Эйлерийн үржвэр

Евклидийн теоремийн Эйлерийн баталгаанд дараах адилтгал шийдвэрлэх үүрэг гүйцэтгэсэн

\displaystyle\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{1-\frac1{p_i}}=\sum_{m\in M(n)}\frac1{m}\qquad\qquad\qquad(1).

Үүнд M(n) нь анхны тоон задаргаандаа  p_n-ээс их анхны тоог агуулдаггүй тоонуудын олонлог

M(n)=\{p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots p_n^{k_n}:k_i\geq0\}.

Жишээ нь M(1) нь 2-ын сөрөг биш зэргүүдээс тогтсон олонлог, M(2) нь 2 ба 3-ын сөрөг биш зэргүүдийн үржвэрүүдээс тогтсон олонлог гэх мэт. Тухайлбал үргэлж 1\in M(n) байна. Арифметикийн үндсэн теоремаас n\to\infty үед M(n) олонлог натурал тоон олонлогийг бүрхэх нь ойлгомжтой. Тэгэхээр (1) адилтгалын баруун гар тал дахь нийлбэр n\to\infty үед (гармоник цуваа учир) сарних ба ингэснээр уг адилтгалын зүүн гар тал дахь үржвэр мөн сарнихад хүрч төгсгөлгүй олон анхны тоо оршин байх нь батлагдана. Арай өөр өнцгөөс, (1) адилтгалыг дараах формал адилтгалд утга оноохын тулд төгсгөлгүй нийлбэр ба үржвэрийг төгсгөлөг нийлбэр ба үржвэрээр сольсон хувилбар гэж үзэж болно.

\displaystyle \prod_{i=1}^{\infty}\frac{1}{1-\frac1{p_i}}=\sum_{m=1}^{\infty}\frac1{m}\qquad(2).

Энэ формал адилтгалын баруун гар тал төгсгөлгүй учир зүүн гар талд нь төгсгөлгүй олон анхны тоо байх ёстой гэсэн өгүүлбэрийг дээрх хязгаартай баталгааны товчлол мэтээр ойлгож болно.

(2) адилтгалд утга оноох өөр хувилбарууд бий. Үүний нэг жишээ нь s>1 байх бодит тоо бэхлээд, цувааны гишүүн 1/{m}-ийг 1/{m^s}-ээр солих явдал болно. Энэ шинэ цуваа (s>1 үед) абсолют нийлдэг цуваа болох нь интеграл шинжүүрээс илэрхий:

\displaystyle \zeta(s):=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^s}\leq\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^s}=\left.\frac{1}{(1-s)x^{s-1}}\right|_1^{\infty}=\frac{1}{s-1}.

Эйлерийн зета функц. s нь 1 рүү дөхөх үед төгсгөлгүй рүү, s ихсэхэд 1 рүү явна.

Дээрх илэрхийлэл Эйлерийн зета функцийг тодорхойлох ба одоо (2) адилтгалд утга оноохын тулд зүүн гар тал дахь үржвэр нь яаж өөрчлөгдөх вэ гэдгийг тодруулаад, s\to1^+ (ө.х. s нь 1 рүү дээрээс нь дөхөх) хязгаар авна гэсэн үг. Абсолют нийлдэг цуваатай ажиллах нь төгсгөлөг нийлбэртэй ажиллахаас үндсэндээ ялгагдахгүй. Өмнөхтэй адил аргументаар (2)-ийн зүүн гар тал \displaystyle\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-s}} хэлбэрийн үржвэрт хувирахыг хялбархан шалгаж болно. Гэвч энд бид арай өөр шууд баталгаа оруулъя.

Эйлерийн үржвэрийн теорем. s>1 үед \displaystyle \zeta(s)\equiv\sum_{n}\frac{1}{n^s}=\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-s}}. Энд n-ээр авсан нийлбэрийг бүх натурал тоогоор, p-ээр авсан үржвэрийг бүх анхны тоогоор авсан гэж ойлгоно.

Баталгаа. N(k) нь p_1,\ldots,p_k анхны тоонуудын алинд ч хуваагддаггүй бүх натурал тоонуудын олонлог болог

N(k) = \{m\in\mathbb{N}|\mathrm{gcd}(m,p_1)=\ldots=\mathrm{gcd}(m,p_k)=1\}.

