Топологийн суурь

Одоо топологийг ямар аргаар хялбархан өгч болох вэ гэсэн асуудал гарна. Мэдээж бүх задгай олонлогуудыг тоочих нь ерөнхий тохиолдолд боломжгүй. Тэгэхээр задгай олонлогуудыг шинж чанараар нь өгөх арга үлдэнэ. Үүнийг гүйцэтгэж болох хэд хэдэн стандарт хэрэгсэл байдаг. Дээр Евклидийн топологийг хэрхэн өгч байсныг өргөтгөн дараах аргыг гаргаж болно. X олонлогийн дэд олонлогуудын олонлог \mathfrak{B} дараах хоёр нөхцлийг хангадаг бол \mathfrak{B}суурь гэнэ:

  1. Дурын x\in X цэгийн хувьд x\in B байх B\in\mathfrak{B} олддог (ө.х. X нь \mathfrak{B}-ийн элементүүдийн нэгдэл болдог);
  2. Дурын B_1,B_2\in\mathfrak{B} олоногуудын хувьд B_1\cap B_2 нь \mathfrak{B}-ийн зарим элементүүдийн нэгдэл байдаг.

X-ийн ямар нэг суурь \mathfrak{B} өгөгдсөн үед X дээрх \mathfrak{B} сууриар төрөгдсөн топологи \mathfrak{T}_{\mathfrak B}-ийг дараах байдлаар тодорхойлдог: U нь \mathfrak{T}_{\mathfrak B}-д байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь дурын x\in U болгоны хувьд x\in B\subset U байх B\in\mathfrak{B} олддог байх явдал юм. Энэ үед \mathfrak{B}\mathfrak{T}_{\mathfrak B} топологийн суурь гэнэ.

Урьдах жишээнээс \mathbb{R}^n дээрх стандарт топологи \mathfrak{T}_{\mathbb E} нь

\mathfrak{B}=\{B(x,\varepsilon):x\in\mathbb{R}^n,0<\epsilon<\infty\},

сууриар төрөгдсөн болохыг харж болно.

Дасгал. Дээрх өгүүлбэрийг батал.

X-ийн дэд олонлогуудын дурын олонлог \mathfrak{S} өгөгдсөн үед \mathfrak{S}-ийг агуулсан хамгийн жижиг (ө.х. \mathfrak{S}-ийг агуулсан бүх топологиудын огтлолцол) топологи \mathfrak{T}_{\mathfrak S}-г тодорхойлж болно. Бид {\mathfrak S} нь \mathfrak{T}_{\mathfrak S}-ийн дэд суурь эсвэл суурийн үүсгэгч гэж ярьна. \varnothing, X болон {\mathfrak S}-ийн элементүүдийн бүх огтлолцлыг агуулсан \mathfrak{B}_{\mathfrak S} олонлог \mathfrak{T}_{\mathfrak S} топологийн суурь болно.

Дасгал. Өмнөх параграфт тодорхойлсон олонлог \mathfrak{T}_{\mathfrak S} нь X дээрх топологи болох ба \mathfrak{B}_{\mathfrak S} нь түүний суурь болно гэж батал.

[09/03/18: Отгоогийн хэлснийг засав]

[09/08/20: Бүдүүн топологи гэхийг жижиг топологи болгов]

Advertisements
This entry was posted in Топологи and tagged . Bookmark the permalink.

8 Responses to Топологийн суурь

  1. otogo хэлдэг:

    1. $\latex\mathcal U$ аас $U$ нь дээргүй юу?

    2. “$X$-ийг агуулсан&#8221; биш $\latex \mathfrak S&#8221;-ийг агуулсан биш үү? Бас “хамгийн бүдүүн&#8221; гэж стандарт хэллэг үү? “Thickest&#8221; гэдэгийг орчуулж байна уу тэ? Би бол “хамгийн жижиг/smallest&#8221; гэх юм байна.

  2. otogo хэлдэг:

    \mathcal U-аас U дээргүй юу? бас “X-ийг агуулсан хамгийн бүдүүн&#8221; биш \mathfrak S-г агуулсан хамгийн бүдүүн&#8221; үү тэ? Ер нь хамгийн бүдүүн гэж тогтсон хэллэг үү? би бол хамгийн жижиг гэх юм байна.

  3. t8m8r хэлдэг:

    Хамгийн жижиг гэхэд болно. “Coarse&#8221; гэдгийг утгачлах маягаар бүдүүн гэсэн юм.

  4. otogo хэлдэг:

    хмм, thick гэж бас хэлдэг болохоор бүдүүн гэсэн ч болох л юм, гэхдээ надад бол бүдүүн гэхээр арай л буухгүй байнаа. эсвэл сийрэг гэвэл арай төсөөлөхөд амар юм уу?

  5. mglecon хэлдэг:

    siireg gevel yaj baina

  6. Enh хэлдэг:

    dense gedgiig nyagtraltai gevel yamar baina? Suuriar torogdson gesnees suurit aguulagdsan gevel deergui yu?

  7. t8m8r хэлдэг:

    Coarse-fine гэхийг (жишээ нь будаа, шороо гэх мэт дээр) бүдүүн ширхэгтэй, нарийн ширхэгтэй гэж ойлгоод байгаа. Төрөгдсөн топологи нь суурьт агуулагдаж байгаа биш, суурийг агуулж байгаа шүү дээ. Generated гэдгийг төрөгдсөн, spanned гэдгийг үүсгэгдсэн гэе гэж дотроо бодож байсан санагдаж байна.

Хариу Үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Та WordPress.com гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Google+ photo

Та Google+ гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Twitter picture

Та Twitter гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Facebook photo

Та Facebook гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

w

Connecting to %s