Евклидийн теорем

Менделеевийн үелэх системийн 200 гаран элементийн атомууд бүх химийн бодисыг бүрдүүлдэг. Үүнтэй төстэйгээр анхны тоонууд бүх бүхэл тоонуудыг бүрдүүлдэг. Дараах теоремд бүх анхны тоог химийн элементүүд шиг нэг нэгээр нь судалж гүйцээх аргагүй болохыг харуулна.

Евклидийн теорем. Төгсгөлгүй олон анхны тоо оршин байна.

Баталгаа. Эсрэгээр нь анхны тоонуудын тоог төгсгөлөг гэж үзье. Тэгвэл бүх анхны тоонуудыг хооронд нь үржүүлээд нэгийг нэмэхэд гарах тоо нь ямар ч анхны тоонд хуваагдахгүй. Тодруулбал, бүх анхны тоог

p_1,p_2,\ldots,p_n

гэж дугаарлаад

m=p_1p_2\ldots p_n+1

гэвэл m нь p_i-ийн алинд ч хуваагдахгүй. Учир нь хэрэв p_i|m бол p_i нь 1-ийн хуваагч болох байсан. Тэгэхээр m нь анхны тоонуудын үржвэрт задардаггүй бүхэл тоо болж зөрчилд хүрнэ.

Дээрх баталгаанаас {B} нь анхны тоонуудын төгсгөлөг олонлог бол {B} дэх тоонуудын үржвэрээс нэгээр их тоо анхны тоон задаргаандаа {B}-д ордоггүй анхны тоог агуулна гэж гарна. Тухайлбал n дэх анхны тоог p_n гэвэл p_{n+1} нь дээр тодорхойлогдсон m-ээс хэтрэхгүй

p_{n+1}\leq p_1p_2\ldots p_n+1.

Тэгэхээр энэ баталгаа нь зөвхөн анхны тооны тоог төгсгөлгүй гэж харуулаад зогсохгүй бас анхны тоонуудын тархалтын нягтын талаар бага зэрэг мэдээлэл өгч байна. Анхны тооны тархалтын нягтыг хэмжихийн тулд бодит тоо x-ээс хэтрэхгүй бүх анхны тооны тоог \pi(x) гэж тэмдэглэе:

π(x) функцийн график

\pi(x)=\min\{n:p_{n+1} > x\}.

Иймд жишээ нь, x<2 үед \pi(x)=0, мөн \pi(2.5)=1, \pi(5)=3 байна. Ингэж тодорхойлогдсон функц \pi:\mathbb{R}\to\mathbb{R} нь сөрөг биш бүхэл утга авдаг үл буурах функц байх нь мэдээж. Энэ функцийг хичнээн нарийн мэднэ анхны тоонуудын байрлалын талаар төчнөөн их мэдээлэлтэй болно гэдэг нь мөн ойлгомжтой. Жишээ нь анхны тоонуудын тоо төгсгөлгүй гэдэг нь

\displaystyle\lim_{x\to\infty}\pi(x)=\infty

гэдэгтэй эквивалент. Цаашилбал {\pi(x)}-ийн өсөлтийн хурд анхны тооны тархалтын нягтын талаар мэдээлэл өгнө.

Евклидийн теоремийн баталгаанаас, a_1=2 ба

a_{n+1}=a_1a_2\ldots a_n+1

байх дараалал тодорхойлбол p_n\leq a_n байхыг харж болно. Тэгэхээр

\pi(x)\geq\min\{n:a_n\geq x\}

байх ба a_n дараалал нь ерөнхийдөө факториал мэтээр өсдөг дараалал тул дээрх тэнцэтгэл бишийн баруун гар тал дахь илэрхийлэл x-ээс хамааран факториалын урвуу функц мэтээр (маш удаанаар) өснө. Гэвч дээрх аргументийг сайн шахвал үүнээс арай дээр үнэлэмж гаргаж авч болно.

Теорем. p_n<2^{2^n} ба \pi(x)+1>\log_2\log_2 x байна (сүүлийн тэнцэл бишид x\geq2).

Баталгаа. n=1 үед 2<2^{2} тул теоремын эхний хэсэг үнэн. Одоо n\leq m байх бүх n-ийн хувьд p_n<2^{2^n} гэж үзье. Тэгвэл

\displaystyle p_{m+1}\leq p_1p_2\ldots p_{m}+1<2^{2+4+\ldots+2^{m}}+1<2^{2^{m+1}}

болж теоремийн эхний хэсэг батлагдана. Одоо n нь 2^{2^n}\leq x<2^{2^{n+1}} байх бүхэл тоо болог. Тэгвэл \log_2\log_2x<n+1 ба теоремийн эхний хэсгээс n\leq\pi(2^{2^n}) гэдгийг тооцвол теоремийн сүүлийн хэсэг батлагдана.

Энэ теоремд дурдагдаж буй логарифмуудийн суурийг ихэсгэх замаар тэнцэтгэл бишийн зүүн гар тал дахь +1-ийг арилгах боломжтой. Тухайлбал логарифмуудыг натурал логарифмуудаар сольвол \pi(x)\geq\ln\ln x гэж гаргаж болно.

Тэмдэглэл. {\pi(x)} нь үнэндээ \displaystyle \frac{x}{\ln x} мэтээр өсдөг функц юм. Тэгэхээр дээрх теорем дахь \log\log x нь асар ихээр баримжаалсан үнэлэмж гэсэн үг. Сүүлд бид илүү нарийн үр дүнгүүдийг авч үзнэ.

π(x) ба lnln(x)

Advertisements
This entry was posted in Тооны онол, теорем and tagged . Bookmark the permalink.

3 Responses to Евклидийн теорем

  1. Tumur хэлдэг:

    Энэ сэдэвтэй холбоотойгоор үзүүштэй http://www.megavideo.com/?v=MNRIHGC0

  2. boldbaatarexpert хэлдэг:

    sain uu demii selguutsej baigaa blogiig chine unshlaa. bi neg iim zuiliig l har bagaasaa mederhiig husdeg bailaa olon yanziin tomyo bichhees iluu { : [] } iim baahan symbol bichigleluudiig bugdiig ni tailbarlaad ogooch gej huseh gesen yum. tegvel yamar ch math sonirhodog hun ter tomyoog gargaad sudlaad amidraldaa ashiglaad baih bolomjtoi boloh met sanagdana. shuud tomyo zaadgaas bolj olon 1000 n suragchid math iig sonirhohgui orhidog shde.

Хариу Үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Та WordPress.com гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Google+ photo

Та Google+ гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Twitter picture

Та Twitter гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Facebook photo

Та Facebook гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

w

Connecting to %s