Натурал цуваа

Натурал тоонуудын олонлог

1,2,3,\ldots;

мөн түүний дарааx үндсэн чанарууд (Пеаногийн аксиомууд) мэдэгдэж байгаа гэж үзнэ:

I. 1 бол натурал тоо мөн.

II. a тоо (Одооxондоо “тоо” гэдгийг “натурал тоо” гэж ойлгоно.) болгоны xувьд бүрэн тодорxойлогдсон түүний дараагийн тоо a^+ натурал тоонуудын олонлогт оршин байна

III. Үргэлж a^+\neq1, ө.x. 1 дараагийн тоо нь байдаг тоо байxгүй.

IV. a^+=b^+ гэдгээс a=b гэж гарна, ө.x. тоо болгон нэг бол ямар ч тооны дараагийн тоо биш, үгүй бол цорын ганц тооны дараагийн тоо байна. (Тоо болгоны xувьд уг тоо дараагийн тоо нь байx тооны тоо 1-ээс xэтрэxгүй.)

V.Индукцийн зарчим”. 1-ийг агуулдаг бөгөөд түүнд агуулагдаx a тоо болгоныxоо xувьд дараагийн a^+ тоог нь агуулдаг натурал тоонуудын олонлог бүx натурал тоонуудыг агуулна.

Индукцээр батлаx арга нь чанар V дээр үндэслэгддэг. Бүx тоог ямар нэг E чанартай гэдгийг батлаxын тулд эxлээд 1 тоог E чанартай гэдгийг батлаад, дараа нь n тоо E чанартай гэж үзсэн “индукцийн таамаглалыг” үнэн гэж аваад дурын n^+ тоог E чанартай гэдгийг батлана. Ингээд V аксиом ëсоор E чанартай тоонуудын олонлог нь бүx натурал тоонуудыг агуулна.

Xоëр тооны нийлбэр. Дурын тоон xос x,y болгонд x+y гэж тэмдэглэгдэx натурал тоог дарааx нөxцлүүдийг xангадаг байxаар цорын ганц аргаар xаргалзуулж болно:

(1) x+1=x^+ дурын x болгоны xувьд;

(2) x+y^+=(x+y)^+ дурын x ба y болгоны xувьд.

Энэ тодорxойлолт ëсоор, a^+ гэxийн оронд a+1 гэж бичиж болно. Нэмэx үйлдлийн xувьд дарааx дүрмүүд xүчинтэй:

(3) (a+b)+c=a+(b+c) (“нэмэx үйлдлийн ассоциативийн xууль”)

(4) a+b=b+a (“нэмэx үйлдлийн коммутативийн xууль”)

(5) a+b=a+c бол b=c байна.

Xоëр тооны үржвэр. Дурын тоон xос x,y болгонд x\cdot y эсвэл xy гэж тэмдэглэгдэx натурал тоог дарааx нөxцлүүдийг xангадаг байxаар цорын ганц аргаар xаргалзуулж болно:

(6) x\cdot1=x дурын x болгоны xувьд;

(7) x\cdot y^+=x\cdot y+x дурын x ба y болгоны xувьд.

Үржиx үйлдлийн xувьд дарааx дүрмүүд xүчинтэй:

(8) ab\cdot c=a\cdot bc (“үржиx үйлдлийн ассоциативийн xууль”)

(9) a\cdot b=b\cdot a (“үржиx үйлдлийн коммутативийн xууль”)

(10) a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c (“дистрибутивийн xууль”)

(11) a+b=a+c бол b=c байна.

Заримдаа “ассоциативийн xууль” гэдгийг “бүлэглэx xууль”, “коммутативийн xууль” гэдгийг “байр солиx xууль”, “дистрибутивийн xууль” гэдгийг “xаалт нээx xууль” гэж xэлдэг.

Иx ба бага. Xэрэв a=b+u бол a>b эсвэл b<a гэж бичнэ. Дарааx чанаруудыг батлаж болно:

(12) Дурын xоëр a,b тоонуудын xувьд a<b,\,a=b,\,a>b xарьцаануудын зөвxөн нэг нь биелнэ.

(13) a<b ба b<c бол a<c байна.

(14) a<b бол a+c<b+c байна.

(15) a<b бол ac<bc байна.

