Цагийн синхрончлол ба инерциал тооллын систем

Өмнөх постоор бид огторгуйд аливаа биетийн байрлалыг тодорхойлох аргуудын талаар, өөрөөр хэлбэл координатын системүүдийн талаар авч үзсэн. Үүний үргэлжлэл болгоод, одоо энэ постоороо бид аливаа үзэгдэлд харгалзах хугацааны агшныг тодорхойлох аргуудын талаар ярилцах гэж байна. Гэхдээ эхлээд өмнөх постныхоо сэдвийг товч сэргээцгээе. Координатын систем гэдгээр дараах зурагт дүрсэлсэн шиг огторгуйг жижиг тасалгаануудад хуваасан 3 хэмжээстэй торыг төсөөлж болно.

Мэдээж өмнө ярилцсан ёсоор, ийм торыг бид бодитойгоор барьж байгуулах албагүй, зөвхөн ийм тор барьчихсантай адил тийм үр дүн өгдөг хэмжилт хийдэг байгууламж л хэрэгтэй. Радар, GPS систем, дэлхийн гадаргуугийн эсвэл тойрог замын 2 цэгийг ашигладаг гурвалжинчлах (буюу параллаксын) арга зэрэг нь ийм байгууламжийн жишээнүүд юм. Түүнчлэн, торын тасалгаануудыг олон жижиг тасалгаануудад хуваах замаар координатын системийн нарийвчлалыг хичнээн л бол хичнээн сайжруулж болно гэж үзэхэд физикийн ямар ч хуультай зөрчилдөхгүй. Ийм замаар хязгааргүй нарийвчлалтай, идеалчилсан координатын системийг гаргаж авах бөгөөд аливаа бодит координатын системийг ямар нэг идеалчилсан координатын системийн нэг ойролцоолол мэтээр үзэж болно.

Нөгөө талаас, жижиг масштабыг орхиод том масштаб дээр төвлөрвөл, бодит координатын системүүд бүгд төгсгөлөг хэмжээтэй, ө.х. ямар ч координатын систем огторгуйн зөвхөн хэсэгхэн «мужийг» л бүрхэнэ. Ийм «жижиг» координатын системийг бид онолын төвшинд өргөтгөн хааш хаашаагаа хязгааргүй хэмжээтэй хийсвэр координатын систем гаргаж авч болох боловч түүний «нэмэлт хэсэг» нь ихэнх тохиолдолд бодит огторгуйтай ямар ч холбоо байхгүй хийсвэр зүйл байна гэдгийг үргэлж санаж байх хэрэгтэй.

Зүүн гар талд: Бодит координатын систем. Жишээ нь, төмрөөр хийсэн тор, эсвэл радарт төхөөрөмжийн найдвартай ажиллах хүрээ байж болно. Баруун гар талд: Уг координатын системийг онолын төвшинд өргөтгөсөн нь. Үүний цэнхэр хэсэг нь бодит огторгуйтай холбоо байхгүй, зөвхөн бидний «толгой дотор» байгаа зүйл. Тэгэхээр цэнхэр хэсгийг оролцуулсан тооцоонд болгоомжтой хандах хэрэгтэй.

Цаашилбал, бид энд бодит байгууламжийн тухай ярьж байгаа тул хугацааны явалттай уялдан тор маань хэлбэлздэг бол яах вэ, сунаж, агшиж, муруйж, мушгирч өөрчлөгддөг бол яах вэ гэх мэтчилэн олон асуулт гарч ирнэ. Эдгээр асуултуудын хариулт болгож юуны түрүүнд торын өөрчлөлт хөдөлгөөнийг мэдрэхийн тулд (тор өөртэйгөө харьцангуйгаар бол ямар ч өөрчлөлт хөдөлгөөнгүй орших учир) өөр нэг координатын систем шаардлагатай гэдгийг сана. Тэгэхээр координатын системүүдийн хоорондын харьцангуй хувьсал л бодитой бөгөөд хоёр координатын системийн аль нь хувьсаад аль нь хувьсахгүй байгааг хэлэх арга байхгүй. Энд «хувьсал» гэдгээр биетийн байрлал, хэлбэр, хэмжээ өөрчлөгдөх механик хувьсал (буюу хөдөлгөөнийг) ярьж байгааг анзаараарай. Үргэлжлүүлэн унших

Advertisements
Posted in Физик, Харьцангуйн онол | Tagged , , , , , | Сэтгэгдэл бичих

3 хэмжээст огторгуй дахь эргүүлэлт

Өмнөх постныхоо үргэлжлэл болгоод, 3 хэмжээст ортогональ хувиргалтуудын талаар нарийвчлан авч үзье. Ортогональ хувиргалт гэдэг нь A^\top A=I нөхцлийг хангах A\in\mathbb{R}^{n\times n} матриц бүхий \psi(x)=Ax хэлбэрийн хувиргалт гэдгийг санаарай. Тэгэхээр ортогональ хувиргалтуудын олонлогийг

O(n)=\{A\in\mathbb{R}^{n\times n}:A^\top A=I\}

гэсэн (ортогональ матрицуудын) олонлогтой адилтгаж болно. Бидний хувьд ортогональ хувиргалтуудыг судлах болсон шалтгаан нь Евклидийн хувиргалтууд буюу зайг хадгалдаг (ө.х. |\phi(x)-\phi(y)|=|x-y| нөхцлийг хангадаг) хувиргалтуудаас урган гарсан байгаа. Тодруулбал, ямар ч Евклидийн хувиргалтыг ортогональ хувиргалт ба зөөлтийн комбинаци байдлаар \phi(x)=Ax+b (үүнд A\in O(n) ба b\in\mathbb{R}^n) гэж «задалж» болдог. Ортогональ болон Евклидийн хувиргалтууд тус бүртээ бүлэг үүсгэхийг хялбархан шалгаж болно. Энэ хоёр бүлгийг харгалзан ортогональ бүлэг ба Евклидийн бүлэг гээд, O(n) ба E(n) гэж тэмдэглэдэг.

Ортогональ бүлэг нь дотроо тусгай ортогональ бүлэг гэгддэг, дараах байдлаар тодорхойлогддог дэд бүлгийг агуулна:

SO(n)=\{A\in O(n):\det(A)=1\}.

