Дэд бүлэг

\mathfrak{G} бүлгийн хоосон биш дэд олонлог \mathfrak{g} нь өөрөө \mathfrak{G}-тэй ижил композицийн хуультай бүлэг байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь 1, 2, 3, 4 аксиомууд биелэгдэж байх явдал юм. Аксиом 1 нь хэрэв a ба b нь \mathfrak{g}-д байвал тэдгээрийн үржвэр ab мөн \mathfrak{g}-д байхыг шаардана. Хэрэв \mathfrak{G}-д Аксиом 2 биелдэг бол \mathfrak{g}-д биелнэ. Аксиом 3 ба 4 нь \mathfrak{g} нь нэгж элементийг агуулах ба \mathfrak{g} олонлогийн a элемент болгоны урвуу элемент a^{-1} нь \mathfrak{g}-д агуулагдана гэсэн үг. Энэ тохиолдолд нэг элементийн тухай шаардлага илүү зүйл юм. Учир нь хэрэв a нь \mathfrak{g}-ийн дурын элемент бол түүний урвуу a^{-1} нь мөн \mathfrak{g}-д агуулагдана; иймээс тэдгээрийн үржвэр aa^{-1}=e мөн \mathfrak{g}-д байх ёстой. Тэгэхээр дараах теорем батлагдлаа:

Өгөгдсөн \mathfrak{G} бүлгийн хоосон биш дэд олонлог \mathfrak{g} нь дэд бүлэг үүсгэж байхын тулд дараах хоёр нөхцөл биелж байх нь зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй:

1) Олонлог \mathfrak{g} дурын хоёр элементийнхээ хамтаар тэдгээрийн үржвэрийг агуулна;

2) Олонлог \mathfrak{g} элемент бүрийнхээ урвууг агуулна;

Хэрэв \mathfrak{g} олонлог төгсгөлөг бол хоёрдахь шаардлага хэрэггүй болно. Яагаад гэвэл энэ үед бүлгийн 3 ба 4 аксиомуудыг 6 чанараар сольж болох бөгөөд, энэ чанар \mathfrak{G} дээр биелэгдэж байсан бол \mathfrak{g} дээр мөн биелэгдэх нь тодорхой.

Ер нь 1) ба 2) нөхцлүүдийг нэгтгэж болно: \mathfrak{g} олонлог дурын хоёр a ба $\latex b$ элементүүдийнхээ хамтаар ab^{-1} үржвэрийг агуулж байх хэрэгтэй. Тэгвэл \mathfrak{g} нь a-ийн хамтаар aa^{-1}=e нэгжийг, мөн ea^{-1}=a^{-1} урвуу элементийг нь агуулна. Иймээс a ба b-ийн хамтаар b^{-1} элемент, түүнчлэн a(b^{-1})^{-1} үржвэрийг нь агуулна.

Хэрэв (абелийн бүлэгт) бүлгийн харьцаанууд аддитив байдалтай бичигдсэн болдэд бүлэг нь дурын хоёр a, b элементийнхээ a+b нийлбэрийг нь, мөн дурын a элементийнхээ -a эсрэг элементийг агуулж байхаар тодорхойлогдоно.
Өмнө үзсэнчлэн энэ хоёр шаардлагыг нэгтгэж болно: дэд бүлэгт a ба b элемент болгоных нь a-b ялгавар агуулагддаг байх ёстой.

Дэд бүлгүүдийн жишээ. Бүлэг болгон зөвхөн нэгж элементээс тогтох нэгж бүлэг \mathfrak{E}-г дэд бүлэг мэтээр агуулна.

n объектуудын бүх орлуулгын бүлэг болох \mathfrak{S}_n тэгшхэмийн бүлгийн хамгийн чухал дэд бүлэг нь x_1,\ldots,x_n хувьсагчдад хэрэглэхэд

\Delta=\prod_{i<k}(x_i-x_k)

функцийг өөрт нь буулгадаг орлуулгуудаас тогтох тэмдэг солих бүлэг \mathfrak{A}_n юм. Эдгээр орлуулгуудыг тэгш, бусдыг нь сондгой гэж хэлдэг. Сондгой орлуулгууд \Delta функцийн тэмдгийг солино. Транспозиц (ө.х. хоёр цифрийн байрыг солих орлуулга) болгон сондгой орлуулга болно. Хоёр тэгш эсвэл хоёр сондгой орлуулгуудын үржвэр тэгш, тэгш ба сондгой орлуулгуудын үржвэр сондгой орлуулга байна. Эндээс \mathfrak{A}_n нь бүлэг болох нь харагдана. Ямар нэг транспозицоор үржүүлэх үед тэгш орлуулгууд сондгойд, сондгой нь тэгшид хувирах учраас, тэгш ба сондгой орлуулгуудын тоо тэнцүү n!/2 байна.

