3 хэмжээст огторгуй дахь эргүүлэлт

Өмнөх постныхоо үргэлжлэл болгоод, 3 хэмжээст ортогональ хувиргалтуудын талаар нарийвчлан авч үзье. Ортогональ хувиргалт гэдэг нь A^\top A=I нөхцлийг хангах A\in\mathbb{R}^{n\times n} матриц бүхий \psi(x)=Ax хэлбэрийн хувиргалт гэдгийг санаарай. Тэгэхээр ортогональ хувиргалтуудын олонлогийг

O(n)=\{A\in\mathbb{R}^{n\times n}:A^\top A=I\}

гэсэн (ортогональ матрицуудын) олонлогтой адилтгаж болно. Бидний хувьд ортогональ хувиргалтуудыг судлах болсон шалтгаан нь Евклидийн хувиргалтууд буюу зайг хадгалдаг (ө.х. |\phi(x)-\phi(y)|=|x-y| нөхцлийг хангадаг) хувиргалтуудаас урган гарсан байгаа. Тодруулбал, ямар ч Евклидийн хувиргалтыг ортогональ хувиргалт ба зөөлтийн комбинаци байдлаар \phi(x)=Ax+b (үүнд A\in O(n) ба b\in\mathbb{R}^n) гэж «задалж» болдог. Ортогональ болон Евклидийн хувиргалтууд тус бүртээ бүлэг үүсгэхийг хялбархан шалгаж болно. Энэ хоёр бүлгийг харгалзан ортогональ бүлэг ба Евклидийн бүлэг гээд, O(n) ба E(n) гэж тэмдэглэдэг.

Ортогональ бүлэг нь дотроо тусгай ортогональ бүлэг гэгддэг, дараах байдлаар тодорхойлогддог дэд бүлгийг агуулна:

SO(n)=\{A\in O(n):\det(A)=1\}.

Нэгж матрицын тодорхойлогч нь 1-тэй тэнцүү тул I\in SO(n). Ерөнхий A\in O(n) элементийн хувьд, I=A^\top A тэнцэтгэлийн хоёр талын тодорхойлогчийг бодвол

1=\det(A^\top A)=\det(A^\top)\det(A)=\det(A)^2

учир, \det(A)=1 эсвэл \det(A)=-1 байх ёстой.

n = 1. Огторгуйн хэмжээс n = 1 үед адилтгал x\mapsto x ба ойлт x\mapsto-x гэсэн хоёрхон ортогональ хувиргалт л байна. Тэгэхээр O(1)=\{1,-1\} ба SO(1) нь ганц элементтэй тривиал бүлэг болно.

O(1) бүлэг

n = 2. Хавтгайн хувьд ортогональ бүлэг нь эргүүлэлт ба ойлтуудаас тогтоно. Тухайлбал, SO(2)=\{R_\alpha:\alpha\in\mathbb{R}\}, үүнд

R_\alpha=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}

нь \alpha өнцгөөр эргүүлэх эргүүлэлтийн матриц. Цаашилбал, x_1 тэнхлэгтэй \theta өнцөг үүсгэсэн шулуунтай харьцангуй ойлгох ойлтын матрицыг

P_\theta=\begin{pmatrix}\cos2\theta&\sin2\theta\\\sin2\theta&-\cos2\theta\end{pmatrix}

гэвэл O(2)=SO(2)\cup\{P_\theta:\theta\in\mathbb{R}\} гэж бичиж болно. Үнэндээ бол шулуунаас хавтгай руу шилжиж хэмжээс нэмэхэд эргүүлэлт л шинээр гарч ирж байгаа. Ойлт бол угтаа 1 хэмжээстэй хувиргалт бөгөөд эргүүлэлттэй хоршсоноор дурын шулуунтай харьцангуй ойлт үүсч байгаа гэж үзэж болно:

P_\theta=R_\theta P_0R_{\theta}^\top=R_\theta P_0R_{-\theta}

Нөгөө талаас, ямар ч эргүүлэлтийг дараалсан хоёр ойлт болгож задалж болдог:

R_{2\alpha}=P_{\theta+\alpha}P_\theta

SO(2) бүлгийг цэг бүр нь эргүүлэлтээс тогтох тойрог мэтээр төсөөлж болно. Тэгвэл O(2) бүлгийн (ногооноор дүрслэгдсэн) нөгөө хэсэг нь дан ойлтуудаас тогтоно. Энэ хоёр «тойргийн» хооронд (жишээ нь P0 гэсэн) ойлт ашиглан шилжиж болно.

Огторгуйн хэмжээсийг n = 3, n = 4 гэх мэтчилэн цаашид ихэсгэвэл, нэг хачирхалтай гэмээр зүйл бол 1 хэмжээсээс 2 хэмжээс рүү шилжихэд эргүүлэлт гарч ирж байсан шиг тийм «цоо шинэ» зүйл гарч ирдэггүй. Зөвхөн хуучин байсан зүйлүүдээ янз бүрээр эвлүүлж угсрах боломжийн тоо нь л нэмэгддэг гэж хэлж болно (Үнэндээ бол эргүүлэлт нь 2 ойлтоос тогтох учир 2 хэмжээс дээр ч гэсэн адилхан шүү дээ гэж маргах ч боломжтой).

n = 3. Хоёр хэмжээстэй тохиолдолд ашигласан аргаа дагаад, A матрицын багануудыг a_1,a_2,a_3\in\mathbb{R}^3 гэж тэмдэглэвэл, A^\top A=I тэгшитгэлээс эдгээр нь нэгж урттай, хоорондоо ортогональ векторууд байх ёстой гэж гарна. Нэгж вектор бүрийг 2 өнцгөөр параметрчилж болох ба 3 вектор хоорондоо ортогональ байх нөхцөл 3 тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэнэ. Тэгэхээр A матрицыг тодорхойлох бодлого нь 6 үл мэдэгдэгчтэй тригонометрийн 3 тэгшитгэлийн системийг бодох бодлогод хувирна. Үүнийг дараах аргаар шийдэж болно:

  • Эхлээд a_1 векторыг сонгоно (2 параметр).
  • a_1 векторт ортогональ хавтгай дотор a_2 векторыг сонгоно (1 параметр).
  • Хамгийн сүүлд a_3 векторыг a_1 векторт ортогональ хавтгай дотор, a_2 векторт ортогональ байхаар сонгоно (2 сонголтоос 1 нь).

Үүнтэй төстэй гаргалгааг n хэмжээстэй үед ч хийж болох бөгөөд ерөнхийдөө n хэмжээст эргэлтийг тодорхойлоход n(n–1)/2 чөлөөт параметр хэрэгтэй нь харагдах боловч бидний мэдлэгийг нэг их тэлсэн юм байхгүй байна. Тэгэхээр A^\top A=I тэгшитгэлээс дорвитой мэдээлэл гаргаж авахын тулд арай өөр аргаар үзэх хэрэгтэй болох нь. Энэ бодлогыг n = 3 үед бүрэн шийдэж, огторгуй дахь эргүүлэлтийн нууцыг анх тайлсан хүн бол Леонард Эйлер юм. Тэрбээр 1775 онд (68 настай, хоёр нүд нь хараагүй болчихсон байх үедээ) бөмбөлгийн тригонометр ашиглан 3 хэмжээст эргүүлэлтүүдийн талаарх үндсэн теоремыг баталсан байдаг. Уг теоремын «амин сүнсийг» нь дараах байдлаар илэрхийлж болно.

3 хэмжээстэй ортогональ хувиргалт бүрт эргэлтийн тэнхлэг буюу уг хувиргалтаар өөрөө өөртөө буудаг тийм шулуун оноогдсон байдаг. Тухайлбал, «3 хэмжээстэй эргүүлэлт» гээч нь үнэндээ ямар нэг тэнхлэгийг тойрсон 2 хэмжээстэй эргүүлэлт болж хувирна.

Эйлерийн теоремыг бүрэн эхээр нь толилуулахаас өмнө 3 хэмжээст ортогональ хувиргалтуудын зарим жишээг авч үзье.

Ойлт. Хамгийн түрүүнд, x1x2 хавтгайтай харьцангуй (ө.х. x3 тэнхлэгийн дагуух) ойлтын матриц

P= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}

нь ортогональ болохыг харахад амархан. Үүнтэй төстэйгөөр, x1 ба x2 тэнхлэгийн дагуух, мөн дурын чиглэлийн дагуух ойлтыг тодорхойлж болно. Эдгээр бүх ойлтыг нэг дээвэр дор оруулахын тулд v_1,v_2,v_3\in\mathbb{R}^3 гэсэн ортонормаль суурь авч үзье. Тухайлбал, v_1,v_2,v_3 векторуудаар багануудаа хийсэн матриц V нь ортогональ матриц: V\in O(3). Цаашид бид V матрицыг багануудынх нь цуглуулгатай адилтгаж үзэх болно.

  • Дурын x\in\mathbb{R}^3 векторын V суурь дахь координатууд нь V^\top x векторын компонентуудад бичигдсэн байна.
  • Эдгээр компонентууд дээр P хувиргалтаа хэрэглэвэл PV^\top x гарна.
  • Эцэст нь, V суурьт PV^\top x компонентуудтай байх векторыг олбол VPV^\top x болно.

Дээр өгүүлснийг дүгнэвэл,

Q=VPV^\top

хувиргалт нь, \mathbb{R}^3-ын стандарт суурийг V-ийн багануудаар солиод, энэ суурьтайгаа харьцангуй P хувиргалтыг хийсэнтэй адилхан үр дүн өгөх ёстой. Тухайлбал, P нь  x3 тэнхлэгийн дагуух ойлт тул Q нь v_3 чиглэлийн дагуух ойлт юм. Одоо V матрицын багануудыг v_1,v_2,v_3\in\mathbb{R}^3 гэж тэмдэглээд, I=v_1v_1^\top+v_2v_2^\top+v_3v_3^\top гэдгийг ашиглавал

Q=v_1v_1^\top+v_2v_2^\top-v_3v_3^\top=I-2v_3v_3^\top

болно. Эндээс бид Q матриц V-ийн эхний хоёр баганаас хамаарахгүй болохыг харлаа. Тэгэхээр нэгж урттай векторуудын олонлогийг S^2=\{x\in\mathbb{R}^3:|x|=1\} гэвэл, дурын v\in S^2 векторын хувьд

P_v=I-2vv^\top

нь v чиглэлийн дагуух ойлтын матриц болно. Үүгээр x\in\mathbb{R}^3 вектор дээр үйлчилбэл

\boxed{P_vx=x-2(x\cdot v)v}

гарна.

Эргүүлэлт. Огторгуйн хэмжээс n = 2 үед дараалсан хоёр ойлт нийлээд эргүүлэлт болдгийг бид мэднэ. Гурав ба түүнээс дээш хэмжээст огторгуйн хувьд ч гэсэн, ойлтын үеэр ойлтын чиглэлд перпендикуляр хавтгайнууд л хоорондоо байрлалаа солихоос биш хавтгай тус бүр доторх цэгүүд хөдлөхгүй тул дараалсан хоёр ойлт нь мөн эргүүлэлтийг төрүүлнэ. Тодруулбал, хоорондоо параллель биш u\in S^2 ба v\in S^2 чиглэлийн дагуух ойлтуудыг дараалуулж хийвэл эдгээр векторуудаар төрөгдсөн хавтгайн дагуух (ө.х. эдгээр векторуудад перпендикуляр тэнхлэгийг тойрсон) эргүүлэлт гарч ирэх ёстой. Эргүүлэлтийн ерөнхий томъёог гаргаж авахын тулд эхлээд x3 тэнхлэгийг тойруулж (ө.х. x1x2 хавтгайн дагуу) \alpha өнцгөөр эргүүлэх эргүүлэлтийн матрицыг бичье:

R_{\alpha}= \begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha&0\\\sin\alpha&\cos\alpha&0\\0&0&1\end{pmatrix}

Одоо V\in SO(3) гэсэн матриц авбал, V R_\alpha V^\top нь V-ийн 3-р багана болох v_3 вектороор тэнхлэгээ хийсэн эргүүлэлтийн матриц болно. Тухайлбал, V R_\alpha V^\top матриц нь V-ийн эхний 2 баганаас хамаарахгүй. Иймд v=v_3 гээд, энэ эргүүлэлтийн матрицад

R_{v,\alpha}=V R_\alpha V^\top

гэсэн нэр өгөх боломжтой. Энд бид V\in O(3) биш V\in SO(3) гэж авдаг нь V-г «баруун» координатын систем гэж шаардсантай адилхан. Ингэснээр V-ийн баганууд v_3=v_1\times v_2 харьцааг хангах бөгөөд энэ нь дор авч үзэх томъёонуудыг бага зэрэг хялбарчлана. Ерөнхий V\in O(3) матрицын хувьд бол v_3=\det(V) v_1\times v_2 харьцаа биелнэ.