Нэгж матрицын тодорхойлогч нь 1-тэй тэнцүү тул I\in SO(n). Ерөнхий A\in O(n) элементийн хувьд, I=A^\top A тэнцэтгэлийн хоёр талын тодорхойлогчийг бодвол

1=\det(A^\top A)=\det(A^\top)\det(A)=\det(A)^2

учир, \det(A)=1 эсвэл \det(A)=-1 байх ёстой.

n = 1. Огторгуйн хэмжээс n = 1 үед адилтгал x\mapsto x ба ойлт x\mapsto-x гэсэн хоёрхон ортогональ хувиргалт л байна. Тэгэхээр O(1)=\{1,-1\} ба SO(1) нь ганц элементтэй тривиал бүлэг болно.

O(1) бүлэг

n = 2. Хавтгайн хувьд ортогональ бүлэг нь эргүүлэлт ба ойлтуудаас тогтоно. Тухайлбал, SO(2)=\{R_\alpha:\alpha\in\mathbb{R}\}, үүнд

R_\alpha=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}

нь \alpha өнцгөөр эргүүлэх эргүүлэлтийн матриц. Цаашилбал, x_1 тэнхлэгтэй \theta өнцөг үүсгэсэн шулуунтай харьцангуй ойлгох ойлтын матрицыг

P_\theta=\begin{pmatrix}\cos2\theta&\sin2\theta\\\sin2\theta&-\cos2\theta\end{pmatrix}

гэвэл O(2)=SO(2)\cup\{P_\theta:\theta\in\mathbb{R}\} гэж бичиж болно. Үнэндээ бол шулуунаас хавтгай руу шилжиж хэмжээс нэмэхэд эргүүлэлт л шинээр гарч ирж байгаа. Ойлт бол угтаа 1 хэмжээстэй хувиргалт бөгөөд эргүүлэлттэй хоршсоноор дурын шулуунтай харьцангуй ойлт үүсч байгаа гэж үзэж болно:

P_\theta=R_\theta P_0R_{\theta}^\top=R_\theta P_0R_{-\theta}

Нөгөө талаас, ямар ч эргүүлэлтийг дараалсан хоёр ойлт болгож задалж болдог:

R_{2\alpha}=P_{\theta+\alpha}P_\theta

SO(2) бүлгийг цэг бүр нь эргүүлэлтээс тогтох тойрог мэтээр төсөөлж болно. Тэгвэл O(2) бүлгийн (ногооноор дүрслэгдсэн) нөгөө хэсэг нь дан ойлтуудаас тогтоно. Энэ хоёр «тойргийн» хооронд (жишээ нь P0 гэсэн) ойлт ашиглан шилжиж болно.

Огторгуйн хэмжээсийг n = 3, n = 4 гэх мэтчилэн цаашид ихэсгэвэл, нэг хачирхалтай гэмээр зүйл бол 1 хэмжээсээс 2 хэмжээс рүү шилжихэд эргүүлэлт гарч ирж байсан шиг тийм «цоо шинэ» зүйл гарч ирдэггүй. Зөвхөн хуучин байсан зүйлүүдээ янз бүрээр эвлүүлж угсрах боломжийн тоо нь л нэмэгддэг гэж хэлж болно (Үнэндээ бол эргүүлэлт нь 2 ойлтоос тогтох учир 2 хэмжээс дээр ч гэсэн адилхан шүү дээ гэж маргах ч боломжтой). Үргэлжлүүлэн унших

Posted in Геометр, Ли бүлэг, Топологи, Физик | Tagged , , , , , , , , , , | Сэтгэгдэл бичих

Евклидийн хувиргалтууд

Топологийн хувьд «зөв» бөгөөд «хэмнэлттэй» координатын системүүдийн хувьд огторгуйд орших цэгэн биетийн координатууд (x1, x2, x3) гэсэн 3 бодит тоогоор илэрхийлэгддэг талаар бид өмнө ярилцсан. Эдгээр гурван тоог нийлүүлээд x = (x1, x2, x3) гэсэн ганц үсгээр тэмдэглэвэл бичилтийг ихэд хялбарчилдаг. Өөрөөр хэлбэл x=(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3 нь математикийн хувьд (3 хэмжээст) вектор юм.

Цаашилбал, Декартын координатын системд x = (x1, x2, x3) ба y = (y1, y2, y3) координаттай цэгүүдийн хоорондох зай нь

d(x,y) = \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}

байдгийг бид мэднэ. Бичилтийг хялбарчлах үүднээс

|x| = \sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}

гэсэн тэмдэглэгээ оруулбал

d(x,y)=|x-y|

болно. Энэ |x| хэмжигдэхүүнийг x векторын урт, эсвэл норм гэж нэрлэдэг.

Декартын координатын системийг практикт ихэнхдээ яаж байгуулдаг вэ гэвэл эхлээд тухайн нөхцөл байдалдаа тохирсон нэг (Декартынх байх албагүй) координатын систем байгуулаад, түүнээсээ ямар нэг Декартын систем рүү шилжих томъёог зааж өгдөг. Өөрөөр хэлбэл, эхний координатын системийн цэгүүдийг (буюу «жижиг өрөө тасалгаануудыг») арай өөрөөр дугаарлах замаар Декартын координатын систем гаргаж авна гэсэн үг. Математикийн хувьд, эхний координатын системд x=(x_1,x_2,x_3) координаттай байсан биет шинэ координатын системд x'=(x'_1,x'_2,x'_3) координаттай болдог бол энэ харгалзаа нь

x' = \phi(x)

гэсэн функцээр өгөгдөнө. Ийм харгалзааг координатын хувиргалт гэдэг. Хэрэв шинэ x‘-координатын систем нь Декартынх бол эхний x-координатын системд хоёр цэгийн хоорондох зайг

d(x,y)=|\phi(x)-\phi(y)|

томъёогоор тооцож болно. Яг үнэндээ бол энэ томъёог л мэдчихсэн байхад «цаана нь Декартын систем байгаа» гэдгийг заавал санах албагүй, x-координатын системдээ бүх тооцоогоо хийгээд явах ч боломжтой.

Бие биетэйгээ огтлолцсон хэсгээрээ «гагнаатай» хоёр координатын систем. Энэ «гагнаас» нь бодитой физик гагнаас байж болно. Эсвэл зүгээр x координатыг x‘ руу хувиргадаг томъёо байдлаар өгөгдсөн логик гагнаас байж болно. Хэрэв нэг координатын систем нь хатуу материалаар хийгдсэн (ө.х. түүнтэй бэхлээтэй ямар ч муруйн урт өөрчлөгддөггүй) бол нөгөөх нь мөн энэ чанарыг нь өвлөж авна.

