Эртний Мезопотамийн математик

Одоо эртний Вавилончуудын математикийн талаар товч тэмдэглэл хийе. Вавилончууд гэдгээр бид Өрнийн соёл иргэншлийн өлгий нутаг гэгддэг Мезопотами буюу Хоёр мөрний сав газарт МЭӨ 4000 оны үеэс эхлээд манай эринийг эхлэх хүртэл амьдарч байсан улс үндэстнүүдийг ойлгоно. Мезопотами нь ойролцоогоор одоогийн Ирак, Сири хоёр улсын нутаг дэвсгэрт харгалздаг. Энэ газар нутагт Шумерчүүд МЭӨ 2500 оны үеийг хүртэл улс төрийн хувьд эрх барьж байгаад зайгаа Аккадчуудад тавьж өгсөн. Аккадчуудын дараа МЭӨ VIII зууны үеэс эхлээд МЭӨ III зууныг хүртэл ВавилонАссир, Халд, Миди, Перс зэрэг олон хүч хоёр мөрний сав нутагт ээлжлэн ноёрхож байв. Ингээд МЭӨ 331 онд Македоны Александраар толгойлуулсан Грекчүүд Мезопотамийг эзэлсэн ба Александр хааныг нас барсны дараа түүний нэг генерал болох Селевк Никатор нь энэ нутагт Селевкидийн эзэнт гүрнийг байгуулсан юм. Селевкидийн эзэнт гүрэн МЭӨ 60-аад онд мөхөж Парфянчуудад зайгаа тавьж өгсөн байна. Үүний дараа МЭ II зуунаас Ром, МЭ IV зуунаас Персийн Сасанид, МЭ VII зуунаас Арабын ноёрхолд байжээ.

Евфрат, Тигр хоёр мөрний хооронд орших газар нутгийг Мезопотами гэдэг. Мезопотами нь Өрнийн соёл иргэншлийн өлгий нутаг юм.

Евфрат, Тигр хоёр мөрний сав газар нь Өрнийн соёл иргэншлийн өлгий нутаг юм.

Хоёр мөрний сав газа сансраас. Баруун доод талд Газрын дундад тэнгис, Кипр арал харагдаж байна.

Хоёр мөрний сав газар сансраас. Баруун доод талд Газрын дундад тэнгис, Кипр арал харагдаж байна.

Хэдийгээр газар нутаг нь нилээдгүй олон төрийн нүүр үзсэн боловч Вавилоны математикийн уламжлал олон мянганы турш тасраагүй үргэлжилсэн байна. Тэдний бичиг үсэг нь ерөнхийдөө хавтгайлсан шавар гадаргуу дээр шавар нь нойтон байхад ирмэгтэй зүйлээр мөр гаргаад хатаах зарчим дээр тулгуурлагдсан байсан. Мөр гаргадаг зэмсэг нь жижигхэн шаантаг хэлбэртэй байсан тул шаантган бичиг ч гэж нэрлэдэг. Шаантган бичгийн маш чухал дурсгал бол МЭӨ VI зууны үед хамаарах Бехистун уулын хадны бичээс юм. Энэ бичээсэнд нэг ижил текстийг Эртний Перс, Элам, Вавилон гурван хэлээр, шаантган бичгээр бичсэн байдаг нь эдгээр хэлийг, мөн шаантган бичгийг тайлах гол түлхүүр болсон юм.

Эртний Вавилоны математиктай холбоотой одоогоор олдсон олдворууд нь МЭӨ 2000 – МЭӨ 1600 болон МЭӨ 600 – МЭ 300 оны үед харьяалагдах хоёр том бүлэгт хуваагдана. Эхнийх нь Хуучин Вавилоны үед, нөгөөх нь ерөнхийдөө Селевкидийн үед хамаарна. Энэ хоёр бүлгийг харьцуулахад Вавилоны математик 2 мянгаад жилийн турш бараг өөрчлөгдөөгүй тогтонги байсныг харуулдаг. Олдвор дотор одоогоор бол сурагчийн дэвтэр маягийн буруу зөв бодолтууд, том жижиг үсэг холилдсон хавтангууд ч байна, сурах бичиг маягийн маш эмх цэгцтэй жирийсэн жижигхэн үсгээр бичигдсэн хавтангууд ч байна. Өгүүлбэртэй болон геометрийн бодлогууд бодолттойгоо, үржих хуваахын хүрд, квадрат, куб, мөн квадрат болон куб язгуур зэргийн хүснэгтүүд ч байна.

Вавилончууд тоог тэмдэглэхдээ 60 суурьтай байрлалын систем ашигладаг байсан.

