Оддын байрлал

Одон орон сонирхож эхэлж буй хүмүүст зориулаад дор үзүүлсэн шиг оддын зурган дээрх тоонууд нь ямар учиртай юм бэ, зургийг бодит тэнгэртэй яаж холбох вэ гэдэг талаар ойлголт өгөх гэж оролдъё.

Долоон бурхан

Дэлхийн газрын зурагт уртраг, өргөрөг ашигладаг шиг оддын зураг дээр одны байрлалыг бас хоёр тоогоор илэрхийлдэг. Энэ зураг дээр бол хамгийн өргөн хэрэглэгддэг «экваторын координатын систем» гэгчийг ашигласан байна. Үүнд хэвтээ чиглэл дэх тоог нь «цэх мандал» гэдэг бөгөөд 0-оос эхлээд 360˚ хүртэл баруунаас зүүн тийшээ тэнгэрийг бүтэн тойрдог. Цэх мандлыг бас цаг, минут, секундээр илэрхийлдэг (тэгвэл 360˚= 24 цаг буюу 1 цаг = 15˚гэж үзнэ). Хүн таван одны W үсэгний хамгийн баруун талын од ойролцоогоор 0 дээр байгаа. Тэгээд Мичид 57˚ (4 цаг) орчимд, Марал 82˚ (5 цаг 30 мин) орчимд, Долоон бурхны шанаганы толгой 165˚ (11 цаг) орчимд, шанаганы бариулынх нь үзүүр 210˚ (14 цаг) орчимд байна.

Аполлон-11 хөлгийнхний авч явсан оддын зураг

Зураг дээр хойшоо урагшаа байрлалыг заасан тоог нь «хазайлт» гэж нэрлэдэг ба «тэнгэрийн экватороос» эхлээд хойшоо урагшаа градусаар тоолдог. «Тэнгэрийн экватор» гэдэг нь дэлхийн экваторын хаа нэгтээгээс харахад яг орой дээр харагдах однуудыг агуулна. Тэгэхээр жишээ нь Алтан гадас одны хазайлт 90˚ орчим, Долоон бурхных 60˚ хавьцаа байна. Түүнчлэн Мичид 24˚ орчимд, Марал 0˚ орчимд байрладаг. Харин Хөхдэй мэргэн одны хазайлт –16° байдаг нь энэ од тэнгэрийн экватороос урагшаа байрлана гэсэн үг. Манай орны хувьд бол газарзүйн өргөрөг нь 45˚ орчим байдаг учраас тэнгэрийн экватор яаж харагдах вэ гэвэл, тэнгэрийн зүүн хаяанаас эхлээд баруун хаяа руу орсон, хамгийн өндөр цэг нь газраас 45˚ өнцгийн өндөрт байрлах тэнгэр дээрх хагас тойрог болж харагдана.

Тэнгэрийн экватор нь дэлхийн экватор дээр зогсож байгаа хүмүүс чанх дээшээ харахад харагдах оддыг агуулна.

Оддын хувьд бол цэх мандал, хазайлтаар илэрхийлсэн тэнгэр дэх координат нь маш удаан өөрчлөгддөг. Ер нь оддын тэнгэр дэх харилцан байрлал өөрчлөгдөхгүй тогтмол байдаг гээд бодчиход нэг их буруудахгүй. Тэнгэрийн бөмбөлөг ододтойгоо цуг бүхлээрээ зүүнээс баруун тийш, хоногт нэг бүтэн эргэнэ. Өөрөөр хэлбэл өдрийн гэрлээс болоод одот тэнгэр биднээс үе үе халхлагддаг л болохоос хоёр туйлын ойролцоох однуудаас бусад бүх од нар шиг мандаж жаргаж байдаг. Энэ мэдээж дэлхийн хоногийн эргэлттэй холбоотой. Харин ямар од хэзээ мандах вэ гэдэг нь улирлаас хамаарна. Энэ нь дэлхийн нарыг тойрч байгаа хөдөлгөөнтэй холбоотой.

Одод тэнгэрт хэр удаан үзэгдэх нь хазайлтаасаа хамаараад өөр өөр байдаг. Яагаад ингэдгийг нь дэлхийн хойд хагаст байгаа ажиглагчийн хувьд зургаар тайлбарлав.

Одны тэнгэр дэх байрлал улирлаас яаж хамаарахыг багцаалдахад маш амархан. Үүнд одны цэх мандал дээр 12 цагийг нэмбэл хавар өдөр шөнө тэнцэх үеэр тэр од хэзээ яг орой дээр (ө.х. хамгийн өндөр цэгтээ) ирэхийг заана. Жишээлбэл, Долоон бурхны цэх мандал 12 цаг орчим учраас хавар 3 сарын 20-доор Долоон бурхан яг орой дээр шөнө дунд ирнэ гэсэн үг. Харин Маралын цэх мандал 5:30 цаг болохоор оройн 17:30-ын үед орой дээр ирнэ. Энэ үед нар хараахан жаргаагүй байх болохоор од харагдахгүй. Тэгэхээр харанхуй болсны дараа Марал тэнгэрийн баруун хэсэгт харагдаад хэсэг хугацааны дараа жаргах юм.

