Анхны тоон индекстэй цуваанууд

Анхны тоонуудын урвуунуудын цуваа сарнидаг болохыг Эйлер баталсан. Үүнийг гармоник цувааны сарнилтай харьцуулж бодож болно. Тэгвэл, жишээ нь

\displaystyle\frac1{2\ln2}+\frac1{3\ln3}+\frac1{4\ln4}+\frac1{5\ln5}+\frac1{6\ln6}+\ldots

цуваа сарнидагтай адилаар

\displaystyle\frac1{2\ln2}+\frac1{3\ln3}+\frac1{5\ln5}+\frac1{7\ln7}+\frac1{11\ln11}+\ldots

цуваа бас сарних уу гэсэн асуулт гарна. Иймэрхүү асуултуудад Чебышёв дараах теоремоороо бүрэн хариулт өгсөн.

Теорем. t_2,t_3,t_4,\ldots дараалал нь эерэг тоонуудаас бүтэх ба

\displaystyle\frac{t_2}{\ln2}\geq\frac{t_3}{\ln3}\geq\frac{t_4}{\ln4}\geq\ldots

чанарыг хангадаг болог. Тэгвэл

\displaystyle\sum_pt_p=t_2+t_3+t_5+t_7+t_{11}+t_{13}+\ldots

цувааны нийлэх эсэх нь 

\displaystyle\sum_{n}\frac{t_n}{\ln n}=\frac{t_2}{\ln2}+\frac{t_3}{\ln3}+\frac{t_4}{\ln4}+\frac{t_5}{\ln5}+\frac{t_6}{\ln6}+\ldots

цувааны нийлэх эсэхтэй эквивалент.

Теоремыг батлахын өмнө, үүнийг ашигласан хэдэн жишээ авч үзье. Юуны өмнө, Эйлерийн үр дүн

\displaystyle\sum_n\frac1{n\ln n}=\infty\qquad\Longrightarrow\qquad\sum_p\frac1p=\infty

гээд шууд гарна. Цаашилбал,

\displaystyle\sum_n\frac1{n\ln^2\!n}<\infty\qquad\Longrightarrow\qquad\sum_p\frac1{p\ln p}<\infty

байна. Тэгэхээр анхны тоон \{p\} дараалал нь \{n\ln^2\!n\} дарааллыг бодвол шигүү (ө.х. удаанаар өсдөг) боловч, \{p\ln p\} тоонууд нь \{n\ln n\} дарааллаас мэдэгдэхүйц хурднаар өсдөг гэсэн үг. Үнэндээ \sum\frac1p цувааны ерөнхий гишүүний хуваарьт логарифмын ямар ч эерэг зэрэг бичсэн гэсэн цуваа нийлнэ (Дасгал!). Нөгөө талаас, давхар логарифм бол бичиж болно:

\displaystyle\sum_n\frac1{n\ln n\ln\ln n}=\infty\qquad\Longrightarrow\qquad\sum_p\frac1{p\ln\ln p}=\infty

Энэ юу гэсэн үг вэ гэвэл \{p\ln\ln p\} дараалал нь \{n\ln^2\!n\} (түүнчлэн \{n\ln n(\ln\ln n)^2\}) дарааллыг бодвол удаан өснө гэсэн үг.

Теоремын баталгаа. Чебышёвын

\displaystyle\theta(x)=\sum_{p\leq x}\ln p

функц дээр

F(x)<\theta(x)<G(x)\qquad\qquad(*)

гэсэн заагийг бид баталсан. Үүнд

F(x)=\displaystyle Ax-\frac{12}5A\sqrt{x}-\frac5{8\ln6}\ln^2\!x-\frac{15}4\ln x-1

G(x)=\displaystyle\frac65Ax-A\sqrt{x}+\frac5{4\ln6}\ln^2\!x+\frac52\ln x+1

бөгөөд A=\ln\frac{2^{1/2}3^{1/3}5^{1/5}}{30^{1/30}}=0.9212\ldots нь тогтмол тоо.

