Евклидийн хувиргалтууд

Топологийн хувьд «зөв» бөгөөд «хэмнэлттэй» координатын системүүдийн хувьд огторгуйд орших цэгэн биетийн координатууд (x1, x2, x3) гэсэн 3 бодит тоогоор илэрхийлэгддэг талаар бид өмнө ярилцсан. Эдгээр гурван тоог нийлүүлээд x = (x1, x2, x3) гэсэн ганц үсгээр тэмдэглэвэл бичилтийг ихэд хялбарчилдаг. Өөрөөр хэлбэл x=(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3 нь математикийн хувьд (3 хэмжээст) вектор юм.

Цаашилбал, Декартын координатын системд x = (x1, x2, x3) ба y = (y1, y2, y3) координаттай цэгүүдийн хоорондох зай нь

d(x,y) = \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}

байдгийг бид мэднэ. Бичилтийг хялбарчлах үүднээс

|x| = \sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}

гэсэн тэмдэглэгээ оруулбал

d(x,y)=|x-y|

болно. Энэ |x| хэмжигдэхүүнийг x векторын урт, эсвэл норм гэж нэрлэдэг.

Декартын координатын системийг практикт ихэнхдээ яаж байгуулдаг вэ гэвэл эхлээд тухайн нөхцөл байдалдаа тохирсон нэг (Декартынх байх албагүй) координатын систем байгуулаад, түүнээсээ ямар нэг Декартын систем рүү шилжих томъёог зааж өгдөг. Өөрөөр хэлбэл, эхний координатын системийн цэгүүдийг (буюу «жижиг өрөө тасалгаануудыг») арай өөрөөр дугаарлах замаар Декартын координатын систем гаргаж авна гэсэн үг. Математикийн хувьд, эхний координатын системд x=(x_1,x_2,x_3) координаттай байсан биет шинэ координатын системд x'=(x'_1,x'_2,x'_3) координаттай болдог бол энэ харгалзаа нь

x' = \phi(x)

гэсэн функцээр өгөгдөнө. Ийм харгалзааг координатын хувиргалт гэдэг. Хэрэв шинэ x‘-координатын систем нь Декартынх бол эхний x-координатын системд хоёр цэгийн хоорондох зайг

d(x,y)=|\phi(x)-\phi(y)|

томъёогоор тооцож болно. Яг үнэндээ бол энэ томъёог л мэдчихсэн байхад «цаана нь Декартын систем байгаа» гэдгийг заавал санах албагүй, x-координатын системдээ бүх тооцоогоо хийгээд явах ч боломжтой.

Бие биетэйгээ огтлолцсон хэсгээрээ «гагнаатай» хоёр координатын систем. Энэ «гагнаас» нь бодитой физик гагнаас байж болно. Эсвэл зүгээр x координатыг x‘ руу хувиргадаг томъёо байдлаар өгөгдсөн логик гагнаас байж болно. Хэрэв нэг координатын систем нь хатуу материалаар хийгдсэн (ө.х. түүнтэй бэхлээтэй ямар ч муруйн урт өөрчлөгддөггүй) бол нөгөөх нь мөн энэ чанарыг нь өвлөж авна.

Бид бодит байдал дээр координатын систем байгуулж хэмжилт хийх талаар ярьж байгаа учраас эдгээрийн хувьсал өөрчлөлтийн талаар дурдалгүй өнгөрч болохгүй. Дээр дурдсан хоёр координатын системийн хоорондох x' = \phi(x) харьцаанаас энэ хоёр систем бие биентэйгээ харьцуулахад хөдөлгөөнгүй байгааг харж болно. Тэгэхээр нэг систем нь нөгөөгийнхөө «хатуу материалаар хийгдсэн» шинж чанарыг өвлөж авах ёстой. Тухайлбал, нэг системтэй нь бэхэлсэн муруй нөгөө системтэй нь автоматаар бэхлэгдэх учир уг муруйн дагуу уртыг хэмжих процесст оролцож байгаа жижиг шугамнуудын төгсгөлийн цэгүүдийг аль ч системд нь бүртгэж авч дагалаа гэсэн хэмжилтийн үр дүн адилхан гарна. Өөрөөр хэлбэл, аливаа муруйн урт нь бие биентэйгээ харьцуулахад хөдөлгөөнгүй, «хатуу материалаар хийгдсэн» координатын системүүдийн хувьд нэг ерөнхий хэмжигдэхүүн юм.