v = v3 тэнхлэгийг тойрсрн эргүүлэлт Rv

Эргүүлэлтийн ерөнхий томъёо гаргаж авах ажил руугаа буцаж ороод, ойлтын матрицыг гаргаж авсан аргаа R_{v,\alpha}=V R_\alpha V^\top илэрхийлэлд хэрэглэвэл

\begin{array}{rcl}R_{v,\alpha}&=&[(\cos\alpha)v_1+(\sin\alpha)v_2]v_1^\top+[(\cos\alpha)v_2-(\sin\alpha)v_1]v_2^\top+v_3v_3^\top\\&=&(\cos\alpha)(v_1v_1^\top+v_2v_2^\top)+(\sin\alpha)(v_2v_1^\top-v_1v_2^\top)+v_3v_3^\top\\&=&(\cos\alpha)(I-v_3v_3^\top)+(\sin\alpha)(v_2v_1^\top-v_1v_2^\top)+v_3v_3^\top\end{array}\qquad(*)

гэж гарна. Ингээд гурвалсан вектор үржвэрийн талаарх ерөнхий томъёо

a\times(b\times c)=(a\cdot c)b-(a\cdot b)c

ба v_3=v_1\times v_2 гэдгийг тооцвол

(v_2v_1^\top-v_1v_2^\top)x=v_2(v_1\cdot x)-v_1(v_2\cdot x)=(v_1\times v_2)\times x=v_3\times x

гарах бөгөөд үүнийгээ (*) илэрхийлэлд (v=v_3 гэдгийн хамтаар) орлуулбал

\begin{array}{rcl}R_{v,\alpha} x&=&(\cos\alpha)(x-(x\cdot v)v)+(\sin\alpha)v\times x+(x\cdot v)v\\&=&(\cos\alpha)x+(\sin\alpha)v\times x+(1-\cos\alpha)(x\cdot v)v\end{array}

болно. Цаашилбал,

v\times(v\times x)=v(v\cdot x)-x(v\cdot v)=(v\cdot x)v-x

гэдгийг ашиглан

\boxed{\begin{array}{rcl}R_{v,\alpha}x&=&(\cos\alpha)x+(\sin\alpha)v\times x+(1-\cos\alpha)(x\cdot v)v\\&=&x+(\sin\alpha)v\times x+(1-\cos\alpha)((x\cdot v)v-x)\\&=&x+(\sin\alpha)v\times x+(1-\cos\alpha)v\times(v\times x)\end{array}}

гэж хувиргаж болно. Эдгээр томъёотой үндсэндээ эквивалент томъёонуудыг анх Эйлер 1771 болон 1775 оны ажлууддаа хэвлүүлсэн байгаа (Тэр үед вектор гэсэн ойлголт байгаагүй тул Эйлерийн гаргасан томъёонууд мэдээж өнгөн дээрээ дээрхээс арай өөр байсан байх ёстой).

Эйлерийн теорем. Одоо бид Эйлерийн теоремыг бүтнээр нь толилуулахад бэлэн боллоо.

Теорем (Эйлер 1775). Ямар ч A\in O(3) хувиргалтын хувьд дараах хоёр боломжийн аль нэгийг үнэн байлгадаг v\in S^2 гэсэн нэгж вектор болон \alpha\in\mathbb{R} гэсэн бодит тоо оршин байна:

  • A=R_{v,\alpha}
  • A=R_{v,\alpha}P_v

Энд \det(R_{v,\alpha})=1 ба \det(R_{v,\alpha}P_v)=-1 гэдгийг ажиглавал

  • SO(3)=\{R_{v,\alpha}:v\in S^2,\,\alpha\in\mathbb{R}\}
  • O(3)=SO(3)\cup\{R_{v,\alpha}P_v:v\in S^2,\,\alpha\in\mathbb{R}\}

болох нь харагдана.

Энэ теоремын баталгааг хийхийн өмнө нэг чухал хэрэглээг сонирхоцгооё.

Эргүүлэлтүүдийн топологи бүтэц. Өмнөх постноос бид O(2) нь SO(2) ба O(2)\setminus SO(2) гэсэн хоёр саланги хэсгээс тогтдог болохыг мэднэ. Дээрх теоремоос O(3) бүлэг нь мөн цэвэр эргүүлэлтүүд SO(3) ба ойлттой эргүүлэлтүүд O(3)\setminus SO(3) гэсэн хоёр саланги хэсгээс тогтдог бөгөөд энэ хоёр компонент хоорондоо ойлтоор холбогддог болохыг харж болно. Иймд SO(3) бүлгийн бүтцийг ойлгочихвол O(3) бүлгийг бас ойлгож авна гэсэн үг.

Аливаа эргүүлэлт R_{v,\alpha}\in SO(3) нь v\in S^2 ба \alpha\in\mathbb{R} гэсэн 2 параметртэй. Эхний параметр v\in S^2 нь нэгж урттай вектор гэдгийг тооцвол SO(3) нь нийтдээ 3 хэмжээстэй «зүйл» болохыг харж болно. Өмнө үзсэнээр, 2 хэмжээст эргүүлэлтүүд ганц бодит тоогоор параметрчлэгдэх тул SO(2) бүлгийг тойрог мэтээр дүрсэлж болж байсан. Харин SO(3) бүлгийг ингэж зурна гэвэл SO(3)  нь өөрөө 3 хэмжээстэй зүйл учраас 4 юм уу түүнээс олон хэмжээст огторгуй дотор багтааж «зурах» шаардлагатай болох юм. Тэгэхээр SO(3) бүлэг нь ямаршуу «хэлбэр дүрстэй» зүйл юм бэ гэдэг талаар ойлголт авахын тулд арай өөрөөр оролдох хэрэгтэй. Энд v\in S^2 ба \alpha\in\mathbb{R} параметрүүд маань тус болно:

  • Эхний ээлжинд, \alpha\geq0 урттай, v\in S^2 чиглэл дэх u=\alpha v\in\mathbb{R}^3 гэсэн вектор бүрт, R_{v,\alpha}\in SO(3) эргүүлэлтийг харгалзуулъя. Өөрөөр хэлбэл u\in\mathbb{R}^3 векторын чиглэл нь эргэлтийн тэнхлэгийг, урт нь эргэлтийн өнцгийг заана гэсэн үг.
  • Жишээлбэл, координатын эх O=(0,0,0) цэг адилтгал хувиргалтанд, (π,0,0) цэг x тэнхлэгийг тойрч π өнцгөөр эргүүлэх эргүүлэлтэнд харгалзана. Ингэвэл SO(3) дахь ямар ч элементийг ямар нэг u\in\mathbb{R}^3 цэг төлөөлж чадах нь ойлгомжтой.
  • Энэ параметрчлэл нь R_{v,\alpha}=R_{v,\alpha+2\pi} гэсэн үелэх шинж чанартай тул, зөвхөн \alpha\leq2\pi муж (ө.х. 2π радиустай бөмбөрцөг) бүх эргүүлэлтийг төлөөлж чадна.
  • Цаашилбал, R_{v,\alpha}=R_{-v,-\alpha} гэдгээс зөвхөн \alpha\leq\pi муж (ө.х. π радиустай бөмбөрцөг) байж болох бүх эргүүлэлтийг төлөөлж чадна гэдгийг харж болно.
  • Эцэст нь, R_{v,\pi}=R_{-v,\pi} тул уг бөмбөрцгийн гадаргуу дээр (\alpha=\pi), бие биенийхээ яг эсрэг байрлах цэгүүд нэг ижил эргүүлэлтийг (ө.х. SO(3) дээрх нэг цэгийг) төлөөлнө. Тэгэхээр энэ хоёр цэгийг адилтгаж, нэг цэг мэтээр үзэх хэрэгтэй.

Энд байгуулагдсан π радиустай бөмбөрцгийг B=\{x\in\mathbb{R}^3:|x|\leq\pi\} гээд, гадаргуу дээрх эсрэг байрлалтай цэгүүдийг хооронд нь адилтгасан

x\sim y\quad\Longleftrightarrow\quad |x|=\pi,\,x=-y

гэсэн эквивалентийн харьцаа оруулбал, эргүүлэлтүүдийн параметрэн бөмбөрцөг гэгчийг

B^*=B/\sim

гэж тодорхойлж болно. Тэгвэл дээр хэлэлцсэн ёсоор параметрэн бөмбөрцгөөс SO(3) руу буулгасан F:B^*\to SO(3) гэсэн сюръектив буулгалт тодорхойлогдоно. Энэ буулгалт зөвхөн сюръектив төдийгүй урвуутай буулгалт байгаа (үүнийг дор батална). Түүнчлэн, параметрэн бөмбөрцгийн хоёр цэг хоорондоо ойрхон (ө.х. эргүүлэлтийн өнцгүүд болон тэнхлэгүүд нь хоорондоо ойрхон) бол тэдгээрт харгалзах эргүүлэлтүүдийг хоорондоо ойрхон гэж үзэж болно. Тэгэхээр SO(3) нь B^* олонлогтой топологийн хувьд адилхан гэсэн үг. Цаашилбал, B^* олонлог нь \mathbb{RP}^3 буюу бодит проектив огторгуйтай топологийн хувьд адилхан тул бид дараах (топологийн) адилтгалд хүрнэ.

SO(3)\eqsim B^*\eqsim\mathbb{RP}^3

Одоо бид SO(3) бүлгийг B^* олонлогоор төлөөлүүлж бодох замаар уг бүлгийн глобаль бүтцийг тандаж үзэх боломжтой боллоо. Үүний тулд SO(3) дотроо нэг гогцоо аваад, тэр гогцоог аажим аажмаар цэг болтол нь «агшааж» болох уу гэдэг асуултыг сонирхоцгооё. Энэ аргыг хялбар жишээгээр тайлбарлавал, хавтгай \mathbb{R}^2, огторгуй \mathbb{R}^3, болон бөмбөлөг S^2 доторх ямар ч гогцоог цэг болтол нь агшааж болно. Ийм шинж чанартай гогцоонуудыг тривиаль гомотопитой гэж ярьдаг.

Энэ олсны хоёр үзүүрээс татаж гогцоог нь аажмаар жижигсгэж байна гэж төсөөлбөл \mathbb{R}^3 огторгуйд ямар ч гогцоог цэг болтол нь агшааж болно (ө.х. бүх гогцоо тривиаль гомотопитой) гэдэг нь харагдана. Үүнд гогцооноос илүү гарсан олсны хэсгийг мэдээж гогцооны хэсэг гэж үзэхгүй.

Дээрхтэй харьцуулбал, цилиндр S^1\times\mathbb{R}, эсвэл 2 хэмжээстэй тóр \mathbb{T}^2=S^1\times S^1 дээр агшааж болдоггүй гогцоонууд байдаг. Ийм (тривиаль биш гомотопитой) гогцоонууд нь тойроод гарч болохооргүй ямар нэг саадыг «ороож» байдаг гэж ойлгож болно.

Улаан ба цэнхрээр дүрсэлсэн гогцоонуудыг яаж ч агшааж сунгаж яаж ч хөдөлгөөд цэг болтол нь жижигрүүлэх боломжгүй. (Эх сурвалж: Википедиа)

Тэгэхээр аливаа огторгуй дахь бүх гогцоо тривиаль гомотопитой эсэх нь уг огторгуйн глобаль (топологи) бүтцийн талаар мэдээлэл өгч чадаж байна. Одоо эргүүлэлтүүд рүүгээ эргэж орвол, SO(3) доторх «гогцоо» гэхээр эргүүлэлтүүдээс тогтсон гогцоо байна гэдгийг анхаарах хэрэгтэй. Өөрөөр хэлбэл, уг гогцооны цэг болгон нь нэг эргүүлэлтэнд харгалзана. Жишээ болгоод x3 тэнхлэгийг тойрон аажмаар эргэлдэж байгаа биетийг авч үзье. Уг биетийн хөдөлгөөнийг хугацаанаас хамаарсан A(t)\in SO(3) гэсэн эргэлтийн матрицаар төлөөлүүлж болно. Тодруулбал, тухайн биеттэй өөртэй нь бэхлээстэй координатын системд x\in\mathbb{R}^3 координат бүхий цэгийн байрлал хугацааны t\in\mathbb{R} агшинд, «лабораторийн» координатын системтэй харьцангуй A(t)x байна. Хялбарыг бодоод A(t)=R_t гээд авчихъя. Үүнийг x3 тэнхлэгийг тойроод 1 секундэд 1 радиан хурдтай эргэлдэх хөдөлгөөн гэж төсөөлж болно. Ингээд энэ хөдөлгөөнийг t=0 агшнаас эхлээд t=2\pi агшин хүртэл, ө.х. биет тэнхлэгээ нэг бүтэн тойрох хөдөлгөөний «түүхийг» сонирхвол, R_{2\pi}=R_0 учраас энэ хөдөлгөөн SO(3) огторгуйд гогцоо зурж байгааг ажиглаж болно. Одоо энэ гогцоогоо аажим аажмаар (тодруулбал, тасралтгүйгээр) өөрчлөх замаар цэг болтол нь агшааж болох уу (ө.х. энэ гогцоо тривиаль гомотопитой юу) гэсэн асуулт гарч ирнэ. Үүний хариулт нь «үгүй» гэдгийг дараах зургаар тайлбарлах гэж оролдлоо.

