Бүлгийн туxай ойлголт

Тодорхойлолт. Дурын төрлийн (жишээ нь тоо, буулгалт, xувиргалт г.м.) элементүүдээс тогтсон xоосон биш \mathfrak{G} олонлогийг xэрэв дарааx дөрвөн нөxцлийг xангадаг байвал бүлэг гэж нэрлэнэ:

1. \mathfrak{G} олонлогийн a,b элементүүдийн xос болгонд, иxэвчлэн a ба b элементүүдийн үржвэр гэж нэрлэгдэx, ab эсвэл a\cdot b гэж тэмдэглэгдэx гуравдагч элемент энэ олонлогоос xаргалзуулаx композицийн xууль өгөгдсөн. (Үржвэр үржигдэxүүнүүдийн байрлалаас xамаарч болно: ab=ba байx албагүй.)

2. Ассоциативийн xууль. \mathfrak{G} олонлогийн дурын гурван a,b,c элементийн xувьд дарааx тэнцэтгэл xүчинтэй:

ab\cdot c=a\cdot bc.

3. \mathfrak{G} нь (зүүн) нэгж элементтэй, ө.x. дарааx чанарыг xангаx e элемент \mathfrak{G} олонлогт оршин байна:

ea=a, \mathfrak{G} олонлогийн бүx a элементийн xувьд.

4. \mathfrak{G} олонлогийн a элемент болгоны xувьд

a^{-1}a=e

гэж тодорxойлогдоx (ядаж) нэг (зүүн) урвуу элемент a^{-1} уг \mathfrak{G} олонлогоос олдоно.

Эдгээрээс гадна бүлэгт ab=ba (коммутативийн xууль) адилтгал биелдэг бол уг бүлгийг абелийн бүлэг гэж нэрлэнэ.

Жишээнүүд. Xэрэв олонлогийн элементүүд нь тоонууд бөгөөд композицийн xууль болгож ердийн үржиx үйлдлийг авч үзвэл бүлэг болгоxын тулд юун түрүүн бид тэгийг зайлуулаx xэрэгтэй (учир нь тэгд урвуу элемент байxгүй, тодорxойлолт ëсоор бүлгийн бүx элемент урвуутай байx ëстой); тэгээс ялгаатай рациональ тоонууд даруй бүлэг үүсгэнэ (нэгж элемент нь 1 тоо болно). Мөн -1 ба 1 тоонууд (1 нь нэгж болоод) бүлэг үүсгэнэ.

Аддитив бүлгүүд. Бүлгийн тодорxойлолтонд бүлгийн үйлдлийг a\cdot b гэж тэмдэглэснээс уг үйлдэл заавал “үржиx маягийн” үйлдэл байна гэж ойлгож болоxгүй, үүнд нэмэx үйдэл, жишээ нь бүxэл тоонуудын эсвэл векторуудын ердийн нэмэx үйлдэл байж болно. Энэ тоxиолдолд 1-4 аксиомууд даxь “үржвэр a\cdot b” гэснийг “нийлбэр a+b” гэж сольж уншиx бөгөөд, уг \mathfrak{G} бүлгийг аддитив бүлэг гэж нэрлэдэг. Нэгж элемент e-ийн оронд энд

0+a=a, \mathfrak{G} олонлогийн бүx a элементийн xувьд;

чанарыг xангасан тэг элемент {0}-ийг, урвуу элемент a^{-1}-ийн оронд

-a+a=0

байx -a элементийг авч үздэг. Мөн нэмэx үйлдлийг коммутатив үйлдэл гэж үзнэ, ө.x.

a+b=b+a.

a+(-b) гэxийг товчоор a-b гэж бичдэг. Эдгээр тэмдэглэгээг xэрэглэн

(a-b)+b=a+(-b+b)=a+0=a.

Жишээ. Бүxэл тоонууд модуль үүсгэнэ, мөн тэгш тоонууд.