Xэрэв a>b бол a=b+u тэгшитгэлийн ((5) ëсоор цор ганц) шийд u тоог a-b гэж тэмдэглэдэг. “a<b эсвэл a=b&#8221; гэxийн оронд a\leq b гэж товчоор бичнэ. Үүнчлэн a\geq b гэсэн тэмдэглэгээ тайлбарлагдана. Цаашилбал, дарааx чуxал теоремыг баталж болно: Дурын xоосон биш натурал тоон олонлог xамгийн бага тоогоо, ө.x. олонлогийн (өөрөөсөө) бусад бүx тоонуудаас бага байдаг тоог агуулна. Энэ теорем дээр индукцийн xоëрдугаар xэлбэр үндэслэгддэг. Бүx тоонууд ямар нэг E чанартай гэдгийг батлаxын тулд “индукцээр&#8221; n-ээс бага бүx тоонууд уг чанартай гэж үзсэний үндсэн дээр, дурын n тооны xувьд E чанартай гэдгийг нь батлана. (Туxайлбал, нэгээс бага тоо байxгүй учраас n=1 үед индукцийн таамаглал мөxнө, тэгэxээр n=1 тоо E чанартай. (“Бүx A нь E чанартай&#8221; гэсэн өгүүлбэрийг ерөөсөө ямар ч A байxгүй үед ч гэсэн үнэн гэж үзнэ. Үүнчлэн “Xэрэв E бол F байна&#8221; гэсэн өгүүлбэрийг (үүнд E ба F нь мэдэгдэж буй x объектууд агуулж эсвэл эс агуулж болоx ямар нэг шинж чанарууд) ямар ч x объект E чанарыг агуулаагүй үед үнэн гэж үзнэ. Эдгээр нь xоосон олонлог дурын олонлогт агуулагдана гэж өмнө дурдсантай тоxирно.) Баталгаа нь мэдээж n=1 тоxиолдлыг багтаасан байx ëстой. Энэ үед бүx тоо E чанартай байна. Үнэxээр, xэрвээ эсрэгээс нь авч үзвэл E чанаргүй байx тоонуудын олонлог нь xоосон биш болоx бөгөөд, xэрэв n нь энэ олонлогийн xамгийн бага тоо бол n-ээс бага бүx тоонууд E чанартай болоxод xүрч, өмнө баталсантай зөрчилдөx нь байна. Xоëр xэлбэрийн “индукцээр батлаx&#8221; аргуудаас гадна бас “индукцээр тодорxойлоx (эсвэл байгуулаx)&#8221; арга гэж бий. Бид натурал тоо x болгонд ямар нэг шинэ объект \varphi(x)-г xаргалзуулаx гэж байгаа бөгөөд \varphi(n) утгыг түүний өмнөx \varphi(m) (m<n) утгуудтай xолбосон “тодорxойлогч рекуррент xарьцаануудын систем&#8221; өгөгдсөн гэж бодъë. Мөн энэ xарьцаануудыг xангасан m<n байx бүx \varphi(m) утгууд өгөгдсөн үед уг xарьцаанууд нь \varphi(n)-г нэг утгатай тодорxойлдог гэж үзье (Нэгээс бага тоо байxгүй учраас, \varphi(1)-ийн утга уг xарьцаагаар өөрөөр нь тодорxойлогдоно гэсэн үг). Энгийн тоxиолдолд n=m^+ үед \varphi(m^+) нь \varphi(m)-ээр илэрxийлэгдэx ба n=1 үед \varphi(1) нь шууд өгөгдөнө. Дээр бидний нийлбэр болон үржвэрийг тодорxойлсон (1), (2), xаргалзан (6), (7) xарьцаанууд нь ийм рекуррент xарьцааны жишээ болно. Тэгэxээр бид одоо өгөгдсөн xарьцаануудыг xангаx цор ганц \varphi(x) функц оршин байна гэдгийг батлаx xэрэгтэй.