Одоо хоёр координатын систем маань хоёулаа Декартынх бол юу болох вэ гэдгийг сонирхоё. Хэрэв {}\phi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 нь нэг Декартын координатын системээс нөгөө Декартын координатын систем рүү шилжүүлэх координатын хувиргалт бол

|\phi(x)-\phi(y)|=|x-y|\qquad\qquad(*)

нөхцөл бүх x,y\in\mathbb{R}^3 векторын хувьд биелэх ёстой. Энд \mathbb{R}^3 нь x = (x1, x2, x3) хэлбэрийн бүх гурвалуудын олонлог бөгөөд элементүүдийг нь (3 хэмжээст) векторууд гэж ярьдаг. Нөгөө талаас, ямар нэг Декартын координатын систем бидэнд байгаа гэж үзвэл, (*) нөхцлийг хангадаг {}\phi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 бүр нэг шинэ Декартын координатын систем тодорхойлно. Өөрөөр хэлбэл «хуучин» системд x координаттай байсан биет шинэ системд x'=\phi(x) координаттай болно гээд шинэ системээ тодорхойлчихно.

Иймд анхнаасаа нэг л Декартын систем өгөгдсөн бол, бусад бүх Декартын системийг олох нь (*) нөхцлийг хангадаг бүх {}\phi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 хувиргалтуудыг олохтой адилхан.

Эдгээр хувиргалтуудыг Евклидийн хувиргалтууд гэдэг ба бүх Евклидийн хувиргалтуудын олонлогийг E(3) гэж тэмдэглэдэг. Энэ олонлогт ямар ямар хувиргалт харъяалагдах вэ гэдэг талаар цааш нь жаахан судлая. Хамгийн хялбар төрлийн Евклидийн хувиргалт бол зөөлт юм. Тодруулбал, a\in\mathbb{R}^3 гэсэн вектор бүрийн хувьд

\tau_a(x)=x+a

гэсэн нэг зөөлт тодорхойлъё. Зөөлтүүдийн хувьд дараах чанаруудыг хялбархан шалгаж болно:

\tau_a\circ\tau_b=\tau_{a+b}, \qquad (\tau_a)^{-1}=\tau_{-a}

Өөрөөр хэлбэл, зөөлтүүд нь a\in\mathbb{R}^3 гэсэн параметртэй абелийн бүлгийг бүрдүүлнэ.

Зөөлтийн пассив хэлбэр: x координаттай цэг шинэ координатын системд x‘ = x + a координаттай болно. Үүнд a вектор нь хуучин координатын системийн эх болох O цэгийн шинэ координатын систем дэх координат.

Ямарваа координатын хувиргалтыг математикийн хувьд пассив (идэвхгүй), актив (идэвхтэй) гэсэн хоёр янзаар ойлгож болно. Үүнийг x'=x+a хувиргалтаар жишээ болгож тайлбарлая.

  • Пассив хувиргалтын үед цэгүүд хөдлөхгүй, координатын систем солигдож байна гэж үзнэ. Тухайлбал, хуучин x координаттай цэг шинэ координатын системд x'=x+a координаттай болно.
  • Актив хувиргалтын үед координатын систем нь хэвээрээ байх боловч цэгүүд (болон дүрсүүд) байрлалаа солино. Тухайлбал, x координаттай цэг шилжээд x'=x+a координат дээр ирнэ.