Бусад улирлын хувьд бол тухайн нэг одны орой дээр ирэх мөч 1 сард 2 цагаар урагшилна (эрт болно). Жишээлбэл 4 сарын 20-доор Долоон бурхан орой дээр 10 цагийн үед ирнэ. Харин Марал өдрийн 3:30-ын үед орой дээр ирэх болохоор нар жаргасны дараа харагдах хугацаа нь улам улам багассаар сүүлдээ шөнө огт харагдахаа болих ба сар орчмын дараа өглөө үүрээр нар гарахын өмнө зүүн талаас манддаг болох юм. Тодруулбал 6 сарын дундуур Марал өдрийн 12 цагийн үед орой дээр ирнэ. Энэ мөчид нар бас яг орой дээр байх болохоор орой нь Марал нартай хамт жаргаад тэр өдөртөө харагдахгүй өнгөрнө. Үүний өмнөхөн, жишээ нь 6 сарын эхээр Марал нарнаас 1 цагийн дараа жаргах учир орой маш богинохон хугацаанд үзэгдэнэ. Харин 7 сарын эхээр нарнаас 1 цагийн өмнө мандах бөгөөд үүрээр зүүн зүгт гялс харагдаад өнгөрнө гэсэн үг. Ингээд намар өдөр шөнө тэнцэх үеэр одны цэх мандал нь тухайн од хэзээ орой дээр ирэхийг шууд зааж өгнө. Энэ нь цэх мандлын тэгийг анхнаасаа ингэж тааруулснаас болж байгаа хэрэг.

Posted in Одон орон | Tagged , | Сэтгэгдэл бичих

Тэнгэр дэх сарны хөдөлгөөн

Нэг сарын урт, эсвэл «битүүнээс битүүний хоорондох» хугацаа дунджаар ≈29.53 хоног байдаг гэж та сонссон байх. Энэ яг юу гэсэн үг юм бэ? Шинийн сарнаас эхлээд нар сарны харилцан байрлал орой нар жаргах үед ямар байх нь вэ гэдгийг ажиглаад явах юм бол өдөр ирэх бүр сар зүүн тийшээ шилжээд, гэрэлтэй хэсэг нь улам томроод (ө.х. «арвижаад») байхыг харж болно. Ингэсээр сар дугариг болох үед нар баруун талд жаргах, сар зүүн талаас гарах хоёр бараг зэрэгцэж ирнэ. Үүний дараа нар жаргах үед сар харагдахгүй, харин нилээд хойно зүүн талаас гардаг болох бөгөөд хэмжээ нь багасаж (ө.х. «хомсдож») эхэлнэ. Эцэстээ үүр цайхын өмнөхөн нарийхан хавирган сар гарч ирээд мандах нарны гэрэлд алга болдог болно.

Гурван өдрийн турш нар жаргах үед сарыг ажиглавал байрлал ба хэлбэр нь хэрхэн өөрчлөгдөж болохыг үзүүлэв. Ногоон шугам нь «шар зам» буюу нарны явах зам.

Тэгэхээр нарыг тэнгэрт хөдөлгөөнгүй байна гэж төсөөлбөл, газар дээрээс харахад сар дэлхийг баруунаас зүүн тийшээ тойрон эргэлдэж байдаг гэсэн үг. Ингэж яг нэг бүтэн тойроод ирэх хугацааг нь бид «билгийн сар» эсвэл зүгээр «сар» гээд байгаа юм. Нийт 360° өнцгийг сар ≈29.53 хоногт тойрч байна гэхээр хоногт 12.19° өнцгөөр, цагт ойролцоогоор 0.5° өнцгөөр шилжинэ. Сар нарыг дайрч өнгөрөхдөө ихэнх тохиолдолд яг урдуур нь ордоггүй (тэгвэл нар хиртэлт болно), гэхдээ маш ойрхон зөрж өнгөрдөг. Яагаад яг урдуур нь орох тохиолдол цөөхөн байдаг юм бэ гэвэл сарны тойрог замын хавтгай дэлхийн тойрог замын хавтгайтай дахцдаггүй, 5° орчим өнцөг үүсгэж байрладаг учраас тэр. Ингээд нар сар хоёр хоорондоо хамгийн ойртож ирэх мөчийг «сар битүүрэх» гэх бөгөөд энэ мөчөөс 0° гээд тоолбол сарны байрлал 90° дээр ирэхэд тал сар, 180° дээр ирэхэд тэргэл сар тохиох гэх мэтчилэн явна. Байрлал заасан энэ өнцгийг нар сарны хоорондох өнцөг гээд бодчиход нэг их алдахгүй.

Өнөөдөр оройн яг 6 цагт сар битүүрэх мөч тохиожээ гэе. Тэгвэл 10 өдрийн дараа оройн 6 цагт нар сарны хоорондох өнцөг 10 · 12.19° = 121.9° орчим байх уу? Энэ тоо сайн багцаа өгөх боловч сарны хөдлөх хурд яг нэг жигд байдаггүй, заримдаа хойрголоод, заримдаа «авч давхичих гээд» байж мэдэх болохоор бодит байдлаас жаахан зөрнө. Үүнийг хүмүүс эртнээс мэддэг байсан бөгөөд дээр бидний 121.9° гэж гаргадаг шиг сарыг жигд хурдтай гэж бодож нэг суурь хариу гаргаад, түүн дээрээ бага зэрэг засвар хийх замаар сарны байрлалыг тооцдог. Энэ засвар нь ойрын үед ямар байх вэ гэдгийг дорх зурагт үзүүлэв.

Хэвтээ тэнхлэг дээр 0 нь 2017 оны 1 сарын 1-нд харгалзах ба үүнээс хойш 500 хоног явж байгаа. Хөх график нь сарыг жигд хурдтай гэж бодсон дунджаас бодит байрлал нь хэр зэрэг хазайх вэ гэдгийг градусаар илэрхийлнэ. Улаан график нь шинэ сарнаас тэргэл сар хүртэлх хугацаанд 1, тэргэл сарнаас битүүн хүртэлх хугацаанд 0 утгатай байгаа. Доод талынх нь хар цагаан алагласан зурвасны хувьд бол улаан шугамтай харьцуулаад харвал ямар учиртай юм бэ гэдэг нь ойлгомжтой болно. Улаан (эсвэл хар цагаан) графикийн үе нь дунджаар ≈29.53 хоног байгаа.

