Вейлийн хууль

Хоёр цэгийн хооронд чанга татаж бэхлэгдсэн утсыг доргиоход ямар давтамжтай хэлбэлзэх нь тухайн утасны уян харимхай чанар, урт, өргөнөөс хамаарна. Эдгээр параметрүүдийг нь удирдах замаар хийл, төгөлдөр хуур, гитар гэх мэт хөгжмийн зэмсгийг утасны хэлбэлзлийг ашиглан янз бүрийн давтамжтай дуу гаргахаар зохион бүтээсэн байдаг. Хэрэв бид жишээ нь гитарын нэг утасны гаргах дууг бичиж аваад давтамжаар нь салгаж үзвэл энэ утасны дуу зөвхөн ганц «цэвэр» давтамжаас бүтдэггүй болох нь харагдана. Сонирхолтой нь энэ дууны давтамжийн найрлага дотор хамгийн бага нэг давтамж байх бөгөөд найрлагад нь орсон бусад бүх давтамж энэ хамгийн бага давтамжийг бүхэл тоо дахин авсантай тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл гитарын утасны хэлбэлзэл нэг үндсэн давтамж f, мөн цаашаагаа 2f, 3f, 4f, 5f гэх мэт давтамжуудыг л агуулна. Эдгээр давтамжуудыг тухайн утасны хувийн давтамжууд гэдэг бөгөөд хоорондоо гармоник (буюу зохицолтой) харьцаанд байна, эсвэл f-ийн гармоникууд гэж ярьдаг. Хоорондоо гармоник харьцаанд байгаа давтамжуудыг зэрэг сонсоход хүний чихэнд тааламжтай байдгийг МЭӨ 500 оны үед Пифагор нээсэн нь Өрнийн хөгжимд маш чухал үүрэг гүйцэтгэдэг хууль юм. Үнэндээ гитарын нэг утсыг татахад дууных нь найрлагад маш олон давтамж байгаа боловч тэдгээр нь хоорондоо нийцтэй сонсогдох болохоор хүнд цэвэр давтамж мэтээр сонсогдоно гэсэн үг. Дээр өгүүлсэн зүйлийг арай тодруулбал, A урттай утсанд f гэсэн өгөгдсөн заагаас хэтрэхгүй хэдэн ширхэг хувийн давтамж байх нь

N(f) = cAf

гэсэн томъёогоор өгөгдөнө. Үүнд c нь тогтмол тоо. Өөрөөр хэлбэл f-ээс хэтрэхгүй хувийн давтамжийн тоо f ба A-д хоёуланд пропорциональ байна. Математикийн хувьд утасны хэлбэлзлийн бодлого нь үндсэндээ хоёрдугаар эрэмбийн уламжлалын хувийн утгын (Штурм-Лиувиллийн бодлого ч гэдэг) бодлого болох ба 18-р зууны дунд үед Брук Тейлор, Иоганн ба Даниел Бернулли, Жан Лерон Даламбер, Леонард Эйлер нарын ажлаар бүрэн шийдэгдсэн асуудал юм.

Гитарын утасны хэлбэлзлийн давтамжийн найрлага. Хэвтээ тэнхлэгийн дагуу давтамж, килоГерцээр. Босоо тэнхлэгийн дагуу дууны хүч, децибелээр. Энд 3, 6, 9, 12-р гармоникууд байхгүй байгаа нь утсыг анх татсан хурууны байрлалаас болж байгаа. Мөн энэ хэмжилт нь идеал биш бодит гитарын хэмжилт учраас цэвэр гармоникуудад харгалзах «шовх оргилуудын» хооронд бага зэрэг ч гэсэн бусад давтамжууд бас холилдсон байгааг ажиглаарай.