Зөөлтийн актив хэлбэр: Координатын систем хэвээрээ байх боловч бүх цэгүүд a векторын дагуу шилжинэ. Тодруулбал, x координаттай цэг шилжээд x‘ = x + a координат дээр ирнэ. Үүнийг өөрөөр, v гэсэн шилжсэн координатын системд хуучин цэгүүдээ «хуулж тавиад», тэдгээрийгээ x координатын системд шинээр илэрхийлж байна гэж үзэж бас болно.

Дээр өгүүлснийг физикийн талаас нь ойлгох үүднээс, x ба x‘ координатын системүүд маань анх хоорондоо яг давхацсан байж байгаад, хэсэг хугацааны дараа одооныхоо байранд ирсэн гэж бодъё. Мөн бидний судлах гэж байгаа биет x системтэй нь үргэлж бэхлээстэй байсан гэж үзье (үнэндээ x систем нь өөрөө биет гэдгийг санаарай).

  • Хэрэв бид x систем (ө.х. биет) хөдлөөгүй, харин x‘ систем хөдөлсөн гэж үзээд, биетийнхээ цэгүүдийг x‘ системд ямар координаттай болохыг бичвэл, энэ нь x'=\phi(x) гэсэн пассив хувиргалт болно.
  • Хэрэв бид x‘ систем хөдлөөгүй, харин биет маань хөдөлсөн гэж үзээд, биетийн цэгүүд хаана очсоныг бичвэл, энэ нь x'=\phi(x) гэсэн актив хувиргалт болно.

Эндээс харахад актив болон пассив хувиргалтуудын хоорондох ялгаа илэрхий бүдгэрээд эхэлж байгаа. Бид биесийн харилцан үйлчлэлийн талаар огт мэдэхгүй, зөвхөн огторгуйд яаж хөдөлж байна вэ гэдгийг нь ажиглаж байна гэж бодвол (ө.х. кинематикийн хувьд), координатын систем нь хөдлөөд байна уу, эсвэл биес хөдлөөд байна уу гэдгийг тогтоох арга байхгүй. Зөвхөн харьцангуй хөдөлгөөн л бодитой. Тэгэхээр актив ба пассив хувиргалтуудын хооронд кинематик ялгаа байхгүй юм.

Одоо Евклидийн хувиргалтуудын нэгбүрчилсэн судалгаа руугаа буцаж орвол, ямар ч Евклидийн хувиргалтыг зөөлт хийх замаар \psi(0)=0 нөхцлийг хангадаг хувиргалтанд шилжүүлж болно. Тухайлбал, {}\phi\in E(3) нь Евклидийн хувиргалт байг. Тэгвэл \psi(x)=\phi(x)-\phi(0) нь мөн Евклидийн хувиргалт бөгөөд \psi(0)=0 нөхцлийг хангана. Энэ \psi шиг хувиргалтуудыг нэгэн төрлийн Евклидийн хувиргалтууд гээд, бүх ийм  хувиргалтуудыг цуглуулаад

O(3)=\{\psi\in E(3):\psi(0)=0\}

гэж тэмдэглэдэг. Тухайлбал, {}\phi\in E(3) ба a=\phi(0) бол \psi=\tau_{-a}\circ\phi\in O(3). Дээрх байгуулалтаас дүгнэх нь:

  • {}\phi\in E(3) хувиргалт бүрийг \phi=\tau_{a}\circ\psi, \psi\in O(3) хэлбэртэй бичиж болно.
  • \psi\in O(3) ба a\in\mathbb{R}^3 бол \tau_{a}\circ\psi\in E(3) байна.

Тэгэхээр Евклидийн хувиргалтуудыг ойлгохын тулд үнэндээ зөвхөн нэгэн төрлийн хувиргалтуудыг л судлах хэрэгтэй гэсэн үг. Цаашид x\in\mathbb{R}^3 ба y\in\mathbb{R}^3 векторуудын хоорондох скаляр үржвэр

x\cdot y = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3

чухал үүрэг гүйцэтгэнэ. Векторуудыг 3×1 матриц (ө.х. «баганан вектор») гэж үзээд, x\cdot y гэхийн оронд x^\top y гэж бичих нь ч бий. Скаляр үржвэрийн гол «ид шид» нь векторын урттай

|x|^2 = x\cdot x \equiv x^\top x

харьцаагаар холбогддогт оршдог. Дорх теорем Евклидийн хувиргалтуудын «анатомийг» судлахад зориулж эхний зүсэлтийг хийж үзүүлнэ.