Бид бодит байдал дээр координатын систем байгуулж хэмжилт хийх талаар ярьж байгаа учраас эдгээрийн хувьсал өөрчлөлтийн талаар дурдалгүй өнгөрч болохгүй. Дээр дурдсан хоёр координатын системийн хоорондох x' = \phi(x) харьцаанаас энэ хоёр систем бие биентэйгээ харьцуулахад хөдөлгөөнгүй байгааг харж болно. Тэгэхээр нэг систем нь нөгөөгийнхөө «хатуу материалаар хийгдсэн» шинж чанарыг өвлөж авах ёстой. Тухайлбал, нэг системтэй нь бэхэлсэн муруй нөгөө системтэй нь автоматаар бэхлэгдэх учир уг муруйн дагуу уртыг хэмжих процесст оролцож байгаа жижиг шугамнуудын төгсгөлийн цэгүүдийг аль ч системд нь бүртгэж авч дагалаа гэсэн хэмжилтийн үр дүн адилхан гарна. Өөрөөр хэлбэл, аливаа муруйн урт нь бие биентэйгээ харьцуулахад хөдөлгөөнгүй, «хатуу материалаар хийгдсэн» координатын системүүдийн хувьд нэг ерөнхий хэмжигдэхүүн юм. Үргэлжлүүлэн унших

Posted in Геометр, Классик онол, Ли бүлэг, Физик, Харьцангуйн онол | Tagged , , , , , , , | 2 Сэтгэгдлүүд

Бодит огторгуйн геометр бүтэц

Сонгодог физикийн тулгуур хуулиудын нэг болох Ньютоны 1-р хуулийг томъёолбол

Бусад биеттэй харилцан үйлчлэлцэхгүй байгаа биет тайван байдал эсвэл шулуун замын жигд хөдөлгөөнөө хадгална. Өөрөөр хэлбэл чөлөөтэй тусгаар орших биетийн хурдны хэмжээ болон чиглэл өөрчлөгдөхгүй.

Хурдны хэмжээг тодорхойлохын тулд бидэнд хугацаа ба уртыг хэмжих арга хэрэгтэй. Урт болон хугацааг хэмжиж болох үй түмэн аргуудаас зөвхөн цөөхөн хэд нь л Ньютоны 1-р хуулийг үнэн байлгадаг бөгөөд үнэн байлгадаг тийм аргууд оршин байдаг гэсэн туршлагын баримт нь уг хуулийн жинхэнэ агуулгынх нь нэг хэсэг юм гэдгийг бид өмнө авч үзсэн.

Дээрх хуульд хурдны хэмжээнээс гадна чиглэл өөрчлөгдөхгүй, хөдөлгөөнийх нь траектори шулуун байна гэж заасан байгаа. Үүнийг ойлгохын тулд «хурдны чиглэл», «шулуун» гэсэн ойлголтууд хэрэгтэй. Хурдны хэмжээ тогтмол гэдэг нь урьдаас зааж өгсөн траекториор яваа биет яаж хөдлөхийг тодорхойлох бол, хурдны чиглэл тогтмол гэдэг нь биетийн хөдөлгөөний траектори ямар хэлбэртэй, огтогуйд яаж байрласан байгааг зааж өгнө. Тэгэхээр бидэнд огторгуйн бүтцийн талаарх мэдээлэл хэрэгтэй гэсэн үг. Өөрөөр хэлбэл, «шулуун шугам» гэдгийг чөлөөт биетийн хөдөлгөөний траектори гээд тодорхойлчихож болдог байсан бол дээрх хуулинд шулуун гэж дурдах шаардлагагүй байх байсан. Гагцхүү дээрх хуулинд орсон шулуун гэсэн ойлголт нь, огторгуйд урьдаас оноосон ямар нэг (геометр) бүтэцтэй нийцтэй байдаг байж байж уг хуулийн дурдсан хэсэг утга төгөлдөр болох мэт.

Энэ асуудлыг бид яаж шийдэх вэ гэвэл, урт болон хугацааны хэмжилтийг яаж шийдсэнтэй төстэйгөөр, аль ч тийшээ хэт хэлбийж тэнцвэрээ алдалгүйгээр торгон дунджийг барих шаардлагатай. Үүнд, M гэсэн Евклидийн 3 хэмжээст математик огторгуй авъя. Тэгээд бодит физик огторгуйн p гэсэн цэг болгонд уг цэгээс хамаараад M огторгуйн ямар нэг x гэсэн цэгийг харгалзуулдаг харгалзаа болгоныг координатын систем гэж нэрлэе. Ингээд, хугацааг хэмжихтэй холбоотой асуудлуудыг орхивол, Ньютоны 1-р хуулийн жинхэнэ утга нь, дараах чанаруудыг хангадаг координатын систем олдоно гэж тунхаглаж байгаад оршино.

  • Уг координатын системд, чөлөөтэй хөдөлж байгаа биес шулуун замаар хөдөлнө. Өөрөөр хэлбэл эдгээр биетийн хөдөлгөөний траекторийн цэг бүрийг координатын харгалзааг ашиглан M огторгуйд авч үзвэл, математикийн шулуун шугам гарч ирнэ.
  • Шулууны дагуу хэмжсэн уртын хэмжилтүүд M огторгуй дахь Евклидийн урттай давхцана.

Зарчмын хувьд, Евклидийн биш, өөр геометр Ньютоны 1-р хуультай «залгагддаг» тийм ертөнцийг төсөөлж болно. Тэгэхээр энд Евклидийн геометрыг сонгож авч болдог явдал нь Ньютоны 1-р хуулиас ялгаатай, байгалийн өөр нэг тулгуур хууль юм. Үүнийг дараах маягаар товчлон илэрхийлж болно:

Бодит огторгуй 3 хэмжээст Евклидийн геометртэй.

Огторгуйн геометр бүтэц нь туршилтаар тодорхойлогдох физик шинж чанар юм гэдгийг хүн төрөлхтөн 19-р зуунд Евклидийн бус геометрууд нээгдсэний дараа л сая анзаарсан байгаа. Түүнээс өмнө бол мэдээж юу ч дурдалгүйгээр Евклидийн геометрыг физикт шууд хэрэглэдэг байсан.

Дээр өгүүлснийг одоо илүү дэлгэрэнгүй тайлбарлая. Уншигч таны цааш нь унших уу болих уу гэсэн эргэлзээг гаргахад туслах үүднээс хэлэхэд бид дараах хэдэн асуултыг ерөнхийдөө дагах болно:

  • Координатын систем гэж юу вэ? Огторгуй өөрөө цэгүүдээс тогтдог уу?
  • Огторгуй 3 хэмжээстэй гэдэг нь юу гэсэн үг вэ?
  • Уртыг яаж хэмжих вэ?
  • Шулуун шугам гэж юу вэ?
  • Огторгуй Евклидийн геометртэй гэдгийг ямар утгаар ойлговол зохих вэ?