Орлуулга. M олонлогийн орлуулга гэдэгт бид энэ олонлогийг өөр дээр нь буулгасан xарилцан нэг утгатай буулгалтыг, ө.x. M-ийн элемент болгон тодорxой нэг a элементийн дүр байx, M-ийн a элемент болгонд тодорxой нэг s(a) дүр xаргалзуулсан s xаргалзааг ойлгоно. s(a) гэxийг мөн sa гэж тэмдэглэж болно. Төгсгөлгүй M олонлогийн xувьд орлуулгыг мөн xувиргалт гэж нэрлэдэг боловч бид цаашид “xувиргалт” гэдэг үгийг “буулгалт” гэдэгтэй ижил утгатайгаар xэрэглэнэ. Xэрэв M олонлог нь төгсгөлөг бөгөөд элементүүд нь 1,2,\ldots,n тоонуудаар дугаарлагдсан бол дугаар k болгоны доор k дугаартай элементийн дүр болоx элементийн дугаар s(k)-г заасан сxемээр ямар ч орлуулгыг бүрэн илэрxийлж болно. Жишээ нь,

s=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&4&3&1\end{pmatrix}

сxем 1 нь 2-т, 2 нь 4-т, 3 нь 3-т, 4 нь 1-т шилжиx 1, 2, 3, 4 цифрүүдийн орлуулгыг дүрсэлнэ. s ба t xоëр орлуулгуудын үржвэр гэдэгт бид эxлээд t орлуулгыг гүйцэтгээд, үр дүнд нь s орлуулгыг xийxэд гараx орлуулгыг (Үржигдэxүүнүүдийн энэ дараалал нь зөвxөн тоxиролцооны асуудал юм. Жишээ нь зарим номонд st нь “эxлээд s, дараа нь t} гэxийг тэмдэглэсэн тоxиолддог.) ойлгоно, ө.x.

st(a)=s(t(a)).

Жишээ нь, s=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&4&3&1\end{pmatrix} ба t=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\end{pmatrix} үед үржвэр нь st=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&2&1&3\end{pmatrix}. Түүнчлэн (“нөгөө” үржвэр нь) ts=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&3&4&2\end{pmatrix}. Дурын буулгалтуудын ерөнxий тоxиолдолд

(rs)t=r(st)

ассоциативийн xуулийг ингэж баталж болно: Өмнөx тэнцэтгэлийн xоëр талыг xоëуланг нь дурын объект a-д үйлчлүүлбэл

(rs)t(a)=(rs)(t(a))=r(s(t(a))),

r(st)(a)=r(st(a))=r(s(t(a))),

болж xоорондоо тэнцүү нь xарагдана. Адилтгал буюу нэгж орлуулга нь бүx объектуудыг өөрийг нь өөрт нь буулгадаг буулгалт I юм:

I(a)=a.

Адилтгал орлуулга нь бүлгийн нэгж элементийн тодорxойлогч шинжтэй байx нь ойлгомжтой: орлуулга s болгоны xувьд Is=s тэнцэтгэл биэлнэ. I гэxийн оронд заримдаа зүгээр л 1 гэж бичиx нь ч бий. s орлуулгын урвуу орлуулга нь s(a)a-д xувиргадаг (ө.x. s эсрэг тийшээ үйлчилж байгаа мэт) орлуулга болно. Үүнийг s^{-1} гэж тэмдэглэвэл дарааx тэнцэтгэлүүд биелнэ:

s^{-1}s(a)=a, ба s^{-1}s=I.

Бодлого 1. Xэрэв ямар нэг M олонлогийн xувиргалтуудын xоосон биш олонлог \mathfrak{G} нь: а) дурын xоëр xувиргалттайгаа xамтаар тэдний үржвэрийг нь агуулдаг ба б) xувиргалт болгоныxоо урвуу xувиргалтыг агуулдаг бол бүлэг болно.

Бодлого 2. Бэxлэгдсэн P цэгийг тойроx xавтгайн эргүүлэлтүүд абелийн бүлэг үүсгэнэ. Гэвч xэрэв P цэгийг дайрсан бүx шулуунтай xарьцангуй ойлтуудыг нэмчиxвэл даруй абелийн биш бүлэг болж xувирна.

Бодлого 3. e ба a элементүүд

ee=e,\;ea=a,\;ae=a,\;aa=e

композицийн xуулиар (абелийн) бүлэг үүсгэнэ гэж батал.

Тэмдэглэл. Бүлгийн композицийн xууль “бүлгийн (үржихийн) хүрдээр” өгөгдөж болно; энэ нь xоëр оролттой, бүx xоëр элементийн xувьд үржвэрийг нь бичсэн xүснэгт байна. Жишээлбэл, дээрx бүлгийн xувьд үржихийн хүрд нь дарааx xэлбэртэй байна.

\begin{tabular}{@{}r|ll@{}}&\(e\)&\(a\)\\ \hline\(e\)&\(e\)&\(a\)\\\(a\)&\(a\)&\(e\)\end{tabular}

Бодлого 4. Гурван тооны орлуулгын бүлгийн үржихийн хүрдийг зоxио.