Одоо бид дээрх бодлогыг өргөтгөөд бөмбөрийн гадаргуу, хонхны гадаргуу, эсвэл өрөөн доторх дууны хэлбэлзлийн хувийн давтамжууд юу байх вэ гэсэн асуулт тавьж болно. Энэ нь хоёр юм уу гурван хэмжээстэй муж дахь Лаплас операторын хувийн утгын бодлогод хүргэх бөгөөд тэгш өнцөгт гэх мэт хялбар мужууд дээрх шууд тооцооноос f их үед

N(f) = cAf^n + o(f^n)

байж магадгүй гэсэн таамаглал гарч ирнэ. Үүнд A нь тухайн мужийн талбай юм уу эзэлхүүн, n нь огторгуйн хэмжээс (ө.х. бөмбөрийн хувьд n=2, өрөөний хувьд n=3), o(f^n) гэдэг нь f нь их үед f^n-ээс удаан өсдөг ямар нэг гишүүн. Тэгэхээр жишээ нь бөмбөрийн хувийн давтамж ба уг давтамжийн дугаар хоёрын хооронд утасных шиг шугаман хамаарал байхгүй учир бөмбөрийн хувийн давтамжууд хоорондоо гармоник харьцаатай биш. Үүгээр бөмбөр болон утсан хөгжмийн хооронд дууны чанарын эрс ялгаа байдгийг тайлбарлана.

Дугуй хэлбэртэй бөмбөрийн гадаргуугийн хувийн хэлбэлзлийн горимууд (ө.х. ганц «цэвэр» давтамжтай хэлбэлзлүүд).

Энэ бодлого нь зөвхөн дууны хэлбэлзэл төдийгүй бүхий л долгиолог процесст хамаатай. Тухайлбал төгс ойлгодог гадаргуугаар доторлосон битүү саван доторх цахилгаан соронзон орны хувийн давтамжуудыг тооцох нь математикийн хувьд дээрхтэй яг ижил бодлого. Ийм савны доторх цахилгаан соронзон орныг ойлгох нь «хар биеийн цацаргалт» нэрийн дор 19-р зууны төгсгөл үед физикийн хамгийн тулгуур асуудлуудын нэг байсан бөгөөд эцэстээ квант механикийг нээхэд хүргэсэн юм. Тэгэхээр дээр дурдсан таамаглалыг дууны долгион болон хар биеийн цацаргалттай холбоотойгоор 1910 онд Арнольд Зоммерфельд, Хендрик Антон Лоренц нар дэвшүүлсэн байна. Зоммерфельд-Лоренцийн таамаглалын гол сонирхолтой бөгөөд батлахад хүндрэлтэй зүйл нь гэвэл хувийн утгуудын асимптот шинж чанар мужийн хэлбэр дүрсээс хамааралгүй, зөвхөн эзэлхүүнээс хамаарч байгаа явдал юм. Анх яаж батлагдсан түүх нь бас их сонирхолтой. Паул Волфскел (1856-1906) гэдэг герман эмч гэрээслэлдээ Фермагийн сүүлчийн теоремыг баталсан хүнд өгөөрэй, түүнээс өмнө хүүгээр нь жил бүр математик физикээр алдартай эрдэмтнийг Гёттингенд урьж 6 лекц уншуулж бай гэж 100 мянган марк үлдээжээ. Анхны 6 лекцийг 1909 онд Анри Пуанкарье, дараагийн 6 лекцийг 1910 оны намар Хендрик Антон Лоренц уншсан байна. Лоренц сүүлийн 3 лекцэндээ хар биеийн цацаргалтын талаар ярих үедээ дээрх Зоммерфельд-Лоренцийн таамаглалыг дурдсан аж. Лекцийн танхимд Давид Гильберт сууж байсан ба таамаглалыг сонсоод тэрбээр «намайг амьд байхад лав шийдэгдэхгүй асуудал байна» гэж дуу алдсан гэдэг. Гильбертийн хажууханд түүний шавь Герман Вейль бас сууж байсан бөгөөд ердөө хагас жилийн дотор тэрбээр Зоммерфельд-Лоренцийн таамаглалыг бүрэн баталсан байна. Гильбертийн шавь учраас Вейль анхны баталгаандаа интеграл тэгшитгэлийн онолыг ашигласан бол сүүлд вариацийн аргаар бас баталж болохыг үзүүлсэн. Ингээд Зоммерфельд-Лоренцийн таамаглал нь Вейлийн хууль нэртэй болсон. Дашрамд дурдахад Волфскелийн лекцийн уламжлал бараг 100 жил үргэлжилсний эцэст 1997 онд Эндрю Уайлс шагналынх нь мөнгийг гэрээслэл ёсоор гардан авснаар дуусгавар болжээ.