Теорем. Ямар ч \psi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 хувиргалтын хувьд дараах нөхцлүүд хоорондоо эквивалент:

  • \psi\in O(3).
  • x,y\in\mathbb{R}^3 болгоны хувьд \psi(x)\cdot\psi(y)=x\cdot y байна.
  • x\in\mathbb{R}^3 болгоны хувьд  \psi(x)=Ax байх, A^\top A=I нөхцлийг хангадаг A гэсэн 3×3 матриц оршин байна. Энд I нь нэгж матриц.

Баталгаа. Хэрэв \psi\in O(3) бол

|\psi(x)|=|\psi(x)-\psi(0)|=|x-0|=|x|

болно. Цаашилбал, x,y\in\mathbb{R}^3 болгоны хувьд

|x-y|^2=(x-y)\cdot(x-y)=|x|^2+|y|^2-2x\cdot y

ба үүнтэй төстэйгөөр

|\psi(x)-\psi(y)|^2 = |\psi(x)|^2+|\psi(y)|^2-2\psi(x)\cdot\psi(y) = |x|^2+|y|^2 - 2\psi(x)\cdot\psi(y)

байна. Одоо |\psi(x)-\psi(y)|=|x-y| гэдгийг тооцвол

\psi(x)\cdot\psi(y) = x\cdot y

гэж гарна. Тодруулбал, эхний нөхцлөөс 2 дахь нөхцөл мөрдөж гарлаа.

Хэрэв 2 дахь нөхцөл (\psi(x)\cdot\psi(y) = x\cdot y) биелдэг бол, дээрх гаргалгааг урвуугаар нь ашиглан

\begin{array}{rcl}|\psi(x)-\psi(y)|^2 &=& \psi(x)\cdot\psi(x)+\psi(y)\cdot\psi(y)-2\psi(x)\cdot\psi(y)\\ &=& x\cdot x + y\cdot y - 2x\cdot y = |x-y|^2\end{array}

буюу \psi\in E(3) гэж дүгнэнэ. Нөгөө талаас, \psi(0)\cdot\psi(0)=0\cdot  0=0 тул \psi(0)=0 болно.

Одоо 3 дахь нөхцөл биелдэг гэж үзвэл, 2 дахь нөхцөл нь шууд

\psi(x)\cdot\psi(y)=(Ax)^\top(Ay)=x^\top A^\top Ay=x^\top Iy =x\cdot y

гэж мөрдөнө.

Эцэст нь, 2 дахь нөхцлөөс 3 дахь нөхцлийг гаргах үлдлээ. Энд бидний гол ажил \psi хувиргалтыг шугаман гэж харуулахад зарцуулагдана. Юуны өмнө, \mathbb{R}^3 огторгуйн стандарт суурийн векторуудыг e_1=(1,0,0)e_2=(0,1,0), ба e_3=(0,0,1) гэж тэмдэглээд, \psi хувиргалтаар эдгээр нь хоорондоо шугаман хамааралгүй элементүүдэд бууна гэж харуулъя. Үүний тулд \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 гэсэн бодит тоонуудын хувьд

\alpha_1\psi(e_1)+\alpha_2\psi(e_2)+\alpha_3\psi(e_3)=0

гэж үзье. Энэ тэнцэтгэлийн хоёр талыг \psi(e_1) вектороор скаляр үржүүлээд, \psi(e_1)\cdot\psi(e_1)=e_1\cdot e_1=1\psi(e_2)\cdot\psi(e_1)=e_2\cdot e_1=0, ба \psi(e_3)\cdot\psi(e_1)=e_3\cdot e_1=0 гэдгийг тооцвол

\alpha_1=\alpha_1\psi(e_1)\cdot\psi(e_1)+\alpha_2\psi(e_2)\cdot\psi(e_1)+\alpha_3\psi(e_3)\cdot\psi(e_1)=0

болно. Үүнтэй төстэйгөөр, дээрх тэнцэтгэлийг \psi(e_2) ба \psi(e_3) векторуудаар скаляр үржүүлэх замаар \alpha_2=\alpha_3=0 гэж мөрдөнө. Тэгэхээр \psi(e_1), \psi(e_2), \psi(e_3) векторууд \mathbb{R}^3 огторгуйд суурь үүсгэнэ.