Жишээлбэл, 58 дахь хоног дээр улаан шугам «огцом дээшилж» байгаа нь энэ жилийн цагаан сарын шинийн нэгэнд харгалзана. Яг одоо (3 сарын 20-нд) бид 80 дахь хоног орчимд явж байгаа гээд харвал сарны байрлал дунджаасаа –5°-аар зөрнө гэж гарна. Цагаан сараас хойш 21 өдөр өнгөрөөд байгаа тул сарны дундаж байрлал нь 21 · 12.19° ≈ 256° орчим байх ёстой. Тэгэхээр нар сарны хоорондох өнцөг өнөөдөр 256° – 5° = 251° орчим гэж гарна. Сүүлийн алхам бол үнэндээ тооцооны зарчмыг нь л тайлбарлах зорилготой болохоос практикт ямар ч ач холбогдолгүй алхам. Сар нэг хоногт 12.19° явах учраас яг цагийн нарийвчлалтай л тооцоо хийх гээгүй бол 5°-ыг нэмнэ үү хасна уу нэг их нөлөө үзүүлэхгүй. Өөрөөр хэлбэл битүүний яг хэдэн цагт сар битүүрснийг, эсвэл өнөө өглөө 5 цагт сарны байрлал яг ямар байсныг мэдэж байж тооцооны нарийвчлал 5° руу орж ирнэ гэсэн үг.

Зураг дээрээс сарны байрлал дундаж утгаасаа хамгийн ихдээ 8°-аар зөрж болох нь харагдаж байна. Хөх муруйг харахад хоёр гол зүй тогтол ажиглагдана. Нэгдүгээрт, ≈27.5 хоногийн үетэй нэг хурдан хэлбэлзэл байна (Зураг дээр жишээ нь 30 дахь өдрөөс 140 дэх өдрийн хооронд 4 ширхэг хэлбэлзэл явж байгааг ажигла). Үүнийг «сарны нэгдүгээр аномаль» гэдэг бөгөөд цаад шалтгаан нь сар дэлхийг тойрохдоо эллипсээр тойрдогтой холбоотой. Тэгэхээр сар дэлхийд нэг ойртож ирээд буцаж холдоод дахиад нэг ойртож ирэх (ө.х. перигейгээс перигейн) хооронд ≈27.5 хоног байдаг гэсэн үг. Зураг дээрээс, энэ хурдан хэлбэлзлийн далайц нь өөрөө барагцаагаар ≈200 хоногийн үетэйгээр «лугшиж» байгааг ажиглаж болно. «Сарны хоёрдугаар аномаль» гэгддэг энэ лугшилт нь сарны тойрог замд нарны үзүүлэх нөлөөтэй холбоотой. Дээрх хоёроос гадна сарыг дундаж хөдөлгөөнөөс нь хазайлгах гэсэн олон үйлчлэл байдаг ч тэдгээр нь бүгд нийлээд 1°-аас бага зөрөө өгдөг. Үүнтэй харьцуулбал хоёрдугаар аномаль 2° орчим зөрөө өгдөг. Тэгэхээр зөвхөн нэгдүгээр аномалийг тооцоод бусдыг нь тооцохгүй байсан ч алдаа нь 3°-аас хэтрэхгүй.

Энэ засварыг Төвд-Монгол календарьт яаж тооцдогийг дээрх зурагт үзүүлэв. Хөх график нь өмнөх зурагтай адилаар сарыг жигд хурдтай гэж бодсон дунджаас бодит байрлал нь хэр зэрэг хазайх вэ гэдгийг градусаар илэрхийлнэ. Улаан график нь энэ хазайлтыг Төвд-Монгол календарьт яаж тооцдог вэ гэдгийг харуулна. Эндээс Төвд-Монгол календарьт сарны нэгдүгээр аномалийг тооцдог боловч хоёрдугаар аномалийг тооцолгүй орхидог болох нь харагдаж байгаа байх. Үүнчлэн Төвд-Монгол календарьт сарны байрлалыг тооцдог аргачлал ихэнх үед бараг алдаа гаргахгүй бөгөөд хааяа нэг үсрээд 3°-ын алдаа өгч болно.

Posted in Одон орон, цаг тоолол | Tagged , , | Сэтгэгдэл бичих

Цагаан сарын аажим шилжилт

Төгсбуянтын тооллын цагаан сар жилээс жилд хэзээ болж байсан, ирээдүйд хэзээ болох вэ, ерөнхийдөө хойшилж эсвэл урагшилж байгаа юу гэдэг асуудлыг сонирхоё. Дорх зурагт 1900–2024 оны хоорондох цагаан сарын шинийн нэгэн аргын тооллоор ямар өдөр тохиохыг үзүүлэв.

1900–2024 оны хоорондох цагаан сарын шинийн нэгэн

Энд хэд хэдэн ойролцоо зүй тогтол шууд ажиглагдаж байгаа. Нэгдүгээрт, өнгөрсөн жил илүү саргүй жил байсан бол цагаан сар өнгөрсөн жилийнхээс 11 хоног орчмоор эрт болно. Харин илүү сартай байсан бол 19 орчим хоногоор хойшилно. Энэ мэдээж сарны үечлэл (буюу хоёр битүү сарны хоорондох хугацаа) ≈29.530588 хоног учраас 12 билгийн сар 29.53 · 12 ≈ 354 хоног, харин 13 билгийн сар 29.53 · 13 ≈ 384 хоногийн урттай байдагтай холбоотой. Цаашилбал, ихэнх тохиолдолд 3 жил тутамд нэг илүү сар орж байгаа. Ийм үед билгийн тооллоор 3 жил нь 29.53 · (12+13+12) ≈ 1092.6 хоног, харин аргын тооллоор 1095 эсвэл 1096 хоног. Тэгэхээр дунд нь 2 илүү сар орчихгүй л бол 3 жил болоод цагаан сар 2–4 өдрийн өмнөх байрлалд «буцаж ирнэ» гэсэн үг. График дээр энэ нь зүүн дээрээс үл ялиг баруун доошоо чиглэсэн, хар цэгүүдийг холбосон шулуунууд болж харагдана. Ингэж явж байгаад хэт эрт болох гээд ирэнгүүт нь 2 илүү сар оруулаад бүр «дээш нь шидчихнэ».