а) Биет босоо тэнхлэгийг нэг бүтэн тойроод буцаж байрандаа ирсэн хөдөлгөөний түүх параметрэн бөмбөрцөгт гогцоо байдлаар (цэнхэр шугамаар) зурагдсан нь. б) ба в) Энэ гогцоог аажим аажмаар (тасралтгүйгээр) хувиргах үйлдэл зөвшөөрөгдсөн гэвэл яаж ч оролдоод цэг шиг болтол нь агшаах боломж байхгүй. Бөмбөрцгийн гадаргуу дээрх ижил өнгөөр дүрслэгдсэн (хоорондоо тасархай шугамаар холбогдсон) цэгүүдийг үнэндээ нэг цэгүүд гэж үзнэ.

Эндээс SO(3) бүлэг нь топологийн хувьд Евклидийн огторгуй \mathbb{R}^3 болон бөмбөлөг S^2 гэх мэт шиг «энгийн» бүтэцтэй биш, харин цилиндр юм уу тóртой (\mathbb{T}^2) төстэй, дундаа тойроод гарах боломжгүй «нүхтэй» гэмээр бүтэцтэй болох нь харагдана. Сонирхолтой нь, биетийг хоёр бүтэн эргүүлэхэд SO(3) дотор гарах гогцоо тривиаль гомотопитой. Үүнтэй харьцуулахад цилиндр болон тóрын хувьд тривиаль биш гомотопитой гогцоог хэд ч дахин давтсан гэсэн тривиаль гомотопитой болж хувирахгүй.

а) Биет босоо тэнхлэгийг хоёр бүтэн тойроод буцаж байрандаа ирсэн хөдөлгөөний түүх параметрэн бөмбөрцөгт гогцоо байдлаар (цэнхэр шугамаар) зурагдсан нь. б) ба в) Энэ гогцоог аажим аажмаар хувиргах замаар цэг шиг болтол нь агшаах боломжтой.

Дээр дурдсан үзэгдлийг «өөрийн нүдээр» яаж харж болохыг дараах видеонд үзүүлж байна. Үүнд бүсэн дээр олон хөндлөн зураас маш шигүү зурсан гэж төсөөлбөл, бүсний нэг үзүүрээс нөгөө үзүүр хүртэл явахад эдгээр хөндлөн зурааснуудын чиглэл SO(3) дотор нэг муруй зурна гэж үзэж болно. Тэгвэл бүсийг нэг бүтэн мушгихад гарах гогцоо нь тривиал биш гомотопитой, хоёр бүтэн мушгихад гарах гогцоо нь тривиал гомотопитой гогцоонууд болох юм.

SO(3) бүлгийн энэ шинж чанар электрон, протон гэх мэт (фермион) бөөмсийн шинж чанарыг тайлбарлахад чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Үргэлжлүүлэн унших

Advertisements
Posted in Геометр, Ли бүлэг, Топологи, Физик | Tagged , , , , , , , , , , | Сэтгэгдэл бичих

Евклидийн хувиргалтууд

Топологийн хувьд «зөв» бөгөөд «хэмнэлттэй» координатын системүүдийн хувьд огторгуйд орших цэгэн биетийн координатууд (x1, x2, x3) гэсэн 3 бодит тоогоор илэрхийлэгддэг талаар бид өмнө ярилцсан. Эдгээр гурван тоог нийлүүлээд x = (x1, x2, x3) гэсэн ганц үсгээр тэмдэглэвэл бичилтийг ихэд хялбарчилдаг. Өөрөөр хэлбэл x=(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3 нь математикийн хувьд (3 хэмжээст) вектор юм.

Цаашилбал, Декартын координатын системд x = (x1, x2, x3) ба y = (y1, y2, y3) координаттай цэгүүдийн хоорондох зай нь

d(x,y) = \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}

байдгийг бид мэднэ. Бичилтийг хялбарчлах үүднээс

|x| = \sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}

гэсэн тэмдэглэгээ оруулбал

d(x,y)=|x-y|

болно. Энэ |x| хэмжигдэхүүнийг x векторын урт, эсвэл норм гэж нэрлэдэг.

Декартын координатын системийг практикт ихэнхдээ яаж байгуулдаг вэ гэвэл эхлээд тухайн нөхцөл байдалдаа тохирсон нэг (Декартынх байх албагүй) координатын систем байгуулаад, түүнээсээ ямар нэг Декартын систем рүү шилжих томъёог зааж өгдөг. Өөрөөр хэлбэл, эхний координатын системийн цэгүүдийг (буюу «жижиг өрөө тасалгаануудыг») арай өөрөөр дугаарлах замаар Декартын координатын систем гаргаж авна гэсэн үг. Математикийн хувьд, эхний координатын системд x=(x_1,x_2,x_3) координаттай байсан биет шинэ координатын системд x'=(x'_1,x'_2,x'_3) координаттай болдог бол энэ харгалзаа нь

x' = \phi(x)

гэсэн функцээр өгөгдөнө. Ийм харгалзааг координатын хувиргалт гэдэг. Хэрэв шинэ x‘-координатын систем нь Декартынх бол эхний x-координатын системд хоёр цэгийн хоорондох зайг

d(x,y)=|\phi(x)-\phi(y)|

томъёогоор тооцож болно. Яг үнэндээ бол энэ томъёог л мэдчихсэн байхад «цаана нь Декартын систем байгаа» гэдгийг заавал санах албагүй, x-координатын системдээ бүх тооцоогоо хийгээд явах ч боломжтой.

Бие биетэйгээ огтлолцсон хэсгээрээ «гагнаатай» хоёр координатын систем. Энэ «гагнаас» нь бодитой физик гагнаас байж болно. Эсвэл зүгээр x координатыг x‘ руу хувиргадаг томъёо байдлаар өгөгдсөн логик гагнаас байж болно. Хэрэв нэг координатын систем нь хатуу материалаар хийгдсэн (ө.х. түүнтэй бэхлээтэй ямар ч муруйн урт өөрчлөгддөггүй) бол нөгөөх нь мөн энэ чанарыг нь өвлөж авна.

Бид бодит байдал дээр координатын систем байгуулж хэмжилт хийх талаар ярьж байгаа учраас эдгээрийн хувьсал өөрчлөлтийн талаар дурдалгүй өнгөрч болохгүй. Дээр дурдсан хоёр координатын системийн хоорондох x' = \phi(x) харьцаанаас энэ хоёр систем бие биентэйгээ харьцуулахад хөдөлгөөнгүй байгааг харж болно. Тэгэхээр нэг систем нь нөгөөгийнхөө «хатуу материалаар хийгдсэн» шинж чанарыг өвлөж авах ёстой. Тухайлбал, нэг системтэй нь бэхэлсэн муруй нөгөө системтэй нь автоматаар бэхлэгдэх учир уг муруйн дагуу уртыг хэмжих процесст оролцож байгаа жижиг шугамнуудын төгсгөлийн цэгүүдийг аль ч системд нь бүртгэж авч дагалаа гэсэн хэмжилтийн үр дүн адилхан гарна. Өөрөөр хэлбэл, аливаа муруйн урт нь бие биентэйгээ харьцуулахад хөдөлгөөнгүй, «хатуу материалаар хийгдсэн» координатын системүүдийн хувьд нэг ерөнхий хэмжигдэхүүн юм.

Одоо хоёр координатын систем маань хоёулаа Декартынх бол юу болох вэ гэдгийг сонирхоё. Хэрэв {}\phi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 нь нэг Декартын координатын системээс нөгөө Декартын координатын систем рүү шилжүүлэх координатын хувиргалт бол

|\phi(x)-\phi(y)|=|x-y|\qquad\qquad(*)

нөхцөл бүх x,y\in\mathbb{R}^3 векторын хувьд биелэх ёстой. Энд \mathbb{R}^3 нь x = (x1, x2, x3) хэлбэрийн бүх гурвалуудын олонлог бөгөөд элементүүдийг нь (3 хэмжээст) векторууд гэж ярьдаг. Нөгөө талаас, ямар нэг Декартын координатын систем бидэнд байгаа гэж үзвэл, (*) нөхцлийг хангадаг {}\phi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 бүр нэг шинэ Декартын координатын систем тодорхойлно. Өөрөөр хэлбэл «хуучин» системд x координаттай байсан биет шинэ системд x'=\phi(x) координаттай болно гээд шинэ системээ тодорхойлчихно.

Иймд анхнаасаа нэг л Декартын систем өгөгдсөн бол, бусад бүх Декартын системийг олох нь (*) нөхцлийг хангадаг бүх {}\phi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 хувиргалтуудыг олохтой адилхан.

Эдгээр хувиргалтуудыг Евклидийн хувиргалтууд гэдэг ба бүх Евклидийн хувиргалтуудын олонлогийг E(3) гэж тэмдэглэдэг. Энэ олонлогт ямар ямар хувиргалт харъяалагдах вэ гэдэг талаар цааш нь жаахан судлая. Хамгийн хялбар төрлийн Евклидийн хувиргалт бол зөөлт юм. Тодруулбал, a\in\mathbb{R}^3 гэсэн вектор бүрийн хувьд

\tau_a(x)=x+a

гэсэн нэг зөөлт тодорхойлъё. Зөөлтүүдийн хувьд дараах чанаруудыг хялбархан шалгаж болно:

\tau_a\circ\tau_b=\tau_{a+b}, \qquad (\tau_a)^{-1}=\tau_{-a}

Өөрөөр хэлбэл, зөөлтүүд нь a\in\mathbb{R}^3 гэсэн параметртэй абелийн бүлгийг бүрдүүлнэ.

Зөөлтийн пассив хэлбэр: x координаттай цэг шинэ координатын системд x‘ = x + a координаттай болно. Үүнд a вектор нь хуучин координатын системийн эх болох O цэгийн шинэ координатын систем дэх координат.

Ямарваа координатын хувиргалтыг математикийн хувьд пассив (идэвхгүй), актив (идэвхтэй) гэсэн хоёр янзаар ойлгож болно. Үүнийг x'=x+a хувиргалтаар жишээ болгож тайлбарлая.

  • Пассив хувиргалтын үед цэгүүд хөдлөхгүй, координатын систем солигдож байна гэж үзнэ. Тухайлбал, хуучин x координаттай цэг шинэ координатын системд x'=x+a координаттай болно.
  • Актив хувиргалтын үед координатын систем нь хэвээрээ байх боловч цэгүүд (болон дүрсүүд) байрлалаа солино. Тухайлбал, x координаттай цэг шилжээд x'=x+a координат дээр ирнэ.

Зөөлтийн актив хэлбэр: Координатын систем хэвээрээ байх боловч бүх цэгүүд a векторын дагуу шилжинэ. Тодруулбал, x координаттай цэг шилжээд x‘ = x + a координат дээр ирнэ. Үүнийг өөрөөр, v гэсэн шилжсэн координатын системд хуучин цэгүүдээ «хуулж тавиад», тэдгээрийгээ x координатын системд шинээр илэрхийлж байна гэж үзэж бас болно.

Дээр өгүүлснийг физикийн талаас нь ойлгох үүднээс, x ба x‘ координатын системүүд маань анх хоорондоо яг давхацсан байж байгаад, хэсэг хугацааны дараа одооныхоо байранд ирсэн гэж бодъё. Мөн бидний судлах гэж байгаа биет x системтэй нь үргэлж бэхлээстэй байсан гэж үзье (үнэндээ x систем нь өөрөө биет гэдгийг санаарай).

  • Хэрэв бид x систем (ө.х. биет) хөдлөөгүй, харин x‘ систем хөдөлсөн гэж үзээд, биетийнхээ цэгүүдийг x‘ системд ямар координаттай болохыг бичвэл, энэ нь x'=\phi(x) гэсэн пассив хувиргалт болно.
  • Хэрэв бид x‘ систем хөдлөөгүй, харин биет маань хөдөлсөн гэж үзээд, биетийн цэгүүд хаана очсоныг бичвэл, энэ нь x'=\phi(x) гэсэн актив хувиргалт болно.

Эндээс харахад актив болон пассив хувиргалтуудын хоорондох ялгаа илэрхий бүдгэрээд эхэлж байгаа. Бид биесийн харилцан үйлчлэлийн талаар огт мэдэхгүй, зөвхөн огторгуйд яаж хөдөлж байна вэ гэдгийг нь ажиглаж байна гэж бодвол (ө.х. кинематикийн хувьд), координатын систем нь хөдлөөд байна уу, эсвэл биес хөдлөөд байна уу гэдгийг тогтоох арга байхгүй. Зөвхөн харьцангуй хөдөлгөөн л бодитой. Тэгэхээр актив ба пассив хувиргалтуудын хооронд кинематик ялгаа байхгүй юм.

