Ньютоны болон Кулоны хуулиуд

Байгалийн философийн математик эхлэл (1687) номондоо Исаак Ньютон ертөнц дахины таталцлын (буюу гравитацын) хуулийг дараах байдлаар томъёолсон.

Ямар ч хоёр цэгэн масс бие биенийгээ татах бөгөөд энэ таталцлын хүчний хэмжээ нь уг хоёр массын үржвэрт шууд, хоорондох зайн квадратад нь урвуу пропорциональ байна.

Өөрөөр хэлбэл, хоёр массын хэмжээг M ба m, хоорондох зайг нь r гэвэл

Таталцлын хүчний хэмжээ = GMm/r²

томъёо биелнэ. Үүнд пропорционалийн коэффициент G нь Ньютоны тогтмол нэртэй универсаль тогтмол бөгөөд тоон утга нь СИ системд

G ≈ 6.67×10−11 м3/(кг⋅сек2)

байдаг. Жишээлбэл, хоорондоо 1м зайтай, тус бүр 100 тонн масстай хоёр жижиг биет бие биенээ 0.667Н орчим хүчээр татна гэсэн үг. Түүнчлэн, хоорондоо 1см зайтай хоёр протон таталцлын хүчний улмаас 10−32 м/сек2 орчим хурдатгал олж авна.

Огторгуйд нэг тэгш өнцөгт координатын систем бэхлээд, M массын координатуудыг x = (x1x2x3), m массын координатуудыг y = (y1, y2, y3) гэж тэмдэглэвэл тэдгээрийн хоорондох зай

r = |x-y| = \sqrt{(x^1-y^1)^2+(x^2-y^2)^2+(x^3-y^3)^2}

болно. Энд |xy| тэмдэглэгээ нь xy векторын уртыг тэмдэглэж байгаа. Мөн x1x2, ба x3 нь x векторын 3 координат (тооны зэргүүд биш!) гэдгийг анхаараарай. Жишээлбэл, z = (1м,5м,–2м) гэсэн векторын координатууд нь z1 = 1м, z2 = 5м, ба z3 = –2м болно.

Таталцлын хүчний зөвхөн хэмжээг төдийгүй чиглэлийг тооцон m массын зүгээс M масст үйлчилж байгаа таталцлын хүчийг вектор хэлбэрт бичвэл

\displaystyle F = \frac{GMm}{|x-y|^2}\tau = - GMm\frac{x-y}{|x-y|^3}.

Үүнд τ нь x цэгээс y цэг рүү чиглэсэн нэгж вектор

\displaystyle\tau = - \frac{x-y}{|x-y|}.

newtcoul1

m массаас M масст үйлчлэх хүч y–x векторын дагуу чиглэх бол M массаас m масст үйлчлэх хүч яг эсрэг зүгт чиглэнэ. Эдгээр хүчний хэмжээ хоорондоо тэнцүү бөгөөд Mүржвэрт шууд, |xy|² хэмжигдэхүүнд урвуу пропорциональ байна.

Одоо m массынхаа оронд m1, m2, m3, … гэсэн төгсгөлөг тооны массыг y1, y2, y3, … гэсэн цэгүүд дээр байрлуулъя. Тэгвэл эдгээр массын зүгээс x цэгт байрлах M масст үйлчлэх нийт хүчийг олохдоо масс тус бүрээс үйлчлэх хүчнүүдийг нэмэх хэрэгтэй:

\displaystyle F = \sum_iF_i = - GM\sum_{i}m_i\frac{x-y_i}{|x-y_i|^3}.

newtcoul2

M масст үйлчлэх нийт таталцлын хүч нь mба m2 масс тус бүрийн зүгээс үйлчлэх таталцлын хүчнүүдийн (вектор) нийлбэртэй тэнцүү байна.