Хэрэв k нь анхны тоо бол \theta(k)-\theta(k-1)=\ln k, харин зохиомол тоо бол \theta(k)-\theta(k-1)=0 байх нь мэдээж. Тэгэхээр

\displaystyle\sum_{p\leq n}t_p=\sum_{k\leq n}\frac{\theta(k)-\theta(k-1)}{\ln k}\,t_k\qquad\qquad(**)

гэж бичиж болно. Энэ нийлбэрийн нэмэгдэхүүнүүдийг

\begin{array}{rcl}\displaystyle\sum_{p\leq n}t_p&=&\displaystyle\frac{\theta(2)}{\ln2}\,t_2+\frac{\theta(3)-\theta(2)}{\ln3}\,t_3+\ldots+\frac{\theta(n)-\theta(n-1)}{\ln n}\,t_n\\&=&\displaystyle\Big(\frac{t_2}{\ln2}-\frac{t_3}{\ln3}\Big)\theta(2)+\ldots+\Big(\frac{t_{n-1}}{\ln(n-1)}-\frac{t_n}{\ln n}\Big)\theta(n-1)+\frac{t_n}{\ln n}{\theta(n)}\end{array}

маягаар бүлэглээд, \{{t_n}/{\ln n}\} нь үл өсөх дараалал гэдгийг санавал, \theta(\cdot)-ийн өмнөх коэффициентууд дандаа сөрөг биш тоонууд болох нь харагдана. Иймд (*) томъёон дахь дээд доод заагийг (**) нийлбэрт орсон \theta(\cdot) болгоны хувьд шууд хэрэглэвэл, уг нийлбэрийн дээд доод зааг харгалзан гарч ирнэ:

\displaystyle\frac{F(2)t_2}{\ln2}+\sum_{k=3}^n\big({F(k)-F(k-1)}\big)\frac{t_k}{\ln k}<\sum_{p\leq n}t_p<\frac{G(2)t_2}{\ln2}+\sum_{k=3}^n\big({G(k)-G(k-1)}\big)\frac{t_k}{\ln k}

Энд орсон F(k)-F(k-1) ба G(k)-G(k-1) илэрхийллүүдийг үнэлэхэд

\displaystyle\sqrt{k}-\sqrt{k-1}=\frac1{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}<\frac1{2\sqrt{k-1}}

\displaystyle\ln k-\ln(k-1)=\ln\Big(1+\frac1{k-1}\Big)\leq\frac1{k-1}

\displaystyle\ln^2\!k-\ln^2(k-1)=\big(\ln k+\ln(k-1)\big)\ln\Big(1+\frac1{k-1}\Big)\leq\frac{2\ln k}{k-1}

тэнцэл бишүүд хэрэг болно. Баруун гар талд нь байгаа функцүүд бүгд k\geq2 хувьсагчийн буурах функцүүд байгааг ажиглаарай. Ингээд

\displaystyle G(k)-G(k-1)<\frac65A+\frac{5}{2\ln6}\cdot\frac{\ln k}{k-1}+\frac5{2(k-1)}

\displaystyle F(k)-F(k-1)>A-\frac{6A}{5\sqrt{k-1}}-\frac{5}{4\ln6}\cdot\frac{\ln k}{k-1}-\frac{15}{4(k-1)}

гэсэн үнэлгээ гарна. Тухайлбал, k\geq m үед

\displaystyle G(k)-G(k-1)<2,\qquad F(k)-F(k-1)>\frac12

байдаг m гэсэн индекс олдоно (Үүнд m=30 гэж авахад хангалттай).

Одоо \sum{t_n}/{\ln n} цуваа нийлдэг бөгөөд

\displaystyle \sum_{k=2}^\infty\frac{t_k}{\ln k}=M

болог. Тэгвэл 

\displaystyle \sum_{p\leq n}t_p<\frac{G(2)t_2}{\ln2}+\sum_{k=3}^n\big({G(k)-G(k-1)}\big)\frac{t_k}{\ln k}<C+\sum_{k=m}^n\frac{2t_k}{\ln k}\leq C+2M

тул \sum{t_p} цуваа нийлэх нь тодорхой. Нөгөө талаас, \sum{t_n}/{\ln n} цуваа сарнидаг гэвэл

\displaystyle \sum_{p\leq n}t_p>\frac{F(2)t_2}{\ln 2}+\sum_{k=3}^n\big({F(k)-F(k-1)}\big)\frac{t_k}{\ln k}>c+\frac12\sum_{k=m}^n\frac{t_k}{\ln k}\to\infty

болох тул \sum{t_p} цуваа сарнина. Ингээд теорем батлагдлаа.

Дасгал. Дараах цувааг нийлэх эсэхийг тогтоо.

\displaystyle\sum_p\frac1{p(\ln p)^{\varepsilon}}

Энд  \varepsilon>0 нь бодит тоо.

Сурталчилгаа
This entry was posted in Анализ, Тооны онол and tagged , , . Bookmark the permalink.

Хариу Үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Та WordPress.com гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Google+ photo

Та Google+ гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Twitter picture

Та Twitter гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Facebook photo

Та Facebook гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Connecting to %s