Өөр нэг ойролцоо зүй тогтол ажиглагдаж байгаа нь 5 жил тутамд цагаан сар ойролцоогоор 5 хоногоор хойшилж байгаа. График дээр энэ нь зүүн доороос баруун тээшээ чиглэсэн, хар цэгүүдийг холбосон шулуунууд болж харагдана. Ийм үед дунд нь дандаа 2 илүү сар орж байгаа. Өмнөх маягаар тооцоо хийвэл ийм билгийн 5 жил 29.53 · (12+13+12+13+12) ≈ 1831 хоногийн урттай, харин аргын 5 жил 1826 юм уу 1827 хоногийн урттай байна. Эндээс шууд 4 юм уу 5 хоногоор хойшлох нь харагдаж байгаа. Ингэж хойшлуулж байгаад хэт хойшлоод ирэнгүүт нь 5 жилд ганц илүү сар өгөөд «доош нь татчихна».

Ямар ч Төвд-Монгол календарь илүү сараа тооцохдоо дараах хялбар дүрмийг дагадаг. Үүнд илүү саруудын хооронд орж байгаа «энгийн» саруудын тоо нь 33, 32, 33, 32, … гэх мэтчилэн ээлжилдэг. Өөрөөр хэлбэл билгийн 65 жилд энгийн, илүү нийлээд 65·12+2·12=804 сар байна. Энэ нь ойролцоогоор 29.530588 · 804 ≈ 23742.5927 хоног. Харин Григорийн тоололд жилийн урт дунджаар 365.2425 хоног гэдгээс аргын 65 жилд 365.2425 · 65 = 23740.7625 хоног байна. Тэгэхээр 65 жилд цагаан сар ойролцоогоор 1.83 хоногоор (эсвэл 250 жилд 7 хоногоор) хойшлоно гэсэн үг.

Дорх зурагт 1747–2100 оны хоорондох цагаан сарын шинийн нэгнүүдийг дүрслэв. Эндээс цагаан сар аажмаар хойшилж байгаа нь тодорхой харагдана. Тухайлбал, Төгсбуянтын тоололд цагаан сар анх удаа 3 сард тохиох явдал 2025/3/1-нд болох юм. Үүнээс хойш энэ зуунд нийтдээ 3 удаа ийм орой цагаан сар болох нь 2044/2/29, 2063/3/1, 2090/3/1-ний өдрүүдэд таарна.

1747–2100 оны хоорондох цагаан сарын шинийн нэгэн

Posted in Одон орон, цаг тоолол | Tagged , , | Сэтгэгдэл бичих

Вейлийн хууль

Хоёр цэгийн хооронд чанга татаж бэхлэгдсэн утсыг доргиоход ямар давтамжтай хэлбэлзэх нь тухайн утасны уян харимхай чанар, урт, өргөнөөс хамаарна. Эдгээр параметрүүдийг нь удирдах замаар хийл, төгөлдөр хуур, гитар гэх мэт хөгжмийн зэмсгийг утасны хэлбэлзлийг ашиглан янз бүрийн давтамжтай дуу гаргахаар зохион бүтээсэн байдаг. Хэрэв бид жишээ нь гитарын нэг утасны гаргах дууг бичиж аваад давтамжаар нь салгаж үзвэл энэ утасны дуу зөвхөн ганц «цэвэр» давтамжаас бүтдэггүй болох нь харагдана. Сонирхолтой нь энэ дууны давтамжийн найрлага дотор хамгийн бага нэг давтамж байх бөгөөд найрлагад нь орсон бусад бүх давтамж энэ хамгийн бага давтамжийг бүхэл тоо дахин авсантай тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл гитарын утасны хэлбэлзэл нэг үндсэн давтамж f, мөн цаашаагаа 2f, 3f, 4f, 5f гэх мэт давтамжуудыг л агуулна. Эдгээр давтамжуудыг тухайн утасны хувийн давтамжууд гэдэг бөгөөд хоорондоо гармоник (буюу зохицолтой) харьцаанд байна, эсвэл f-ийн гармоникууд гэж ярьдаг. Хоорондоо гармоник харьцаанд байгаа давтамжуудыг зэрэг сонсоход хүний чихэнд тааламжтай байдгийг МЭӨ 500 оны үед Пифагор нээсэн нь Өрнийн хөгжимд маш чухал үүрэг гүйцэтгэдэг хууль юм. Үнэндээ гитарын нэг утсыг татахад дууных нь найрлагад маш олон давтамж байгаа боловч тэдгээр нь хоорондоо нийцтэй сонсогдох болохоор хүнд цэвэр давтамж мэтээр сонсогдоно гэсэн үг. Дээр өгүүлсэн зүйлийг арай тодруулбал, A урттай утсанд f гэсэн өгөгдсөн заагаас хэтрэхгүй хэдэн ширхэг хувийн давтамж байх нь

N(f) = cAf

гэсэн томъёогоор өгөгдөнө. Үүнд c нь тогтмол тоо. Өөрөөр хэлбэл f-ээс хэтрэхгүй хувийн давтамжийн тоо f ба A-д хоёуланд пропорциональ байна. Математикийн хувьд утасны хэлбэлзлийн бодлого нь үндсэндээ хоёрдугаар эрэмбийн уламжлалын хувийн утгын (Штурм-Лиувиллийн бодлого ч гэдэг) бодлого болох ба 18-р зууны дунд үед Брук Тейлор, Иоганн ба Даниел Бернулли, Жан Лерон Даламбер, Леонард Эйлер нарын ажлаар бүрэн шийдэгдсэн асуудал юм.