Одоо Евклидийн хувиргалтуудын нэгбүрчилсэн судалгаа руугаа буцаж орвол, ямар ч Евклидийн хувиргалтыг зөөлт хийх замаар \psi(0)=0 нөхцлийг хангадаг хувиргалтанд шилжүүлж болно. Тухайлбал, {}\phi\in E(3) нь Евклидийн хувиргалт байг. Тэгвэл \psi(x)=\phi(x)-\phi(0) нь мөн Евклидийн хувиргалт бөгөөд \psi(0)=0 нөхцлийг хангана. Энэ \psi шиг хувиргалтуудыг нэгэн төрлийн Евклидийн хувиргалтууд гээд, бүх ийм  хувиргалтуудыг цуглуулаад

O(3)=\{\psi\in E(3):\psi(0)=0\}

гэж тэмдэглэдэг. Тухайлбал, {}\phi\in E(3) ба a=\phi(0) бол \psi=\tau_{-a}\circ\phi\in O(3). Дээрх байгуулалтаас дүгнэх нь:

  • {}\phi\in E(3) хувиргалт бүрийг \phi=\tau_{a}\circ\psi, \psi\in O(3) хэлбэртэй бичиж болно.
  • \psi\in O(3) ба a\in\mathbb{R}^3 бол \tau_{a}\circ\psi\in E(3) байна.

Тэгэхээр Евклидийн хувиргалтуудыг ойлгохын тулд үнэндээ зөвхөн нэгэн төрлийн хувиргалтуудыг л судлах хэрэгтэй гэсэн үг. Цаашид x\in\mathbb{R}^3 ба y\in\mathbb{R}^3 векторуудын хоорондох скаляр үржвэр

x\cdot y = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3

чухал үүрэг гүйцэтгэнэ. Векторуудыг 3×1 матриц (ө.х. «баганан вектор») гэж үзээд, x\cdot y гэхийн оронд x^\top y гэж бичих нь ч бий. Скаляр үржвэрийн гол «ид шид» нь векторын урттай

|x|^2 = x\cdot x \equiv x^\top x

харьцаагаар холбогддогт оршдог. Дорх теорем Евклидийн хувиргалтуудын «анатомийг» судлахад зориулж эхний зүсэлтийг хийж үзүүлнэ.

Теорем. Ямар ч \psi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 хувиргалтын хувьд дараах нөхцлүүд хоорондоо эквивалент:

  • \psi\in O(3).
  • x,y\in\mathbb{R}^3 болгоны хувьд \psi(x)\cdot\psi(y)=x\cdot y байна.
  • x\in\mathbb{R}^3 болгоны хувьд  \psi(x)=Ax байх, A^\top A=I нөхцлийг хангадаг A гэсэн 3×3 матриц оршин байна. Энд I нь нэгж матриц.

Баталгаа. Хэрэв \psi\in O(3) бол

|\psi(x)|=|\psi(x)-\psi(0)|=|x-0|=|x|

болно. Цаашилбал, x,y\in\mathbb{R}^3 болгоны хувьд

|x-y|^2=(x-y)\cdot(x-y)=|x|^2+|y|^2-2x\cdot y

ба үүнтэй төстэйгөөр

|\psi(x)-\psi(y)|^2 = |\psi(x)|^2+|\psi(y)|^2-2\psi(x)\cdot\psi(y) = |x|^2+|y|^2 - 2\psi(x)\cdot\psi(y)

байна. Одоо |\psi(x)-\psi(y)|=|x-y| гэдгийг тооцвол

\psi(x)\cdot\psi(y) = x\cdot y

гэж гарна. Тодруулбал, эхний нөхцлөөс 2 дахь нөхцөл мөрдөж гарлаа.

Хэрэв 2 дахь нөхцөл (\psi(x)\cdot\psi(y) = x\cdot y) биелдэг бол, дээрх гаргалгааг урвуугаар нь ашиглан

\begin{array}{rcl}|\psi(x)-\psi(y)|^2 &=& \psi(x)\cdot\psi(x)+\psi(y)\cdot\psi(y)-2\psi(x)\cdot\psi(y)\\ &=& x\cdot x + y\cdot y - 2x\cdot y = |x-y|^2\end{array}

буюу \psi\in E(3) гэж дүгнэнэ. Нөгөө талаас, \psi(0)\cdot\psi(0)=0\cdot  0=0 тул \psi(0)=0 болно.

Одоо 3 дахь нөхцөл биелдэг гэж үзвэл, 2 дахь нөхцөл нь шууд

\psi(x)\cdot\psi(y)=(Ax)^\top(Ay)=x^\top A^\top Ay=x^\top Iy =x\cdot y

гэж мөрдөнө.

Эцэст нь, 2 дахь нөхцлөөс 3 дахь нөхцлийг гаргах үлдлээ. Энд бидний гол ажил \psi хувиргалтыг шугаман гэж харуулахад зарцуулагдана. Юуны өмнө, \mathbb{R}^3 огторгуйн стандарт суурийн векторуудыг e_1=(1,0,0)e_2=(0,1,0), ба e_3=(0,0,1) гэж тэмдэглээд, \psi хувиргалтаар эдгээр нь хоорондоо шугаман хамааралгүй элементүүдэд бууна гэж харуулъя. Үүний тулд \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 гэсэн бодит тоонуудын хувьд

\alpha_1\psi(e_1)+\alpha_2\psi(e_2)+\alpha_3\psi(e_3)=0

гэж үзье. Энэ тэнцэтгэлийн хоёр талыг \psi(e_1) вектороор скаляр үржүүлээд, \psi(e_1)\cdot\psi(e_1)=e_1\cdot e_1=1\psi(e_2)\cdot\psi(e_1)=e_2\cdot e_1=0, ба \psi(e_3)\cdot\psi(e_1)=e_3\cdot e_1=0 гэдгийг тооцвол

\alpha_1=\alpha_1\psi(e_1)\cdot\psi(e_1)+\alpha_2\psi(e_2)\cdot\psi(e_1)+\alpha_3\psi(e_3)\cdot\psi(e_1)=0

болно. Үүнтэй төстэйгөөр, дээрх тэнцэтгэлийг \psi(e_2) ба \psi(e_3) векторуудаар скаляр үржүүлэх замаар \alpha_2=\alpha_3=0 гэж мөрдөнө. Тэгэхээр \psi(e_1), \psi(e_2), \psi(e_3) векторууд \mathbb{R}^3 огторгуйд суурь үүсгэнэ.

Одоо x\in\mathbb{R}^3, \lambda\in\mathbb{R} ба k=1,2,3 бол

\psi(\lambda x)\cdot\psi(e_k)=\lambda x\cdot e_k=\lambda \psi(x)\cdot\psi(e_k)

болох ба \psi(e_1), \psi(e_2), \psi(e_3) векторууд суурь гэдгийг санавал

\psi(\lambda x)=\lambda\psi(x)

гэж мөрдөнө. Түүнчлэн, x,y\in\mathbb{R}^3 ба k=1,2,3 бол

\begin{array}{rcl}\psi(x+y)\cdot\psi(e_k)&=&(x+y)\cdot e_k=x\cdot e_k+y\cdot e_k=\psi(x)\cdot\psi(e_k)+\psi(y)\cdot\psi(e_k)\\&=&[\psi(x)+\psi(y)]\cdot\psi(e_k)\end{array}

буюу

\psi(x+y)=\psi(x)+\psi(y)

болно. Өөрөөр хэлбэл \psi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 нь шугаман хувиргалт болж таарлаа. Иймд

\psi(x)=Ax

байх A\in\mathbb{R}^{3\times3} матриц олдоно. Үүнийгээ теоремын 2-р нөхцөлд орлуулбал

x^\top A^\top Ay=\psi(x)\cdot\psi(y)=x\cdot y = x^\top Iy

болох ба x,y\in\mathbb{R}^3 нь дурын векторууд гэдгээс A^\top A=I гэж мөрдөнө. Теорем ийнхүү батлагдлаа. \Box

Энэ теоремоос дараах мөрдлөгөөнүүд шууд гарна.

  • Хэрэв \psi\in O(3) бол \psi(x)=Ax ба A^\top A=I. Сүүлийн нөхцөл A^{-1}=A^\top гэсэн үг. Өөрөөр хэлбэл \psi нь урвуутай бөгөөд \psi^{-1}(y)=A^\top y байна. Мөн \phi\in O(3) бол \psi\circ\phi\in O(3) байх нь ойлгомжтой. Тэгэхээр O(3) нь бүлэг болно. Үүнийг (3 хэмжээст) нэгэн төрлийн Евклидийн бүлэг, ортогональ хувиргалтуудын бүлэг, эсвэл зүгээр л ортогональ бүлэг гэх нь бий.
  • Дурын \phi\in E(3) хувиргалтыг \phi(x)=[\phi(x)-\phi(0)]+\phi(0) гэж бичиж болох ба \psi(x)=\phi(x)-\phi(0) нь ортогональ хувиргалт, ө.х. \psi\in O(3). Тэгэхээр E(3) нь мөн бүлэг болно. Үүнийг (3 хэмжээст) Евклидийн бүлэг гэж нэрлэдэг.
  • Ортогональ бүлгийн хувьд, 3×3 матриц нь 9 элементтэй. Үүн дээр A^\top A=I нөхцөл нь 6 ширхэг тэгшитгэл өгнө. Тэгэхээр O(3) бүлэг нь 9 – 6 = 3 чөлөөний зэрэгтэй гэсэн таамаглал төрнө.
  • Евклидийн бүлгийн хувьд, ортогональ хувиргалтууд дээр зөөлтийн 3 чөлөөний зэрэг нэмэгдээд нийт 6 чөлөөний зэрэгтэй байх нь бараг ойлгомжтой. Энэ 2 таамаглалыг бид сүүлд бүрмөсөн батална.

Дасгал. Дээрх теоремыг n хэмжээстэй тохиолдолд өргөтгөн батал. Үүнд, x,y\in\mathbb{R}^n векторуудын скаляр үржвэрийг

x\cdot y = x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n

гэж, x\in\mathbb{R}^n векторын уртыг

|x| = \sqrt{x\cdot x}

гэж тодорхойлно. Мөн (n хэмжээст) Евклидийн болон ортогональ бүлгүүд харгалзан

E(n)=\{\phi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n|\,\forall x,y\in\mathbb{R}^n,\,|\phi(x)-\phi(y)|=|x-y|\}

O(n)=\{\psi\in E(n):\psi(0)=0\}

болно.

Одоо O(n) болон E(n) бүлгүүдэд «задлан шинжилгээ» хийе. Энэ пост нэгэнт урт болсон тул бид зөвхөн n = 1 ба n = 2 тохиолдлуудыг энд оруулаад, n = 3 ба n = 4 тохиолдлуудыг дараагийн пост хүртэл хойшлуулахаар шийдлээ. Евклидийн болон ортогональ хувиргалтын хувьд 1 ба 2 хэмжээст тохиолдлууд нь илүү олон хэмжээст тохиолдлуудаа бүрдүүлдэг «эд эс» нь болж өгдгийг бид сүүлд мэдэж авна.

n = 1.  Энэ тохиолдолд A^\top A=I тэгшитгэл маань a^2=1 буюу a=\pm1 болж хувирах тул O(1)=\{e,p\}. Үүнд e(x)=x нь адилтгал хувиргалт, p(x)=-x нь ойлт. Өөрөөр хэлбэл, \mathbb{R} дээр x\mapsto x, ба x\mapsto-x гэсэн хоёрхон ортогональ хувиргалт л байна. Харин Евклидийн хувиргалтын хувьд, зөөлтийг тооцоод

E(1)=\{\tau_a:a\in\mathbb{R}\}\cup\{\tau_a\circ p:a\in\mathbb{R}\}

болохыг хялбархан харж болно.

n = 2.  2×2 матрицын багануудыг 2 хэмжээстэй векторууд гэж үзэж болно. Хэрэв A матрицын багануудыг a_1,a_2\in\mathbb{R}^2 гэж тэмдэглэвэл

Ax=x_1a_1+x_2a_2

болно. Өөрөөр хэлбэл матрицыг вектороор үржүүлэх нь векторын координатуудыг коэффициентууд болгож аваад уг матрицын багануудаар шугаман эвлүүлэг хийсэнтэй адилхан. Тухайлбал, a_1,a_2 векторууд \mathbb{R}^2 огторгуйн суурь болдог бол, Ax=x_1a_1+x_2a_2 нь уг суурьтай харьцангуй (x_1,x_2) координаттай вектор болох юм.