Тэгшхэмийн бүлэг \mathfrak{S}_n-ийн дэд бүлгүүдийг илэрхийлэхдээ орлуулгыг циклээр төлөөлүүлэх аргыг өргөн ашигладаг.

(p\,q\,r\,s) тэмдгээр pq-д, qr-д, r-ийг s-д, ба s-ийг p-д хувиргадаг, үлдсэн бүх объектуудыг хувиргалгүй хэвээр нь үлдээдэг цикл орлуулгыг тэмдэглэнэ. Ямар ч орлуулга цикл орлуулгуудын буюу циклүүдийн үржвэр

(i\,k\,l\,\ldots)(p\,q\,\ldots)\ldots,

хэлбэрт дурын хоёр цикл нь нэг ч ерөнхий элементгүй байхаар (үржигдэхүүнүүдийн эрэмбийн нарийвчлалтайгаар) нэг утгатай тавигдана гэдгийг үзүүлэхэд амархан. Энэ үржвэр дэх үржигдэхүүнүүдийн байрыг сольж болно. Ганц элементээс тогтсон цикл, жишээ нь (1), адилтгал орлуулгыг төлөөлнө. Мэдээж

(1\,2\,5\,4)=(2\,5\,4\,1) г.м. тэнцэтгэлүүд биелнэ.

Энэ тэмдэглэгээг ашиглан \mathfrak{S}_3 бүлгийн 3!=6 орлуулгыг дараах байдлаар төлөөлүүлж болно:

(1),\,(1\,2),\,(1\,3),\,(2\,3),\,(1\,2\,3),\,(1\,3\,2).

Энэ тохиолдолд бүх дэд бүлгүүд хялбархан тодорхойлогдоно:

\mathfrak{A}_3: (1),\,(1\,2\,3),\,(1\,3\,2);

\mathfrak{S}_1': (1),\,(2\,3); \mathfrak{S}_2': (1),\,(1\,3); \mathfrak{S}_3': (1),\,(1\,2);

\mathfrak{E}: (1).

Ямар нэг \mathfrak{G} бүлгийн дурын a,b,\ldots элементүүдийг авахад эдгээр a,b,\ldots элементүүдийг агуулсан дэд бүлгүүд \mathfrak{G}-д байж болно. Энэ бүх дэд бүлгүүдийн огтлолцол болох бүлгийг \mathfrak{A} гээд, \mathfrak{A} бүлгийг a,b,\ldots элементүүд төрүүлж байна гэж ярьдаг. \mathfrak{A} бүлэг a^{-1}a^{-1}bab^{-1} хэлбэрийн (давтагдсан эсвэл давтагдаагүй төгсгөлөг тоотой үржигдэхүүнүүдэс тогтсон) үржвэрүүдийг эрхбиш агуулна. Ийм үржвэрүүд a,b,\ldots элементүүдийг агуулсан бүлэг үүсгэх учраас энэ бүлэг \mathfrak{A}-г агуулна. Иймээс энэ бүлэг \mathfrak{A}-тай давхцана. Бид дараах теоремыг батлав.

a,b,\ldots элементүүдээр төрөгдсөн бүлэг нь эдгээр элементүүд ба эдгээрийн урвуу элементүүдийн бүх боломжит төгсгөлөг үржвэрүүдээс тогтоно.

Тухайлбал, тусгаар a элемент өөрийн бүх зэргүүдийн a^{\pm n} (мэдээж a^0=e элементийг оролцуулан) бүлгийг төрүүлнэ.

a^na^m=a^{n+m}=a^ma^n учраас энэ бүлэг абелийнх.

Нэг элементийн зэргүүдээс тогтох бүлгийг цикл бүлэг гэж нэрлэдэг.

Үүнд хоёр тохиолдол байж болно. Нэг тохиолдолд нь a^n зэргүүд хоорондоо ялгаатай ба энэ үед цикл бүлэг

\ldots,a^{-2},a^{-1},a^0,a^1,a^2,\ldots

төгсгөлгүй. Нөгөө тохиолдолд нь тэдгээр зэргүүд давтагдана, ө.х.

a^h=a^k,\qquad h>k,

болно. Энэ үед

a^{h-k}=e\qquad (h-k>0).

Энэ тохиолдолд n нь a^n=e байх хамгийн бага эерэг илтгэгч байг. Тэгвэл a^0,a^1,\ldots,a^{n-1} зэргүүд хоорондоо ялгаатай. Учир нь хэрэв

a^h=a^k\qquad (0\leqslant k<h<n),

бол үүнээс

a^{h-k}=e\qquad (0<h-k<n),

болж n тооны сонголттой зөрчилдөнө.

Хэрэв дурын m тоог

m=qn+r\qquad (0\leqslant r<n),

хэлбэрт тавивал

a^{m}=a^{qn+r}=a^{qn}\cdot a^r=(a^n)^qa^r=ea^r=a^r.