Жишээ нь N(1) нь сондгой тоонуудын олонлог, N(2) нь 2 ба 3-ын алинд нь ч хуваагддаггүй тоонуудын олонлог гэх мэт. Тухайлбал үргэлж 1\in N(k) байна. Өөрөөр, N(k) нь (1-ийг эс тооцвол) анхны тоон задаргаандаа зөвхөн p_k-ээс их анхны тоонуудыг л агуулдаг бүхэл тоонуудын олонлог юм

N(k)\setminus \{1\} = \mathbb{N}\setminus M(k)\qquad\qquad\qquad(*).

Одоо s>1 үед дараах үржвэрийг сонирхъё

\displaystyle (1-2^{-s})\zeta(s) = (1-2^{-s})\sum_{n}\frac{1}{n^s} = \sum_{n}\frac{1}{n^s}-\sum_{n}\frac{1}{(2n)^s} = \sum_{n\in N(1)}\frac{1}{n^s}.

Үүнд s>1 учир зета функцийг тодорхойлж буй цуваа абсолют нийлэх ба уг цувааг тоогоор үржүүлэхэд хаалт нээх хууль биелнэ. Дээрх илэрхийллийг (1-3^{-s})-ээр үржүүлбэл

\displaystyle (1-3^{-s})(1-2^{-s})\zeta(s) = \sum_{n\in N(1)}\frac{1}{n^s}-\sum_{n\in N(1)}\frac{1}{(3n)^s} = \sum_{n\in N(2)}\frac{1}{n^s}

болно. Энд бид сондгой тоонууд нь 2 ба 3-ын алинд нь ч хуваагддаггүй тоонууд ба 3-т хуваагддаг сондгой тоонуудаас тогтоно, ө.х. N(1)=N(2)\cup\{3n:n\in N(1)\} гэдгийг ашигласан. Үүнтэй төстэйгөөр цааш нь үржүүлэн явбал дараах үр дүнд хүрнэ.

\displaystyle (1-p_k^{-s})\cdots(1-3^{-s})(1-2^{-s})\zeta(s) = \sum_{n\in N(k)}\frac{1}{n^s} = 1+ \sum_{n}\frac{1}{n^s} - \sum_{n\in M(k)}\frac{1}{n^s}.

Үүнд сүүлийн тэнцэтгэлд (*)-ыг, ө.х. N(k)=\mathbb{N}\setminus M(k)\cup\{1\} болохыг ашигласан (цуваанууд абсолют нийлдэг учир ингэж төгсгөлөг нийлбэр мэтээр харьцаж болж буйг дахин сануулъя). Одоо хоёр талаас нь k\to\infty хязгаар авбал

\displaystyle \zeta(s)\lim_{k\to\infty}\prod_{i=1}^{k}(1-p_i^{-s}) = 1 буюу \displaystyle \zeta(s) = \lim_{k\to\infty}\prod_{i=1}^{k}\frac1{1-p_i^{-s}}

болж теорем батлагдана.

Эцэст нь энэ теоремаа ашиглаж анхны тоонуудын тоог төгсгөлгүй болохыг дахин нэг харъя. Бид s>1 үед

\displaystyle \zeta(s)\equiv\sum_{n}\frac{1}{n^s}=\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-s}}

болохыг баталсан. Хэрэв анхны тоонуудын тоо төгсгөлөг байсан бол тэнцэтгэлийн баруун гар тал дахь илэрхийлэл  s\neq0 үед (төгсгөлөг ширхэг төгсгөлөг тоонуудын үржвэр учир) төгсгөлөг байна. Гэвч зүүн гар тал нь s\to 1^+ үед хязгааргүй рүү явах учир үүнтэй харшилж анхны тоонуудын тоог төгсгөлөг биш болохыг харуулна. Тэгэхээр Эйлерийн зета функц s=1 дээр онцгой цэгтэй, тодруулбал

\displaystyle\lim_{s\to1^+}\zeta(s)=\infty

байгаа нь анхны тоонуудын тоо төгсгөлөг биш гэдэгтэй холбоотой байх нь.

Сурталчилгаа
This entry was posted in Анализ, Тооны онол and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

Хариу Үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Та WordPress.com гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Google+ photo

Та Google+ гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Twitter picture

Та Twitter гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Facebook photo

Та Facebook гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Connecting to %s