Анхны тоонуудын тоог үнэлэх нь

Саяхны нэг постоор бид Чебышёвын

\displaystyle\theta(x)=\sum_{p\leq x}\ln p

функц дээр

F(x)<\theta(x)<G(x)\qquad\qquad(*)

гэсэн заагийг баталсан. Үүнд

F(x)=\displaystyle Ax-\frac{12}5A\sqrt{x}-\frac5{8\ln6}\ln^2\!x-\frac{15}4\ln x-1

G(x)=\displaystyle\frac65Ax-A\sqrt{x}+\frac5{4\ln6}\ln^2\!x+\frac52\ln x+1

бөгөөд A=\ln\frac{2^{1/2}3^{1/3}5^{1/5}}{30^{1/30}}=0.9212\ldots нь тогтмол тоо.  Одоо үүнийгээ ашиглан x-ээс хэтрэхгүй анхны тоонуудын тоо буюу

\displaystyle\pi(x)=\sum_{p\leq x}1

функцийн их багыг яаж үнэлж болохыг сонирхоё.

Хэрэв k нь анхны тоо бол \theta(k)-\theta(k-1)=\ln k, харин зохиомол тоо бол \theta(k)-\theta(k-1)=0 байх нь мэдээж. Тэгэхээр

\displaystyle\pi(x)=\sum_{k\leq x}\frac{\theta(k)-\theta(k-1)}{\ln k}\qquad\qquad(**)

гэж бичиж болно. Энэ нийлбэрийн нэмэгдэхүүнүүдийг

\begin{array}{rcl}\pi(n)&=&\displaystyle\frac{\theta(2)}{\ln2}+\frac{\theta(3)-\theta(2)}{\ln3}+\ldots+\frac{\theta(n)-\theta(n-1)}{\ln n}\\&=&\displaystyle\Big(\frac1{\ln2}-\frac1{\ln3}\Big)\theta(2)+\ldots+\Big(\frac1{\ln (n-1)}-\frac1{\ln n}\Big)\theta(n-1)+\frac{\theta(n)}{\ln n}\end{array}

маягаар бүлэглээд, \ln x нь өсөх функц гэдгийг санавал, \theta(\cdot)-ийн өмнөх коэффициентууд дандаа сөрөг биш тоонууд болох нь харагдана. Иймд (*) томъёон дахь дээд доод заагийг (**) нийлбэрт орсон \theta(\cdot) болгоны хувьд шууд хэрэглэвэл, уг нийлбэрийн дээд доод зааг харгалзан гарч ирнэ:

\displaystyle\underbrace{\frac{F(2)}{\ln2}+\sum_{k=3}^n\frac{F(k)-F(k-1)}{\ln k}}_{T_1(n)}<\pi(n)<\underbrace{\frac{G(2)}{\ln2}+\sum_{k=3}^n\frac{G(k)-G(k-1)}{\ln k}}_{T_2(n)}\qquad(\dagger)

Энд байгаа T_1(n) ба T_2(n) нь тодорхой томъёогоор өгөгдсөн функцүүд тул (\dagger) тэнцэл биш нь \pi(n) функцийн аналитик үнэлгээ болно. Дорх зурагт эдгээр заагууд болон тэдгээрийн дундаж болох

\displaystyle T(n)=\frac{T_1(n)+T_2(n)}1

ойролцооллыг \pi(n) функцтэй харьцуулж үзүүлэв.

T_1(n)<\pi(n)<T_2(n) ба T(n)=\frac12[T_1(n)+T_2(n)]

Дээрх үнэлгээг цааш нь хялбарчлахад

\displaystyle\sqrt{k}-\sqrt{k-1}=\frac1{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}<\frac1{2\sqrt{k-1}}

\displaystyle\sqrt{k}-\sqrt{k-1}=\frac1{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}>\frac1{2\sqrt{k}}

\displaystyle\ln k-\ln(k-1)=\ln\Big(1+\frac1{k-1}\Big)\leq\frac1{k-1}

\displaystyle\ln^2\!k-\ln^2(k-1)=\big(\ln k+\ln(k-1)\big)\ln\Big(1+\frac1{k-1}\Big)\leq\frac{2\ln k}{k-1}

тэнцэл бишүүд хэрэг болно. Баруун гар талд нь байгаа функцүүд бүгд k\geq2 хувьсагчийн буурах функцүүд байгааг ажиглаарай. Ингээд

\displaystyle \frac65A-\frac{A}{2\sqrt{k-1}}<G(k)-G(k-1)<\frac65A-\frac{A}{2\sqrt{k}}+\frac{5}{2\ln6}\cdot\frac{\ln k}{k-1}+\frac5{2(k-1)}

\displaystyle A-\frac{6A}{5\sqrt{k-1}}-\frac{5}{4\ln6}\cdot\frac{\ln k}{k-1}-\frac{15}{4(k-1)}<F(k)-F(k-1)<A-\frac{6A}{5\sqrt{k}}

гэсэн үнэлгээ гарна.

Тухайлбал,

\displaystyle F(k)-F(k-1)=A-\frac{6A}{5\sqrt{k}}+O(k^{-3/2}),

\displaystyle G(k)-G(k-1)=\frac65A-\frac{A}{2\sqrt{k}}+O(k^{-3/2})

болохыг харж болно.

Одоо

\displaystyle\sum_{k=3}^n\frac1{\ln k}=\int_2^n\frac{dx}{\ln x}+O(1)=\mathrm{Li}(n)+O(1)

үнэлгээг ашиглан

\displaystyle T_1(n)=\frac{F(2)}{\ln 2}+A\sum_{k=3}^n\frac{1+O(k^{-1/2})}{\ln k}=A\cdot\mathrm{Li}(n)+O\Big(\frac{\sqrt{n}}{\ln n}\Big)

\displaystyle T_2(n)=\frac{G(2)}{\ln 2}+\frac65A\sum_{k=m+1}^n\frac{1+O(k^{-1/2})}{\ln k}=\frac{6}5A\cdot\mathrm{Li}(n)+O\Big(\frac{\sqrt{n}}{\ln n}\Big)

гэж гарах тул

\displaystyle A\cdot\mathrm{Li}(n)+O\Big(\frac{\sqrt{n}}{\ln n}\Big)<\pi(n)<\frac{6}5A\cdot\mathrm{Li}(n)+O\Big(\frac{\sqrt{n}}{\ln n}\Big).

Түүнчлэн, \pi(n) функцийг

\displaystyle T(n)=\frac{T_1(n)+T_2(n)}2

функцээр ойролцоолбол (дээрх зургийг хар), харьцангуй алдаа нь

\displaystyle\frac{|\pi(n)-T(n)|}{T(n)}\leq\frac{T_2(n)-T_1(n)}{T_1(n)+T_2(n)}=\frac{\mathrm{Li}(n)+O\Big(\frac{\sqrt{n}}{\log n}\Big)}{11\mathrm{Li}(n)+O\Big(\frac{\sqrt{n}}{\log n}\Big)}=\frac1{11}+O(n^{-1/2})

буюу, n их үед 10%-аас бага байна гэсэн үг.

Сурталчилгаа
This entry was posted in Элдэв зүйлс and tagged , . Bookmark the permalink.

Хариу Үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Та WordPress.com гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Google+ photo

Та Google+ гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Twitter picture

Та Twitter гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Facebook photo

Та Facebook гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Connecting to %s