Эртний Египтийн математик

Өнөөгийн математик нь сэргэн мандлын үеэс эхлэн эрчтэй хөгжиж ирсэн Өрнийн математикийн үргэлжлэл гэдэгтэй хэн ч маргахгүй. Цаашилбал Өрнийн математик төдийгүй соёл иргэншилд нь хамгийн их түүхэн нөлөөтэй соёл иргэншил бол Эртний Грекийнх. Эртний Грек тархай бутархай хэлбэрээр одоогоос 4000 жилийн өмнөөс Вавилон, Египт, Перс гэх мэт улс үндэстнүүдтэй зэрэгцэн оршиж ирсэн ба МЭӨ VI зууны үеэс эхлэн хүчирхэгжиж, тэр үедээ Египт, Вавилоны хэдэн мянган жилийн турш бараг тогтонги байдалд байсан математик болон одон орны мэдлэгийг өөртөө шингээж аваад цааш нь хөгжүүлэн хэдхэн зууны дотор МЭ XVII зууныг хүртэл түүхэнд давтагдаагүй тийм өндөрлөгт гаргасан юм.

Бүр эртний үе рүү өнгийвөл, газар тариалан мал аж ахуй хөгжсөнөөр хүмүүс одоогоос 12,000 жилийн өмнөөс нэг газраа суурьшиж хот тосгон байгуулж эхэлсэн боловч МЭӨ XXX зууны үеийн Вавилон болон Египтийн соёл иргэншлийг хүртэл математик нэг их хөгжсөнгүй. Эртний хүмүүсийн математикийн мэдлэг том биш бүхэл тоонууд дээрх арифметикийн дөрвөн үйлдэл, бүхэл тоог тэмдэглэх янз бүрийн тэмдэглэгээ, хагас, гуравны нэг гэх мэт цөөхөн хэдэн хялбар бутархай, шулуун шугам, тойрог, өнцөг гэх мэт зарим геометрийн ойлголтоос цааш хэтэрч байсангүй. Тэдний математикийн хэрэглээ наймаа худалдааны хялбар тооцоо, газрын талбай бодох, ваар сав, нэхмэл материал дээр чимэглэл хийх, цаг хугацааг тоолох зэргээр хязгаарлагдаж байв.

Тэгэхээр эртний Грекийн математик хаанаас эхэлсэн бэ гэдгийг мэдэхийн тулд Египт, Вавилоны математикийн талаар ярих хэрэгтэй болж байна. Энд эртний Египтийн математикийн талаар товч тэмдэглэл хийе гэж бодлоо (Вавилоны математикийг сүүлд авч үзнэ). Эртний Грекийн түүхч Геродотын хэлснээр, Египтийн соёл иргэншил нь хүн төрөлхтөнд өгсөн Нил мөрний бэлэг юм. Нил мөрөн жил бүрийн намар ихээр үерлэж эргийнхээ дагуу үржил шимтэй хөрс үлдээх бөгөөд эртний Египтчүүд энэ хөрсөнд тариалан тарьж амьдардаг байв.

Нил мөрний сансраас авсан зураг (НАСА)

Нил мөрний сансраас авсан зураг (НАСА). Мөрөн хойшоо урсаж байгаад Каир хотын ойролцоо олон салаалж эхлээд, Газрын Дундад Тэнгист цутгана. Энэ олон салаа нь зургийн дээд хэсэг дэх V хэлбэрийн дүрст харгалзана.  Мөрний дагуу ногоон, бусад газраар цөл байгааг харж болно.