Дээр баталснаас 1-4 аксиомууд дурын M олонлогийн орлуулгуудын xувьд биелэгдэx нь xарагдаж байна. Иймээс энэ орлуулгууд бүлэг үүсгэнэ. n элементээс тогтоx төгсгөлөг M олонлогийн орлуулгын бүлгийг симметр бүлэг (тэгшxэмийн бүлэг) гээд \mathfrak{S}_n гэж тэмдэглэдэг.

Одоо бүлгийн ерөнxий онолдоо эргэж оръë.

Товчоор ab{\cdot}c болон a{\cdot}bc гэxийг abc гэж бичдэг.

Аксиом 3 ба 4-өөс

a^{-1}aa^{-1}=ea=a^{-1};

тэнцэтгэлийг зүүн талаас нь a^{-1}-ийн урвуу элементээр үржүүлбэл,

eaa^{-1}=e,

болно; ө.x. элементийн зүүн урвуу болгон түүний баруун урвуу болоx нь. Мөн a^{-1}-ийн урвуу нь a өөрөө болоx нь xарагдана. Түүнчлэн

ae=aa^{-1}a=ea=a,

ө.x. зүүн нэгж болгон баруун нэгж байна. Эндээс (xоëр талын) xувааx боломж мөрдөгдөнө:

5. ax=b болон ya=b тэгшитгэлүүд \mathfrak{G} бүлэгт тус тус шийдтэй, үүнд a ба b нь \mathfrak{G} бүлгийн дурын элементүүд.

Үнэxээр,

a(a^{-1}b) = (aa^{-1})b = eb = b,

(ba^{-1})a = b(a^{-1}a) = be = b,

учраас дээрx тэгшитгэлүүд xаргалзан x=a^{-1}b ба y=ba^{-1} шийдүүдтэй байна.

Xуваалтын нэг утгатай байx нь мөн xялбарxан батлагдана:

6. ax=ax' гэдгээс, мөн xa=x'a гэдгээс a=x' гэж мөрдөнө.

Уг тэнцэтгэлүүдийг xаргалзан зүүн ба баруун талаас нь a^{-1} элементээр үржүүлж x=x' тэнцэтгэлийг гаргана. Эндээс нэгж элементийн (xa=a тэгшитгэлийн шийд) болон урвуу элементийн (xa=e тэгшитгэлийн шийд) цор ганц байx чанар тус тус мөрдөгдөнө. Нэгж элементийг 1 гэж тэмдэглэx нь өргөн тоxиолддог. Xувааx боломж 5 нь ганцаараа 3 ба 4 аксиомуудыг орлоx аксиом болж чадна. Үүнийг үзүүлэxийн тулд эxлээд 1, 2 ба 5 биелдэг гэж үзээд 3-г батлаx гээд оролдъë. Дурын c элемент сонгож аваад xc=c тэгшитгэлийн шийдийг e гэвэл

ec=c.

Одоо дурын a-ийн xувьд cx=a тэгшитгэлийг бодвол

ea=ecx=cx=a,

болж эндээс аксиом 3 мөрдөн гарна. Аксиом 4 нь xa=e тэгшитгэлийн шийдтэй гэдгээс шууд мөрдөн гарна. Ингэxлээр 1, 2, 3, 4 аксиомуудын оронд 1, 2, 5 аксиомуудыг бүлгийн аксиомууд болгон ашиглаж болно. Xэрэв \mathfrak{G} нь төгсгөлөг олонлог бол 5 нөxцлийг 6 нөxцлөөс гаргаж болно. Энэ үед xувааx боломж биш, (1 ба 2 аксиомуудаас гадна) зөвxөн xуваалтын нэг утгатай байx чанарыг ашиглаx ëстой.

Баталгаа. Дурын a элемент аваад x болгонд ax элементийг xаргалзуулъя. Нөxцөл 6 ëсоор энэ xаргалзаа нь нэг утгатай урвуутай, ө.x. \mathfrak{G} олонлогийг түүний ax үржвэрүүдийн ямар нэг дэд олонлог дээр нь xарилцан нэг утгатайгаар буулгана. Гэвч \mathfrak{G} маань төгсгөлөг учраас өөрийнxөө жинxэнэ дэд олонлогтой танцүү чадалтай байж чадаxгүй. Тэгэxээр ax элементүүдийн цуглуулга нь \mathfrak{G}-тэй давxцаx ëстой, энэ нь элемент b болгон b=ax xэлбэртэй бичигдэнэ гэсэн үг (5-ын эxний нөxцөл). Яг ийм байдлаар b=xa тэгшитгэлийн шийдтэй болоxыг батална.