Тэгэхээр бодит огторгуйн геометр бүтцийн талаар бүр эхнээс нь ярьж эхлэх нь. Урт, өнцөг, шулуун шугам гэх мэт геометр ойлголтуудыг бодит огторгуйд оруулж ирээгүй байгаа гэж төсөөлөөрэй. Бас нэг зүйл анхааруулахад бид бодит огторгуйн геометрийн талаар ярьж байгаа бөгөөд бидний дунд сургуульд үздэг «Евклидийн геометр» гэгчийг математикийн судлагдахуун гэдэг утгаар нь уншигч авхай бага ч гэсэн гадарладаг гэж үзэж байгаа.

Юуны түрүүнд, физик координатын систем (товчоор, координатын систем) гэдэг нь биетийн байрлалыг тодорхойлох (ө.х. хэмжих) аргыг хэлнэ. Тухайлбал, дорх зураг дээр үзүүлсэн шиг байшингийн торон «яс төмрийг» авч үзье. Энэ байгууламж дотор байгаа зүйлсийн «аль өрөөнд» байгаа нь тэдгээрийн байрлалыг барагцаагаар тодорхойлно. «Аль өрөөнд» гэдгийг заахын тулд мэдээж өрөөнүүддээ урьдаас нэр эсвэл дугаар оноох хэрэгтэй.

Өрөөнүүддээ дугаар оноохдоо зүгээр шоо хаяж байгаад ч юм уу учир замбараагүй дугаарууд оноочихож болохгүй гэсэн дүрэм байхгүй. Гэхдээ арай илүү эмх цэгцтэй болгохын тулд, жишээлбэл, дараах аргыг ашиглаж болно. Та өөрийгөө байшингийн наад талын булангийн тэнд газар зогсож байна гэж төсөөл. Эндээсээ дээшээ буланг дагаж авираад x давхарт гаръя (ягаан шугам). Тэгээд жаахан муруйсан харагдаж байгаа нүүрэн талын ханыг дагаж алхаад y дугаар өрөөнд очъё (улаан шугам). Тэндээсээ барилгын гүн рүү (нүүрэн талын хананаас холдож) алхаад z дүгээр өрөөнд ирье (ногоон шугам). Ийм (xyz) гэсэн гурван бүхэл тоогоор ямар ч өрөөний байрлалыг тодорхойлох боломжтой (нарийвчилбал, ийм боломжтой байхаар анхнаасаа өрөөнүүдээ зохион байгуулж болно). Үргэлжлүүлэн унших

Posted in Геометр, Классик онол, Физик, Харьцангуйн онол | Tagged , , , , , , , , , , , , , | Сэтгэгдэл бичих

Нар төвт систем ба оддын параллакс

Дэлхий нарыг тойрдог гэдгийг хэдэн онд хэн яаж баталсан юм бол?

Товч хариулт: Яг тэдэн онд баталсан гэхэд хэцүү. Аажим аажмаар их удаан хугацаанд бүрэлдэж бий болсон мэдлэг.

Бүр МЭӨ 3-р зуунд эртний Грекийн философич Аристарх нар төвт системийн санааг дэвшүүлсэн боловч оддын параллакс ажиглагдахгүй байсан учир тэр үедээ хэн ч тоогоогүй. Параллакс гэдэг нь савлаж байгаа савлуур дээрээс хажуу тийшээ жишээ нь мод руу харахад мод савлаж харагддаг үзэгдлийг хэлж байгаа юм. Аристарх өөрөө одод маш хол учраас параллакс ажиглагдахгүй байгаа гэж онолоо аврахыг оролдож байсан.

Сүүлд 1543 оны үед Николай Коперник энэ санааг дахин амилуулсан ч гаригуудын тойрог замыг эллипс гэж мэдээгүйгээс яс юман дээр тооцоо хийхэд Птолемейн дэлхий төвт системээс нарийвчлал нь муу байсан. Гэхдээ нарыг ертөнцийн төвд тавьснаар хэд хэдэн зүйлс чанарын хувьд их хялбарчлагдаж байгааг зарим хүмүүс ажигласан байгаа.

Коперникийн онол үнэн бол оддын параллакс ажиглагдах ёстой. Үүнийг ажиглах гэж Тихо Браге олон нарийн хэмжилт хийгээд бараагүй болохоор (1587 оны үед) нар сар хоёр дэлхийг тойрдог бөгөөд бусад гаригууд нарыг тойрдог эрлийз систем дэвшүүлсэн. Параллакс ажиглагдаагүй учраас дэлхий хөдөлгөөнгүй байх ёстой гэж бодсоноос тэр. Дорх видеонд Птолемейн, Коперникийн болон Брагегийн загваруудыг харьцуулж үзүүлсэн байна.

Ингээд Брагег хальсны дараа түүний туслагч байсан Иоганн Кеплер Брагегийн нарийн ажиглалтууд дээр үндэслээд гаригууд нарыг эллипсээр тойрдог төдийгүй тойрохдоо ямар хурдтай явдгийг нь тодорхойлсон хуулиудаа нээж, 1609 онд «Астрономиа Нова» нэртэй номондоо хэвлүүлсэн байна. Үүний дараа тэр хэд хэдэн номондоо гаригуудын байрлалыг өмнөх үеийнхнээсээ дор хаяж 10 дахин их нарийвчлалтай тооцож оруулсан байсан нь Кеплерийн загварыг олонд үнэмшүүлэхэд их үүрэг гүйцэтгэсэн юм.

«Астрономиа Нова» хэвлэгддэг жил Галилео Галилей анх удаагаа шөнийн тэнгэр лүү өөрийн бүтээсэн дуранг чиглүүлж, олон сонирхолтой юм ажигласан. Жишээлбэл нарны толбо, саран дээрх уул нуруу, Бархасбадийн дагуулууд, Сугар гаригийн арвидал хомсдол зэргийг дурдаж болно. Эдгээр ажиглалтууд нь тэнгэрийн эрхэс Аристотелийн номлосончлон төгс төгөлдөр, хиргүй тунгалаг биш, өөр гаригийг бас жижигхэн биетүүд тойрч болдгийг харуулсан. Птолемейн дэлхий төвт систем нь Аристотелийн физик дээр үндэслэгддэг болохоор Галилейн ажиглалтууд суурийг нь ганхуулж эхэлсэн гэсэн үг. Мөн Сугар гаригийн арвидал хомсдолыг Птолемейн системээр тайлбарлах ямар ч боломжгүй. Гэхдээ энэ нь Брагегийн эрлийз системд төвөг учруулахгүй. Тэгэхээр ялангуяа шашныхан Брагегийн систем рүү хэлбийж эхэлсэн.

