Топологи огторгуй

Топологи огторгуйн талаарх анхан шатны ойлголтоо сэргээцгээе. Топологи огторгуй нь үнэндээ (“топологи” хэмээгдэх) тодорхой бүтэц бүхий олонлог бөгөөд хар үгээр хэлбэл олонлог дээрх топологи нь уг олонлогийн аль элементүүд бие биедээ “хязгааргүй ойрхон” бэ гэдгийг зааж өгдөг. Ингэснээр дарааллын хязгаар, тасралтгүй функц гэх мэт ойлголтуудыг өргөтгөн тодорхойлох боломжтой болно. Топологи гэдэг нь бодит (болон комплекс) тоон дарааллын хязгаар, мөн функцийн хязгаар зэргийг тодорхойлоход шаардагдаж буй зөвхөн тэр шинж чанаруудыг ялган авч хийсвэрлэн аксиомчилсан бүтэц гэж ойлгож болно. Тэгэхээр жирийн бодит тоон шулууны “топологи” нь ерөнхий топологийн шинж чанаруудыг хангадаг зөвхөн нэг жишээ топологи болж хувирна. Эхлэлийн цэг нь хэт ерөнхий мэт байж болох ч топологийн тухай маш баялаг онол босгож болдог. Топологи нь өнгөрсөн зуунд маш хүчтэй хөгжсөн ба өнөөдөр топологитой холбоогүй, түүнийг хэрэглэдэггүй математикийн салбар олоход хэцүү болжээ. Мэдээж бодит тоон шулуун дээрхээс өөр “хэрэгцээтэй” топологи байдаггүйсэн бол топологийн онолыг хөгжүүлэх нь төдий л сонирхолтой бус байхсан. Одоо илүү үгээ цэглээд математик руугаа оръё.

Хэрэв X олонлогийн дэд олонлогуудын олонлог {T} дараах нөхцлүүдийг хангадаг бол {T}X дээрх топологи гэнэ:

  1. \varnothing ба X нь {T}-д агуулагддаг;
  2. {T} дэх дурын олонлогуудын нэгдэл {T} дотроо байдаг;
  3. {T} дэх төгсгөлөг тооны олонлогуудын огтлолцол {T} дотроо байдаг.

Хэрэв {T} нь X дээрх топологи бол (X,{T}) хосыг топологи огторгуй, {T}-ийн элементүүдийг (эдгээр нь $X$-ийн дэд олонлогууд байхыг бид мэднэ) задгай олонлогууд гэж ярьна (яагаад ингэж нэрлэсэн нь дор Евклидийн тодологиын жишээнээс тодорхой болно). Задгай олонлогийн гүйцээлтийг битүү олонлог гэнэ. Өөрөөр хэлбэл, W\subset X нь X\setminus W\in{T} үед битүү байна. Топологи огторгуйн бүх битүү олонлогуудын олонлог нь дээрх аксиомуудтай хосмог аксиомуудыг хангана. Тухайлбал, дурын битүү олонлогуудын огтлолцол битүү байх ба төгсгөлөг тооны битүү олонлогуудын нэгдэл битүү байна

Ямар нэг дэд олонлог нэгэн зэрэг задгай ба битүү (жишээ нь хоосон олонлог ба X өөрөө), эсвэл задгай ба битүүгийн аль нь ч биш байж болно гэдгийг анхаар.

T_1 ба T_2 гэсэн хоёр топологи X дээр тодорхойлогдсон ба T_1\subseteq T_2 гэж үзье. Өөрөөр хэлбэл T_1-д задгай хэмээгддэг бүх олонлог T_2-т мөн задгай хэмээгдэнэ гэсэн үг. Тэгвэл бид T_1 нь T_2-оос “бүдүүн”, харин T_2 нь T_1-ээс “нарийн” топологи гэж ярьна. Энэ нь X дээрх бүх топологиудын олонлог дээр хэсэгчилсэн эрэмбэ тогтооно.