Одоогоос 6000 жилийн өмнө Нил мөрний эргээр хүмүүс аль хэдийн суурьшсан байсан ба энэ овог аймгууд МЭӨ 3200 оны үед нэгдэж Египтийн анхны эзэнт гүрэн Мемфис хотод нийслэлтэйгээр байгуулагджээ. Эртний Египтийн соёл иргэншил МЭӨ 2500 оны үед оргилдоо хүрч, энэ үеэс пирамид гэх мэт том том байгууламжууд барьж эхэлсэн. Ингээд МЭӨ 332 онд Македоны Александраар толгойлуулсан Грект эзлэгдэх хүртлээ Вавилончуудтай бага зэрэг харилцаатай байснаас өөр соёлын хувьд нэг их гадны нөлөө үзэлгүй өөрийн мөрөөр явсан байна. Александр хааныг нас барсны дараа өрлөг жанжнуудынх нь нэг Птолемей Сотер өөрийгөө Египтийн фараонд өргөмжлөн «грекжсэн» буюу Эллинистик Египтийн үндсийг тавьсан бөгөөд Птолемейн угсааны үе залгамжилсан хаанчлал МЭӨ 30 онд Ромын цэргүүд Египтийг эзлэх үеэр хатан хаан Клеопатра амиа хорлосноор дуусгавар болсон билээ. Египт МЭ VII зуунд Арабт эзлэгдэх хүртэл Ромын ноёрхол тэнд бараг тасралтгүй үргэлжилсэн юм. Энэ өгүүллийн хүрээнд бидэнд Грекийн булаан эзлэлтээс хойших үйл явдал ер хамаагүй боловч дараа Грек болон Арабын математикийн тухай ярьвал дурдагдаж магадгүй гэж «сүүлийн үеийн» түүхээс бага зэрэг орууллаа.

Ойролцоогоор МЭӨ XXX зууны үеэс Египтчүүд иероглиф болон иератик бичгүүдийг хэрэглэж эхэлсэн ба сүүлд МЭӨ VII зуунаас иератик бичиг дээр үндэслэгдсэн демотик бичиг бас их хэрэглэгддэг болсон. Эртний Египтийн хэл бичгийг тайлахад гол үүрэг гүйцэтгэсэн олдвор бол Розеттийн чулуу гэгддэг гайхамшигтай бичгийн дурсгал юм. Розеттийн чулуу нь МЭӨ II зуунд хамаарах бөгөөд дээр нь нэг ижил текстийг Эртний Египтийн иероглиф, демотик бичгээр, мөн Эртний Грек хэлээр зэрэгцүүлэн сийлсэн байдаг.

Мэдээж Египтчүүд юм бичих болгондоо чулуун дээр сийлээд байдаггүй байсан нь ойлгомжтой. Ер нь бол папирус дээр бэхээр бичдэг байсан. Монголоор папирусыг муутуу цаас, папирус дээрх бичээсийг зэгсэн дээрх бичээс гэж хэлэх нь бий. Папирус нь хадгалалт даахдаа маш муу тул ийм олдвор маш ховор байдаг. Одоогоор олдоод байгаа математикийн холбогдолтой папирус дотроос хамгийн чухал нь МЭӨ 1700 оны үед хамаарагдах хоёр папирус юм. Нэгийг нь Ахмес гэдэг хүн бичсэн нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд «Нууц далд харанхуй бүхний тухай мэдлэгт хүрэх зам» гэсэн гарчигтай. Ахмесийн папирус Их Британийн Музейд хадгалагдаж байна. Нөгөө папирус нь Москвад Пушкины музейд хадгалагдаж байгаа. Энэ хоёр папирус нийтдээ 100 бодлого бодолттой нь агуулсан байдаг бөгөөд эдгээр жишээгээр дамжуулан илүү ерөнхий арга барилыг тайлбарлах гэсэн санаатай нь ажиглагддаг.

Арифметик. Дараах зурагт эртний Египтийн иероглиф тооны цифрүүд, тоо бичих ерөнхий зарчмыг үзүүлэв.

Египтийн иероглиф тоо. Бичихдээ баруунаас зүүн тийш бичих ба цифрүүдээ дан эсвэл давхарлуулж тавьж болно.

Египтийн иероглиф тоо. Бичихдээ баруунаас зүүн тийш бичих ба нэг тоонд багтах цифрүүдийг дан эсвэл давхар эгнээгээр тавьж болно.

Эндээс тоо бичих дүрэм нь аравтын системтэй боловч тооны утганд цифрийн байрлал нөлөөлөхгүй болохыг харж болно. Иймд хоёр тоог нэмэх үйлдэл нь ерөнхийдөө хоёр тоог хамтад нь бичээд нэг ижил 10 цифр гарч ирвэл арилгаад дараагийнх нь том цифрээр солихтой адилхан болж хувирна. Хасах үйлдлийг үүнтэй төстэйгөөр цифрүүдийг арилгах замаар хийж болно. Дараах зурагт үзүүлсэн маягаар бүхэл тоон дээр зууван дугуй хэлбэртэй тусгай тэмдэг тавьбал уг тооны урвууг илтгэнэ. Мөн жишээгээр үзүүлснээр, ийм бутархайнуудыг залгаж бичих замаар ямар ч энгийн бутархайг тэмдэглэж болно.