Одоо A^\top A=I тэгшитгэлийг A матрицын багануудаар илэрхийлж бичвэл

a_1\cdot a_1=1,\qquad a_2\cdot a_2=1,\qquad a_1\cdot a_2=0

ө.х. a_1,a_2 нь хоёулаа нэгж урттай, хоорондоо ортогональ (a_1\cdot a_2=0) векторууд юм. Нэгж урттай векторуудыг дараах маягаар өнцгөөр параметрчилж болдог:

a_1=(\cos\alpha,\sin\alpha),\qquad a_2=(\cos\beta,\sin\beta)

Үүнд \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Энэ хоёр векторын хоорондоо ортогональ байх нөхцлийг бичвэл

a_1\cdot a_2 = \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=0\qquad\Longrightarrow\qquad\cos(\alpha-\beta)=0

буюу \alpha-\beta=\pm\frac\pi2 гэж гарна. Ингээд \cos(\alpha\pm\frac\pi2)=\mp\sin\alpha ба \sin(\alpha\pm\frac\pi2)=\pm\cos\alpha гэдгийг тооцвол

a_2=(\mp\sin\alpha,\pm\cos\alpha)

болно. Тэгэхээр A матриц маань

A=\begin{pmatrix}\cos\alpha&\mp\sin\alpha\\\sin\alpha&\pm\cos\alpha\end{pmatrix}

хэлбэртэй байх ёстой гэсэн үг. Нөгөө талаас, ямар ч \alpha\in\mathbb{R} тооны хувьд дээрх матриц нь A^\top A=I тэнцэтгэлийг хангадаг болохыг шалгаж болно. Одоо үүнийг арай илүү эмх цэгцэд оруулах үүднээс (\alpha өнцгөөр эргүүлэх) эргүүлэлтийн матриц

R_\alpha=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}

болон (x_1 тэнхлэгтэй харьцангуйгаар ойлгох) ойлтын матрицыг

P_0=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

тодорхойлъё. Энд \det(R_\alpha) =1 ба \det(R_\alpha P_0)=-1 байгааг ажиглаарай. Тэгэхээр ямар ч ортогональ хувиргалтын хувьд \det(A)=\pm1 байх ба

  • \det A=1 бол эргүүлэлт A=R_\alpha
  • \det A=-1 бол ойлт ба эргүүлэлт A=R_\alpha P_0 байх ёстой.

Энэ ангилалд орсон «ойлт ба эргүүлэлт»

R_\alpha P_0=\begin{pmatrix}\cos\alpha&\sin\alpha\\\sin\alpha&-\cos\alpha\end{pmatrix}

гээч нь яг юу юм бэ гэдгийг тодруулахыг оролдъё. Юуны түрүүнд, энэ матриц нь тэгшхэмтэй матриц ба хувийн утгууд нь \{\lambda_1,\lambda_2\}=\{1,-1\} болохыг ажиглавал,

R_\alpha P_0=VP_0V^\top

хэлбэрээр диагональчлагдана гэсэн үг. Үүнд V нь ортогональ матриц (ө.х. V-ийн баганууд нь ортогональ суурь үүсгэнэ). Тэгэхээр дөнгөж саяхан ярилцсан ёсоор V=R_\theta эсвэл V=R_\theta P_0 байх ёстой. Хэрэв V=R_\theta P_0 бол

{}VP_0V^\top=R_\theta P_0 P_0 P_0^\top R_\theta^\top = R_\theta P_0 R_\theta^\top

учир V=R_\theta гэж авахад болно гэсэн үг. Энэ R_\theta P_0R_\theta^\top матриц нь x_1 тэнхлэгтэй \theta өнцөг үүсгэсэн шулуунтай харьцангуй ойлгох ойлтын матриц болохыг төвөггүй ойлгож болно. Үүнийг тооцоолбол

P_\theta=R_\theta P_0R_\theta^\top=\begin{pmatrix}\cos2\theta&\sin2\theta\\\sin2\theta&-\cos2\theta\end{pmatrix}

болох ба эндээс R_\alpha P_0=R_\theta P_0 R_\theta^\top тэгшитгэлийг \theta өнцгийн хувьд бодвол, \theta=\alpha/2 гэж гарна. Өөрөөр хэлбэл

R_\alpha P_0=P_{\alpha/2}

буюу, «ойлт ба эргүүлэлт» нь зүгээр ойлттой адилхан болж таарлаа. Тэгэхээр ямар ч ортогональ хувиргалт нь

  • нэг бол эргүүлэлт A=R_\alpha
  • үгүй бол ойлт A=P_\theta байх ёстой.

Эцэст нь нэг сонирхолтой ажиглалт хийе. Дээрх R_\alpha P_0=P_{\alpha/2} тэнцэтгэлийн хоёр талыг баруун талаас нь P_0-ээр үржүүлбэл

R_\alpha=P_{\alpha/2}P_0

гарах тул ямар ч эргүүлэлтийг дараалсан хоёр ойлтоор төлөөлүүлж болно гэсэн үг. Үүнийг ашиглан ортогональ хувиргалтыг дахин нэг ангилбал: ямар ч ортогональ хувиргалт нь

  • нэг бол ойлт A=P_\theta
  • үгүй бол дараалсан хоёр ойлт A=P_\theta P_0 байх ёстой.

Бүх эргүүлэлтийн матрицуудыг цуглуулбал тусгай ортогональ бүлэг нэртэй бүлэг үүсгэдэг бөгөөд

SO(2)=\{R_\alpha:\alpha\in\mathbb{R}\}

гэж тэмдэглэдэг. Өмнө хэлэлцсэн ёсоор, ортогональ бүлгийг

O(2)=SO(2)\cup\{R_\alpha P_0:\alpha\in\mathbb{R}\}=\{R_\alpha P_0^k:\alpha\in\mathbb{R},\,k\in\mathbb{Z}_2\}

гэж бичиж болно. Энд шугаман хувиргалтууд ба матрицуудын хооронд \psi(x)=Ax гэсэн харгалзаа байгаа учраас O(2) бүлгийг матрицуудаас тогтсон бүлэг гэж үзэж болж байгаа юм. Түүнчлэн, дан ойлтуудаар

O(2)=\{P_\alpha P_0:\alpha\in\mathbb{R}\}\cup\{P_\alpha:\alpha\in\mathbb{R}\}=\{P_\alpha P_0^k:\alpha\in\mathbb{R},\,k\in\mathbb{Z}_2\}

гэж бичиж бас болно.

Ортогональ бүлэг O(2) нь эргүүлэлт SO(2) ба ойлт \{P_\alpha:\alpha\in\mathbb{R}\} гэсэн хоёр хэсэгт хуваагдаж байгаа. Эргүүлэлтийн ойлтоос ялгарах гол онцлог нь юу вэ гэвэл, адилтгал хувиргалт R_0=I буюу 0 өнцгөөр эргүүлэх эргүүлэлтээс эхлээд, эргүүлэлтийн өнцгийг аажмаар ихэсгэх замаар ямар ч эргүүлэлтэнд хүрч болдог. Харин ойлтыг адилтгал хувиргалттай «холбосон зам» байдаггүй. Гэхдээ ямар ч хоёр ойлтыг хооронд нь эргүүлэлтээр холбож болно. Үүнийг топологийн хэлээр томъёолбол: O(2) нь хоёр холбоост компонентоос тогтох ба адилтгал хувиргалтыг агуулдаг компонентыг нь SO(2) гэнэ. Эргүүлэлт нь R_{\alpha}=R_{\alpha+2\pi} чанартай тул ортогональ бүлгийн аль ч компонент нь топологийн хувьд тойрогтой адилхан.

Дасгал. Дараах тэнцэтгэлүүдийг батал.

  • R_{2\theta}=P_{\alpha+\theta}P_\alpha
  • P_{\alpha}P_\beta=P_{\alpha+\delta}P_{\beta+\delta}
  • P_{\alpha}P_{\beta}P_{\gamma}=P_{\alpha+\gamma-\beta}P_{\beta+\gamma-\beta}P_{\gamma}=P_{\alpha+\gamma-\beta}

Дасгал. SO(2) нь абелийн бүлэг болно гэж харуул.

Дасгал. \psi\in E(2) бол \phi(x)=Ax+b (үүнд A\in O(2) ба b\in\mathbb{R}^2) байдлаар нэг утгатай бичиж болох уу?

Posted in Геометр, Классик онол, Ли бүлэг, Физик, Харьцангуйн онол | Tagged , , , , , , , | 2 Сэтгэгдлүүд

Бодит огторгуйн геометр бүтэц

Сонгодог физикийн тулгуур хуулиудын нэг болох Ньютоны 1-р хуулийг томъёолбол

Бусад биеттэй харилцан үйлчлэлцэхгүй байгаа биет тайван байдал эсвэл шулуун замын жигд хөдөлгөөнөө хадгална. Өөрөөр хэлбэл чөлөөтэй тусгаар орших биетийн хурдны хэмжээ болон чиглэл өөрчлөгдөхгүй.

Хурдны хэмжээг тодорхойлохын тулд бидэнд хугацаа ба уртыг хэмжих арга хэрэгтэй. Урт болон хугацааг хэмжиж болох үй түмэн аргуудаас зөвхөн цөөхөн хэд нь л Ньютоны 1-р хуулийг үнэн байлгадаг бөгөөд үнэн байлгадаг тийм аргууд оршин байдаг гэсэн туршлагын баримт нь уг хуулийн жинхэнэ агуулгынх нь нэг хэсэг юм гэдгийг бид өмнө авч үзсэн.

Дээрх хуульд хурдны хэмжээнээс гадна чиглэл өөрчлөгдөхгүй, хөдөлгөөнийх нь траектори шулуун байна гэж заасан байгаа. Үүнийг ойлгохын тулд «хурдны чиглэл», «шулуун» гэсэн ойлголтууд хэрэгтэй. Хурдны хэмжээ тогтмол гэдэг нь урьдаас зааж өгсөн траекториор яваа биет яаж хөдлөхийг тодорхойлох бол, хурдны чиглэл тогтмол гэдэг нь биетийн хөдөлгөөний траектори ямар хэлбэртэй, огтогуйд яаж байрласан байгааг зааж өгнө. Тэгэхээр бидэнд огторгуйн бүтцийн талаарх мэдээлэл хэрэгтэй гэсэн үг. Өөрөөр хэлбэл, «шулуун шугам» гэдгийг чөлөөт биетийн хөдөлгөөний траектори гээд тодорхойлчихож болдог байсан бол дээрх хуулинд шулуун гэж дурдах шаардлагагүй байх байсан. Гагцхүү дээрх хуулинд орсон шулуун гэсэн ойлголт нь, огторгуйд урьдаас оноосон ямар нэг (геометр) бүтэцтэй нийцтэй байдаг байж байж уг хуулийн дурдсан хэсэг утга төгөлдөр болох мэт.

Энэ асуудлыг бид яаж шийдэх вэ гэвэл, урт болон хугацааны хэмжилтийг яаж шийдсэнтэй төстэйгөөр, аль ч тийшээ хэт хэлбийж тэнцвэрээ алдалгүйгээр торгон дунджийг барих шаардлагатай. Үүнд, M гэсэн Евклидийн 3 хэмжээст математик огторгуй авъя. Тэгээд бодит физик огторгуйн p гэсэн цэг болгонд уг цэгээс хамаараад M огторгуйн ямар нэг x гэсэн цэгийг харгалзуулдаг харгалзаа болгоныг координатын систем гэж нэрлэе. Ингээд, хугацааг хэмжихтэй холбоотой асуудлуудыг орхивол, Ньютоны 1-р хуулийн жинхэнэ утга нь, дараах чанаруудыг хангадаг координатын систем олдоно гэж тунхаглаж байгаад оршино.

  • Уг координатын системд, чөлөөтэй хөдөлж байгаа биес шулуун замаар хөдөлнө. Өөрөөр хэлбэл эдгээр биетийн хөдөлгөөний траекторийн цэг бүрийг координатын харгалзааг ашиглан M огторгуйд авч үзвэл, математикийн шулуун шугам гарч ирнэ.
  • Шулууны дагуу хэмжсэн уртын хэмжилтүүд M огторгуй дахь Евклидийн урттай давхцана.

Зарчмын хувьд, Евклидийн биш, өөр геометр Ньютоны 1-р хуультай «залгагддаг» тийм ертөнцийг төсөөлж болно. Тэгэхээр энд Евклидийн геометрыг сонгож авч болдог явдал нь Ньютоны 1-р хуулиас ялгаатай, байгалийн өөр нэг тулгуур хууль юм. Үүнийг дараах маягаар товчлон илэрхийлж болно:

Бодит огторгуй 3 хэмжээст Евклидийн геометртэй.

Огторгуйн геометр бүтэц нь туршилтаар тодорхойлогдох физик шинж чанар юм гэдгийг хүн төрөлхтөн 19-р зуунд Евклидийн бус геометрууд нээгдсэний дараа л сая анзаарсан байгаа. Түүнээс өмнө бол мэдээж юу ч дурдалгүйгээр Евклидийн геометрыг физикт шууд хэрэглэдэг байсан.

