{b_k\} гэсэн хоёр дараалал өгөгдсөн болог. Тэгвэл

\displaystyle\sum_{k=0}^na_k(b_{k+1}-b_k)=a_nb_{n+1}-a_0b_0-\sum_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)b_{k+1}.

Үүнийг дараах маягаар шууд баталж болно:

\displaystyle\sum_{k=0}^na_k(b_{k+1}-b_k)=\sum_{k=0}^na_kb_{k+1}-a_0b_0-\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+1}b_{k+1}\\{}\qquad=a_nb_{n+1}-a_0b_0-\sum_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)b_{k+1}

Дээрх томъёо хэсэгчилсэн интегралын

\displaystyle\int_a^b f(t)g'(t)dt=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_a^bg(t)f'(t)dt

томъёотой төстэй байгааг анзаараарай.

Жишээ. Бид -1<x<1 үед

\displaystyle\arctan x=x-\frac{x^3}3+\frac{x^5}5-\frac{x^7}7+\ldots\qquad(*)

цуваа нийлдэгийг мэднэ. Тэгвэл

\displaystyle\frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+\ldots

томъёо биелэх үү гэсэн асуултыг сонирхоцгооё. Абелийн томъёог a_k=x^{2k+1} ба

\displaystyle b_0=0,\quad b_1=1,\quad b_2=1-\frac13,\quad b_3=1-\frac13+\frac15,\ldots

үед хэрэглэн (*) цувааны эхний n гишүүний нийлбэрийг

\displaystyle f_n(x)=\sum_{k=0}^na_k(b_{k+1}-b_k)=b_{n+1}x^{2n+1}-\sum_{k=0}^{n-1}b_{k+1}(x^2-1)x^{2k+1}

гэж бичиж болно. Одоо \{b_k\} нь нийлэх дараалал тул зааглагдсан гэдгийг тооцон, -1<x<1 үед n\to\infty хязгаар авбал

\displaystyle f(x)=\arctan x=(1-x^2)\sum_{k=0}^{\infty}b_{k+1}x^{2k+1}

гарах ба,

\displaystyle b=\lim_{k\to\infty} b_k=1-\frac13+\frac15-\frac17+\ldots

хязгаарыг хоёр талаас нь хасвал

\displaystyle f(x)-b=(1-x^2)\sum_{k=0}^{\infty}(b_{k+1}x-b)x^{2k}\qquad(**)

болно. Үүнд

\displaystyle 1=(1-x^2)\sum_{k=0}^{\infty}x^{2k}

гэдгийг ашигласан. Эндээс x\to1 үед f(x)\to b гэж харуулахын тулд, \varepsilon>0 гэсэн (өчүүхэн бага) тоо өгөгдсөн гэж үзээд, n болон \delta>0 тоонуудыг, k>n ба 1-\delta<x\leq1 үед |b_{k+1}x-b|<\varepsilon байдаг байхаар сонгож авъя. Ийм сонголт боломжтой гэдгийг

\displaystyle |b_{k+1}x-b|=|(b_{k+1}-b)x+b(x-1)|\leq|b_{k+1}-b|+|b|\cdot|x-1|

тэнцэл бишээс харж болно. Үүнийгээ (**) илэрхийлэлд орлуулбал

\displaystyle |f(x)-b|\leq(1-x^2)\sum_{k=0}^{n}|b_{k+1}x-b|x^{2k}+\varepsilon(1-x^2)\sum_{k=n+1}^{\infty}x^{2k}\\{}\qquad\leq(1-x^2)\sum_{k=0}^{n}|b_{k+1}x-b|x^{2k}+\varepsilon\to\varepsilon

болох тул, 1-\rho<x<1\,\,\Longrightarrow\,\,|f(x)-b|<2\varepsilon байхаар  \rho>0 тоог сонгож авах боломжтой. Эцэст нь дүгнэхэд, x\to1 үед нэг талаас f(x)\to b, нөгөө талаас f(x)=\arctan x\to\frac\pi4 тул b=\frac\pi4 гэж мөрдөнө.