Бутархай тооны тэмдэглэгээ

Одоо бүхэл тооны үржүүлэх ба хуваах үйлдлийг авч үзье. Жишээ нь, 12-ыг 13-аар үржүүлэхийн тулд эхлээд тэд дараах хүснэгтийг зохионо.

1 ~ 12
2 ~ 24
4 ~ 48
8 ~ 96

Эндээс шууд 12·13 = 96 + 48 + 12 = 166 гэж олно. Одоогийн өндөрлөгөөс харвал энд 13-ын хоёртын бичлэг ашиглагдаж байгааг ажиглаарай. Хуваах үйлдлийг үүнтэй төстэйгөөр хийнэ. Жишээ нь, 27-г 12-т хуваахын тулд дараах хүснэгтийг зохионо.

1 ~ 12
2 ~ 24
½ ~ 6
¼ ~ 3

Эндээс 27/12 = 2 + ¼ гэж олно.

Дээр дурдсан бутархай тооны тэмдэглэгээ нь бутархай тоон дээрх арифметик үйлдлүүдийг их төвөгтэй болгодгийг төсөөлөхөд бэрх биш. Үүнийг эртний Египтийн математик бараг хөгжөөгүйн нэг гол шалтгаан гэж үздэг.

Алгебр. Эртний Египтчүүд (ax=b гэсэн) нэг үл мэдэгдэгчтэй шугаман тэгшитгэлийг бодож чаддаг байсан. Мэдээж одоогийнх шиг тэгшитгэлийг тэмдэглэх тэмдэглэгээ байхгүй, тодорхой тоон өгөгдлүүдтэй өгүүлбэртэй бодлого бодох явцдаа цаана нь байгаа ерөнхий аргачлалыг хүнд хүргэх гэж оролдох ба энэ нь одоогийнхоор бол тэгшитгэл бодож байгаатай барагцаагаар адилхан зүйл. Жишээ нь, папирус дээрх нэг бодлого «700 талхыг 4 хүн хувааж авахдаа хоорондоо 2/3 : 1/2 : 1/3 : 1/4 харьцаатай байхаар хувааж авав. Хэн хэдэн талх авсныг ол» гэсэн бодлого байна. Үүнийг Ахмес (папирусыг бичсэн хүн) бодсон нь: «2/3 , 1/2 , 1/3 , 1/4 тоонуудыг нэм. 1+1/2+1/4 гарна. Одоо 1-ийг энэ тоондоо хуваа. 1/2+1/14 гэсэн тоо гарна. Энэ тоогоо 700-аар үржүүл. Хариу нь 400» Энд Ахмесийг орчин үеийн тэмдэглэгээгээр бол

\displaystyle \frac23x+\frac12x+\frac13x+\frac14x = 700

гэсэн тэгшитгэлийг бодчихлоо гэж хэлэхэд маргах хүн олон гарахгүй болов уу.

Папирусын бодлогон дотор шугаман тэгшитгэлээс гадна ax2=b гэсэн хялбар квадрат тэгшитгэлийг бодсон жишээнүүд бас бий. Тооноос язгуур авахдаа ойролцоогоор бодох ба иррациональ тооны талаар ямар нэг ойлголт байсан шинж огт байхгүй.