Гитарын утасны хэлбэлзлийн давтамжийн найрлага. Хэвтээ тэнхлэгийн дагуу давтамж, килоГерцээр. Босоо тэнхлэгийн дагуу дууны хүч, децибелээр. Энд 3, 6, 9, 12-р гармоникууд байхгүй байгаа нь утсыг анх татсан хурууны байрлалаас болж байгаа. Мөн энэ хэмжилт нь идеал биш бодит гитарын хэмжилт учраас цэвэр гармоникуудад харгалзах «шовх оргилуудын» хооронд бага зэрэг ч гэсэн бусад давтамжууд бас холилдсон байгааг ажиглаарай.

Одоо бид дээрх бодлогыг өргөтгөөд бөмбөрийн гадаргуу, хонхны гадаргуу, эсвэл өрөөн доторх дууны хэлбэлзлийн хувийн давтамжууд юу байх вэ гэсэн асуулт тавьж болно. Энэ нь хоёр юм уу гурван хэмжээстэй муж дахь Лаплас операторын хувийн утгын бодлогод хүргэх бөгөөд тэгш өнцөгт гэх мэт хялбар мужууд дээрх шууд тооцооноос f их үед

N(f) = cAf^n + o(f^n)

байж магадгүй гэсэн таамаглал гарч ирнэ. Үүнд A нь тухайн мужийн талбай юм уу эзэлхүүн, n нь огторгуйн хэмжээс (ө.х. бөмбөрийн хувьд n=2, өрөөний хувьд n=3), o(f^n) гэдэг нь f нь их үед f^n-ээс удаан өсдөг ямар нэг гишүүн. Тэгэхээр жишээ нь бөмбөрийн хувийн давтамж ба уг давтамжийн дугаар хоёрын хооронд утасных шиг шугаман хамаарал байхгүй учир бөмбөрийн хувийн давтамжууд хоорондоо гармоник харьцаатай биш. Үүгээр бөмбөр болон утсан хөгжмийн хооронд дууны чанарын эрс ялгаа байдгийг тайлбарлана.

Дугуй хэлбэртэй бөмбөрийн гадаргуугийн хувийн хэлбэлзлийн горимууд (ө.х. ганц «цэвэр» давтамжтай хэлбэлзлүүд).

Энэ бодлого нь зөвхөн дууны хэлбэлзэл төдийгүй бүхий л долгиолог процесст хамаатай. Тухайлбал төгс ойлгодог гадаргуугаар доторлосон битүү саван доторх цахилгаан соронзон орны хувийн давтамжуудыг тооцох нь математикийн хувьд дээрхтэй яг ижил бодлого. Ийм савны доторх цахилгаан соронзон орныг ойлгох нь «хар биеийн цацаргалт» нэрийн дор 19-р зууны төгсгөл үед физикийн хамгийн тулгуур асуудлуудын нэг байсан бөгөөд эцэстээ квант механикийг нээхэд хүргэсэн юм. Тэгэхээр дээр дурдсан таамаглалыг дууны долгион болон хар биеийн цацаргалттай холбоотойгоор 1910 онд Арнольд Зоммерфельд, Хендрик Антон Лоренц нар дэвшүүлсэн байна. Зоммерфельд-Лоренцийн таамаглалын гол сонирхолтой бөгөөд батлахад хүндрэлтэй зүйл нь гэвэл хувийн утгуудын асимптот шинж чанар мужийн хэлбэр дүрсээс хамааралгүй, зөвхөн эзэлхүүнээс хамаарч байгаа явдал юм. Анх яаж батлагдсан түүх нь бас их сонирхолтой. Паул Волфскел (1856-1906) гэдэг герман эмч гэрээслэлдээ Фермагийн сүүлчийн теоремыг баталсан хүнд өгөөрэй, түүнээс өмнө хүүгээр нь жил бүр математик физикээр алдартай эрдэмтнийг Гёттингенд урьж 6 лекц уншуулж бай гэж 100 мянган марк үлдээжээ. Анхны 6 лекцийг 1909 онд Анри Пуанкарье, дараагийн 6 лекцийг 1910 оны намар Хендрик Антон Лоренц уншсан байна. Лоренц сүүлийн 3 лекцэндээ хар биеийн цацаргалтын талаар ярих үедээ дээрх Зоммерфельд-Лоренцийн таамаглалыг дурдсан аж. Лекцийн танхимд Давид Гильберт сууж байсан ба таамаглалыг сонсоод тэрбээр «намайг амьд байхад лав шийдэгдэхгүй асуудал байна» гэж дуу алдсан гэдэг. Гильбертийн хажууханд түүний шавь Герман Вейль бас сууж байсан бөгөөд ердөө хагас жилийн дотор тэрбээр Зоммерфельд-Лоренцийн таамаглалыг бүрэн баталсан байна. Гильбертийн шавь учраас Вейль анхны баталгаандаа интеграл тэгшитгэлийн онолыг ашигласан бол сүүлд вариацийн аргаар бас баталж болохыг үзүүлсэн. Ингээд Зоммерфельд-Лоренцийн таамаглал нь Вейлийн хууль нэртэй болсон. Дашрамд дурдахад Волфскелийн лекцийн уламжлал бараг 100 жил үргэлжилсний эцэст 1997 онд Эндрю Уайлс шагналынх нь мөнгийг гэрээслэл ёсоор гардан авснаар дуусгавар болжээ.