Дээрх зурагт Вавилончууд бүхэл тоог хэрхэн бичдэг байсныг үзүүлэв. Тухайлбал, нэгжийг босоо шаантган дүрсээр, аравтыг хэвтээ шаантган дүрсээр тэмдэглэх ба зөвхөн энэ хоёр тэмдэгтийг ашиглан 1-59 хүртэлх тоог бичнэ. Энд 10-тын систем ашиглагдаж байгаа. Гэхдээ 60-аас эхлээд арай өөр болж ирнэ: 60-ыг нэгжийн ард бага зэрэг зайтайгаар, хэрэв тэр зайг нь 0 гэж ойлговол 1:0 маягаар, 61-ийг 1:1, 70-ыг 1:10, 133-ыг 2:13, 1261-ийг 21:1, 1277-г 21:17 маягаар гэхчилэн бичнэ. Цаашилбал 3600-г 1:0:0 маягаар, 4000-г 1:6:40 маягаар бичнэ. Цифрийн утга нь хаана байрлаж байгаагаасаа хамаарах учир энэ нь байрлалын систем, нарийвчилбал (60-тын нэг «цифр» нь өөрөө 10-тын системээр бичигддэг) 60 суурьтай байрлалын систем юм. Гэхдээ 0 гэсэн цифр байхгүй, оронд нь хоосон зай ашиглаж байгаа тул зарим тоонуудыг хооронд нь ялгахад төвөгтэй болж ирнэ. Жишээлбэл 1, 60, 3600 гэсэн тоонууд хоорондоо бараг ялгагдахгүй, мөн 62-ыг (1:2) 3602-оос (1:0:2) ялгахад бэрх. Иймэрхүү тохиолдолд «жарын тоо шүү» гэх мэтээр зүгээр бичгээр тайлбарлачихна. Вавилончууд бүр сүүлд Селевкидийн үед 0-ийг тэмдэглэдэг тусгай тэмдэгт оруулсан боловч үүнийгээ зөвхөн тооны дунд орсон 0-ийг тэмдэглэхэд л ашигладаг байсан. Тэгэхээр энэ нь 62-ыг (1:2) 3602-оос (1:0:2) ялгахад тустай боловч 1, 60, 3600 нарыг хооронд нь ялгахад тус болохгүй гэсэн үг.

Бутархайг тэмдэглэхдээ Вавилончууд мөн адил байрлалын системийг ашигладаг байсан. Тухайлбал, 11 гэсэн тоог бутархай мэтээр ойлгоно шүү гэж бичсэн байвал 11/60 гэж, харин 5:56:21 гэж байвал 5/60+56/602+21/603 гэж ойлгоно. Одоогийнх шиг бүхэл, бутархай хэсгийг заагладаг таслал мэт тэмдэгт байгаагүй бөгөөд тооны бутархай хэсэг нь хаанаас эхэлж байгааг тусад нь зааж өгдөг байсан. Ер нь бол үржих хуваах үйлдэлд бутархай тооны таслалыг мартаад бүхэл тоонууд мэтээр үйлдлээ хийчихээд бүр сүүлд нь хаана таслал тавихаа шийдэж болдгийг бид мэднэ. Хоёр бутархай тоог нэмж хасах үед ч гэсэн таслалыг нь арилгаад аль нэг тооных нь ард олон 0-үүд тавьж «зэрэгцүүлж» байгаад бүхэл тоонууд мэтээр нэмж хасч болно. Иймд бутархайн таслал хэрэглэхгүйгээр Вавилончууд яаж «болгоод байсныг» төсөөлөхөд нэг их хэцүү биш юм. Үнэндээ бол өнөөгийн компьютерт тоог дүрслэх арга нь иймэрхүү зарчимтай байгаа. Эртний Грекчүүд 60 суурьтай байрлалын системийг Вавилончуудаас сурч авч өөрийн болгосон бөгөөд энэ нь цаашаа Арабаар дамжаад дундад зууны сүүл үеийн Европт нэвтэрч тэнд XVI зуунд 10-тын бутархайг оруулж ирэх хүртэл хэрэглэгдэж байсан юм.

Математик, одон орны тооцоонд дээр дурдагдсан 60-тын систем голчлон ашиглагддаг байсан бол бусад салбарт өөр янз бүрийн системүүдийг бас хэрэглэдэг байсан. Жишээлбэл, оныг тэмдэглэхдээ 256 гэхийг 2 m 56 гэж, 276 гэхийг 2 m 1:16 гэж бичсэн байгаа тохиолддог (Энд «m» үсгийн оронд «100» гэсэн үгийг яаж бичдэг байсан тэр тэмдэглэгээ байна гэж ойлгоорой). Эртний Мезопотами нь хэдэн мянган жилийн туршид оршин тогтносон олон үндэстэн ястнаас бүрдсэн соёл иргэншил байсан тул янз бүрийн зан заншил арга барил хоорондоо холилдож ганц биш олон арга барил шалгарч үлдсэн нь ойлгоход хэцүү зүйл биш юм.

