Эйлерийн баталгаа

p_i нь i дэх анхны тоо, \pi(x) нь x-ээс хэтэрдэггүй анхны тоонуудын тоо бол дорх функцийг авч үзье

f(x)=\displaystyle\prod_{i=1}^{\pi(x)}\frac{1}{1-\frac1{p_i}}.

Энэ үржвэрт орж буй үржигдэхүүн бүр нэгээс их тул f нь үл буурах функц болно. Хэрэв анхны тоонуудын тоо төгсгөлөг байсан бол x-ийг ихэсгээд байхад дээрх үржвэр бүх анхны тоонуудыг оролцуулсан үржвэрт хүрээд цаашид өөрчлөгдөхөө зогсоно. Өөрөөр хэлбэл хамгийн их анхны тоог q гэвэл x\geq q байх x болгоны хувьд f(x)=f(q) байх байсан. Эйлер x\to\infty үед f(x)\to\infty гэж баталсан ба эндээс анхны тоонуудын тоо төгсгөлгүй гэж мөрдөх нь ойлгомжтой. Нэг ийм баталгааг дор сийрүүлэв.

f-ийн тодорхойлолтод орж буй нэг үржигдэхүүнийг сонирхвол энэ нь буурах геометр прогрессийн нийлбэр болохыг ажиглаж болно:

\displaystyle\frac{1}{1-\frac1{p_i}}=1+\frac1{p_i}+\left(\frac1{p_i}\right)^2+\left(\frac1{p_i}\right)^3+\ldots=\sum_{k=0}^\infty\frac1{p_i^k}.

Үүнийгээ f-ийн тодорхойлолтод орлуулаад, n=\pi(x) гэсэн товчлол хийвэл

f(x)=\displaystyle\sum_{k_1=0}^\infty\ldots\sum_{k_n=0}^\infty\frac1{p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots  p_n^{k_n}}.

Өөрөөр хэлбэл {f(x)} нь x-ээс бага бүх анхны тоонуудын сөрөг биш зэргүүдийг оролцуулан гаргаж болох бүх үржвэрүүдийн урвуунуудын нийлбэртэй тэнцүү. Арифметикийн үндсэн теоремоор p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots  p_n^{k_n} дотор давтагдах тоо байхгүй. Иймд анхны тоон задаргаандаа  p_n-ээс их анхны тоог агуулдаггүй тоонуудын олонлогийг

M(n)=\{p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots  p_n^{k_n}:k_i\geq0\}

гэвэл

f(x)=\displaystyle\sum_{m\in M(n)}\frac1{m}.

Жишээ нь M(1) нь 2-ын сөрөг биш зэргүүдээс тогтсон олонлог, M(2) нь 2 ба 3-ын сөрөг биш зэргүүдийн үржвэрүүдээс тогтсон олонлог гэх мэт. Тухайлбал үргэлж 1\in M(n) байна. Одоо n=\pi(x) гэдгийг санавал x-ээс хэтрэхгүй ямар ч эерэг бүхэл тоо анхны тоон задаргаандаа p_n-ээс их анхны тоог агуулахгүй. Тэгэхээр M(n) нь x-ээс хэтрэхгүй бүх эерэг бүхэл тоог агуулна: \{1,\ldots,\lfloor{x}\rfloor\}\subset M(n) буюу

f(x)=\displaystyle\sum_{m\in M(n)}\frac1{m}\geq\sum_{m=1}^{\lfloor{x}\rfloor}\frac1{m}

үүнд \lfloor{x}\rfloor нь x-ээс хэтрэхгүй хамгийн их бүхэл тоо. Дээрх тэнцэл бишийн баруун гар тал x\to\infty үед хязгааргүй руу тэмүүлэх тул зүүн гар тал нь мөн хязгааргүй руу явах болж бидний батлах гэсэн зүйл батлагдана.

Үүнээс гадна дээрх баталгаа f функцийн өсөлтийн хурдны талаар мэдээлэл өгнө:

\displaystyle f(x)\geq\sum_{m=1}^{\lfloor{x}\rfloor}\frac1{m}\geq\ln(\lfloor{x}\rfloor+1)\geq\ln x.

i дэх анхны тоо i-ээс эрс их байх нь ойлгомжтой: p_i\geq i+1. Үүнийг ашиглан

\displaystyle\frac{1}{1-\frac1{p_i}}=\frac{p_i}{p_i-1}=1+\frac1{p_i-1}\leq1+\frac1{i}=\frac{i+1}i

гэж бичиж болох ба эндээс

f(x)=\displaystyle\prod_{i=1}^{\pi(x)}\frac{1}{1-\frac1{p_i}}\leq\prod_{i=1}^{\pi(x)}\frac{i+1}i=\frac21\cdot\frac32\cdots\frac{\pi(x)+1}{\pi(x)}=\pi(x)+1.

Тэгэхээр дараах теорем батлагдана.

Теорем. \pi(x)+1\geq\ln x.

Дараах зурагт энэ үр дүнг Евклидийн баталгаанаас гаргасан үнэлэмжтэй жишиж үзүүлэв.

π(x), ln(x) ба lnln(x)

Advertisements
This entry was posted in Тооны онол, теорем and tagged , , . Bookmark the permalink.

2 Responses to Эйлерийн баталгаа

Хариу Үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Та WordPress.com гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Google+ photo

Та Google+ гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Twitter picture

Та Twitter гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Facebook photo

Та Facebook гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

w

Connecting to %s