1915 он гэхэд Вейль өөрийн хуулийг цахилгаан соронзон болон хатуу биет доторх дууны долгионы хувьд өргөтгөн баталчихсан байсан. Мөн уг хуулийг цааш нь нарийсгасан дараах таамаглалыг дэвшүүлсэн.

N(f) = cAf^n + eBf^(n-1) + o( f^(n-1) )

Үүнд B нь мужийн хилийн урт, e нь тогтмол тоо. Вейлийн таамаглал гэгдэх болсон энэ бодлогон дээр олон математикч хөлсөө дуслуулсан бөгөөд хамгийн сүүлд 1980-аад онд Виктор Иврийгийн ажлаар үндсэндээ батлагдсан гэж үзэж болно. Энэ баталгаанд хүргэсэн гол аргачлал нь 1930-аад оны дундуур Торстен Карлеманы дэвшүүлсэн Лаплас операторын функцийн мөрийг (trace) хувийн утгуудын тоотой Тауберийн теоремийн тусламжтайгаар холбодог арга юм. Лаплас операторын функц гэдэгт ресольвент, дулааны болон долгионы тэгшитгэлийн шийдийн операторууд байж болох ба эдгээрээс хамгийн нарийвчлал сайтай үр дүн өгдөг нь долгионы тэгшитгэлийн шийдийн оператор болох нь тогтоогдсон. Тухайлбал Фурье интеграл оператор технологийн тусламжтайгаар долгионы тэгшитгэлийн шийдийн операторын мөрийг богино хугацаанд асимптот байдлаар үнэлэх замаар Ганс Дейстермаат (Hans Duistermaat), Виктор Гийемин (Victor Guillemin) хоёр 1975 онд Вейлийн таамаглалыг битүү цогцуудын (closed manifolds) хувьд баталсан байгаа. Энэ баталгааг хилтэй мужууд руу өргөтгөх хэцүү ажлыг Виктор Иврий хийсэн юм.

Орчин үед дифференциал операторын хувийн утга, хувийн функцийн судалгаа анализийн нэг гол салбар хэвээр байна. Одоогоор нилээд “халуун” байгаа зарим сэдвийг дурдвал Вейлийн таамаглалыг бутархай эрэмбийн болон өөртөө хосмог биш операторууд руу өргөтгөх, хувийн функцүүдийн төрөл бүрийн норм хэрхэн өсөхийг нарийвчлан судлах, хувийн функцүүдийг тэглэдэг олонлогийн хэмжээнд зааг тогтоох, гиперболлог хавтгайн муж дээрх Лаплас операторын спектрийн судалгаа зэрэг болно.

Зураг дээр: (А) Дугуй хэлбэртэй бөмбөрийн гадаргуугийн хувийн хэлбэлзлийн горимууд (ө.х. ганц “цэвэр” давтамжтай хэлбэлзлүүд). (Б) Гитарын утасны хэлбэлзлийн давтамжийн найрлага. Хэвтээ тэнхлэгийн дагуу давтамж, килоГерцээр. Босоо тэнхлэгийн дагуу дууны хүч, децибелээр. Энд 3, 6, 9, 12-р гармоникууд байхгүй байгаа нь утсыг анх татсан хурууны байрлалаас болж байгаа.

Posted in Анализ, Дифференциал тэгшитгэл, Математикийн түүх, Физик | Tagged , , | Сэтгэгдэл бичих

Бүх хүн зэрэг үсэрвэл дэлхий хөдлөх үү?

Дэлхийн бүх хүн нэг газар цуглаж байгаад зэрэг үсэрвэл дэлхийг хөдөлгөж чадах болов уу? Хэдүүлээ маш хялбар тооцоо хийгээд үзье л дээ. Дэлхийн хүн амыг ихээр бодож 8 тэрбум, нэг хүний дундаж массыг 70кг гэвэл нийт хүний масс хамгийн ихдээ 0.6 тэрбум тонн буюу 6\cdot10^{11}кг болно. Дэлхийн масс ойролцоогоор 6\cdot10^{24}кг, энэ нь бүх хүний массаас 10^{13} дахин их. Хүмүүс үсэрч ч байсан яаж ч байсан ялгаагүй нийт системийн хүндийн төв хадгалагдана. Тэгэхээр жишээлбэл, бүх хүн яг зэрэг 1метр өндөрт үсэрсэн гэвэл дэлхий 10^{-13}м буюу 0.1пикометр хэмжээгээр шилжинэ. Энэ нь устөрөгчийн атомын диаметрээс 1000 дахин бага юм. Дэлхий ийм бага хэмжээнд шилжих ба нөгөө хүмүүс маань эргээд газар буухад дэлхий маань мэдээж буцаад байрандаа оччихно.

Дээрх тооцоонд дэлхийг үнэмлэхүй хатуу биет гэж үзсэн байгаа. Яг үнэндээ бол дэлхийн хөрсний нэг хэсэгт ямар ч хүчтэй цохилт доргио болсон гэсэн нөгөө хэсэгтээ тэр дороо мэдэгдэхгүй, энэ доргио нь газар дотуур дууны хурдаар тархана. Газраар дамждаг хамгийн хурдан дууны долгион 10км/сек орчим хурдтай тархдаг. Хүн 1метр өндөрт үсрээд буухад 1 секунд орчим хугацаа зарцуулна. Энэ хугацаанд «хүмүүс үсэрсэн тухай мэдээлэл» дөнгөж 10км орчим газарт тархсан байна. Өөрөөр хэлбэл хүмүүс үсрээд буухад дэлхий бүхлээрээ хөдлөхгүй, сайндаа л 10–20км хэмжээтэй газар жаахан доргилт өгөөд л дуусна гэсэн үг.