Тоог тэмдэглэх байрлалын систем нь Вавилончуудын математикт оруулсан хамгийн чухал хувь нэмрүүдийн нэг юм. Ийм систем Мезопотамид яаж үүссэн талаар хоёр гол таамаглал бий. Эхний үедээ тэд 60-ыг том хэмжээтэй 1-ийн тоогоор, 120-ыг том 2-ын тоогоор гэх мэтчилэн тэмдэглэдэг байсан байж болох. Тэгэхээр 61-ийг 1:1 маягаар, 136-ыг 2:16 маягаар бичнэ гэсэн үг. Цаашилбал 3600-г бүр илүү том 1-ийн тоогоор тэмдэглэдэг байсан байж болох. Ингэж явж байгаад цифрүүдийг нь том жижиг ямар ч хэмжээтэй бичсэн тоог уншиж болдог нь аяндаа мэдэгдэж тооны бүх цифрүүдийг нэг жигд хэмжээтэй бичдэг болсон байж болох. Хоёрдахь таамаглал нь байрлалын системийн гарал нь нэг нэгж нь 60 жижигхэн нэгжид хуваагддаг ямар нэг мөнгөний нэгжтэй холбоотой гэсэн таамаглал байгаа. Жишээ болгоод 1 ембүү нь 60 зоостой тэнцүү байдаг байжээ гэж бодъё. Тэгвэл 70 зоос буюу 1 ембүү 10 зоосыг 1:10 маягаар бичдэг байсан байж болох. Мөнгө зоосыг тэмдэглэх тэмдэглэгээ явсаар тоог дүрслэх ерөнхий тэмдэглэгээ болж хувирсан байж болох.

Түүнчлэн Вавилончууд 60 гэсэн тоог тооллынхоо системийн суурь болгосон шалтгаан яг юу вэ гэдэг талаар баттай мэдээлэл бидэнд алга байна. Эртний Грекийн математикч Теон (МЭ 335-460) үүний талаар 60 нь 2, 3, 4, 5, 6-д зэрэг хуваагддаг хамгийн бага тоо учраас тэр байх гэж таамагласан. Хэрэв үнэхээр тооны хуваагдах чанар тийм чухал нөлөөтэй юм бол 60-ын оронд 12-ыг эсвэл 30-ыг яагаад сонгоогүй юм бэ гэсэн асуулт гарч ирнэ. Үүнтэй төстэй өөр нэг хувилбар бол жишээ нь жингийн нэг нэгжийн 1/3, 1/4, 1/5 хэсгүүдийг энд тэнд хэрэглээд дадчихсан байсныг нь нэгтгэж нэгмөр болгох үед 1/60 гэсэн жижигхэн нэгжийг оруулж ирж шийдсэн байж болох. Тэгээд жингийн нэгжийг 60 хуваадаг нь явсаар тооллын системд нь нөлөөлсөн байж болох. Гэхдээ бусад газрын түүхийг авч үзвэл тооллын системийн суурьт тооны хуваагдах чанар нөлөөлсөн тохиолдол огт байхгүй. Бусад газарт бол маш энгийн: Гарын арван хуруугаа ашиглаж тоолдог газар 10-тын систем, гар хөлийн хуруунуудаа ашигладаг газар 20-тын систем үүсч хөгжсөн байдаг. Эндээс хөөгөөд бодвол дараах таамаглал бас ортой байж мэднэ. Эрхий хурууг тооцохгүйгээр гарын 4 хурууны нийт 12 үе байна. Нэг гарын эдгээр 12 үен дээр эрхий хуруугаараа ээлжлэн дарж 12 хүртэл тоолж болох ба үүнийг нөгөө гарынхаа 5 хуруутай хослуулбал 60 хүртэл тоолох боломжтой болно. Арай хялбархан нэг боломж бол 12-тын системтэй нэг улс, 5-тын эсвэл 10-тын систем хэрэглэдэг өөр нэг улстай нэгдэх үед 60-тын систем бий болсон байж мэднэ. Вавилоны тооллын системд 1-59 хүртэлх тоог тэмдэглэхдээ 10-тын системийг хэрэглэдэг тул сүүлийнх нь хувилбар арай илүү үнэмшилтэй мэт. Энэ таамаглалын нэг авууштай зүйл нь хэрэв 12-тын болон 5-тын (эсвэл 10-тын) систем хольж хэрэглэсэн олдвор олдвол таамаглал ерөнхийдөө батлагдах юм. Хуучны Ром-Английн нэгжийн систем (фут, инч гэх мэт), Европын ихэнх хэлэнд 12 хүртэлх тоонууд өөр өөрийн өвөрмөц нэртэй байдаг явдал, өдөр шөнийг тус бүрт нь 12 цагт хуваасан зэрэг нь хэзээ нэгэн цагт 12-тын систем ашигладаг соёл иргэншил оршин тогтнож байсныг илтгэж байж мэдэх юм.