1915 он гэхэд Вейль өөрийн хуулийг цахилгаан соронзон болон хатуу биет доторх дууны долгионы хувьд өргөтгөн баталчихсан байсан. Мөн уг хуулийг цааш нь нарийсгасан дараах таамаглалыг дэвшүүлсэн.

N(f) = cAf^n + eBf^(n-1) + o( f^(n-1) )

Үүнд B нь мужийн хилийн урт, e нь тогтмол тоо. Вейлийн таамаглал гэгдэх болсон энэ бодлогон дээр олон математикч хөлсөө дуслуулсан бөгөөд хамгийн сүүлд 1980-аад онд Виктор Иврийгийн ажлаар үндсэндээ батлагдсан гэж үзэж болно. Энэ баталгаанд хүргэсэн гол аргачлал нь 1930-аад оны дундуур Торстен Карлеманы дэвшүүлсэн Лаплас операторын функцийн мөрийг (trace) хувийн утгуудын тоотой Тауберийн теоремийн тусламжтайгаар холбодог арга юм. Лаплас операторын функц гэдэгт ресольвент, дулааны болон долгионы тэгшитгэлийн шийдийн операторууд байж болох ба эдгээрээс хамгийн нарийвчлал сайтай үр дүн өгдөг нь долгионы тэгшитгэлийн шийдийн оператор болох нь тогтоогдсон. Тухайлбал Фурье интеграл оператор технологийн тусламжтайгаар долгионы тэгшитгэлийн шийдийн операторын мөрийг богино хугацаанд асимптот байдлаар үнэлэх замаар Ганс Дейстермаат (Hans Duistermaat), Виктор Гийемин (Victor Guillemin) хоёр 1975 онд Вейлийн таамаглалыг битүү цогцуудын (closed manifolds) хувьд баталсан байгаа. Энэ баталгааг хилтэй мужууд руу өргөтгөх хэцүү ажлыг Виктор Иврий хийсэн юм.

Орчин үед дифференциал операторын хувийн утга, хувийн функцийн судалгаа анализийн нэг гол салбар хэвээр байна. Одоогоор нилээд “халуун” байгаа зарим сэдвийг дурдвал Вейлийн таамаглалыг бутархай эрэмбийн болон өөртөө хосмог биш операторууд руу өргөтгөх, хувийн функцүүдийн төрөл бүрийн норм хэрхэн өсөхийг нарийвчлан судлах, хувийн функцүүдийг тэглэдэг олонлогийн хэмжээнд зааг тогтоох, гиперболлог хавтгайн муж дээрх Лаплас операторын спектрийн судалгаа зэрэг болно.

Зураг дээр: (А) Дугуй хэлбэртэй бөмбөрийн гадаргуугийн хувийн хэлбэлзлийн горимууд (ө.х. ганц “цэвэр” давтамжтай хэлбэлзлүүд). (Б) Гитарын утасны хэлбэлзлийн давтамжийн найрлага. Хэвтээ тэнхлэгийн дагуу давтамж, килоГерцээр. Босоо тэнхлэгийн дагуу дууны хүч, децибелээр. Энд 3, 6, 9, 12-р гармоникууд байхгүй байгаа нь утсыг анх татсан хурууны байрлалаас болж байгаа.

Advertisements
This entry was posted in Анализ, Дифференциал тэгшитгэл, Математикийн түүх, Физик and tagged , , . Bookmark the permalink.

Хариулт үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Өөрчлөх )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Өөрчлөх )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Өөрчлөх )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Өөрчлөх )

Connecting to %s