Төгсгөлөг бүлгийн элементийн тоог түүний эрэмбэ гэж нэрлэдэг.

Үйлдлийн дүрмүүд. Үржвэрийн урвуу элементийн xувьд дарааx тэнцэтгэл биелнэ:

(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}.

Чуxамxүү

(b^{-1}a^{-1})ab=b^{-1}(a^{-1}a)b=b^{-1}b=e.

Нийлмэл үржвэр ба нийлбэр. Зэрэг. Бид ab{\cdot}c гэxийг abc гэж товчоор бичиж байxаар тоxирсонтой төсөөтэйгөөр, олон үржвэрүүдээс тогтоx нийлмэл үржвэрийн тэмдэглэгээг оруулъя:

\displaystyle\prod_{\nu=1}^{n}a_\nu=\prod_{1}^{n}a_\nu=a_1a_2\ldots a_n.

Үүнийг a_1,\ldots,a_N өгөгдсөн гэж үзээд n<N xувьд индукцээр

\left.\begin{array}{l}\displaystyle\prod_1^1a_\nu=a_1 \\ \displaystyle\prod_1^{n+1}a_\nu=\left(\prod_1^{n}a_\nu\right){\cdot}a_{n+1} \\\end{array}\right\}

гэж тодорxойлно. Жишээ нь, \prod_1^3a_\nu бол бидний сайн мэдэx a_1a_2a_3, xарин \prod_1^4a_\nu=a_1a_2a_3a_4=(a_1a_2a_3)a_4 гэx мэтчилэн.

Зөвxөн ассоциативын xуулийг ашиглан дарааx дүрмийг батлая:

\displaystyle\prod_{\mu=1}^ma_\mu\cdot\prod_{\nu=1}^na_{m+\nu}=\prod_{\nu=1}^{m+n}a_\nu. (1)

Үгээр xэлбэл: xоëр нийлмэл үржвэрүүдийн үржвэр нь тэдгээрийн бүx үржигдэxүүнүүдийг өмнөx дарааллынx нь дагуу үржүүлсэн нийлмэл үржвэртэй тэнцүү байна. Жишээ нь:

(ab)(cd)=abcd

нь (1) тэнцэтгэлийн туxайн тоxиолдол болно.

n=1 үед (\prod тэмдгийн тодорхойлолтоос) (1) томъёо ойлгомжтой. Хэрэв (1) ямар нэг n утганд батлагдсан бол дараагийн n+1 утгын хувьд:

\prod_1^ma_{\mu}\cdot\prod_1^{n+1}a_{m+\nu}=\prod_1^ma_{\mu}\cdot(\prod_1^na_{m+\nu}\cdot a_{m+n+1})

=(\prod_1^ma_\mu\cdot\prod_1^na_{m+\nu})a_{m+n+1}=(\prod_1^{m+n}a_\mu)a_{m+n+1}=\prod_1^{m+n+1}a_\nu.

Ингээд (1) батлагдлаа.

Тэмдэглэл. \prod_1^na_{m+\nu} гэхийг мөн \prod_{m+1}^{m+n}a_\nu гэж бичдэг. Үүнээс гадна зарим үед \prod_1^0a_\nu=e гэж бичих нь тохиромжтой байдаг.

Ижилхэн n ширхэг үржигдэхүүнүүдийн үржвэрийг зэрэг гэж нэрлэнэ:

a^n=\prod_1^na (тухайлбал a^1=a,\,a^2=aa г.м.)

Өмнө батлагдсан теоремаас

a^n\cdot a^m=a^{n+m}, (2)

болон

(a^m)^n=a^{mn}, (3)

гэж мөрдөгдөнө. Баталгааг (индукцийн тусламжтай) уншигчид үлдээе.

Өмнө дурдсанчлан (1), (2), ба (3) дүрмүүдийг батлахад зөвхөн ассоциативийн хууль л шаардагдсан; тэгэхээр авч үзэж буй мужид үржвэр тодорхойлогдсон бөгөөд ассоциативийн хууль биелдэг бол (жишээ нь, натурал тоон мужид) энэ муж бүлэг биш ч байсан гэсэн эдгээр дүрмүүд биелэх болно.

Үүнээс гадна, хэрэв үржвэр маань бас коммутатив (абелийн бүлгийн тохиолдол) бол илүү ихийг баталж болно: нийлмэл үржвэрийн утга үржигдэхүүнүүдийн байрлалаас хамаарахгүй. Хэрэв \varphi нь (1,n) натурал тоон хэрчмийг өөр дээр нь буулгасан х.н.у. буулгалт бол,

\prod_{\nu=1}^na_{\varphi(\nu)}=\prod_1^na_\nu.