Одоо x\in\mathbb{R}^3, \lambda\in\mathbb{R} ба k=1,2,3 бол

\psi(\lambda x)\cdot\psi(e_k)=\lambda x\cdot e_k=\lambda \psi(x)\cdot\psi(e_k)

болох ба \psi(e_1), \psi(e_2), \psi(e_3) векторууд суурь гэдгийг санавал

\psi(\lambda x)=\lambda\psi(x)

гэж мөрдөнө. Түүнчлэн, x,y\in\mathbb{R}^3 ба k=1,2,3 бол

\begin{array}{rcl}\psi(x+y)\cdot\psi(e_k)&=&(x+y)\cdot e_k=x\cdot e_k+y\cdot e_k=\psi(x)\cdot\psi(e_k)+\psi(y)\cdot\psi(e_k)\\&=&[\psi(x)+\psi(y)]\cdot\psi(e_k)\end{array}

буюу

\psi(x+y)=\psi(x)+\psi(y)

болно. Өөрөөр хэлбэл \psi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 нь шугаман хувиргалт болж таарлаа. Иймд

\psi(x)=Ax

байх A\in\mathbb{R}^{3\times3} матриц олдоно. Үүнийгээ теоремын 2-р нөхцөлд орлуулбал

x^\top A^\top Ay=\psi(x)\cdot\psi(y)=x\cdot y = x^\top Iy

болох ба x,y\in\mathbb{R}^3 нь дурын векторууд гэдгээс A^\top A=I гэж мөрдөнө. Теорем ийнхүү батлагдлаа. \Box

Энэ теоремоос дараах мөрдлөгөөнүүд шууд гарна.

  • Хэрэв \psi\in O(3) бол \psi(x)=Ax ба A^\top A=I. Сүүлийн нөхцөл A^{-1}=A^\top гэсэн үг. Өөрөөр хэлбэл \psi нь урвуутай бөгөөд \psi^{-1}(y)=A^\top y байна. Мөн \phi\in O(3) бол \psi\circ\phi\in O(3) байх нь ойлгомжтой. Тэгэхээр O(3) нь бүлэг болно. Үүнийг (3 хэмжээст) нэгэн төрлийн Евклидийн бүлэг, ортогональ хувиргалтуудын бүлэг, эсвэл зүгээр л ортогональ бүлэг гэх нь бий.
  • Дурын \phi\in E(3) хувиргалтыг \phi(x)=[\phi(x)-\phi(0)]+\phi(0) гэж бичиж болох ба \psi(x)=\phi(x)-\phi(0) нь ортогональ хувиргалт, ө.х. \psi\in O(3). Тэгэхээр E(3) нь мөн бүлэг болно. Үүнийг (3 хэмжээст) Евклидийн бүлэг гэж нэрлэдэг.
  • Ортогональ бүлгийн хувьд, 3×3 матриц нь 9 элементтэй. Үүн дээр A^\top A=I нөхцөл нь 6 ширхэг тэгшитгэл өгнө. Тэгэхээр O(3) бүлэг нь 9 – 6 = 3 чөлөөний зэрэгтэй гэсэн таамаглал төрнө.
  • Евклидийн бүлгийн хувьд, ортогональ хувиргалтууд дээр зөөлтийн 3 чөлөөний зэрэг нэмэгдээд нийт 6 чөлөөний зэрэгтэй байх нь бараг ойлгомжтой. Энэ 2 таамаглалыг бид сүүлд бүрмөсөн батална.