Дорх видеонд Сугар гаригийн арвидал хомсдолыг дүрсэлж үзүүлсэн байна.

Энэ хооронд шинжлэх ухааны арга хөгжиж, өөрийн гараар туршилт судалгаа хийх хүмүүсийн тоо олширсон. Оддын параллаксыг ажиглаж нар төвт системийг эцэслэн батлах гэж олон хүн оролдоод мөн л бараагүй. Харин 1676 оны үед Бархасбадийн дагуулуудыг судалж байх явцдаа Данийн одон оронч Оле Рёмер дагуулуудын гаригаа тойрох үе нь дэлхийн байрлалаас хамаарч өөрчлөгдөж байгааг ажигласан. Үүнийг тэр гэрлийн хурдны хязгааргүй биш байдагтай холбож тайлбарласан бөгөөд энэ нь дэлхий хөдөлгөөнтэй байдагтай ямар ч байсан нийцтэй тайлбар байж.

Одоо мэдээж Ньютоны тайзан дээр гарч ирэх цаг. 1687 онд бичсэн номондоо тэрбээр Аристотелийн физикийг газартай тэгшлээд өөрийн шинэ шинжлэх ухааныг сүндэрлүүлэн босгосон байгаа. Уг номонд орсон цоо шинэ үр дүнгүүдээс дурдвал: ертөнц дахины таталцлын хуулийг тухайн үеийн ажиглалтын нарийвчлалын хүрээнд баталсан, Кеплерийн хуулиудыг Ньютоны механикийн мөрдлөгөө мэтээр гаргасан, сүүлт однуудын траекторийг тайлбарласан, нар яг хөдөлгөөнгүй байдаггүй, нарны аймгийн хүндийн төвийг тойрч эргэдгийг урьдчилж хэлсэн, гаригуудын массыг үнэлсэн, сарны хөдөлгөөний нарийн ширийн хэлбэлзлүүдийг тайлбарласан, дэлхийн цүлцэн хэлбэрийг тодорхойлсон, далайн таталт түрэлтийг тайлбарласан, дэлхийн эргэлтийн тэнхлэг 26000 жилийн үетэйгээр хэлбэлздэг явдлыг тайлбарласан зэрэг байна. Үүнээс хойш дэлхий төвт системийн тухай яриа үндсэндээ замхарсан гэж болно.

Ньютоны номноос авсан зураг

Гэхдээ нөгөө гайхал параллаксыг хэн ч ажиглаж чадаагүй хэвээр байж. Оддын параллаксыг илрүүлэх гэж оролдож байгаад 1725 онд Английн одон оронч Жеймс Брэдли юу ажигласан бэ гэвэл, нэг жилийн хугацаанд оддын харагдах байрлал хамгийн ихдээ нумын 40 секунд орчмоор хэлбэлзэж байгааг илрүүлсэн байна. Үүнийг параллаксаар тайлбарлах аргагүй байсан бөгөөд Брэдлиг гэрлийн аберраци гэдэг шинэ үзэгдлийг нээхэд хүргэсэн. Энэ нь чанх дээрээс бороо орж байх үед хурдтай машинаар явахад бороо машины урд шилийг цохиж өнцөг үүсгэж ордогтой адил үзэгдэл гэрлийн хувьд ажиглагдаж байгаа нь юм. Ийнхүү ододтой харьцуулахад дэлхий нэг жилийн үетэй хэлбэлзэх хөдөлгөөн хийж байгаа нь шууд батлагдсанаар дэлхий төвт системүүдийн үнс нурамны сүүлчийн ширхгийг салхинд хийсгэн хөөжээ.

Эцэст нь, одны параллаксыг хэн анх хэмжих вэ гэсэн их уралдаанд Германы эрдэмтэн Фридрих Бессель 1838 онд Хунгийн ордны 61 дугаартай одны параллаксыг нумын 0.3 секунд гэж хэмжсэнээр түрүүлж, хоёр мянга гаруй жил үргэлжилсэн маргаанд цэг тавьжээ.

Маралын ордны ойролцоох зарим одны жилийн параллаксыг амилуулж үзүүлсэн нь.

 

Posted in Одон орон, Физик, түүх | Tagged , , , , , , , , | Сэтгэгдэл бичих

Ньютоны болон Кулоны хуулиуд

Байгалийн философийн математик эхлэл (1687) номондоо Исаак Ньютон ертөнц дахины таталцлын (буюу гравитацын) хуулийг дараах байдлаар томъёолсон.

Ямар ч хоёр цэгэн масс бие биенийгээ татах бөгөөд энэ таталцлын хүчний хэмжээ нь уг хоёр массын үржвэрт шууд, хоорондох зайн квадратад нь урвуу пропорциональ байна.

Өөрөөр хэлбэл, хоёр массын хэмжээг M ба m, хоорондох зайг нь r гэвэл

Таталцлын хүчний хэмжээ = GMm/r²

томъёо биелнэ. Үүнд пропорционалийн коэффициент G нь Ньютоны тогтмол нэртэй универсаль тогтмол бөгөөд тоон утга нь СИ системд

G ≈ 6.67×10−11 м3/(кг⋅сек2)

байдаг. Жишээлбэл, хоорондоо 1м зайтай, тус бүр 100 тонн масстай хоёр жижиг биет бие биенээ 0.667Н орчим хүчээр татна гэсэн үг. Түүнчлэн, хоорондоо 1см зайтай хоёр протон таталцлын хүчний улмаас 10−32 м/сек2 орчим хурдатгал олж авна.

Огторгуйд нэг тэгш өнцөгт координатын систем бэхлээд, M массын координатуудыг x = (x1x2x3), m массын координатуудыг y = (y1, y2, y3) гэж тэмдэглэвэл тэдгээрийн хоорондох зай

r = |x-y| = \sqrt{(x^1-y^1)^2+(x^2-y^2)^2+(x^3-y^3)^2}

болно. Энд |xy| тэмдэглэгээ нь xy векторын уртыг тэмдэглэж байгаа. Мөн x1x2, ба x3 нь x векторын 3 координат (тооны зэргүүд биш!) гэдгийг анхаараарай. Жишээлбэл, z = (1м,5м,–2м) гэсэн векторын координатууд нь z1 = 1м, z2 = 5м, ба z3 = –2м болно.