Арифметик. Вавилоны тооллын системд нэгж ба аравтын тэмдэгтүүдээс бүх тоо бүтэх тул 60-аас бага хоёр тоог нэмэхдээ нийлүүлж бичээд нэгжийн тэмдэгт 9-өөс олон гарвал аравтын тэмдэгт рүү шилжүүлээд, аравтын тэмдэгт 5-аас олон гарвал 60-тын нэг орон шилжүүлээд болно. Олон оронтой тоог нэмэхдээ энэ үйлдлээ 60-тын цифр бүр дээр давтана. Хасах үйлдлийг үүнтэй төстэйгөөр хийж болно. Вавилончууд тооцоондоо сампин ашигладаг байсан байх магадлалтай (Мезопотамиас МЭӨ 2700 оны үеийн сампин олдсон).

Сүүлийн 20-иод жилд хийгдсэн судалгаагаар Вавилончууд хоёр төрлийн нэмэх үйлдэл, мөн хоёр төрлийн хасах үйлдэл хэрэглэдэг байсан нь илэрсэн. Эхний нэмэх үйлдэл нь «нэмэх» эсвэл «наах» гэж хэлж болохоор үйлдэл. Энд нэг нэмэгдэхүүн нь анхнаасаа тэнд байж байсан гэж үзэх ба хоёрдахь нэмэгдэхүүн нь эхний нэмэгдэхүүн дээр «наагдаж» нэмэгдэнэ. Өөрөөр хэлбэл нэмэгдэхүүнүүд тэгш эрхгүй оролцоно гэсэн үг. Нөгөө нэмэх үйлдэл нь «нийлүүлэх» эсвэл «цуглуулах» гэж хэлж болохоор үйлдэл. Энд хоёр нэмэгдэхүүн тэгш эрхтэй оролцоно. Хасах үйлдлийн эхнийх нь «авах» эсвэл «хуулах» гэж болохоор үйлдэл. Энэ нь нэгдүгээр төрлийн нэмэх үйлдлийн урвуу нь. Нөгөө хасах үйлдэл нь «бутаргах» үйлдэл бөгөөд «нийлүүлэх» үйлдлийн урвуу нь. Тоог «бутаргахдаа» хаагуур нь яаж бутаргахаа шийдсэнээр үр дүнд нь хоорондоо ижил эрхтэй хоёр тоо гарч ирнэ. Хэрэв бид үйлдлүүдийн цаадах утгыг биш зөвхөн тоонуудыг нь анхаарвал хоёр төрлийн нэмэх үйлдэл, мөн хоёр төрлийн хасах үйлдэл тус бүр хоорондоо ямар ч ялгаагүй байгааг анхаараарай. Судлаачид эртний математикийг өнөөгийн математикчийн нүдээр харснаас болоод Вавилончууд арифметик үйлдэл бүрийг утгаар нь ингэж олон төрөлд салгадаг байсныг мэдээгүй өдийг хүргэсэн байна. Эртний Грекээс улбаатай өнөөгийн математикийн «хэмнэлттэй байх зарчим» нь ямарваа нэг онолын үндсэнд аль болох цөөхөн үйлдэл тодорхойлохыг шаардах ба жишээ нь Вавилончуудын нэг нэмэх үйлдлийг нөгөөгөөр нь илэрхийлж болох учир зөвхөн нэгийг нь л авч үзэхэд хангалттай. Гэхдээ орчин үеийн математикт ч гэсэн тухайн нөхцөл байдлаасаа хамаараад арифметикийн үндсэн үйлдлүүдийг янз бүрээр ойлгох, шинээр үйлдэл тодорхойлох явдал олонтаа тохиолддог.

Үржих үйлдлийг хийхдээ үржихийн хүрдийг нэмэх үйлдэлтэй хослуулж хийнэ. Ер нь 20-оос дээш тоогоор үржүүлдэг хүрд олдоогүй учир их тоогоор үржүүлдэг хүрд хэрэглэгддэггүй байсан байх гэж таамаглаж байгаа. Тэгэхээр жишээлбэл 24-өөр үржүүлэхдээ эхлээд 20-оор, дараа нь 4-өөр үржүүлээд, гарсан хариуг нь хооронд нь нэмж болно. Зарим үед үржихийн хүрдний оронд «квадратын хүрдийг»

ab=\frac14((a+b)^2-(a-b)^2)

эсвэл

ab=\frac12((a+b)^2-a^2-b^2)

томъёотой хослуулан хэрэглэх замаар бас үржүүлэх тооцоог хийдэг байсан. «Квадратын хүрд» гэдгээр олон тоонуудыг квадратынх нь хамт жагсаан бичсэн хүснэгтийг хэлж байна. Энэ аргачлал үржихийн хүрднээс илүү хэмнэлттэй гэдгийг ажиглаарай. Жишээлбэл, 10 хүртэлх тоонуудын үржихийн хүрдний оронд 20 хүртэлх тоонуудын квадратын хүрд байхад хангалттай.

