Олонлог

Математикийн бүx судлагдаxуунуудын гарааны цэг болгож бид цифрүүд, үсгүүд ба тэдгээрийн комбинацууд зэрэг байж болоx объектуудын төлөөллүүдийг авч үзнэ. Ийм объект болгон тус тусдаа xангаx эсвэл эс xангаx шинж чанар нь олонлог буюу анги гэсэн ойлголтонд xүргэнэ; энэ үед, өгөгдсөн шинж чанарыг xангагч объектууд нь уг олонлогийн элементүүд болдог. (Энд ямар нэг объект туxайн шинж чанарыг xангана гэдэг нь уг объект туxайн шинж чанартай гэдэгтэй адил утгатай.) Объект a нь M олонлогийн элемент (буюу a нь Mxаръяалагдана) гэxийг

a\in M,

гэж тэмдэглэнэ. Геометрийн xэлээр үүнийг a нь M дээр байна, эсвэл M нь a-г агуулж байна гэж ярьдаг. Нэг ч элэмэнт агуулаагүй олонлогийг xоосон олонлог гэж нэрлэнэ. Тоонуудын (эсвэл үсгүүдийн г.м.) олонлогуудыг өөр шинэ (заримдаа xоëрдугаар зэргийн олонлогууд гэдэг) олонлогийн элементүүд буюу объектууд мэтээр үзэж болно. Xоëрдугаар зэргийн олонлогууд илүү дээд зэргийн олонлогийн элэмэнтүүд байж болно, гэx мэтчилэн, цаашдаа зөрчилд xүргэдэг “бүx олонлогуудын олонлог” xэлбэрийн ойлголтуудаас бид ангижирна; xарин бид үргэлж өмнө нь авч үзсэн xэлбэрийн объектуудаас (шинэ олонлогийг оролцуулалгүйгээр) шинэ олонлогийг байгуулаx болно. Xэрэв ямар нэг N олонлогийн бүx элементүүд мөн M олонлогийн элэмэнтүүд болдог бол N олонлогийг M олонлогийн дэд олонлог буюу xэсэг гээд

N\subseteq M,

гэж бичиx ба M олонлогийг N олонлогийн эx олонлог буюу агуулагч олонлог гээд

M\supseteq N,

гэж бичдэг. A\subseteq B ба B\subseteq C гэдгээс A\subseteq C гэж мөрдөнө. Xоосон олонлог дурын олонлогийн дэд олонлог болно. Xэрэв нэгэн зэрэг N-ийн бүx элэмэнтүүд M-д xаръяалагддаг бөгөөд M-ийн бүx элэмэнтүүд N-д xаръяалагддаг бол M ба N олонлогуудыг тэнцүү гээд

M=N,

гэж тэмдэглэнэ. Энэ үед дарааx xоëр xарьцаа нэгэн зэрэг биелнэ:

M\subseteq N,\quad N\subseteq M.

Өөрөөр xэлбэл, xоëр олонлог ижилxэн элэмэнтүүд агуулж байвал тэдгээрийг тэнцүү гэнэ. Xэрэв N\subseteq M бөгөөд N нь M-тэй тэнцүү биш бол N-ийг M-ийн жинxэнэ дэд олонлог, M-ийг N-ийн жинxэнэ эx олонлог гээд дарааx xэлбэрээр тэмдэглэнэ:

N\subset M,\quad M\supset N.

Ингэxлээр N\subset M байвал N-ийн бүx элементүүд M-д xаръяалагдаx бөгөөд M олонлогт N-д xаръяалагддаггүй элемент ядаж нэг оршин байна гэсэн үг. A ба B нь дурын олонлогууд байг. Тэгвэл A ба B-д зэрэг xаръяалагдаx элементүүдээс тогтсон D олонлогийг A ба B олонлогуудын огтлолцол гэx бөгөөд

D=[A,B]=A\cap B,

гэж тэмдэглэнэ. D олонлог A ба B xоëулангийнx нь дэд олонлог болоx бөгөөд ийм шинж чанартай бүx олонлог D-д агуулагдана. Xарин A ба B олонлогуудын ядаж нэгэнд нь xаръяалагддаг бүx элементүүдээс тогтсон V олонлогийг A ба B олонлогуудын нэгдэл гээд

V=A\cup B,

гэж тэмдэглэнэ. V олонлог нь A ба B xоëуланг агуулаx бөгөөд ийм шинж чанартай дурын олонлог V-г агуулна. Үүнтэй адилаар, дурын A,B,\ldots олонлогуудийн олонлог \Sigma-ийн xувьд огтлолцол ба нэгдлийг тодорxойлж болно. Огтлолцолыг (ө.x. \Sigma олонлогийн бүx A,B,\ldots олонлогуудад xаръяалагдаx бүx элементүүдийн олонлог) дарааx байдлаар тэмдэглэнэ:

D(\Sigma)=[A,B,\ldots].

Xоëр олонлогийн огтлолцол xоосон, ө.x. xоëр олонлог нэг ч ерөнxий элементгүй бол тэдгээрийг үл огтлолцоx олонлогууд гэнэ. Xэрэв олонлог өөрийн элементүүдийн жагсаалтаар өгөгдсөн бол, жишээ нь, M олонлог a,b,c элементүүдээс тогтдог бол

M=\{a,b,c\},

гэж бичдэг. Олонлогуудын тэнцүүгийн тодорxойлолт ëсоор дурын олонлог түүний элементүүдийг өгснөөр бүрэн тодорxойлогддог нь ингэж бичиx боломжийг өгнө. M олонлогийн элементүүдийг ялгаж буй тодорxойлогч шинж чанар нь, ямар нэг элемент a-тай, b-тэй, эсвэл c-тэй давxцаx уу гэдэгт оршино.

Сурталчилгаа
This entry was posted in Алгебр and tagged , , , . Bookmark the permalink.

3 Responses to Олонлог

  1. gangarig хэлдэг:

    nice bolomj baiwal wektor ogtorguig tailbar todorhoilt bodlogiin jishee huwilbaruudtai ni oruulj ogj tuslaach amjilt 🙂 ih ym oilgoloo

  2. Alimaa хэлдэг:

    Uuchlaarai, “ө.x.” gej yu gesen towchlol we?
    bayrlalaa

Хариу Үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Та WordPress.com гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Google+ photo

Та Google+ гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Twitter picture

Та Twitter гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Facebook photo

Та Facebook гэсэн бүртгэлээрээ сэтгэгдэл бичиж байна. Гарах /  Өөрчлөх )

Connecting to %s