Энэ үсрэлтээр тэр хавийн газар орон хэр их доргих вэ гэдэг талаар ойлголт авахын тулд ялгаруулсан энергийг нь тооцоё. Бүх хүн 1метр өндөрт үсэрсэн гэвэл 6\cdot10^{12}жоуль буюу 6теражоуль энерги ялгаруулна. Энэ нь Рихтерийн шатлалаар 5 баллын газар хөдлөлттэй дүйцэхүйц энерги бөгөөд иймэрхүү газар хөдлөлт барилга байгууламжинд бараг нөлөөлдөггүй, үл ялиг мэдрэгддэг сул газар хөдлөлтөндөө ордог. Тэсрэх бөмбөгний ялгаруулах энергитэй жишвэл 6теражоуль энерги нь 1500тонн тринитротолуолын тэсрэлтээс үүсэх энерги, эсвэл Хирошима дээр хаясан атомын бөмбөгнийхөөс 10 дахин бага энергид харгалзах юм.

Эцэст нь зүгээр зугаа болгож дэлхийн бүх хүнийг цуглуулахад хэр их талбай хэрэгтэй вэ гэдгийг бодож үзье. Нэг хүнд 1 квадрат метр талбай ногдуулна гэвэл 8000 квадрат км буюу ойролцоогоор Говьсүмбэр, Дархан-Уул хоёр аймгийг нийлүүлчихсэн юм шиг хэмжээний талбай хэрэг болно. Улаанбаатар хотын талбай 4700 квадрат км гэж байгаа тэгэхээр сайн шахаж байгаад дөрвөн уулын дунд багтаавал багтаачихаар л юм байна.

Posted in Физик, Хялбар тооцоо, Элдэв зүйлс | Tagged , | Сэтгэгдэл бичих

Нуур яагаад ёроолдоо хүртэл хөлддөггүй вэ?

Гол, нуурын ус өвөл яагаад ёроолдоо хүртэл хөлдчихгүй байна вэ? Хэдүүлээ энд нэг хялбарчилсан тооцоо хийгээд үзье л дээ.

Нуурын мандалд нимгэхэн мөс тогтчихсон байна гэж төсөөл. Тэгвэл мөсний дээд захын температур агаарын температуртай адилхан, доод захын температур 0˚C байна. Мөсний доод захаар хиллэсэн ус аажмаар хөлдөж мөсний зузааныг нэмэгдүүлэх бөгөөд ус хөлдөхөд ялгарсан дулаан мөсөөр дамжиж дээшээ агаарт цацагдана. Одоо мөсний гадаргуу дээр S талбайтай квадрат зураад тэр квадратын яг дор орших мөсөн баганыг авч үзье. Нуурын мөсний зузааныг x, мөсний дээд ба доод захын хоорондох температурын зөрөөг T гэвэл (ө.х. агаарын температур нь -T), мөсөн баганын дээд гадаргуугаар ∆t хугацаанд алдагдах дулаан 

k · T · S · ∆t / x

байна. Үүнд k ≈ 2.22 Ватт / (метр·градус) нь мөсний хувийн дулаан дамжуулалт. Энэ хугацаанд мөсөн баганын доод талд ∆x зузаантай мөс нэмэгдсэн гэвэл усны хөлдөлтөөр тэнд ялгарах дулаан

σ · ρ · ∆x · S · ∆t

байна. Үүнд ρ ≈ 0.92 г / см² нь мөсний нягт ба σ ≈ 334 Жоуль / г нь мөсний хайлалтын хувийн дулаан. Дээрх хоёр илэрхийллийг хооронд нь тэнцүүлбэл, C = k/(ρσ) тогтмолтой

x’ = ∆x / ∆t = CT / x

гэсэн дифференциал тэгшитгэлд хүрэх ба хугацаа t = 0 үед x = 0 байх шийд нь

x² = 2C·T·t

болно. Энэ томъёоноос мөсний зузаан хугацаанаас квадрат язгуур авсан мэтээр өсөх нь харагдаж байна. Одоо C тогтмолыг тооцвол

C ≈ 6 см² / (хоног·градус)

гэж гарах ба дээрх томъёог практикт ашиглахад амар байдлаар

x² ≈ 3.5² · T · t

гэж бичиж болно. Үүнд T нь градусаар, t нь хоногоор өгөгдөх бөгөөд хариу нь см-ээр гарна. Жишээлбэл, агаарын температур -20˚C бол температурын зөрөө T = 20˚C болох бөгөөд t = 30 хоног гэвэл T · t = 600, үүнээс язгуур аваад 24.5. Тэгэхээр

x ≈ 3.5 · 24.5 ≈ 86 см.

Одоо T = 20˚C ба t = 100 хоног гэвэл T · t = 2000, язгуур аваад 44.7, ингээд

x ≈ 3.5 · 44.7 ≈ 156 см.

Тэгэхээр нэг өвлийн турш мөсний зузаан 1-2 метрээс илүү гарах боломж бараг байхгүй гэж дүгнэж болох нь.

Мөсөн дээр хүн явахад цөмөрчихгүй байхын тулд мөс дор хаяж 10 см зузаантай байх хэрэгтэй гэдэг. Агаарын температур -20˚C үед 10 см зузаантай мөс бүрэлдэхэд хэрэгтэй хугацааг олбол

t ≈ 100 / (3.5² · 20) ≈ 0.4 хоног ≈ 10 цаг.