Дээр өгүүлснийг одоо илүү дэлгэрэнгүй тайлбарлая. Уншигч таны цааш нь унших уу болих уу гэсэн эргэлзээг гаргахад туслах үүднээс хэлэхэд бид дараах хэдэн асуултыг ерөнхийдөө дагах болно:

  • Координатын систем гэж юу вэ? Огторгуй өөрөө цэгүүдээс тогтдог уу?
  • Огторгуй 3 хэмжээстэй гэдэг нь юу гэсэн үг вэ?
  • Уртыг яаж хэмжих вэ?
  • Шулуун шугам гэж юу вэ?
  • Огторгуй Евклидийн геометртэй гэдгийг ямар утгаар ойлговол зохих вэ?

Тэгэхээр бодит огторгуйн геометр бүтцийн талаар бүр эхнээс нь ярьж эхлэх нь. Урт, өнцөг, шулуун шугам гэх мэт геометр ойлголтуудыг бодит огторгуйд оруулж ирээгүй байгаа гэж төсөөлөөрэй. Бас нэг зүйл анхааруулахад бид бодит огторгуйн геометрийн талаар ярьж байгаа бөгөөд бидний дунд сургуульд үздэг «Евклидийн геометр» гэгчийг математикийн судлагдахуун гэдэг утгаар нь уншигч авхай бага ч гэсэн гадарладаг гэж үзэж байгаа.

Юуны түрүүнд, физик координатын систем (товчоор, координатын систем) гэдэг нь биетийн байрлалыг тодорхойлох (ө.х. хэмжих) аргыг хэлнэ. Тухайлбал, дорх зураг дээр үзүүлсэн шиг байшингийн торон «яс төмрийг» авч үзье. Энэ байгууламж дотор байгаа зүйлсийн «аль өрөөнд» байгаа нь тэдгээрийн байрлалыг барагцаагаар тодорхойлно. «Аль өрөөнд» гэдгийг заахын тулд мэдээж өрөөнүүддээ урьдаас нэр эсвэл дугаар оноох хэрэгтэй.

Өрөөнүүддээ дугаар оноохдоо зүгээр шоо хаяж байгаад ч юм уу учир замбараагүй дугаарууд оноочихож болохгүй гэсэн дүрэм байхгүй. Гэхдээ арай илүү эмх цэгцтэй болгохын тулд, жишээлбэл, дараах аргыг ашиглаж болно. Та өөрийгөө байшингийн наад талын булангийн тэнд газар зогсож байна гэж төсөөл. Эндээсээ дээшээ буланг дагаж авираад x давхарт гаръя (ягаан шугам). Тэгээд жаахан муруйсан харагдаж байгаа нүүрэн талын ханыг дагаж алхаад y дугаар өрөөнд очъё (улаан шугам). Тэндээсээ барилгын гүн рүү (нүүрэн талын хананаас холдож) алхаад z дүгээр өрөөнд ирье (ногоон шугам). Ийм (xyz) гэсэн гурван бүхэл тоогоор ямар ч өрөөний байрлалыг тодорхойлох боломжтой (нарийвчилбал, ийм боломжтой байхаар анхнаасаа өрөөнүүдээ зохион байгуулж болно).

Ямар нэг гадаргуу дээрх (ө.х. 2 хэмжээстэй тохиолдолд) биетийн байрлалыг тодорхойлох байгууламжийг зурж үзүүлэв. Тод зурааснуудаар том өрөөнүүдийн ханыг, бүдэг зурааснуудаар жижиг тасалгаануудын ханыг дүрсэлсэн. Цайвар цэнхэр тасалгааны координатуудыг олохын тулд тод улаан болон нил ягаан шугамнуудын дагуу хэдэн том өрөө, хэдэн жижиг тасалгаа байгааг тоолно.

Одоо өрөөнүүдээ олон жижигхэн тасалгаануудад хуваах замаар энэ байгууламжийн нарийвчлалыг сайжруулж болно. Жишээ болгож өрөө бүрийг хааш хааш нь 10 хэсэгт хуваая. Бидэнд «урт» гэсэн ойлголт хараахан байхгүй байгаа болохоор «зүгээр л таамгаараа» 10 хэсэгт хуваана гэдгийг анхаараарай (эсвэл энэ хуваалт нь өөрөө ямар нэг зохиомол уртын хэмжүүр тодорхойлж байна гэж бод). Тэгвэл мэдээж өрөө бүр 1000 жижигхэн тасалгаанд хуваагдах бөгөөд, гарч ирсэн жижигхэн тасалгаануудыг нь бутархай тоогоор (1.3 , 4.2, 2.7) гэх мэтчилэн дугаарлаж болно. Хэрэв энэ нарийвчлал хангалтгүй бол жижиг тасалгаануудаа дахиад цааш нь 1000 хуваагаад, гарч ирсэн бичил тасалгаануудыг нь (1.35, 4.28, 2.71) гэх мэтчилэн дугаарлаад явна. Үүнийг олон дахин давтвал тасалгаанууд маань атом молекулаас жижигхэн болчих учраас практикт бол хэд давтаад зогсохоос өөр аргагүй. Нөгөө талаас, яг ийм олон өрөө тасалгаатай барилгыг бодитоор барихгүй ч гэсэн, бодитоор барьсантай нийцтэй үр дүн өгдөг төдийгүй өрөөнүүдийг цааш нь маш олон хувааж болдог тийм хэмжих төхөөрөмжийг байгуулж болдог. Бодит байдал дээр бол технологийн эсвэл тулгуур физикийн ямар нэг бэрхшээлээс болоод хуваалтыг хичнээн сайн хийсэн ч гэсэн хэзээ нэгэн цагт зогсоох шаардлагатай болно. Гэхдээ бидэнд одоо байгаа физикийн бүх онол, өрөөний хуваалтыг хичнээн л бол хичнээн давтаж болно гэж үзсэнтэй зөрчилдөхгүй үр дүн өгдөг. Ирээдүйн квант гравитацын онолд л энэ ойлголт хэцүү сорилттой тулгарч магадгүй байгаа.

Тэгэхээр ядаж классик физикийн хүрээнд, цэг шиг жижигхэн биетийн байрлал (xyz) гэсэн гурван бодит тоогоор тодорхойлогдоно гэж үзэж болох нь. Энэ 3 тоог тухайн биетийн координатууд, биетийн байрлалыг координатаар илэрхийлж байгаа аргыг нь координатын систем гэж ярина. Нэг биш, хоёр биш, гурван координат ашигладаг нь ямар учиртай юм бэ гэвэл, тасалгаа хичнээн ч жижигхэн байсан гэсэн, зэргэлдээ тасалгаануудын координатууд хоорондоо ойролцоо тоонуудаар өгөгддөг байхаар зохион байгуулж болдогт байгаа юм. Жишээлбэл, хоёрдахь хуваалтын дараа (1.35, 4.28, 2.71) ба (1.35, 4.29, 2.71) координаттай тасалгаанууд зэргэлдээ байна. Энд уртын тухай ойлголт байхгүй байсан ч «зэргэлдээ тасалгаа» гэсэн ойлголт утга төгөлдөр байна гэдгийг анхаар. Нэг юм уу хоёр координат ашиглаад ийм чанартай координатын систем байгуулах боломжгүй. Гурваас илүү координаттайгаар бол мэдээж болно. Иймд 3 координаттай координатын системүүд хамгийн хэмнэлттэй нь гэсэн үг. Үүнийг дараах маягаар товчлон илэрхийлдэг.

Бодит огторгуй 3 хэмжээстэй.

Өдий болтол бид «огторгуйн цэг» эсвэл «огторгуйн цэгийн байрлал» гэж нэг ч дурдаагүй, зөвхөн биетийн байрлал, тасалгааны байрлал гэх мэтийг л ярьж ирсэн нь учиртай. Үнэндээ бол «огторгуй» гэдэг нь нэг биетийн байрлалыг нөгөөтэй нь харьцуулж авч үзэх үед л гарч ирдэг ойлголт юм. Тухайлбал, дээр бидний авч үздэг олон өрөөтэй барилга нь уг барилгатай харьцангуйгаар аливаа биетийн байрлалыг тодорхойлох боломж олгоно. «Тасалгааны байрлал» гэдэг нь уг тасалгааг хийсэн материалын байрлалыг, барилгатай харьцангуйгаар илэрхийлнэ. Нэгдүгээрт, ямар нэг бодит биетийн биш, хоосон орон зайн байрлалыг ярих нь утгагүй. Хоёрдугаарт, биетийн «байрлал» гэсэн абсолют ухагдахуун байхгүй, зөвхөн өөр нэг биеттэй харьцуулсан байрлал л гэж байна. Харин ямар нэг координатын систем өгөгдсөн нөхцөлд, жишээлбэл, (1.35, 4.29, 2.71) координаттай цэг тийм шинж чанартай гэх мэтчилэн яригдаж болно. Энэ нь юу гэсэн үг вэ гэвэл, туршилтын жижигхэн биетийг  тухайн координаттай байрлалд оруулбал юу болох вэ гэдгийг илэрхийлж байна гэж ойлгох хэрэгтэй. Цаашид бид үүнийг дахин дахин сануулалгүйгээр, «тийм координаттай цэг», «огторгуйн цэгийн координат» гэх мэтчилэн ярих болно.

Огторгуй 3 хэмжээстэй гэдэг нь огторгуйн топологи бүтцийн талаарх мэдлэг юм. Дараагийн алхам болгож уртыг хэмжих талаар авч үзье. Юуны өмнө, уртын стандарт болгож авах нэг биет хэрэгтэй. Мөн уртыг нь хэмжих нэг муруй хэрэгтэй. Энэ муруй нь мэдээж ямар нэг координатын системд өгөгдөнө. Өөрөөр хэлбэл, муруй маань координатын системийн аль аль цэгээр дайрч өнгөрөх вэ гэдгийг нэгд нэгэнгүй бүртгэсэн бүртгэл бидэнд байгаа гэж үзэж болно. Ингээд стандарт урттай биетээ өгөгдсөн муруйн дагуу дахин дахин зөөж тавих замаар уртыг хэмжинэ.

Өгөгдсөн муруйн дагуу уртыг хэмжихдээ стандарт нэгж болох биетийг дахин дахин зөөж тавих замаар хэмжинэ. Стандарт нэгжээ жижигхэн нэгжүүдэд бас хуваах боломжтой.

Стандарт нэгж болох биет нь хатуу материалаар хийгдсэн, өөрөөр хэлбэл яаж ч хөдөлгөж, ямар ч нөхцөл байдалд оруулж байсан урт нь өөрчлөгддөггүй биет байх хэрэгтэй. Тэгэхээр уртыг хэмжих арга өгөгдөөгүй байхад материалын хатуу эсэхийг яаж тогтоох вэ гэсэн асуудал гарна. Үүнд хариулахын тулд, эхний ээлжинд модоор ч юм уу төмрөөр ч юм уу нэг стандарт шугам хийчихнэ. Тэгээд уг стандартаараа урт тодорхойлоод, ингэж тодорхойлсон урт нь Ньютоны 1-р хуулийг (эсвэл үүнээс улбаалсан физикийн ямар нэг зүй тогтлыг) үнэн байлгаж чадаж байна уу гэж шалгана. Хэрэв үнэн байлгаж чадахгүй бол стандартаа өөрчлөх, эсвэл тухайн нөхцөл байдлаас хамаарсан онолын засварыг хэмжилт хийх аргачлалдаа оруулж өгөх хэрэгтэй. Энд онолын засвар гэдгээр жишээлбэл, температураас хамаарсан агшилт суналтыг тооцохыг ойлгоно. Логикийн хувьд, уртыг хэмжих аргыг Ньютоны 1-р хуультай нийцтэй байхаар яаж ийж байгаад тодорхойлж болдог явдал нь байгалийн тухай тривиаль биш ажиглалт болж байгаа юм.

Өгөгдсөн муруй маань нэг координатын системтэй холбогдсон байгаа тул уг муруйн дагуух уртын хэмжилт утга төгөлдөр байхын тулд мэдээж координатын систем нь өөрөө хатуу материалаар хийгдсэн (эсвэл хатуу материалаар хийгдсэн юм шиг шинж чанартай) байх хэрэгтэй. Үүнээс гадна, дээр өгүүлсэн процедурт дараах туршлагын баримтуудыг шингээсэн байгаа.

