Арифметикийн үндсэн теорем

Анхны тоо гэдэгт 1-ээс их бөгөөд 1 болон өөрөөсөө өөр эерэг бүхэл тоонд хуваагддаггүй (ө.х. p>1 ба, k|p гэдгээс k=1 эсвэл k=p гэж гардаг p) бүхэл тоог ойлгоно. Тэгэхээр хэрэв n нь анхны тоо биш (ө.х. зохиомол тоо) бол тодорхойлолт ёсоор 1<a,b<n байх хоёр тооны үржвэрт задрах нь: n=ab. Одоо a,b тоонууд мөн зохиомол эсэхээсээ хамаараад үржвэрүүдэд задарна. Энэ процессийг задаргаанд орж байгаа тоонууд бүгд анхны болтол нь үргэлжлүүлбэл ямар ч зохиомол тоог анхны тоонуудын үржвэрт задалж болох нь харагдана. Мэдээж n нь анхны тоо байсан бол нэг үржигдэхүүнтэй үржвэрт задарна гэж үзэж болно. Дүгнэвэл ямар ч n>1 бүхэл тоог p_1,p_2,\ldots,p_r анхны тоонуудтайгаар

n=p_1p_2\ldots p_r

хэлбэртэй бичиж болно. Химид ямар ч молекул атомуудаас бүтсэн байдаг шиг арифметикт ямар ч бүхэл тоо анхны тоонуудаас бүтсэн байдаг байх нь. Дараах теорем нь энэ аналогийг улам лавшруулна: ямар ч бүхэл тоог түүний бүрэлдэхүүнд орж буй анхны тоонуудын “найрлагатай&#8221; адилтгаж болно (ө.х. нэг бүхэл тоог хоёр өөр аргаар гаргаж болохгүй).

Арифметикийн үндсэн теорем. Нэгээс их ямар ч бүхэл тоо анхны тоонуудын үржвэрт (үржигдэхүүнүүдийн байр солихыг тооцохгүй бол) нэг утгатай задарна.

Баталгаа. Бидний батлах гэж буй теорем нь ямар ч n>1 бүхэл тоог

n=p_1p_2\ldots p_r ба p_1\leq p_2\leq\ldots\leq p_r

байхаар анхны тоонуудын үржвэрт цор ганц аргаар задалж болно гэсэнтэй адилхан. Одоо n>1 нь нэгээс олон янзын задаргаатай хамгийн бага тоо бөгөөд

n=p_1p_2\ldots p_r=q_1q_2\ldots q_s

ба p_i, q_j нь эрэмбэлэгдсэн анхны тоонууд гэж үзье. Тэгвэл p_1|n тул Евклидийн лемм ёсоор p_1|q_1 эсвэл p_1|q_2\ldots q_s байна. Хэрэв сүүлийнх нь үнэн бол q_2\ldots q_s<n тул энэ тоо анхны тоонуудын үржвэрт нэг утгатай задрах ба p_1=q_j байх j олдоно. Хэрэв эхнийх нь үнэн бол дээрхтэй төстэйгээр q_1<n тул p_1=q_1 байна. Тэгэхээр ямар ч тохиолдолд p_1=q_j байх j олдоно. Одоо \frac{n}{p_1}<n нь анхны тоонуудын үржвэрт нэг утгатай задарна гэдгийг ашиглавал p_2,\ldots,p_r тоонууд q_1,\ldots,q_{j-1},q_{j+1},\ldots,q_s тоонуудтай харгалзан тэнцүү болоход хүрэх ба үржигдэхүүнүүдийн эрэмбэлэгдсэн чанараас j=1 гэж гаргаж болно. Өөрөөр хэлбэл p_1,\ldots,p_r тоонууд q_1,\ldots,q_s тоонуудтай харгалзан тэнцүү болж теорем батлагдана.

Advertisements
This entry was posted in Тооны онол, теорем and tagged , . Bookmark the permalink.

4 Responses to Арифметикийн үндсэн теорем

  1. Eru хэлдэг:

    abeliin adiltgaliin batalgaag oroolj ogooch tegeh vv

  2. radnaa byambka хэлдэг:

    сайн байнуу лагранжийн тэгшитгэл оруулж мат физик-т ямар ашигтайг нь ойлгуулаач тэгэх үү.

Хариулт үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Өөрчлөх )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Өөрчлөх )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Өөрчлөх )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Өөрчлөх )

Connecting to %s