Эцэст нь хэлэхэд бид мөсөн дээрх цасны дулаан тусгаарлах чанар, мөсөн дорх усны дулаан хадгалах чанарыг тооцоогүй тул мөс бүрэлдэх явц бодит байдал дээр энд тооцсоноос арай удаан байна гэдгийг анхаараарай. Бодит жишээ авъя гэвэл олон жилийн ажиглалтаар Канадын нууруудын мөсний зузаан 1 метрээс дээш гарсан тохиолдол бараг байхгүй гэнэ. Тэгэхээр бидний гаргасан томъёо тийм ч их алдаатай биш болох нь харагдаж байна.

Posted in Физик, Хялбар тооцоо | Tagged , | Сэтгэгдэл бичих

Уртыг хэмжих

Уртыг яаж хэмждэг билээ? Юуны түрүүнд урт нь ер өөрчлөгддөггүй нэг саваа эсвэл тууз хэрэгтэй. Тэгээд тэр туузаа уртыг нь хэмжих гэсэн зүйлтэйгээ жиших замаар хэмжинэ. Гэтэл энэ туузныхаа уртыг өөрчлөгдөхгүй байгаа гэдгийг юутай харьцуулж мэдэх юм бэ? Энэ хүндрэл нь хугацааг цагаар хэмжихэд гарч байсан хүндрэлтэй яг адилхан учраас хоёуланг нь төстэй аргаар шийдэж болно. Товчхондоо бол зарим материалаар хийсэн багажаар уртыг хэмжвэл өөр бусад материалаар хийсэн багаж ашигласнаас физикийн хуулиуд илүү хялбар байдаг бөгөөд ийм материалуудыг «хатуулаг чанар сайтай» гэж ярьдаг.

Гадаргуу дээр шугамнууд зурагт үзүүлсэн байдлаар байрласан бөгөөд гадаргуугийн дээд хэсэг халуун, доод хэсэг хүйтэн. Ногоон нь хуванцар, хүрэн нь тугалган, цэнхэр нь төмөр шугам. Эдгээр шугаман дээрх зурааснуудаар шагайн байрлалыг хэмжээд, хугацаанаас хамаарсан хамаарлыг нь баруун гар талын графикт дүрсэлсэн. Тасархай улаан зураас нь шугамнуудын хэмжилтийн тоон утганд температураас хамаарсан засвар хийх замаар гаргасан тооцоо.

Дээрхийг арай дэлгэрүүлж тайлбарлая. Хуванцар болон тугалган шугаман дээр нэг жижигхэн хэрчмийг эх болгож авч гүйлгэж байгаад (сантиметрийн шугаман дээр байдаг шиг) уртын хуваарь зуржээ гэж бод. Тэгээд маш толигор гадаргуу дээр хоёр шугамаа зэрэгцүүлээд тавья. Энэ толигор гадаргуу маань зарим газраа халуун, зарим газраа хүйтэн байдаг бол хоёр шугамын хуваариуд хоорондоо зөрж ирнэ. Одоо нөгөө гадаргуугийнхаа нэг захаас нөгөө зах руу нь шагай ч юм уу нэг жижигхэн биет гулсуулж туршилт хийвэл, тугалган шугамын зурааснуудын хувьд шагай жигд хурдтай боловч хуванцар шугамаар уртыг хэмжихээр шагайн хурд жигд биш, халуун газар удаашраад, хүйтэн газар хурдан яваад байгаа нь харагдана. Цаашлаад бүр нарийн ажиглавал, тугалган шугамаар хэмжсэн үед ч шагайн хурд бас яг жигд биш нь мэдэгдэх бөгөөд төмөр шугам ашигласнаар шагайн хурд илүү жигд болж ирнэ.

Мэдээж төмөр ч гэсэн яг төгс байж чадахгүй. Гадаргуугийн нэг цэгээс нөгөө цэг дэх халуун хүйтний зөрөө их бол төмөр шугамаар уртыг хэмжээд ч шагайн хурд цэгээс цэгт мэдэгдэхүйц өөрчлөлттэй болж ирнэ. Тэгэхээр төмрөөс ч илүү «хатуулаг чанар» бүхий материал байдаг бол тэр материалаар хийсэн шугамаар уртыг хэмжсэнээр шагайн хурд бүр илүү жигд болж хэмжигдэх байх гэсэн таамаг гарна. Гэхдээ тэр шинэ материал нь бодит материал юм болохоор хичнээн ч нарийн байсан гэсэн яг төгс үр дүн өгнө гэдэг эргэлзээтэй. Иймд ерөөсөө шинэ материал хайхаа болиод, төмөр шугамаар хэмжсэн хэмжилтийн тоон утганд температураас хамаарсан засвар хийх замаар шагайн хурдыг жигд болгож хэмжих боломжтой байж мэднэ гэсэн санаа ч төрнө. Үе үеийн судлаачдын олон нарийн туршилтын үр дүнд ямар ч байсан туршилтын нарийвчлалын хүрээнд ийм засвар хийж болдог нь батлагдсан байгаа. Мөн төмрөөс гадна олон бодисыг ингэж судалж болох бөгөөд эцэстээ бүгдээрээ хоорондоо нийцтэй нэг л уртын хэмжээг өгдөг. Өөрөөр хэлбэл байгаль дээр «урт» гэдэг зүйл нэг л байдаг гэсэн үг. Жишээлбэл төмрийн уртыг температураас яаж ч хамаардаг гэж үзэж яаж ч засвар хийгээд шагайн хурдыг тогтмол болгож болдоггүй байж болох байсан учир уртыг нарийвчлалтай хэмжих арга олддог явдал нь өөрөө байгалийн тулгуур хууль юм.

Posted in Физик, Харьцангуйн онол | Tagged , , | Сэтгэгдэл бичих