Вавилоны "12-ын хүрд". Зүүн гар талд олдворын зураг (Мартин Скёйений цуглуулгын MS2184 гэсэн объект). Дунд нь сэргээж бичсэн байдал ("a-ra" гэдэг нь үржүүлэх гэсэн үг). Баруун гар талд нь "орчуулга".

МЭӨ 20-р зууны үеийн Вавилоны «12-ын хүрд». Зүүн гар талд олдворын зураг (Мартин Скёйений цуглуулгын MS2184 гэсэн объект). Дунд нь сэргээж бичсэн байдал («a-ra» гэдэг нь үржүүлэх гэсэн үг). Баруун гар талд нь «орчуулга». Энэ хүрд цаашаа 12×30 хүртэл явсан байдаг.

Тоонд хуваах нь түүний урвуугаар үржүүлэхтэй адил (\frac{a}c=a\cdot\frac1c) гэдгийг ашиглаж тооны урвууг жагсаасан хүснэгтийн тусламжтайгаар хуваах үйлдлийг үржихээр сольдог байсан (Бидний дунд сургуульд үздэг шиг шууд хуваадаг арга ашигладаггүй байсан бололтой). Ихэнх ийм «урвуугийн хүрд» нь 60-тын бутархайгаар бичвэл төгсгөлөг цифр агуулдаг тийм урвуутай тоонуудыг авч үздэг. Жишээ нь 3-ын урвуу нь 20-той адилхан, 15-ын урвуу нь 4-тэй адилхан бичигдэнэ. Харин 7-ын урвуу нь төгсгөлгүй (үелэх) 60-тын бутархай үүсгэдэг. Ийм тоонуудын урвууг ойролцоогоор бодсон хүснэгтүүд цөөн боловч бас олдсон.

Эртний Мезопотамийн түүхийн хамгийн алдартай олдворуудын нэг нь Йелийн их сургуулийн цуглуулгад хадгалагдаж байгаа дараах зураг дээр дүрслэгдсэн хавтан юм.

МЭӨ 1800-1600 оны үед хамаарагдах "оюутны дэвтэр". Энд 30 талтай квадратын диагоналийн уртыг тооцсон байна.

МЭӨ 1800-1600 оны үед хамаарагдах оюутны дэвтэр (Йелийн их сургуулийн цуглуулгын YBC 7289 нэртэй объект). Энд 30 талтай квадратын диагоналийн уртыг тооцсон байна.

Уг хавтан дээр нэг квадрат, диагоналиудын хамт зурагдсан байх бөгөөд квадратын нэг талынх нь ойролцоо «30», хэвтээ диагоналийнх нь дагуу 1:24:51:10 ба 42:25:35 гэсэн тоонууд бичигдсэн байдаг. Бичгийн хэв нь харьцангуй том учраас үүнийг тооцоо хийж сурч байсан оюутны дасгал ажил гэж үздэг. Эхний 1:24:51:10 гэсэн тоог аравтын системд

\displaystyle 1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3}\approx1.4142129

гэж уншвал энэ нь \sqrt{2}\approx1.4142135 тооны маш сайн ойролцоолол болохыг харж болно. Үнэндээ \sqrt{2} тооны 60-тын систем дэх бичлэг нь 1;24:51:10:7:46… (цэгтэй таслалаар бүхэл ба бутархай хэсгийг тусгаарласан) учир 1:24:51:10 тооны бүх цифр нь зөв байгаа юм. Зүгээр квадрат зураад диагоналийг нь яаж ч хэмжээд ийм нарийвчлалд хүрэх боломжгүй. Хоёрдахь тоо нь

\displaystyle 42+\frac{25}{60}+\frac{35}{60^2}\approx42.42639

буюу 30\sqrt{2}\approx42.42641 тооны ойролцоолол юм. Квадратын талын дагуу 30 гэсэн тоо байгааг санавал уг оюутны даалгавар нь 30 талтай квадратын диагоналийн уртыг тооцох байжээ гэж дүгнэж болно. Энэ бодлогыг бодохдоо \sqrt{2} гэсэн тооны сайн ойролцооллыг ямар нэг стандарт хүснэгтнээс харж хуулж бичээд, түүнийгээ 30-аар үржүүлэх замаар бодсон байх магадлалтай.