Дасгал. Дээрх теоремыг n хэмжээстэй тохиолдолд өргөтгөн батал. Үүнд, x,y\in\mathbb{R}^n векторуудын скаляр үржвэрийг

x\cdot y = x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n

гэж, x\in\mathbb{R}^n векторын уртыг

|x| = \sqrt{x\cdot x}

гэж тодорхойлно. Мөн (n хэмжээст) Евклидийн болон ортогональ бүлгүүд харгалзан

E(n)=\{\phi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n|\,\forall x,y\in\mathbb{R}^n,\,|\phi(x)-\phi(y)|=|x-y|\}

O(n)=\{\psi\in E(n):\psi(0)=0\}

болно.

Одоо O(n) болон E(n) бүлгүүдэд «задлан шинжилгээ» хийе. Энэ пост нэгэнт урт болсон тул бид зөвхөн n = 1 ба n = 2 тохиолдлуудыг энд оруулаад, n = 3 ба n = 4 тохиолдлуудыг дараагийн пост хүртэл хойшлуулахаар шийдлээ. Евклидийн болон ортогональ хувиргалтын хувьд 1 ба 2 хэмжээст тохиолдлууд нь илүү олон хэмжээст тохиолдлуудаа бүрдүүлдэг «эд эс» нь болж өгдгийг бид сүүлд мэдэж авна.

n = 1.  Энэ тохиолдолд A^\top A=I тэгшитгэл маань a^2=1 буюу a=\pm1 болж хувирах тул O(1)=\{e,p\}. Үүнд e(x)=x нь адилтгал хувиргалт, p(x)=-x нь ойлт. Өөрөөр хэлбэл, \mathbb{R} дээр x\mapsto x, ба x\mapsto-x гэсэн хоёрхон ортогональ хувиргалт л байна. Харин Евклидийн хувиргалтын хувьд, зөөлтийг тооцоод

E(1)=\{\tau_a:a\in\mathbb{R}\}\cup\{\tau_a\circ p:a\in\mathbb{R}\}

болохыг хялбархан харж болно.

n = 2.  2×2 матрицын багануудыг 2 хэмжээстэй векторууд гэж үзэж болно. Хэрэв A матрицын багануудыг a_1,a_2\in\mathbb{R}^2 гэж тэмдэглэвэл

Ax=x_1a_1+x_2a_2

болно. Өөрөөр хэлбэл матрицыг вектороор үржүүлэх нь векторын координатуудыг коэффициентууд болгож аваад уг матрицын багануудаар шугаман эвлүүлэг хийсэнтэй адилхан. Тухайлбал, a_1,a_2 векторууд \mathbb{R}^2 огторгуйн суурь болдог бол, Ax=x_1a_1+x_2a_2 нь уг суурьтай харьцангуй (x_1,x_2) координаттай вектор болох юм.

Одоо A^\top A=I тэгшитгэлийг A матрицын багануудаар илэрхийлж бичвэл

a_1\cdot a_1=1,\qquad a_2\cdot a_2=1,\qquad a_1\cdot a_2=0

ө.х. a_1,a_2 нь хоёулаа нэгж урттай, хоорондоо ортогональ (a_1\cdot a_2=0) векторууд юм. Нэгж урттай векторуудыг дараах маягаар өнцгөөр параметрчилж болдог:

a_1=(\cos\alpha,\sin\alpha),\qquad a_2=(\cos\beta,\sin\beta)

Үүнд \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Энэ хоёр векторын хоорондоо ортогональ байх нөхцлийг бичвэл

a_1\cdot a_2 = \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=0\qquad\Longrightarrow\qquad\cos(\alpha-\beta)=0

буюу \alpha-\beta=\pm\frac\pi2 гэж гарна. Ингээд \cos(\alpha\pm\frac\pi2)=\mp\sin\alpha ба \sin(\alpha\pm\frac\pi2)=\pm\cos\alpha гэдгийг тооцвол

a_2=(\mp\sin\alpha,\pm\cos\alpha)