Таталцлын хүчний зөвхөн хэмжээг төдийгүй чиглэлийг тооцон m массын зүгээс M масст үйлчилж байгаа таталцлын хүчийг вектор хэлбэрт бичвэл

\displaystyle F = \frac{GMm}{|x-y|^2}\tau = - GMm\frac{x-y}{|x-y|^3}.

Үүнд τ нь x цэгээс y цэг рүү чиглэсэн нэгж вектор

\displaystyle\tau = - \frac{x-y}{|x-y|}.

newtcoul1

m массаас M масст үйлчлэх хүч y–x векторын дагуу чиглэх бол M массаас m масст үйлчлэх хүч яг эсрэг зүгт чиглэнэ. Эдгээр хүчний хэмжээ хоорондоо тэнцүү бөгөөд Mүржвэрт шууд, |xy|² хэмжигдэхүүнд урвуу пропорциональ байна.

Одоо m массынхаа оронд m1, m2, m3, … гэсэн төгсгөлөг тооны массыг y1, y2, y3, … гэсэн цэгүүд дээр байрлуулъя. Тэгвэл эдгээр массын зүгээс x цэгт байрлах M масст үйлчлэх нийт хүчийг олохдоо масс тус бүрээс үйлчлэх хүчнүүдийг нэмэх хэрэгтэй:

\displaystyle F = \sum_iF_i = - GM\sum_{i}m_i\frac{x-y_i}{|x-y_i|^3}.

newtcoul2

M масст үйлчлэх нийт таталцлын хүч нь mба m2 масс тус бүрийн зүгээс үйлчлэх таталцлын хүчнүүдийн (вектор) нийлбэртэй тэнцүү байна.

Таталцлын хүчний «цаадах механизм» нь яг юу юм бэ гэдэг талаар Ньютон юу ч дурдаагүй, зөвхөн таталцлын хүчийг ингэж тооцоход бодит байдалтай таарч байна гэдгийг л зааж өгсөн. Тэр цагаас хойш Ньютоны таталцлын хууль үй түмэн туршилтаар маш нарийн шалгагдсан байгаа. Харин таталцлын хүчний «цаадах механизмыг» тайлбарлах асуудлаар 19-р зууны сүүл үе гэхэд Ньютоны үетэй харьцуулахад нэг шат ахисан гэж үзэж болно. Энэ тайлбар нь Майкл Фарадейн оруулж ирсэн физик орон гэгдэх ойлголт дээр үндэслэгддэг. Дээр өгүүлсэн ёсоор m1, m2, m3, … массуудын зүгээс үйлчлэх таталцлын хүчийг M масс «мэдэрч» байгаа. Ингэж таталцлын харилцан үйлчлэлд орохдоо M масс маань m1, m2, m3, … массуудын оршин байгааг шууд мэдрэх үү? Үүнд бид M масс маань зөвхөн x цэг дээрх таталцлын орон гэгч зүйлийг л мэдэрнэ, харин таталцлын орон нь өөрөө m1, m2, m3, … массуудын байрлал болон хэмжээнээс хамаарна гэж үзнэ.  Өөрөөр хэлбэл M массын байгаа эсэхээс хамааралгүйгээр, m1, m2, m3, … массуудын нөлөөн дор огторгуйн цэг бүрийн шинж чанар ямар нэг байдлаар өөрчлөгдөж, туршилтын цэгэн массыг хаана ч байрлуулсан гэсэн түүнийг хааш нь түлхэхээ «мэдэхээр» болж бэлтгэгдэнэ гэсэн үг. Огторгуйн цэгүүдийн ингэж өөрчлөгдсөн төлөв байдлыг таталцлын орон (эсвэл гравитацын орон) гэж нэрлэнэ.

Математикийн хувьд таталцлын орныг

\displaystyle E(x) = - G\sum_{i}m_i\frac{x-y_i}{|x-y_i|^3}

гэсэн вектор орноор төлөөлүүлж болно. Энэ вектор орны физик утга нь x цэг дээр нэгж масс байрлуулбал түүнд ямар хүч үйлчлэх вэ гэдгийг илэрхийлнэ. Иймд хэрэв x цэг дээр M масс байрлуулбал таталцлын орны зүгээс түүнд үйлчлэх хүч нь

F = ME(x)

байна. Ньютоны 2-р хуулиас (F = Ma), x цэг дээр ямар ч масс байрлуулсан гэсэн түүний олж авах хурдатгал нь E(x) вектортой тэнцүү болохыг бас харж болно. Энэ E(x) вектор орныг таталцлын орны хүчлэг, мөн хүндийн хүчний хурдатгал гэж нэрлэх нь бий. Хэрэв цэгэн массуудын оронд ρ(y) гэсэн нягттай цул биетийг авч үзвэл, түүний үүсгэх таталцлын орон нь дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ.

\displaystyle E(x) = - G\int \rho(y)\frac{x-y}{|x-y|^3} d^3y.

Үүнд d³y тэмдэглэгээ нь эзэлхүүнээр авсан интегралыг илтгэнэ.

newtcoul3.jpg

Эллипсойд хэлбэртэй биетийн үүсгэх таталцлын оронг бүдүүвчлэн дүрсэлсэн нь

Ньютоны таталцлын хуультай өнгөн дээрээ яг адилхан хууль цахилгаан цэнэгүүдийн хувьд бас үйлчилдэг нь их сонирхолтой. Дээрхтэй төстэйгөөр, x цэг дээр Q хэмжээтэй цэнэг, y цэг дээр q хэмжээтэй цэнэг (хөдөлгөөнгүй) байжээ гэе. Тэгвэл Q цэнэгт q-гийн зүгээс үйлчлэх цахилгаан хүч нь

\displaystyle F = \kappa Qq\frac{x-y}{|x-y|^3}

томъёогоор өгөгдөнө. Энэ хуулийг Францын физикч Шарль Огюстен де Кулон 1784 онд нээсэн бөгөөд κ тогтмолыг Кулоны тогтмол гэдэг. Кулоны хуулийг Ньютоны таталцлын хуультай харьцуулан тэмдэглэх зүйлс хэд байна.