Жишээ. (Тривиаль топологи) X нь ямар нэг олонлог бол {T}=\{\varnothing,X\} нь топологи болох ба энэ нь X дээр тодорхойлж болох хамгийн бүдүүн топологи юм. Энэ үед зөвхөн хоосон олонлог ба X өөрөө задгай бөгөөд битүү, бусад бүх дэд олонлогууд нь задгай ч биш битүү ч биш болно.

Жишээ. (Дискрет топологи) X нь ямар нэг олонлог бол түүний бүх дэд олонлогуудын олонлог X дээр топологи тодорхойлно гэдгийг хялбархан шалгаж болно. Энэ нь X дээр тодорхойлж болох хамгийн нарийн топологи юм. Энэ үед байж болох бүх дэд олонлог нэгэн зэрэг задгай бөгөөд битүү болно.

Ерөнхийдөө дээрх хоёр топологи нь X дээр тийм ч сонирхолтой бүтцийг оруулж чаддаггүй.

Жишээ. (Евклидийн топологи) {U}\subset\mathbb{R}^n байг. Хэрэв дурын x\in{U} болгоны хувьд

B(x,\varepsilon):=\{y\in\mathbb{R}^n:|y-x|<\varepsilon\}\subset{U},

байх \varepsilon>0 олддог бол {U}-г задгай гэж нэрлэснээр Евклидийн огторгуй \mathbb{R}^n дээрх стандарт топологи тодорхойлогдоно. Өөрөөр хэлбэл задгай олонлогийн цэг бүр дээр төвтэй тэг биш радиустай уг олонлогт бүхлээрээ багтдаг задгай бөмбөрцгүүд оршин байна.

Дасгал. Дээрх жишээ нь \mathbb{R}^n дээр топологи тодорхойлно гэж үзүүл.

Дасгал. Топологийн 2 ба 3-р аксиомууд хоорондоо тэгш хэмтэй биш байгаа. Хэрэв 3-р аксиомд төгсгөлгүй тооны дэд олонлогийн огтлолцлыг зөвшөөрвөл бодит тоон шулуун \mathbb{R} дээрх стандарт топологи дискрет топологи болж хувирна гэж харуул.

Сурталчилгаа
This entry was posted in Топологи and tagged , , . Bookmark the permalink.

7 Responses to Топологи огторгуй

  1. Barimalch хэлдэг:

    Yur n ter perelmanii biluu bodoltoor topologiig shiidchihsen bish uu? Ogtorguin dursleliin tootsoo neg aygiig tootsson ch adilhan neg galaxyg tootsson ch adilhan baigaa baihaa?

  2. t8m8r хэлдэг:

    “topologiig shiidne&#8221; gej yamar utgaar yarij bna? “ogtorguin dursleliin tootsoo&#8221; gej yamar tootsoo bdag talaar todruulna uu?

  3. Barimalch хэлдэг:

    bi mergjiliin hun bus tul har yarianii heleer ali boloh oilgoltond dohuu heleer l helsen yum.

  4. Төгөлдөр хэлдэг:

    Топологийн талаар монгол ном байдаг уу? Энэ талаар судлах хэрэгтэй байна.

    • temur хэлдэг:

      Мекейн “Топологи&#8221; гэсэн ном байгаа. Мөн Баясгалангийн “Анализ&#8221; гэсэн цуврал дээр топологийн тухай юм их бий. Гэхдээ гадаад хэл дээр сайн сайн ном их бий. Жишээ нь Munkres.

  5. Enhbat Lhagwaa хэлдэг:

    mongol deer bhgui ee. harin engelking gesen angli deer bichigdsen nom bgaa nom ter bol ih goy bichigdsen nom nadad l law taalagdsan

  6. Crypto хэлдэг:

    Munkres iin nom sn

Хариу Үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Та WordPress.com гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Google photo

Та Google гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Twitter picture

Та Twitter гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Facebook photo

Та Facebook гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Connecting to %s