Абелийн хоёрдахь томъёо нь нийлбэр, интегралыг хольсон «эрлийз» томъёо болно.

Теорем 2. \gamma_1,\gamma_2,\ldots гэсэн тоон дараалал, мөн f(x) гэсэн тасралтгүй дифференциалчлагддаг функц бүрийн хувьд

\displaystyle\sum_{k\leq x}f(k)\gamma_k=f(x)g(x)-\int_{1}^xg(t)f'(t)dt

тэнцэтгэл биелнэ. Үүнд

g(x)=\displaystyle\sum_{k\leq x}\gamma_k.

Баталгаа. Эхлээд n=[x] гээд, \gamma_k=g(k)-g(k-1) гэдгийг ашиглан, хэсэгчилсэн нийлбэрийн томъёогоор

\displaystyle\sum_{k\leq x}f(k)\gamma_k=\sum_{k=0}^nf(k)\big(g(k)-g(k-1)\big)=f(n)g(n)-\sum_{k=0}^{n-1}g(k)\big(f(k+1)-f(k)\big)

болно. Сүүлийн гишүүнийг цааш нь

\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}g(k)\big(f(k+1)-f(k)\big)=\sum_{k=0}^{n-1}g(k)\int_k^{k+1}f'(t)dt=\sum_{k=0}^{n-1}\int_k^{k+1}g(t)f'(t)dt\\{}\qquad=\int_0^{n}g(t)f'(t)dt=\int_1^{n}g(t)f'(t)dt

гэж хувиргаснаар

\displaystyle\sum_{k\leq x}f(k)\gamma_k=f(n)g(n)-\int_1^{n}g(t)f'(t)dt

гарна. Ингээд

\displaystyle\int_n^{x}g(t)f'(t)dt=g(n)\int_n^{x}f'(t)dt=g(n)f(x)-g(n)f(n)=g(x)f(x)-g(n)f(n)

тул теорем батлагдлаа.

Жишээ. f(x)=\ln x,\,\,\gamma_k=1 гэвэл g(x)=[x] болох ба Абелийн нийлбэрийн томъёогоор

\displaystyle\sum_{k\leq x}\ln k=[x]\ln x-\int_1^x\frac{[t]}tdt=[x]\ln x-\int_1^x\frac{t-\{t\}}tdt\\{}\qquad=x\ln x-\{x\}\ln x-(x-1)+\int_1^x\frac{\{t\}}tdt\\{}\qquad=x\ln x-\big(\{x\}-{\textstyle\frac12}\big)\ln x-(x-1)+\int_1^x\frac{\{t\}-\frac12}tdt

гарна. Үүнд \{x\}=x-[x] нь x-ийн бутархай хэсэг. Одоо |\{t\}-\frac12|\leq\frac12 гэдгийг ашиглавал

\displaystyle x\ln x-x+1-\ln x\leq\sum_{k\leq x}\ln k\leq x\ln x-x+1+\ln x

болно.

Хэрэв x=n нь бүхэл бол, эхний томъёо маань шууд

\displaystyle \ln n!=n\ln n-n+1+\int_1^n\frac{\{t\}}tdt=n\ln n-n+\frac12\ln n+1+\int_1^n\frac{\{t\}-\frac12}tdt

болж хувирна.

Энд бид яагаад \{t\}-\frac12 гэсэн функцийг интеграл дор оруулахыг чухалчлаад байна вэ гэвэл энэ функцийн дундаж нь 0 учраас интегралын утга бага байх магадлал их учраас тэр. Бид дараагийн постоороо энэ жишээг өргөтгөж, ерөнхий томъёо гаргаж авна.

({x} – ½) / x функцийн график

Сурталчилгаа
This entry was posted in Анализ, Тооны онол and tagged , , , . Bookmark the permalink.

Хариу Үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Та WordPress.com гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Google+ photo

Та Google+ гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Twitter picture

Та Twitter гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Facebook photo

Та Facebook гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Connecting to %s