Тэгэхээр тэр стандарт хүснэгтэн дээр нь язгуур дорх 2-ыг анхнаасаа яаж тооцоолсон юм бол гэсэн асуулт гарна. Энд яв цав хариулт байхгүй боловч хамгийн боломжтой гэсэн нэг таамаглал бол «дараалан дөхөх арга» юм. Үүнд N гэсэн тооны квадрат язгуурыг тооцох хэрэгтэй болжээ гэе. Мөн x\approx\sqrt{N} гэсэн нэг «таамаг» байна гэе. Практик дээр энэ таамаг их нарийн байх шаардлага байхгүй. Жишээ нь x=1 юм уу x=N гээд авчихаж болно. Одоо энэ x гэсэн таамгаа өөрчлөөд y=x+h гэсэн илүү нарийн таамаг олох гэж оролдъё. Өөрөөр хэлбэл y^2=N буюу

(x+h)^2=x^2+2xh+h^2=N

байх шаардлагыг хангадаг h гэсэн тоог олох гэж оролдъё. Энэ тэгшитгэл h-ийн хувьд квадрат тэгшитгэл учраас h-ийг яг олъё гэвэл квадрат язгуур гаргах үйлдэл шаардлагатай. Тэгэхээр бид ямар ч ашиггүй явж явж анх байсан газраа яг эргээд ирсэн мэт. Гэвч бид x нь \sqrt{N}-ийн жинхэнэ утганд ойр байсан гэж үзвэл, h\approx0 байх ёстой. Тэгвэл h^2 нь бүр бага тоо байх ёстой болно. Өөрөөр хэлбэл

x^2+2xh+h^2\approx x^2+2xh

болох ба x^2+2xh=N байхаар h-ийг олбол y=x+h гэсэн тоо \sqrt{N} утганд x-ийг бодвол илүү ойртож очих байх гэсэн таамаг төрнө. Одоо x^2+2xh=N тэгшитгэл нь h-ийн хувьд шугаман тэгшитгэл учир амархан бодогдоно:

h = \displaystyle\frac{N-x^2}{2x}=\frac{N}{2x}-\frac{x}2

буюу

y=x+h = \displaystyle\frac{N}{2x}+\frac{x}2=\frac12\big(x+\frac{N}x\big)

Энэ томъёог бас дараах аргаар гаргаж болно. Хэрэв x<\sqrt{N} бол \frac{N}x>\sqrt{N} ба x>\sqrt{N} бол \frac{N}x<\sqrt{N} байна. Тэгэхээр x ба \frac{N}x тоонуудын дунджийг авбал \sqrt{N} утганд илүү дөхөж магадгүй байна.

Өмнөх параграфт өгүүлснийг дүгнэхэд, x\approx\sqrt{N} бол

y=\displaystyle\frac12\big(x+\frac{N}x\big)

тоо нь \sqrt{N} тоонд бүр илүү дөхөж очно. Энэ процедурийг олон дахин давтсанаар \sqrt{N} тоог улам улам нарийвчлалтай тооцож болно. Жишээлбэл, N=2, x=1 гэж авбал

y = \displaystyle\frac12(1+\frac21)=\frac32

Одоо x=\frac32 гэж аван өмнөх процедурыг дахин давтвал

y_1=\displaystyle\frac12\big(\frac32+\frac2{3/2}\big)=\frac{17}{12}

буюу 60-тын тооллын системд 1;25 (ойролцоогоор 1.4166). Дахиад давтвал

y_2=\displaystyle\frac12\big(\frac{17}{12}+\frac2{17/12}\big)=\frac{577}{408}

буюу 60-тын системд 1;24:51:10:35… (ойролцоогоор 1.4142156) болно. Вавилончууд бүх үйлдлийг 60-тын бутархай дээр хийх учраас энд \frac{17}{12} буюу 1;25 гэсэн тооны урвууг ойролцоогоор бодох шаардлага гарна. Үүнийг хангалттай нарийвчлалтай бодвол дээр дурдсан олдвор дээрх 1;24:51:10 гэсэн тоо гарч ирэх бүрэн боломжтой болохыг бид харлаа. Квадрат язгуур боддог энэ дараалан дөхөх аргыг одоо үед Вавилоны арга, дунджийн арга, мөн эртний Грекийн зохион бүтээгч математикч Герон (МЭ 10-70) бүтээлдээ бичиж үлдээсэн байдгаас улбаалан Героны арга гэх мэтээр нэрлэдэг ба компьютер болон тооны машины дотоодод язгуур гаргах програмд өргөн ашигладаг юм.

Вавилончууд a ба b талтай тэгш өнцөгтийн диагоналийн уртыг олохдоо

\displaystyle d\approx a+\frac{b^2}{2a}

гэсэн томъёогоор боддог байсан байгаа. Нөгөө талаас, дунджийн аргыг ашиглан N=a^2+b^2 тооноос ойролцоогоор язгуур гаргах замаар d=\sqrt{a^2+b^2} диагоналийг бас тооцоолж болно. Үүнд x=a гэсэн «таамагтайгаар» дунджийн аргыг эхэлбэл

\displaystyle d=\sqrt{N}\approx\frac12\big(a+\frac{N}{a}\big)=\frac12\big(a+\frac{a^2+b^2}{a}\big)=a+\frac{b^2}{2a}

болно. Энэ нь дээрх томъёотой тохирч байгаа нь Вавилончууд дунджийн аргыг мэддэг байсныг илтгэх өөр нэг сэжүүр болж байгаа юм. Одоогийнхоор бол \sqrt{a^2+b^2}\approx a+\frac{b^2}{2a} томъёо болон дунджийн аргын алхам бүр нь f(x)=\sqrt{1+x} функцийн биномын (буюу Тейлорын) цувааны эхний хоёр гишүүнд харгалзах ойролцоолол болно.