  • Массын тоон хэмжээ үргэлж эерэг байдаг бол цэнэгийн тоон хэмжээ эерэг ба сөрөг утгын аль алиныг авч болдог.
  • Кулоны тогтмолын утга нь эерэг (κ > 0). Өөрөөр хэлбэл ижил цэнэгүүд түлхэлцэх ба эсрэг цэнэгүүд таталцана. Үүнтэй харьцуулахад Ньютоны таталцлын хуульд κ = – G < 0 байгаа гэж үзэж болох тул эерэг масстай биетүүд үргэлж таталцана. Хэрэв сөрөг масстай биетүүд оршин байдаг бөгөөд Ньютоны таталцлын хууль тэдгээр биетийн хувьд мөн биелдэг бол эерэг ба сөрөг масстай биетүүд хоорондоо түлхэлцэх байсан.
  • Ньютоны таталцлын хуульд орж байгаа массыг гравитацын цэнэг гэвэл илүү зохино. Гравитацын цэнэг нь Ньютоны 2-р хуулинд ордог инерцийн масстай тэнцүү байдаг нь эквивалентын зарчим гэгддэг байгалийн тулгуур хууль юм. Эквивалентын зарчмыг гравитацын оронд байгаа биетийн хурдатгал массаасаа хамаарахгүй гэж томъёолж ч болно. Энд яригдаж байгаа хурдатгал нь мэдээж гравитацын орны (тухайн цэг дээрх) хүчлэгтэй тэнцүү байна.
  • Бидэнд өдөр тутамд тохиолддог биетүүдийн хоорондох таталцлын хүч хэт бага байдаг нь уламжлалт нэгжийн системүүдэд Ньютоны тогтмолын утга мөн үлэмж бага байдгаар илэрнэ. Хэрэв Ньютоны тогтмолын тоон утгыг жишээ нь 1 байлгая гэвэл массыг маш том нэгжээр (эсвэл хүчийг, уртыг маш бага нэгжээр) хэмжих хэрэгтэй.
  • Дээрхтэй харьцуулахад, өдөр тутам тохиолддог цэнэгүүдийн хоорондох цахилгаан хүч нь тийм ч бага биш. Жишээлбэл, хоорондоо 1см зайтай хоёр протон цахилгаан хүчний улмаас 1400 м/сек2 орчим хурдатгал олж авна. Тэгэхээр Кулоны тогтмолын тоон утгыг 1 эсвэл өөр «гоё» утгатай байлгахаар цэнэгийн нэгжийг тодорхойлоход нэг их асуудал гарахгүй. Үнэндээ ийм нэгжийн системүүд байдаг (Жишээлбэл, Гауссын нэгжийн систем байна).

Гравитацын оронтой төстэйгөөр цахилгаан орон гэсэн ойлголтыг мөн оруулж ирж болох бөгөөд уг орныг цахилгаан орны хүчлэг буюу нэгж цэнэгт үйлчлэх хүчээр төлөөлүүлэн ойлгож болно. Тухайлбал, y1, y2, y3, … гэсэн цэгүүд дээр байрласан q1, q2, q3, … гэсэн төгсгөлөг тооны цэнэгийн үүсгэх цахилгаан орны хүчлэг

\displaystyle E(x) = \kappa\sum_{i}q_i\frac{x-y_i}{|x-y_i|^3}

байна. Цахилгаан орны хүчлэг мэдэгдэж буй бол x цэгт байрласан Q цэнэгт тус орны зүгээс үйлчлэх хүч

F = Q E(x).

Хэрэв цэгэн цэнэгүүдийн оронд ρ(y) гэсэн нягттай цэнэгийн тархалтыг авч үзвэл, түүний үүсгэх цахилгаан орон нь дараах интегралаар илэрхийлэгдэнэ.

\displaystyle E(x) = \kappa\int \rho(y)\frac{x-y}{|x-y|^3} d^3y.

newtcoul4.jpg

Эерэг ба сөрөг цэнэгтэй хоёр бөмбөрцгийн үүсгэх цахилгаан оронг бүдүүвчлэн дүрсэлсэн нь. Улаан бөмбөрцөг нь эерэг цэнэгтэй ба цэнэгийн хэмжээ нь цэнхэр бөмбөрцгийнхөөсөө арай их байгаа.

Эцэст нь хэлэхэд, Ньютоны гравитац ба Кулоны цахилгаан харилцан үйлчлэлийн хоорондох ганц чанарын ялгаа нь κ тогтмолын эерэг сөрөг эсэхэд байгааг анхаараарай. Хэрэв κ тогтмолын тэмдгийг хязгаарлалгүйгээр эерэг ч байж мэдэх сөрөг ч байж мэдэх тогтмол гэж үзвэл энэ хоёр харилцан үйлчлэлийг математикийн хувьд нэг ерөнхий аргаар судалж болох юм.

Posted in Таталцал, Физик, Цахилгаан соронзон | Tagged , , , , | Сэтгэгдэл бичих

Дэлхий анх хэр халуун байсан бэ?

Нарыг «нялх» үед түүнийг тойроод эргэж байсан солир, астероидууд хоорондоо мөргөлдөж, бөөгнөрөн хуралдсаар дэлхий болон бусад чулуулаг гаригууд үүссэн гэж үздэг. Солир, астероидуудын дундаж нягт 3.5г/см³ байдаг бол дэлхийн дундаж нягт 5.6г/см³ орчим байгаа. Тэгэхээр дэлхийг анх үүсгэсэн материал таталцлын улмаас агшиж одоогийнхоо хэмжээнд очсон гэсэн үг.

Дэлхийг анх 3.5г/см³ нягттай цул бөмбөрцөг байж байгаад 5.6г/см³ нягттай болтлоо агшсан гэж үзье. Энэ агшилтын улмаас дэлхийн нийт потенциал энерги багасах учраас илүүдэл потенциал энерги дулаанд шилжих ёстой (Том бөмбөрцөг байж байгаад агшиж жижигрэхийг бөмбөрцөг доторх бодисууд доошоо унахтай зүйрлэж болно). Анхны том бөмбөрцгийн температур 0 Кельвин байсан гэж үзвэл агшсаны дараа (одоогийнхоо хэмжээнд очих үедээ) ямар температуртай болох бол?

 

earth5

Дэлхийн радиус R’ байж байгаад R болтлоо агшив. Хэрэв дэлхийн бүх масс M зөвхөн бөмбөлгийнхөө гадаргуу дээр хуримтлагдсан (тод улаан хүрээнүүд) гэж үзвэл, агшилтаар ялгарах энерги нь M масс h өндрөөс унахад ялгарах энергитэй тэнцүү байна.

Энэ үзэгдлийг ядаж чанарын хувьд ойлгох үүднээс эхлээд дараах хялбарчилсан загварыг авч үзье.