Геометр. Эртний Египтийн геометр нь янз бүрийн дүрсийн талбай, эзэлхүүнийг ойролцоогоор бодох хэдэн томьёогоор хязгаарлагдаж байсан гэхэд хилсдэхгүй. Жишээлбэл, R радиустай дугуйн талбайг A=(16R/9)томьёогоор тооцоолж байсан нь π≈(16/9)2≈3.16 гэсэн ойролцоололд харгалзана. Гурвалжны талбайг олохдоо хоёр талын уртуудыг үржүүлээд 2-т хуваадаг байсан нь үнэндээ тэгш өнцөгт гурвалжин дээр л үнэн болохоос ерөнхий тохиолдолд буруу. Үүнчлэн, дөрвөн өнцөгтийн талбайг олохдоо эсрэг талуудын дунджуудыг олоод хооронд нь үржүүлдэг байсан. Энэ нь тэгш өнцөгт гэх мэт зарим дүрс дээр зөв боловч мөн л ерөнхий тохиолдолд буруу үр дүн өгнө. Цаашилбал огтлогдсон конус болон огтлогдсон пирамидын эзэлхүүнийг ойролцоогоор тооцоолсон жишээнүүд байдаг.

Тэд томьёо хэрэглэхгүй, ерөнхий дүрэм ч өгөхгүй, зөвхөн тодорхой өгөгдлүүдтэй жишээнүүдийн тусламжтай тооцооныхоо аргуудыг тайлбарлаж бичсэн байдгийг дахин тодотгоё. Жишээ нь, огтлогдсон пирамидын эзэлхүүнийг яаж олохыг тайлбарлахдаа, «Огтлогдсон пирамидын өндөр нь 6, суурийн нэг талын урт 4, дээд хавтангийнх нь нэг талын  урт 2 болог. 4-ийг өөрөөр нь үржүүл. 16 гарна. 4-ийг 2-оор үржүүл. 8 гарна. 2-ыг өөрөөр нь үржүүл. 4 гарна. 16, 8, 4 гэсэн тоонуудаа хооронд нь нэм. 28 гарна. 6-г гуравт хуваа. 2 гарна. 28-ыг 2-оор үржүүл. 56 гарна. Зөв хариу нь энэ» гэсэн байна. Энд одоогийнхоор бол

\displaystyle V = \frac{h}{3}(a^2+ab+b^2)

гэсэн томъёог тайлбарлаад байгааг харж болно. Энэ нь квадрат суурьтай (огтлогдсон) пирамидын хувьд зөв томъёо юм.

Бидэнд байгаа олдворууд дотор бодлого бодох аргыг яаж олсноо тайлбарласан, эсвэл арга нь зөв гэдгийг батлах гэж оролдсон зүйл нэг ч байхгүй. Мөн дээр дурдсанчлан бодлого бодсон арга барилууд дотор нь ерөнхий тохиолдолд буруу үр дүн өгдөг шийдлүүд олон байна. Тэгэхээр эртний Египтийн математикийг амьдралын туршлагаар олж авсан практик мэдлэгийг хатуу шалгуургүйгээр цуглуулсан цуглуулга байжээ гэж дүгнэж болох нь.

Эртний Египтчүүд одон орны болон геометрийн мэдлэгээ ашиглаад сүм дуган, пирамид зэргийг барихдаа тэдгээрийг аль нэг одны зүг чиглүүлдэг, эсвэл жилийн тодорхой нэг өдөр тодорхой нэг цагт нар тодорхой нэг зүйлийг гэрэлтүүлж тусахаар зохион байгуулдаг байсан. Эдгээр болон дээр дурдсан бусад ололтууд нь магтмаар амжилтууд боловч эртний Египтийн математик нь үнэндээ ямар ч гүн гүнзгий шинэ санаа байхгүй маш энгийн бүдүүн бараг эд байсан гэдгийг ойлгох хэрэгтэй. Математик нь тусдаа салбар ч байсангүй, хэдэн мянган жил болоход бараг өөрчлөгдсөн ч үгүй, зүгээр л өдөр тутмын амьдралд гарч ирдэг асуудлуудыг шийдвэрлэхэд тусалдаг хэдэн хялбар дүрэм төдий зүйл л байв.

This entry was posted in Математикийн түүх and tagged , , . Bookmark the permalink.

2 Responses to Эртний Египтийн математик

  1. Baatarchuluun Altanbayar хэлдэг:

    Ойлгомжтой сайхан бичсэн байна.

  2. Болорхүү хэлдэг:

    уншсан таалагдлаа

Хариу Үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Та WordPress.com гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Google photo

Та Google гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Twitter picture

Та Twitter гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Facebook photo

Та Facebook гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Connecting to %s