Таталцлын хүчний «цаадах механизм» нь яг юу юм бэ гэдэг талаар Ньютон юу ч дурдаагүй, зөвхөн таталцлын хүчийг ингэж тооцоход бодит байдалтай таарч байна гэдгийг л зааж өгсөн. Тэр цагаас хойш Ньютоны таталцлын хууль үй түмэн туршилтаар маш нарийн шалгагдсан байгаа. Харин таталцлын хүчний «цаадах механизмыг» тайлбарлах асуудлаар 19-р зууны сүүл үе гэхэд Ньютоны үетэй харьцуулахад нэг шат ахисан гэж үзэж болно. Энэ тайлбар нь Майкл Фарадейн оруулж ирсэн физик орон гэгдэх ойлголт дээр үндэслэгддэг. Дээр өгүүлсэн ёсоор m1, m2, m3, … массуудын зүгээс үйлчлэх таталцлын хүчийг M масс «мэдэрч» байгаа. Ингэж таталцлын харилцан үйлчлэлд орохдоо M масс маань m1, m2, m3, … массуудын оршин байгааг шууд мэдрэх үү? Үүнд бид M масс маань зөвхөн x цэг дээрх таталцлын орон гэгч зүйлийг л мэдэрнэ, харин таталцлын орон нь өөрөө m1, m2, m3, … массуудын байрлал болон хэмжээнээс хамаарна гэж үзнэ.  Өөрөөр хэлбэл M массын байгаа эсэхээс хамааралгүйгээр, m1, m2, m3, … массуудын нөлөөн дор огторгуйн цэг бүрийн шинж чанар ямар нэг байдлаар өөрчлөгдөж, туршилтын цэгэн массыг хаана ч байрлуулсан гэсэн түүнийг хааш нь түлхэхээ «мэдэхээр» болж бэлтгэгдэнэ гэсэн үг. Огторгуйн цэгүүдийн ингэж өөрчлөгдсөн төлөв байдлыг таталцлын орон (эсвэл гравитацын орон) гэж нэрлэнэ.

Математикийн хувьд таталцлын орныг

\displaystyle E(x) = - G\sum_{i}m_i\frac{x-y_i}{|x-y_i|^3}

гэсэн вектор орноор төлөөлүүлж болно. Энэ вектор орны физик утга нь x цэг дээр нэгж масс байрлуулбал түүнд ямар хүч үйлчлэх вэ гэдгийг илэрхийлнэ. Иймд хэрэв x цэг дээр M масс байрлуулбал таталцлын орны зүгээс түүнд үйлчлэх хүч нь

F = ME(x)

байна. Ньютоны 2-р хуулиас (F = Ma), x цэг дээр ямар ч масс байрлуулсан гэсэн түүний олж авах хурдатгал нь E(x) вектортой тэнцүү болохыг бас харж болно. Энэ E(x) вектор орныг таталцлын орны хүчлэг, мөн хүндийн хүчний хурдатгал гэж нэрлэх нь бий. Хэрэв цэгэн массуудын оронд ρ(y) гэсэн нягттай цул биетийг авч үзвэл, түүний үүсгэх таталцлын орон нь дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ.

\displaystyle E(x) = - G\int \rho(y)\frac{x-y}{|x-y|^3} d^3y.

Үүнд d³y тэмдэглэгээ нь эзэлхүүнээр авсан интегралыг илтгэнэ.

newtcoul3.jpg

Эллипсойд хэлбэртэй биетийн үүсгэх таталцлын оронг бүдүүвчлэн дүрсэлсэн нь

Ньютоны таталцлын хуультай өнгөн дээрээ яг адилхан хууль цахилгаан цэнэгүүдийн хувьд бас үйлчилдэг нь их сонирхолтой. Дээрхтэй төстэйгөөр, x цэг дээр Q хэмжээтэй цэнэг, y цэг дээр q хэмжээтэй цэнэг (хөдөлгөөнгүй) байжээ гэе. Тэгвэл Q цэнэгт q-гийн зүгээс үйлчлэх цахилгаан хүч нь

\displaystyle F = \kappa Qq\frac{x-y}{|x-y|^3}

томъёогоор өгөгдөнө. Энэ хуулийг Францын физикч Шарль Огюстен де Кулон 1784 онд нээсэн бөгөөд κ тогтмолыг Кулоны тогтмол гэдэг. Кулоны хуулийг Ньютоны таталцлын хуультай харьцуулан тэмдэглэх зүйлс хэд байна.