Алгебр ба геометр. Вавилоны математикийн олдворууд дотор алгебр ба геометрийн өгүүлбэртэй бодлогуудыг бодсон бодолтууд өргөн тохиолддог. Эдгээрийн Египтийн математиктай адил тал нь тухайн арга яагаад зөв хариу өгөх ёстой юм бэ гэдгийг тайлбарласан тайлбар байдаггүй. Мөн зөвхөн тодорхой өгөгдөлтэй бодлогуудыг л жишээ болгож бодсон байдаг. Египтийн математикаас ялгаатай нь Вавилончууд нарийн тооцоо хийхдээ гаргуун байсан байгаа (дээрх \sqrt{2} тоог тооцсон жишээг сана). Энэ мэдээж тоог тэмдэглэх байрлалын системтэй нь холбоотой.

Бутархай болон олон оронтой тооны үржих хуваах үйлдэл, квадрат ба куб язгуур гаргах зэрэг арифметик үйлдлүүдийг нарийн хийхээс гадна Вавилончууд квадрат тэгшитгэлийг бас бодож чаддаг байсан. Ингэхдээ сөрөг тооны ойлголт байхгүй учраас квадрат тэгшитгэлийг дотор нь олон хувилбарууд болгож салгана. Жишээлбэл, «Нэг тоон дээр урвууг нь нэмэхэд 3 гарч байсан. Тэр тоо хэд вэ?» гэсэн бодлого байна. Орчин үеийн тэмдэглэгээгээр энэ нь

xy=1, \qquad x+y=3

гэсэн системийг бод гэсэн үг. Үүнийг Вавилончууд яаж бодох вэ гэвэл 3-ыг өөрөөр нь үржүүлээд, гарсан хариунаас нь 4-ийг (1-ээр үржсэн үржвэрийг) хасна. Өөрөөр хэлбэл

(x+y)^2-4xy=3^2-4\cdot1=5.

Нөгөө талаас,

(x+y)^2-4xy=x^2+y^2+2xy-4xy=x^2+y^2-2xy=(x-y)^2

тул (x-y)^2=5 буюу x-y=\sqrt5. Одоо

\displaystyle x=\frac{(x+y)+(x-y)}2=\frac{3+\sqrt5}2

гэж олоход амархан. Яг энэ аргачлалыг ашиглан

xy=q, \qquad x+y=b

буюу

x^2+q=bx

хэлбэрийн бүх тэгшитгэлийг бодож болно. Цаашилбал

x^2+bx=q

x^2=bx+q

хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлүүдийг мөн төстэй аргаар боддог байсан байгаа. Өөрөөр хэлбэл 4 мянган жилийн өмнө Вавилончууд эерэг шийдтэй ямар ч квадрат тэгшитгэлийг бодож чаддаг байсан гэсэн үг.

Түүнчлэн квадрат тэгшитгэлээр зогсохгүй x^3+x^2=a гэх мэт зарим хялбар куб тэгшитгэл, биквадрат тэгшигтэл, мөн 5 үл мэдэгдэгчтэй шугаман тэгшитгэлийн системийг бодсон бичээсүүд олдсон. Нэг олдворт бүр 10 үл мэдэгдэгчтэй шугаман бус 10 тэгшитгэлийг дараалан зайлуулах аргаар бодсон байдаг. Геометртэй хамааралгүй бодлогон дээр ч үл мэдэгдэгчийг «урт, өргөн» гэх мэтээр нэрлэх нь их байсан. Жишээ болгож нэг бодлогыг шууд орчуулж толилуулъя.

Урт ба өргөнийг үржүүлбэл 10 гэсэн талбай гарав. Уртыг өөрөөр нь үржүүлэхэд нэг талбай гарав. Урт нь өргөнөөсөө илүү гарах тэр хэсгийг өөрөөр нь үржүүлээд, гарсан хариуг нь 9-өөр үржүүлэхэд бас нэг талбай гарав. Энэ талбай нь уртыг өөрөөр нь үржүүлэхэд гарсан талбайтай адил байв. Урт ба өргөн нь хэд байсан бэ?

Уртыг x өргөнийг y гэвэл дээрх бодлого нь

xy=10, \qquad 9(x-y)^2=x^2

системд шилжих ба үүнийг биквадрат тэгшитгэл болохыг харж болно.