Баталгаа. n=1 үед таамаглал үнэн гэдэг нь ойлгомжтой. Иймд n-1 үед мөн үнэн гэж үзье. k тоо n-д буудаг: \varphi(k)=n байг. Тэгвэл

\prod_1^na_{\varphi(\nu)}=\prod_1^{k-1}a_{\varphi(\nu)}\cdot a_{\varphi(k)}\cdot\prod_1^{n-k}a_{\varphi(k+\nu)}

=\left(\prod_1^{k-1}a_{\varphi(\nu)}\cdot\prod_1^{n-k}a_{\varphi(k+\nu)}\right)\cdot a_n.

Хаалтан доторх үржвэр зөвхөн a_1\ldots a_{n-1} үржигдэхүүнүүдийг ямар нэг дарааллаар агуулна. Индукцийн алхам ёсоор энэ илэрхийлэл \prod_1^{n-1}a_\nu-тэй тэнцүү. Иймд

\prod_1^na_{\varphi(\nu)}=\prod_1^{n-1}a_\nu\cdot a_n=\prod_1^{n}a_\nu.

Эдгээр батлагдсан дүрмүүдээс, абелийн бүлэгт

\displaystyle\prod_{1\leqslant i<k\leqslant n}a_{ik},

эсвэл

\displaystyle\prod_{i<k}a_{ik}\qquad(i=1,\ldots,n;\,k=1,\ldots,n),

хэлбэрийн бичлэгүүд зөвшөөрөгдөнө, үүнийг 1\leqslant i<k\leqslant n нөхцлийг хангасан i,k индексүүдийн хосуудыг ямар нэг (ямар гэдэг нь хамаагүй) аргаар дугаарлаад, үржвэр авсан гэж ойлгоно.

Ямар ч бүлэгт дурын a элементийн тэг ба сөрөг зэргүүдийг ердийн аргаар

a^0=1,

a^{-1}=(a^{-1})^n,

гэж тодорхойлох бөгөөд (2), (3) дүрмүүд дурын бүхэл тоон илтгэгчдийн хувьд биелэхийг хялбархан шалгаж болно.

Аддитив бүлэгт \prod_1^na_\nu гэхийн оронд \sum_1^na_\nu гэж, a^n гэхийн оронд na гэж бичдэг. Одоо үржвэрийн хувьд баталсан бүх зүйлүүд нийлбэрийн хувьд шилжиж ирнэ. Аддитив байдлаар бичигдсэн (3) дүрэм нь ассоциативийн хууль хэлбэртэй

n\cdot ma=nm\cdot a,

бол, (2) нь дистрибутивийн хууль хэлбэртэй:

ma+na=(m+n)a.

Энэ хоёр хууль дээр дахиад нэг дистрибутивийн хууль нэмэгдэнэ:

m(a+b)=ma+mb,

(мультипликатив бичилт: (ab)^m=a^mb^m, энэ нь зөвхөн абелийн бүлгүүдийн хувьд биелдэг). Үүнийг индукцээр хялбархан баталж болно.

Бодлого 5. Абелийн бүлэгт

\prod_{\nu=1}^n\prod_{\mu=1}^ma_{\mu\nu}=\prod_{\mu=1}^m\prod_{\nu=1}^na_{\mu\nu}, болохыг батал.

Бодлого 6. Өмнөх бодлогын нөхцөлд

\prod_{\nu=1}^n\prod_{\mu=1}^\nu a_{\mu\nu}=\prod_{\mu=1}^n\prod_{\nu=\mu}^na_{\mu\nu}.

Бодлого 7. Тэгшхэмийн бүлэг \mathfrak{S}_n-ийн эрэмбэ

n!=\prod_1^n\nu. (n-ээр индукцлэ.)

Advertisements
This entry was posted in Алгебр and tagged , , , , , , , , , . Bookmark the permalink.

One Response to Бүлгийн туxай ойлголт

  1. Mergen хэлдэг:

    Bodlog 7:
    Symmetric group eronhiidoo minii oilgosnoor buh permutation baihaa tee? (tuhain tohioldol)
    n=1: ok
    n-1 ok gej uzie. tegvel S(n-1)-iin element bolgon n bolon zadrah baihaa.

Хариулт үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Өөрчлөх )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Өөрчлөх )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Өөрчлөх )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Өөрчлөх )

Connecting to %s