болно. Тэгэхээр A матриц маань

A=\begin{pmatrix}\cos\alpha&\mp\sin\alpha\\\sin\alpha&\pm\cos\alpha\end{pmatrix}

хэлбэртэй байх ёстой гэсэн үг. Нөгөө талаас, ямар ч \alpha\in\mathbb{R} тооны хувьд дээрх матриц нь A^\top A=I тэнцэтгэлийг хангадаг болохыг шалгаж болно. Одоо үүнийг арай илүү эмх цэгцэд оруулах үүднээс (\alpha өнцгөөр эргүүлэх) эргүүлэлтийн матриц

R_\alpha=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}

болон (x_1 тэнхлэгтэй харьцангуйгаар ойлгох) ойлтын матрицыг

P_0=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

тодорхойлъё. Энд \det(R_\alpha) =1 ба \det(R_\alpha P_0)=-1 байгааг ажиглаарай. Тэгэхээр ямар ч ортогональ хувиргалтын хувьд \det(A)=\pm1 байх ба

  • \det A=1 бол эргүүлэлт A=R_\alpha
  • \det A=-1 бол ойлт ба эргүүлэлт A=R_\alpha P_0 байх ёстой.

Энэ ангилалд орсон «ойлт ба эргүүлэлт»

R_\alpha P_0=\begin{pmatrix}\cos\alpha&\sin\alpha\\\sin\alpha&-\cos\alpha\end{pmatrix}

гээч нь яг юу юм бэ гэдгийг тодруулахыг оролдъё. Юуны түрүүнд, энэ матриц нь тэгшхэмтэй матриц ба хувийн утгууд нь \{\lambda_1,\lambda_2\}=\{1,-1\} болохыг ажиглавал,

R_\alpha P_0=VP_0V^\top

хэлбэрээр диагональчлагдана гэсэн үг. Үүнд V нь ортогональ матриц (ө.х. V-ийн баганууд нь ортогональ суурь үүсгэнэ). Тэгэхээр дөнгөж саяхан ярилцсан ёсоор V=R_\theta эсвэл V=R_\theta P_0 байх ёстой. Хэрэв V=R_\theta P_0 бол

{}VP_0V^\top=R_\theta P_0 P_0 P_0^\top R_\theta^\top = R_\theta P_0 R_\theta^\top

учир V=R_\theta гэж авахад болно гэсэн үг. Энэ R_\theta P_0R_\theta^\top матриц нь x_1 тэнхлэгтэй \theta өнцөг үүсгэсэн шулуунтай харьцангуй ойлгох ойлтын матриц болохыг төвөггүй ойлгож болно. Үүнийг тооцоолбол

P_\theta=R_\theta P_0R_\theta^\top=\begin{pmatrix}\cos2\theta&\sin2\theta\\\sin2\theta&-\cos2\theta\end{pmatrix}

болох ба эндээс R_\alpha P_0=R_\theta P_0 R_\theta^\top тэгшитгэлийг \theta өнцгийн хувьд бодвол, \theta=\alpha/2 гэж гарна. Өөрөөр хэлбэл

R_\alpha P_0=P_{\alpha/2}

буюу, «ойлт ба эргүүлэлт» нь зүгээр ойлттой адилхан болж таарлаа. Тэгэхээр ямар ч ортогональ хувиргалт нь

  • нэг бол эргүүлэлт A=R_\alpha
  • үгүй бол ойлт A=P_\theta байх ёстой.

Эцэст нь нэг сонирхолтой ажиглалт хийе. Дээрх R_\alpha P_0=P_{\alpha/2} тэнцэтгэлийн хоёр талыг баруун талаас нь P_0-ээр үржүүлбэл

R_\alpha=P_{\alpha/2}P_0

гарах тул ямар ч эргүүлэлтийг дараалсан хоёр ойлтоор төлөөлүүлж болно гэсэн үг. Үүнийг ашиглан ортогональ хувиргалтыг дахин нэг ангилбал: ямар ч ортогональ хувиргалт нь

  • нэг бол ойлт A=P_\theta
  • үгүй бол дараалсан хоёр ойлт A=P_\theta P_0 байх ёстой.