  • Хатуу биетийг нэг байрлалаас нөгөө рүү ямар ч замаар зөөсөн бай, эцсийн байрлал дээрээ ирэхдээ нэг ижил урттай байдаг. Өөрөөр хэлбэл хоорондоо яг ижил урттай байсан хоёр хатуу биетийг өөр өөр замаар зөөгөөд хаа нэг газар буцаагаад нийлүүлэхэд урт нь нэг ижил хэвээрээ л байна. Зөөнө гэдэгт байрлал өөрчлөх шилжүүлэлтээс гадна хэмжигч шугамны чиглэл өөрчлөх эргүүлэлт хамаарна.
  • Огторгуйн аль ч цэгээс аль ч цэг рүү хэмжигч шугамыг зөөх боломжтой. Энэ нь ямар ч хоёр хэрчмийн уртыг харьцуулах боломж олгоно.

Эдгээр баримтуудыг хамтад нь товчоор огторгуй нь нэгэн төрлийн геометртэй (эсвэл тогтмол муруйлттай) гэж ярьдаг.

Нэгэнт уртыг хэмжиж чаддаг болсон юм чинь одоо бид шулуун шугам гэж юу вэ гэдгийг тодорхойлоход амархан. Үүний тулд ямар ч хамаагүй, P ба Q гэсэн хоёр цэг аваад, тэдгээрийг холбосон муруйнууд дотроос хамгийн бага урттайг нь сонгож авч байна гэж төсөөл. Тэгээд энэ муруйг бид P ба Q цэгийг холбосон шулуун (эсвэл шулууны хэрчим) гэж нэрлэнэ. Мөн уг шулууны дагуу P ба Q цэгийн хооронд хэмжсэн уртыг уг хоёр цэгийн хоорондох зай гэдэг.

Хоёр цэгийг холбосон үй түмэн муруйнуудаас хамгийн богинохоныг нь шулуун гэнэ.

Эцэст нь бид бодит огторгуйг Евклидийн геометрт захирагддаг эсэхийг шалгах шалгуурыг танилцуулахад бэлэн боллоо. Евклидийн геометрт Пифагорын теорем гэж бий. Мөн тэгш өнцөгт (Декартын) координатын систем гэж мэдэх байх. Тэгэхээр тухайлбал, хэрэв бодит огторгуйн геометр нь Евклидийнх бол, P ба Q цэгийн хоорондох зай нь

s = \sqrt{(x_P-x_Q)^2+(y_P-y_Q)^2+(z_P-z_Q)^2}

байдаг тийм координатын систем байгуулж болох ёстой. Үүнд (xPyPzP) нь P цэгийн, (xQyQzQ) нь Q цэгийн координатууд болно. Нөгөө талаас, зөвхөн Декартын координатын систем дээр тулгуурлаад (өөрөөр хэлбэл Пифагорын теорем, бодит тооны үндсэн шинж чанаруудыг аксиом болгож аваад) Евклидийн геометрийг байгуулж болдог. Ийм замаар бид дараах шалгуурт хүрнэ.

Хэрэв хоёр цэгийн хоорондох зай дээрх томъёогоор (ө.х. Пифагорын теоремоор) өгөгддөг тийм физик координатын систем олддог бол бодит огторгуйг Евклидийн геометрт захирагддаг гэж ярина.

Үнэндээ, бодит байдал дээр гравитацын орон маш хүчтэй л биш бол дээрх шалгуур өндөр нарийвчлалтай биелдэг.

Декартын координатын систем ба Пифагорын теорем

Дээрх шалгуурыг практикт ойр болгохын тулд бид Декартын координатын систем яаж байгуулахыг зааж өгөх хэрэгтэй. Шулуун болон уртын тухай ойлголтууд нь эцэстээ (Ньютоны 1-р хууль гэх мэт) физикийн хуулиудтай хэр сайн холбогдож байна вэ гэдгээрээ шалгагдах ёстой. Тэгэхээр бид координатын системээ эхнээсээ байгуулахдаа физикийн хуулиудтай холбоотой байхаар байгуулчихвал «булхайцсан» болох уу? Жишээлбэл, гравитацын орон сул үед сийрэг орчинд гэрлийн цацраг шулуун замаар тархдаг гэдэг хуулийг үнэн гэж үзээд, түүн дээрээ дулдуйдаад нэг координатын систем байгууллаа гэж бодъё.

  • Энэ байгуулалт нь гэрлийн цацраг шулуун замаар тархдаг гэдэг хуулийг автоматаар үнэн болгочих учраас утгаа алдахгүй юу?
  • Үгүй. Дээр дурдсан хуулийн жинхэнэ утга нь юу вэ гэвэл, уг хууль биелдэг тийм физик координатын систем олддог гэдэгт байгаа юм. Тэгэхээр үүнийг туршилтаар батлахын тулд координатын системээ ямар ч аргаар байгуулж болно. Хэрвээ уг хууль үнэн биш байсан бол ямар ч арга ашиглаад тийм шинж чанартай координатын систем байгуулах боломжгүй байх байсан.

Одоо практикт илүү дөхүү координатын системийн хоёр жишээ авч үзье. Тайлбарыг хялбарчлах үүднээс огторгуйг хоёр хэмжээстэй гэж авсан байгаа. Эхнийх нь туйлын координатын систем гэж нэрлэгддэг систем. Радарт төхөөрөмжүүд нь ийм координатын системийн жишээ юм.

«Координатын эх» болох ногоон цэгээс цайвар дөрвөлжин цэг рүү гэрлийн цацраг тусгаж зайг нь хэмжинэ. Мөн уг цацрагийн ногоон зураастай огтлолцох цэгийн координатыг зураасныхаа дагуу хэмжих ба эдгээр хэмжилтүүд нь цайвар дөрвөлжингийн байрлалыг бүрэн илэрхийлнэ. Ногоон зураасны дагуу хэмжсэн хэмжилт нь мэдээж өнцөг юм.

Дараагийнх нь параллакс ашиглаж байрлал тодорхойлох арга (гурвалжинчлах арга ч гэж ярьдаг). Хоёр нүдтэй амьтдын хараа, хэт хол биш од гаригийн байрлалыг тодорхойлох зэрэгт ийм координатын систем шууд ашиглагдаж байгаа.

Хоёр ногоон цэг дээр төвтэй хоёр өнцгийг хэмжсэнээр цайвар цэнхэр дөрвөлжингийн байрлал бүрэн тодорхойлогдоно.

Огторгуйд нэг Декартын координатын систем оруулчихсан байгаа гэж үзээд, дээрх (туйлын болон параллакс) физик координатын системүүдээс Декартын координатын систем рүү шилжүүлэх томъёо гаргахад амархан. Ийм замаар бид Декартынх эсэх нь туршилтаар шийдэгдэх (Декартын системд «нэр дэвшигч») координатын системийг тодорхойлж болно.

Заавал Декартын физик координатын систем байгуулж их төвөг удалгүйгээр огторгуйн геометрийг Евклидийнх гэдгийг нь туршилтаар харуулж болох уу? Мэдээж болно. Нэг хялбар шалгуур бол гурвалжны дотоод өнцгүүдийн нийлбэр 180° эсэхийг шалгах байна. Хэрвээ огторгуйн геометр Евклидийнх биш бол ялангуяа том гурвалжингуудын дотоод өнцгүүдийн нийлбэр 180°-аас зөрөх ёстой. Хэрэв энэ нийлбэр 180°-аас бага бол огторгуйг сөрөг муруйлттай, 180°-аас их бол огторгуйг эерэг муруйлттай гэж ярьдаг. Огторгуйн геометр нэгэн төрөл гэдэг нь мэдэгдэж байгаа бол, сөрөг муруйлттай огторгуй нь Лобачевскийн төрлийн геометрт, эерэг муруйлттай огторгуй нь бөмбөлөг геометрт захирагдана.

Өгүүллээ өндөрлөхийн өмнө, дээр авч үзсэн алхмуудаас зарим чухлыг нь дүгнэлт маягаар дахин нэг дурдъя.

  • Физик координатын систем гэдэг нь огторгуй дахь биетийн байрлалыг тодорхойлох байгууламж юм. «Хар ухаанаар» бодвол энэ нь хатуу материалаар хийгдсэн маш нарийн тор шиг зүйл гэж ойлгож болно.
  • Ямар ч координатын системтэй холбоогүй, «биетийн огторгуй дахь байрлал» гэсэн ойлголт байхгүй. Мөн «огторгуйн цэг» гэж байхгүй. «Огторгуйн цэг» гэдгээр, өгөгдсөн координатын системд, тийм координаттай цэгт жижигхэн биет байрлуулбал юу болох вэ гэдгийг ярьж байна гэж ойлгох хэрэгтэй.
  • Хатуу материалаар хийгдсэн уртын стандарт сонгож авснаар уртыг хэмжих аргыг тодорхойлно. Энэ стандарт биетийг яаж ч эргэлдүүлж, хааш нь ч зөөж болдгоос огторгуйн геометр нь нэгэн төрөл гэж гарна.
  • Уртыг хэмжиж сурснаар шулуун шугам, хоёр цэгийн хоорондох зай гэсэн ойлголтууд урган гарна.
  • Одоо энэ цэг дээр Ньютоны 1-р хууль орж ирнэ. Хугацааг хэмжих арга бидэнд байгаа гэж үзвэл, Ньютоны 1-р хуулийн тусламжтайгаар дээрх урт, шулуун гэсэн ойлголтуудаа шалгаж, сайжруулж болно. Үнэндээ ингэж сайжруулж болдог нь Ньютоны 1-р хуулийн жинхэнэ агуулга нь юм.
  • Нэгэн төрлийн геометр нь Евклидийн, Лобачевскийн, мөн бөмбөлөг байж болно. Ньютоны 1-р хууль эдгээрийг хооронд нь ялгахгүй. Ньютоны механикт (туршилтын баримтуудтай нийцтэйгээр) бодит огторгуйн геометр нь Евклидийнх гэж үздэг. Тэгэхээр үүнийг Ньютоны 1-р хуультай хамааралгүй шинэ хууль гэж үзэх хэрэгтэй. Энэ шинэ хуулийг туршилтаар шалгахдаа Декартын координатын систем байгуулах, эсвэл гурвалжны дотоод өнцгүүдийн нийлбэрийг хэмжих зэргээр шалгаж болно.
Posted in Геометр, Классик онол, Физик, Харьцангуйн онол | Tagged , , , , , , , , , , , , , | Сэтгэгдэл бичих

Нар төвт систем ба оддын параллакс

Дэлхий нарыг тойрдог гэдгийг хэдэн онд хэн яаж баталсан юм бол?

Товч хариулт: Яг тэдэн онд баталсан гэхэд хэцүү. Аажим аажмаар их удаан хугацаанд бүрэлдэж бий болсон мэдлэг.

Бүр МЭӨ 3-р зуунд эртний Грекийн философич Аристарх нар төвт системийн санааг дэвшүүлсэн боловч оддын параллакс ажиглагдахгүй байсан учир тэр үедээ хэн ч тоогоогүй. Параллакс гэдэг нь савлаж байгаа савлуур дээрээс хажуу тийшээ жишээ нь мод руу харахад мод савлаж харагддаг үзэгдлийг хэлж байгаа юм. Аристарх өөрөө одод маш хол учраас параллакс ажиглагдахгүй байгаа гэж онолоо аврахыг оролдож байсан.

Сүүлд 1543 оны үед Николай Коперник энэ санааг дахин амилуулсан ч гаригуудын тойрог замыг эллипс гэж мэдээгүйгээс яс юман дээр тооцоо хийхэд Птолемейн дэлхий төвт системээс нарийвчлал нь муу байсан. Гэхдээ нарыг ертөнцийн төвд тавьснаар хэд хэдэн зүйлс чанарын хувьд их хялбарчлагдаж байгааг зарим хүмүүс ажигласан байгаа.

Коперникийн онол үнэн бол оддын параллакс ажиглагдах ёстой. Үүнийг ажиглах гэж Тихо Браге олон нарийн хэмжилт хийгээд бараагүй болохоор (1587 оны үед) нар сар хоёр дэлхийг тойрдог бөгөөд бусад гаригууд нарыг тойрдог эрлийз систем дэвшүүлсэн. Параллакс ажиглагдаагүй учраас дэлхий хөдөлгөөнгүй байх ёстой гэж бодсоноос тэр. Дорх видеонд Птолемейн, Коперникийн болон Брагегийн загваруудыг харьцуулж үзүүлсэн байна.

Ингээд Брагег хальсны дараа түүний туслагч байсан Иоганн Кеплер Брагегийн нарийн ажиглалтууд дээр үндэслээд гаригууд нарыг эллипсээр тойрдог төдийгүй тойрохдоо ямар хурдтай явдгийг нь тодорхойлсон хуулиудаа нээж, 1609 онд «Астрономиа Нова» нэртэй номондоо хэвлүүлсэн байна. Үүний дараа тэр хэд хэдэн номондоо гаригуудын байрлалыг өмнөх үеийнхнээсээ дор хаяж 10 дахин их нарийвчлалтай тооцож оруулсан байсан нь Кеплерийн загварыг олонд үнэмшүүлэхэд их үүрэг гүйцэтгэсэн юм.