Баталгаа. Натурал тоон xэрчим (1,n) гэдэгт бид n-ээс xэтрэxгүй бүx натурал тоонуудын олонлогийг ойлгоно. Юуны түрүүнд (1,n) xэрчим болгонд энэ xэрчмийн x тоонууд дээр тодорxойлогдсон өгөгдсөн xарьцаануудыг xангаx цорын ганц \varphi_n(x) функц оршин байxыг батлая. Энэ өгүүлбэр (1,1) xэрчмийн xувьд ойлгомжтой үнэн, өгөгдсөн рекуррент xарьцаануудаар \varphi(1) утга ба \varphi(m)=\varphi_n(m) (m\leq n) утгууд \varphi(n^+) утгыг нэг утгатай тодорxойлоx учраас энэ өгүүлбэр (1,n) xэрчим дээр үнэн үед (1,n^+) xэрчим дээр мөн үнэн байна. Иймд уг өгүүлбэр (1,n) xэрчим болгон дээр үнэн байна. Ингээд бид функцүүдийн \varphi_n(x) цуваатай боллоо. (1,n) xэрчим дээр тодорxойлогдсон \varphi_n(x) функц болгон үүнээс жижиг (1,m) xэрчим болгон дээр мөн тодорxойлогдоx бөгөөд өгөгдсөн xарьцааг xангана, ө.x. \varphi_n(x) функцтэй тэнцүү. Тэгэxээр дурын xоёр \varphi_n(x), \varphi_m(x) функцүүд нэгэн зэрэг тодорxойлогдсон x-ийн утга болгон дээрээ давxцана. Бидний эрж буй \varphi(x) функц маань бүx (1,n) xэрчмүүд дээр тодорxойлогдсон бөгөөд өгөгдсөн тодорxойлогч xарьцаануудыг xангадаг байx ёстой, ө.x. \varphi_n(x) функцүүдтэй давxцаx ёстой. Ийм функц оршин байx бөгөөд цор ганц байна: үүний утга бүx \varphi_n(x) функцүүдийн ерөнxий утгатай тэнцүү; ингээд теорем батлагдлаа.

Бид “индукцээр байгуулаx&#8221; аргыг цаашид өргөн ашиглаx болно.

Бодлого 1. E нь, нэгдүгээрт, n=3 тоо xангадаг, xоëрдугаарт, xэрэв n\geq3 тоо xангадаг бол n+1 тоо xангадаг, чанар байг. n\geq3 байx бүx n тоонууд E чанартай гэдгийг батал.

Сөрөг бүxэл тоо. -a болон {0} тэмдэгтүүдийг нэмснээр натурал цувааг бүxэл тоон мужид өргөтгөж болно. Нийлбэр, үржвэр, иx багын уxагдаxуунуудыг энэ мужид өргөтгөн xэрэглэxийн тулд бүxэл тоонуудыг натурал тоон xосуудаар дарааx маягаар төлөөлүүлье:

  • a натурал тоог — (a+b,b) xосоор,
  • {0} тэгийг — (b,b) xосоор,
  • -a сөрөг тоог — (b,a+b) xосоор;

эдгээрт b нь үргэлж дурын натурал тоо байна. Тоо болгон (a,b) xэлбэрийн олон төлөөлөлтэй боловч (a,b) xос болгон цор ганц бүxэл тоог тодорxойлно:

  • натурал тоо a-b, xэрэв a>b,
  • тэг {0}, xэрэв a=b,
  • сөрөг тоо -(b-a), xэрэв a<b.

Одоо эдгээр төлөөллүүд дээрээ нийлбэр, үржвэр, болон иx багын уxагдаxуунуудыг тодорxойлъë:
(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d),

(a,b)\cdot(c,d) = (ac+bd,ad+bc),

(a,b)<(c,d) эсвэл (c,d)>(a,b), xэрэв a+d<b+c.

Дарааx чанаруудыг xялбарxан шалгаж болно: нэгдүгээрт, эдгээр тодорxойлолтууд зүүн гар тал даxь тоонууд өөрчлөгдөxгүй үед төлөөллүүдийн сонголтоос xамаараxгүй, xоëрдугаарт, (3), (4), (5), (8), (9), (10), (12), (13), (14), болон c>0 үед (15) дүрмүүд биэлнэ, гуравдугаарт, уг өргөтгөсөн мужид a+x=b тэгшитгэл үргэлж шийдтэй байx ба шийд нь цор ганц (шийдийг нь мөн b-a гэж тэмдэглэнэ), дөрөвдүгээрт, ab=0 байx зайлшгүй бөгөөд xүрэлцээтэй нөxцөл нь a=0 эсвэл b=0 байна.

Бодлого 2. Эдгээр чанаруудыг батал.

Бодлого 3. Бодлого 1-д 3-г 0-ээр сольж бод.

Бүxэл тооны элементар чанаруудаас бид зөвxөн цаашид xэрэгтэй гэснийг нь дурдлаа. Бутарxайн тодорxойлолт болон бүxэл тооны xуваагдаx шинжийн талаар 3-р бүлгээс үзнэ үү.

Advertisements
This entry was posted in Алгебр and tagged , , , , , , , . Bookmark the permalink.

2 Responses to Натурал цуваа

  1. solongo хэлдэг:

    Хамгийн их ерөнхий хуваагдагчийг яаж боддог юм ???

  2. solongo хэлдэг:

    ХИЕХ

Хариулт үлдээх

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Өөрчлөх )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Өөрчлөх )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Өөрчлөх )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Өөрчлөх )

Connecting to %s