  • Дэлхийн бүх масс маш нимгэхэн бөмбөлөг давхарга маягаар зөвхөн гадаргуу дээгүүрээ байрлана. Өөрөөр хэлбэл бид дэлхийг дотроо хөндий гэж үзэх гэж байна. Бодит байдал дээр мэдээж дэлхий нь цул зүйл байгаа.
  • Дэлхийг агших явцад гравитацын орон өөрчлөгдөхгүй, чөлөөт уналтын хурдатгал нь үргэлж дэлхийн төв рүү чиглэсэн, g ≈ 9.8м/сек² утгатай хэвээр байна гэе. Бодит байдал дээр мэдээж агших явцад дэлхийн гравитацын орон өөрөө өөрчлөгдөнө. Үүнээс гадна үнэндээ чөлөөт уналтын хурдатгал дэлхийн гадаргаас холдох тусам багасах ёстой.

Тэгэхээр дэлхийн потенциал энергийн өөрчлөлт

∆U = Mgh = Mg (R’ – R)

болно. Үүнд M нь дэлхийн масс, R ≈ 6370км нь дэлхийн одоогийн радиус ба R’ нь дэлхийн анхны радиус. Дэлхий агшихаасаа өмнө ямар радиустай байсныг олохын тулд масс нь өөрчлөгдөөгүй гэсэн нөхцлийг ашиглана. Дэлхийн анхны нягтыг ρ‘ = 3.5г/см³, эцсийн нягтыг ρ = 5.6г/см³ гэвэл, масс хадгалагдаж байхын тулд ρR³ = ρ(R’)³ гэсэн нөхцөл биелэх ёстой. Эндээс R’ ≈ 7450км гэж олдоно. Цаашилбал, анхны температур 0 Кельвин тул эцсийн температур

T ∆U / (Mc) = g (R’ – R/ c

байна. Үүнд c ≈ 800Ж/(кг·К) нь дэлхийн дундаж хувийн дулаан багтаамж (ө.х. 1 килограмм бодисыг 1 Кельвинээр халаахад 800 Жоуль дулаан зарцуулна). Дэлхийн ихэнх хэсгийг бүрдүүлдэг магмын чулуулгийн хувийн дулаан багтаамж иймэрхүү байгаа. Ингээд бүх тоон утгуудыг орлуулан

T ≈ 9.8 · (7450000 – 6370000) / 800 К 13000К 

гэж гарна.

Одоо энэ тооцоогоо бага зэрэг сайжруулах гээд үзье. Тухайлбал, дэлхийн бүх масс зөвхөн гадаргуу дээгүүрээ биш, эзэлхүүнээрээ жигд тархсан гэвэл дэлхийн агшилтын үеэр арай бага масс шилжих тул эцсийн температур 13000К-ээс бага гарах ёстой мэт. Нөгөө талаас, дэлхийн нягт төвдөө ч, захдаа ч жигд ихсэх болохоор шилжиж байгаа массын зарим хэсэг нь илүү хол зайд шилжинэ гэж үзэж болно. Тэгэхээр эцсийн температур 13000К-ээс их гарах ёстой ч юм шиг.

Юуны түрүүнд жигд нягттай цул бөмбөрцгийн гравитацын потенциал энергийг олъё. Дээрх хялбарчилсан тооцооноос энэ юугаараа ялгаатай  вэ гэвэл дэлхийн гүнд байгаа хэсэгхэн массыг авч үзвэл энэ массыг дэлхийн бусад хэсэг дээрээс нь ч, доороос нь ч, үнэндээ зүг бүрээс нь татах учраас уг масст яг ямар хүч үйлчлэхийг тооцоход хүндрэлтэй. Гэхдээ энэ хүндрэлээс бид Ньютоны теоремыг ашигласнаар амархан гарч болно:

Бөмбөлгөн тэгш хэмтэй (ө.х. нягт нь зөвхөн төв хүртэлх зайнаасаа хамаардаг) биетийн гаднах гравитацын орон нь уг биетийн бүх масс төвдөө төвлөрсөн байгаагаас ялгагдахгүй.

Иймд   ρ нягттай, r радиустай (V = 4πr³/3 эзэлхүүнтэй) бөмбөрцгийн гадна, төвөөс нь x зайд байрлах нэгж масст үйлчлэх хүч

E = γρV / x²

байна (энд γ нь гравитацын тогтмол). Энэ хүч потенциал энергиэс x-ээр авсан уламжлалтай тэнцүү байх ёстой тул, потенциал энергийг хязгааргүйд 0 гэж үзвэл, уг нэгж массын гравитацын потенциал энерги

φ = – γρV / x

болно. Одоо цул бөмбөрцгийн потенциал энергийг олохын тулд, 0 радиустай бөмбөрцгөөс эхлээд хальс шиг нимгэхэн давхаргуудыг нэг нэгээр нь нэмээд бөмбөрцгийнхөө радиусыг ихэсгээд явъя.

earth3.jpg

Тухайлбал, бөмбөрцөг r радиустай байх үед dr зузаантай (dm = ρ · r²dr масстай) давхарга нэмэхэд потенциал энерги

dU = φ · dm = – γρV / r · ρ · 4πr²dr = – (16/3)π²γρ²rdr

хэмжээгээр өөрчлөгдөх тул нийт энергийг

\displaystyle U = - \frac{16}{3}\pi^2\gamma\rho^2\int_0^R r^4 dr = - \frac{16}{15}\pi^2\gamma\rho^2 R^5

гэж тооцож болно. Энэ илэрхийлэлд M = ρ · (4/3)πR³ ба g = γM/R² гэдгийг орлуулбал

\displaystyle U = - \frac{3\gamma M^2}{5R} = - \frac35MgR

болж хялбарчлагдана. Тэгэхээр дэлхий агшихаас өмнөх ба агшсаны дараах үеийн потенциал энергийн зөрөө

\displaystyle \Delta U = \frac35M(gR-g'R') = \frac{3MgR}{5R'}\Big(R'-\frac{g'(R')^2}{gR}\Big)= \frac{3MgR}{5R'}(R'-R)

байна. Энд g‘ нь дэлхий R‘ радиустай байх үеийн гадаргуу дээрх чөлөөт уналтын хурдатгал (g(R)² = g‘(R‘)² харьцааг хангана). Эцэст нь агшилтын дараах дэлхийн температур

\displaystyle T = \frac{\Delta U}{Mc} = \frac{3gR(R'-R)}{5R'c} = \frac{3R}{5R'}T_0 \approx \frac{3\cdot6370}{5\cdot7450}\cdot13000K \approx 6700K

гэж олдоно. Үүнд T_0\approx13000K нь дээр бидний хялбарчилсан тооцооноос гардаг температур.

Posted in Одон орон, Физик | Tagged , , | Сэтгэгдэл бичих