  • Массын тоон хэмжээ үргэлж эерэг байдаг бол цэнэгийн тоон хэмжээ эерэг ба сөрөг утгын аль алиныг авч болдог.
  • Кулоны тогтмолын утга нь эерэг (κ > 0). Өөрөөр хэлбэл ижил цэнэгүүд түлхэлцэх ба эсрэг цэнэгүүд таталцана. Үүнтэй харьцуулахад Ньютоны таталцлын хуульд κ = – G < 0 байгаа гэж үзэж болох тул эерэг масстай биетүүд үргэлж таталцана. Хэрэв сөрөг масстай биетүүд оршин байдаг бөгөөд Ньютоны таталцлын хууль тэдгээр биетийн хувьд мөн биелдэг бол эерэг ба сөрөг масстай биетүүд хоорондоо түлхэлцэх байсан.
  • Ньютоны таталцлын хуульд орж байгаа массыг гравитацын цэнэг гэвэл илүү зохино. Гравитацын цэнэг нь Ньютоны 2-р хуулинд ордог инерцийн масстай тэнцүү байдаг нь эквивалентын зарчим гэгддэг байгалийн тулгуур хууль юм. Эквивалентын зарчмыг гравитацын оронд байгаа биетийн хурдатгал массаасаа хамаарахгүй гэж томъёолж ч болно. Энд яригдаж байгаа хурдатгал нь мэдээж гравитацын орны (тухайн цэг дээрх) хүчлэгтэй тэнцүү байна.
  • Бидэнд өдөр тутамд тохиолддог биетүүдийн хоорондох таталцлын хүч хэт бага байдаг нь уламжлалт нэгжийн системүүдэд Ньютоны тогтмолын утга мөн үлэмж бага байдгаар илэрнэ. Хэрэв Ньютоны тогтмолын тоон утгыг жишээ нь 1 байлгая гэвэл массыг маш том нэгжээр (эсвэл хүчийг, уртыг маш бага нэгжээр) хэмжих хэрэгтэй.
  • Дээрхтэй харьцуулахад, өдөр тутам тохиолддог цэнэгүүдийн хоорондох цахилгаан хүч нь тийм ч бага биш. Жишээлбэл, хоорондоо 1см зайтай хоёр протон цахилгаан хүчний улмаас 1400 м/сек2 орчим хурдатгал олж авна. Тэгэхээр Кулоны тогтмолын тоон утгыг 1 эсвэл өөр «гоё» утгатай байлгахаар цэнэгийн нэгжийг тодорхойлоход нэг их асуудал гарахгүй. Үнэндээ ийм нэгжийн системүүд байдаг (Жишээлбэл, Гауссын нэгжийн систем байна).

Гравитацын оронтой төстэйгөөр цахилгаан орон гэсэн ойлголтыг мөн оруулж ирж болох бөгөөд уг орныг цахилгаан орны хүчлэг буюу нэгж цэнэгт үйлчлэх хүчээр төлөөлүүлэн ойлгож болно. Тухайлбал, y1, y2, y3, … гэсэн цэгүүд дээр байрласан q1, q2, q3, … гэсэн төгсгөлөг тооны цэнэгийн үүсгэх цахилгаан орны хүчлэг

\displaystyle E(x) = \kappa\sum_{i}q_i\frac{x-y_i}{|x-y_i|^3}

байна. Цахилгаан орны хүчлэг мэдэгдэж буй бол x цэгт байрласан Q цэнэгт тус орны зүгээс үйлчлэх хүч

F = Q E(x).

Хэрэв цэгэн цэнэгүүдийн оронд ρ(y) гэсэн нягттай цэнэгийн тархалтыг авч үзвэл, түүний үүсгэх цахилгаан орон нь дараах интегралаар илэрхийлэгдэнэ.

\displaystyle E(x) = \kappa\int \rho(y)\frac{x-y}{|x-y|^3} d^3y.

newtcoul4.jpg

Эерэг ба сөрөг цэнэгтэй хоёр бөмбөрцгийн үүсгэх цахилгаан оронг бүдүүвчлэн дүрсэлсэн нь. Улаан бөмбөрцөг нь эерэг цэнэгтэй ба цэнэгийн хэмжээ нь цэнхэр бөмбөрцгийнхөөсөө арай их байгаа.

Эцэст нь хэлэхэд, Ньютоны гравитац ба Кулоны цахилгаан харилцан үйлчлэлийн хоорондох ганц чанарын ялгаа нь κ тогтмолын эерэг сөрөг эсэхэд байгааг анхаараарай. Хэрэв κ тогтмолын тэмдгийг хязгаарлалгүйгээр эерэг ч байж мэдэх сөрөг ч байж мэдэх тогтмол гэж үзвэл энэ хоёр харилцан үйлчлэлийг математикийн хувьд нэг ерөнхий аргаар судалж болох юм.

Advertisements
This entry was posted in Таталцал, Физик, Цахилгаан соронзон and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

Хариу Үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Та WordPress.com гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Google+ photo

Та Google+ гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Twitter picture

Та Twitter гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Facebook photo

Та Facebook гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

w

Connecting to %s