Өөрөөр хэлбэл a элементийн бүх зэргүүд a^0,a^1,\ldots,a^{n-1} цуваанд тохиолдох нь байна. Тэгэхээр цикл бүлэг яг n элемент агуулна.

a элементээр төрөгдсөн цикл бүлгийн эрэмбэ n тоог a элементийн эрэмбэ гэдэг. Хэрэв a элементийн бүх зэргүүд ялгаатай бол aтөгсгөлгүй эрэмбэтэй элемент гэнэ.

Жишээнүүд. Бүхэл тоонууд

\ldots,{-2},{-1},0,1,2,\ldots

нэмэх үйлдлийн хувьд төгсгөлгүй цикл бүлэг үүсгэнэ. Дээр дурдсан \mathfrak{S}_i' (i=1,2,3) ба \mathfrak{A}_3 нь 2 ба 3 эрэмбэтэй цикл бүлгүүд юм.

Бодлого 1. Орлуулгуудаас тогтох дурын эрэмбийн цикл бүлэг олдоно.

Бодлого 2. Тэгшхэмийн бүлэг \mathfrak{S}_n нь n>1 үед n-1 транспозицуудаар төрөгдөнө гэдгийг n-ээр индукцлэн батал.

Бодлого 3. Үүнтэй адилаар тэмдэг солих бүлэг \mathfrak{A}_n нь n>2 үед (n-2 ширхэг) (1\,2\,3), (1\,2\,4), \ldots, (1\,2\,n) гурвалсан циклүүдээр төрөгдөнө гэж батал .

Одоо цикл бүлгийн бүх дэд бүлгүүдийг тодорхойлъё. \mathfrak{G} нь a элементээр төрөгдсөн дурын цикл бүлэг, \mathfrak{g} нь нэгээс олон элементтэй дэд бүлэг байг. Хэрэв \mathfrak{g} нь сөрөг илтгэгчтэй a^{-m} элементийг агуулдаг бол түүний урвуу нь \mathfrak{g}-д агуулагдана. \mathfrak{g}-ийн хамгийн бага эерэг илтгэгчтэй элементийг a^m гээд \mathfrak{g} бүлгийн бүх элементүүд нь a^m элементийн зэргүүд байна гэж баталъя. Үнэхээр, хэрэв a^s нь \mathfrak{g}-ийн дурын элемент бол бид дахин

s=qm+r\qquad (0\leqslant r<m),

гэж үзэж болно. Тэгвэл a^s(a^m)^{-q}=a^{s-mq}=a^r нь r<m байх \mathfrak{g}-ийн элемент байна. Одоо m тооны сонголтыг тооцвол r=0 болох ба эндээс s=qm буюу a^s=(a^m)^q болно. Иймд \mathfrak{g} дэд бүлгийн бүх элемент нь a^m элементийн зэргүүд байна.

Хэрэв a элемент төгсгөлөг n эрэмбэтэй бол a^n=e элемент \mathfrak{g}-д орох ёстой учир n нь m-д хуваагддаг байх ёстой: n=qm. Энэ үед дэд бүлэг \mathfrak{g} нь a^m,a^{2m},\ldots,a^{qm}=e элементүүдээс тогтох ба эрэмбэ нь q-тэй тэнцэнэ.
Харин a-ийн эрэмбэ төгсгөлгүй бол дэд бүлэг \mathfrak{g} нь e,a^{\pm m},a^{\pm2m},\ldots элементүүдэс тогтох ба эрэмбэ нь мөн төгсгөлгүй байна. Энд бид дараах теоремийг баталлаа.

Цикл бүлгийн дэд бүлэг мөн цикл байх бөгөөд нэг бол зөвхөн нэгжээс тогтоно, үгүй бол байж болох хамгийн бага эерэг илтгэгч m бүхий a^m элементийн зэргүүдээс тогтоно. Энэ үед төгсгөлгүй цикл бүлгийн хувьд m тоо нь дурын, төгсгөлөг n эрэмбийн цикл бүлгийн хувьд m тоо нь n-ийн хуваагч байх ба энэ тохиолдолд дэд бүлгийн эрэмбэ q=\frac{n}{m} байна. Нөгөө талаас, n-ийн хуваагч m тоо болгоны хувьд \{a^k:k=1,\ldots,n\} бүлэгт \frac{n}{m} эрэмбийн дэд бүлэг цор ганц оршин байх ба энэ нь \{(a^m)^k:k=1,\ldots,\frac{n}{m}\} байна.

Сурталчилгаа
This entry was posted in Алгебр and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

Хариу Үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Та WordPress.com гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Google+ photo

Та Google+ гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Twitter picture

Та Twitter гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Facebook photo

Та Facebook гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Connecting to %s