Вавилончууд арифметик болон геометр прогресс, мөн бүхэл тооны квадратуудын нийлбэрийг олж чаддаг байсан. Жишээлбэл

1+2+4+\ldots+2^n=2^n+(2^n-1)=2^{n+1}-1

мөн

1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac{2n+1}3\cdot(1+2+3+\ldots+n)

томъёог ашигласан болов уу гэмээр тооцоо хийсэн тохиолдлууд бий. Гэвч «9 дээр 10-ыг нэмлээ, гарсан хариуг нь 12-оор үржүүллээ» гэх мэтээс илүү дэлгэрэнгүй тайлбар хадгалагдаж үлдээгүй болохоор цаана нь ерөнхий томъёоны хэмжээний мэдлэг байсан эсэхийг баттай хэлэх аргагүй юм.

Вавилоны геометр нь Египтийнхтэй төстэй, хялбар дүрсийн талбай, эзэлхүүнийг бодох дээр голчлон төвлөрдөг, зөв буруу холилдсон дүрмүүдийн цуглуулга гэмээр зүйл байж. Египттэй харьцангуй дэвшилттэй зүйл гэвэл Пифагорын теорем болон төсөөтэй гурвалжны талаар Вавилончууд мэддэг байсан байгаа. Тойрогтой холбоотой бодлогон дээр π тооны утгыг 3 (заримдаа 3.125) гэж авсан байдаг. Геометрийг тариалангийн газрын талбай бодох, суваг шуудуу ухахад гарах шорооны эзэлхүүнээр хэдий хэмжээний ажиллах хүч хэрэг болохыг тооцох гэх мэтэд хэрэглэдэг байсан. Ерөнхий математикийн хэрэглээ гэвэл наймаа арилжаа, өв залгамжлагчдад хөрөнгө хуваах, одон орон, цаг тооны бичиг хөтлөх гэх мэтчилэн дурдаж болно.

Эцэст нь дүгнэж хэлэхэд одоогоос 4 мянга орчим жилийн өмнөх үеийн Мезопотамид тэр үеийн Египтийг бодвол математик харьцангуй өндөр хөгжсөн байжээ. Вавилоны математикийн нэг давуу тал болох тоог тэмдэглэхдээ ашигладаг байсан 60 суурьтай байрлалын систем нь бутархай болон олон оронтой тоон дээрх үржих, хуваах, язгуур гаргах гэх мэт үйлдлүүдийг нарийн тооцох аргуудыг нээж ашиглахад дөхөмтэй болгосон байна. Үүнийгээ дагаад квадрат, куб тэгшитгэлүүд, шугаман тэгшитгэлийн системийг бодож сурав. Геометрийн тал дээр Пифагорын теорем, төсөөтэй гурвалжны талаар мэддэг байв. Тооцоолох чадлын хувьд хүчирхэг боловч бодлого бодох аргын зөв бурууг тайлбарлах гэж оролддоггүй, ерөнхий аргын талаар ярьдаггүй, тооны жинхэнэ ба ойролцоо утгыг хооронд нь ялгадаггүй, заримдаа маш ойролцоогоор багцаалсан хариуг жинхэнэ хариу мэтээр өгдөг байсан зэрэг нь Вавилоны математикийг эртний Египтийнхтэй адилаар хэдэн зуун жилийн түүхийн явцад практикаар шилэгдэн үлдсэн, өдөр тутмын амьдралд тохиолддог бодлогуудыг шийдэхэд хэрэгтэй аргуудын цуглуулга байжээ гэж дүгнэхэд хүргэж байгаа юм. Египт ба Вавилоны математик тэр цагаас хойш бараг өөрчлөгдсөнгүй байж байгаад эртний Грекийн хүчирхэгжлийн үетэй (буюу ойролцоогоор МЭӨ 500-300 он) золгосон байна. Эртний Египт ба ялангуяа Вавилончуудын хуримтлуулсан одон орон болон математикийн их мэдлэг эртний Грекийн танин мэдэхүйн үсрэнгүй хөгжлийн гарааны цэг болж өгсөн юм.

Advertisements
This entry was posted in Математикийн түүх and tagged , , . Bookmark the permalink.

One Response to Эртний Мезопотамийн математик

  1. Нинжбадам хэлдэг:

    Математикийн түүхийн сэдвээ цааш нь үргэлжлүүлбэл ямарав? Математик, Физикийн нарийн ширийн онолыг би сайн ойлгохгүй л дээ, харин түүх бол яалтчгүй нийтлэг сонирхол татах сэдэв. Саяхан Bloomberg-ээр гарсан “Маяагийн эзэнт гүрэн&#8221;-ий тухай баримтат кинонд Маяачууд “0&#8221;-ийг ашигладаг байснаараа Эртний Египет, Грек, Ромоос илүү байсан тухай дурдагдаж байсан. Вавилончууд ч “0&#8221;-ийн тухай ойлголт байхгүй байж…

    За тэгээд зав зайгаараа сийрүүлээрэй, бичээрэй 🙂

Хариулт үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Өөрчлөх )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Өөрчлөх )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Өөрчлөх )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Өөрчлөх )

Connecting to %s