Бүх эргүүлэлтийн матрицуудыг цуглуулбал тусгай ортогональ бүлэг нэртэй бүлэг үүсгэдэг бөгөөд

SO(2)=\{R_\alpha:\alpha\in\mathbb{R}\}

гэж тэмдэглэдэг. Өмнө хэлэлцсэн ёсоор, ортогональ бүлгийг

O(2)=SO(2)\cup\{R_\alpha P_0:\alpha\in\mathbb{R}\}=\{R_\alpha P_0^k:\alpha\in\mathbb{R},\,k\in\mathbb{Z}_2\}

гэж бичиж болно. Энд шугаман хувиргалтууд ба матрицуудын хооронд \psi(x)=Ax гэсэн харгалзаа байгаа учраас O(2) бүлгийг матрицуудаас тогтсон бүлэг гэж үзэж болж байгаа юм. Түүнчлэн, дан ойлтуудаар

O(2)=\{P_\alpha P_0:\alpha\in\mathbb{R}\}\cup\{P_\alpha:\alpha\in\mathbb{R}\}=\{P_\alpha P_0^k:\alpha\in\mathbb{R},\,k\in\mathbb{Z}_2\}

гэж бичиж бас болно.

Ортогональ бүлэг O(2) нь эргүүлэлт SO(2) ба ойлт \{P_\alpha:\alpha\in\mathbb{R}\} гэсэн хоёр хэсэгт хуваагдаж байгаа. Эргүүлэлтийн ойлтоос ялгарах гол онцлог нь юу вэ гэвэл, адилтгал хувиргалт R_0=I буюу 0 өнцгөөр эргүүлэх эргүүлэлтээс эхлээд, эргүүлэлтийн өнцгийг аажмаар ихэсгэх замаар ямар ч эргүүлэлтэнд хүрч болдог. Харин ойлтыг адилтгал хувиргалттай «холбосон зам» байдаггүй. Гэхдээ ямар ч хоёр ойлтыг хооронд нь эргүүлэлтээр холбож болно. Үүнийг топологийн хэлээр томъёолбол: O(2) нь хоёр холбоост компонентоос тогтох ба адилтгал хувиргалтыг агуулдаг компонентыг нь SO(2) гэнэ. Эргүүлэлт нь R_{\alpha}=R_{\alpha+2\pi} чанартай тул ортогональ бүлгийн аль ч компонент нь топологийн хувьд тойрогтой адилхан.

Дасгал. Дараах тэнцэтгэлүүдийг батал.

  • R_{2\theta}=P_{\alpha+\theta}P_\alpha
  • P_{\alpha}P_\beta=P_{\alpha+\delta}P_{\beta+\delta}
  • P_{\alpha}P_{\beta}P_{\gamma}=P_{\alpha+\gamma-\beta}P_{\beta+\gamma-\beta}P_{\gamma}=P_{\alpha+\gamma-\beta}

Дасгал. SO(2) нь абелийн бүлэг болно гэж харуул.

Дасгал. \psi\in E(2) бол \phi(x)=Ax+b (үүнд A\in O(2) ба b\in\mathbb{R}^2) байдлаар нэг утгатай бичиж болох уу?

Advertisements
This entry was posted in Геометр, Классик онол, Ли бүлэг, Физик, Харьцангуйн онол and tagged , , , , , , , . Bookmark the permalink.

2 Responses to Евклидийн хувиргалтууд

  1. d kho хэлдэг:

    Sain bnu, ta. Mongol hel deer goy medeelel ugdugt ih bayarlaj yavdag shuu. Tanii ajild amjilt husii. Udaj bgaad ch hamaagui, zaaval medeelel oruulj baigaarai, bitgii taslaarai.

    Ta zurag zurahdaa yamar program ashigladag ve? Goy zurah yum.

Хариулт үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Өөрчлөх )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Өөрчлөх )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Өөрчлөх )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Өөрчлөх )

Connecting to %s