«Астрономиа Нова» хэвлэгддэг жил Галилео Галилей анх удаагаа шөнийн тэнгэр лүү өөрийн бүтээсэн дуранг чиглүүлж, олон сонирхолтой юм ажигласан. Жишээлбэл нарны толбо, саран дээрх уул нуруу, Бархасбадийн дагуулууд, Сугар гаригийн арвидал хомсдол зэргийг дурдаж болно. Эдгээр ажиглалтууд нь тэнгэрийн эрхэс Аристотелийн номлосончлон төгс төгөлдөр, хиргүй тунгалаг биш, өөр гаригийг бас жижигхэн биетүүд тойрч болдгийг харуулсан. Птолемейн дэлхий төвт систем нь Аристотелийн физик дээр үндэслэгддэг болохоор Галилейн ажиглалтууд суурийг нь ганхуулж эхэлсэн гэсэн үг. Мөн Сугар гаригийн арвидал хомсдолыг Птолемейн системээр тайлбарлах ямар ч боломжгүй. Гэхдээ энэ нь Брагегийн эрлийз системд төвөг учруулахгүй. Тэгэхээр ялангуяа шашныхан Брагегийн систем рүү хэлбийж эхэлсэн.

Дорх видеонд Сугар гаригийн арвидал хомсдолыг дүрсэлж үзүүлсэн байна.

Энэ хооронд шинжлэх ухааны арга хөгжиж, өөрийн гараар туршилт судалгаа хийх хүмүүсийн тоо олширсон. Оддын параллаксыг ажиглаж нар төвт системийг эцэслэн батлах гэж олон хүн оролдоод мөн л бараагүй. Харин 1676 оны үед Бархасбадийн дагуулуудыг судалж байх явцдаа Данийн одон оронч Оле Рёмер дагуулуудын гаригаа тойрох үе нь дэлхийн байрлалаас хамаарч өөрчлөгдөж байгааг ажигласан. Үүнийг тэр гэрлийн хурдны хязгааргүй биш байдагтай холбож тайлбарласан бөгөөд энэ нь дэлхий хөдөлгөөнтэй байдагтай ямар ч байсан нийцтэй тайлбар байж.

Одоо мэдээж Ньютоны тайзан дээр гарч ирэх цаг. 1687 онд бичсэн номондоо тэрбээр Аристотелийн физикийг газартай тэгшлээд өөрийн шинэ шинжлэх ухааныг сүндэрлүүлэн босгосон байгаа. Уг номонд орсон цоо шинэ үр дүнгүүдээс дурдвал: ертөнц дахины таталцлын хуулийг тухайн үеийн ажиглалтын нарийвчлалын хүрээнд баталсан, Кеплерийн хуулиудыг Ньютоны механикийн мөрдлөгөө мэтээр гаргасан, сүүлт однуудын траекторийг тайлбарласан, нар яг хөдөлгөөнгүй байдаггүй, нарны аймгийн хүндийн төвийг тойрч эргэдгийг урьдчилж хэлсэн, гаригуудын массыг үнэлсэн, сарны хөдөлгөөний нарийн ширийн хэлбэлзлүүдийг тайлбарласан, дэлхийн цүлцэн хэлбэрийг тодорхойлсон, далайн таталт түрэлтийг тайлбарласан, дэлхийн эргэлтийн тэнхлэг 26000 жилийн үетэйгээр хэлбэлздэг явдлыг тайлбарласан зэрэг байна. Үүнээс хойш дэлхий төвт системийн тухай яриа үндсэндээ замхарсан гэж болно.

Ньютоны номноос авсан зураг

Гэхдээ нөгөө гайхал параллаксыг хэн ч ажиглаж чадаагүй хэвээр байж. Оддын параллаксыг илрүүлэх гэж оролдож байгаад 1725 онд Английн одон оронч Жеймс Брэдли юу ажигласан бэ гэвэл, нэг жилийн хугацаанд оддын харагдах байрлал хамгийн ихдээ нумын 40 секунд орчмоор хэлбэлзэж байгааг илрүүлсэн байна. Үүнийг параллаксаар тайлбарлах аргагүй байсан бөгөөд Брэдлиг гэрлийн аберраци гэдэг шинэ үзэгдлийг нээхэд хүргэсэн. Энэ нь чанх дээрээс бороо орж байх үед хурдтай машинаар явахад бороо машины урд шилийг цохиж өнцөг үүсгэж ордогтой адил үзэгдэл гэрлийн хувьд ажиглагдаж байгаа нь юм. Ийнхүү ододтой харьцуулахад дэлхий нэг жилийн үетэй хэлбэлзэх хөдөлгөөн хийж байгаа нь шууд батлагдсанаар дэлхий төвт системүүдийн үнс нурамны сүүлчийн ширхгийг салхинд хийсгэн хөөжээ.

Эцэст нь, одны параллаксыг хэн анх хэмжих вэ гэсэн их уралдаанд Германы эрдэмтэн Фридрих Бессель 1838 онд Хунгийн ордны 61 дугаартай одны параллаксыг нумын 0.3 секунд гэж хэмжсэнээр түрүүлж, хоёр мянга гаруй жил үргэлжилсэн маргаанд цэг тавьжээ.

Маралын ордны ойролцоох зарим одны жилийн параллаксыг амилуулж үзүүлсэн нь.

 

Posted in Одон орон, Физик, түүх | Tagged , , , , , , , , | Сэтгэгдэл бичих

Ньютоны болон Кулоны хуулиуд

Байгалийн философийн математик эхлэл (1687) номондоо Исаак Ньютон ертөнц дахины таталцлын (буюу гравитацын) хуулийг дараах байдлаар томъёолсон.

Ямар ч хоёр цэгэн масс бие биенийгээ татах бөгөөд энэ таталцлын хүчний хэмжээ нь уг хоёр массын үржвэрт шууд, хоорондох зайн квадратад нь урвуу пропорциональ байна.

Өөрөөр хэлбэл, хоёр массын хэмжээг M ба m, хоорондох зайг нь r гэвэл

Таталцлын хүчний хэмжээ = GMm/r²

томъёо биелнэ. Үүнд пропорционалийн коэффициент G нь Ньютоны тогтмол нэртэй универсаль тогтмол бөгөөд тоон утга нь СИ системд

G ≈ 6.67×10−11 м3/(кг⋅сек2)

байдаг. Жишээлбэл, хоорондоо 1м зайтай, тус бүр 100 тонн масстай хоёр жижиг биет бие биенээ 0.667Н орчим хүчээр татна гэсэн үг. Түүнчлэн, хоорондоо 1см зайтай хоёр протон таталцлын хүчний улмаас 10−32 м/сек2 орчим хурдатгал олж авна.

Огторгуйд нэг тэгш өнцөгт координатын систем бэхлээд, M массын координатуудыг x = (x1x2x3), m массын координатуудыг y = (y1, y2, y3) гэж тэмдэглэвэл тэдгээрийн хоорондох зай

r = |x-y| = \sqrt{(x^1-y^1)^2+(x^2-y^2)^2+(x^3-y^3)^2}

болно. Энд |xy| тэмдэглэгээ нь xy векторын уртыг тэмдэглэж байгаа. Мөн x1x2, ба x3 нь x векторын 3 координат (тооны зэргүүд биш!) гэдгийг анхаараарай. Жишээлбэл, z = (1м,5м,–2м) гэсэн векторын координатууд нь z1 = 1м, z2 = 5м, ба z3 = –2м болно.

Таталцлын хүчний зөвхөн хэмжээг төдийгүй чиглэлийг тооцон m массын зүгээс M масст үйлчилж байгаа таталцлын хүчийг вектор хэлбэрт бичвэл

\displaystyle F = \frac{GMm}{|x-y|^2}\tau = - GMm\frac{x-y}{|x-y|^3}.

Үүнд τ нь x цэгээс y цэг рүү чиглэсэн нэгж вектор

\displaystyle\tau = - \frac{x-y}{|x-y|}.

newtcoul1

m массаас M масст үйлчлэх хүч y–x векторын дагуу чиглэх бол M массаас m масст үйлчлэх хүч яг эсрэг зүгт чиглэнэ. Эдгээр хүчний хэмжээ хоорондоо тэнцүү бөгөөд Mүржвэрт шууд, |xy|² хэмжигдэхүүнд урвуу пропорциональ байна.

Одоо m массынхаа оронд m1, m2, m3, … гэсэн төгсгөлөг тооны массыг y1, y2, y3, … гэсэн цэгүүд дээр байрлуулъя. Тэгвэл эдгээр массын зүгээс x цэгт байрлах M масст үйлчлэх нийт хүчийг олохдоо масс тус бүрээс үйлчлэх хүчнүүдийг нэмэх хэрэгтэй:

\displaystyle F = \sum_iF_i = - GM\sum_{i}m_i\frac{x-y_i}{|x-y_i|^3}.

newtcoul2

M масст үйлчлэх нийт таталцлын хүч нь mба m2 масс тус бүрийн зүгээс үйлчлэх таталцлын хүчнүүдийн (вектор) нийлбэртэй тэнцүү байна.

Таталцлын хүчний «цаадах механизм» нь яг юу юм бэ гэдэг талаар Ньютон юу ч дурдаагүй, зөвхөн таталцлын хүчийг ингэж тооцоход бодит байдалтай таарч байна гэдгийг л зааж өгсөн. Тэр цагаас хойш Ньютоны таталцлын хууль үй түмэн туршилтаар маш нарийн шалгагдсан байгаа. Харин таталцлын хүчний «цаадах механизмыг» тайлбарлах асуудлаар 19-р зууны сүүл үе гэхэд Ньютоны үетэй харьцуулахад нэг шат ахисан гэж үзэж болно. Энэ тайлбар нь Майкл Фарадейн оруулж ирсэн физик орон гэгдэх ойлголт дээр үндэслэгддэг. Дээр өгүүлсэн ёсоор m1, m2, m3, … массуудын зүгээс үйлчлэх таталцлын хүчийг M масс «мэдэрч» байгаа. Ингэж таталцлын харилцан үйлчлэлд орохдоо M масс маань m1, m2, m3, … массуудын оршин байгааг шууд мэдрэх үү? Үүнд бид M масс маань зөвхөн x цэг дээрх таталцлын орон гэгч зүйлийг л мэдэрнэ, харин таталцлын орон нь өөрөө m1, m2, m3, … массуудын байрлал болон хэмжээнээс хамаарна гэж үзнэ.  Өөрөөр хэлбэл M массын байгаа эсэхээс хамааралгүйгээр, m1, m2, m3, … массуудын нөлөөн дор огторгуйн цэг бүрийн шинж чанар ямар нэг байдлаар өөрчлөгдөж, туршилтын цэгэн массыг хаана ч байрлуулсан гэсэн түүнийг хааш нь түлхэхээ «мэдэхээр» болж бэлтгэгдэнэ гэсэн үг. Огторгуйн цэгүүдийн ингэж өөрчлөгдсөн төлөв байдлыг таталцлын орон (эсвэл гравитацын орон) гэж нэрлэнэ.

Математикийн хувьд таталцлын орныг

\displaystyle E(x) = - G\sum_{i}m_i\frac{x-y_i}{|x-y_i|^3}

гэсэн вектор орноор төлөөлүүлж болно. Энэ вектор орны физик утга нь x цэг дээр нэгж масс байрлуулбал түүнд ямар хүч үйлчлэх вэ гэдгийг илэрхийлнэ. Иймд хэрэв x цэг дээр M масс байрлуулбал таталцлын орны зүгээс түүнд үйлчлэх хүч нь

F = ME(x)

байна. Ньютоны 2-р хуулиас (F = Ma), x цэг дээр ямар ч масс байрлуулсан гэсэн түүний олж авах хурдатгал нь E(x) вектортой тэнцүү болохыг бас харж болно. Энэ E(x) вектор орныг таталцлын орны хүчлэг, мөн хүндийн хүчний хурдатгал гэж нэрлэх нь бий. Хэрэв цэгэн массуудын оронд ρ(y) гэсэн нягттай цул биетийг авч үзвэл, түүний үүсгэх таталцлын орон нь дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ.

\displaystyle E(x) = - G\int \rho(y)\frac{x-y}{|x-y|^3} d^3y.

Үүнд d³y тэмдэглэгээ нь эзэлхүүнээр авсан интегралыг илтгэнэ.

newtcoul3.jpg

Эллипсойд хэлбэртэй биетийн үүсгэх таталцлын оронг бүдүүвчлэн дүрсэлсэн нь

Ньютоны таталцлын хуультай өнгөн дээрээ яг адилхан хууль цахилгаан цэнэгүүдийн хувьд бас үйлчилдэг нь их сонирхолтой. Дээрхтэй төстэйгөөр, x цэг дээр Q хэмжээтэй цэнэг, y цэг дээр q хэмжээтэй цэнэг (хөдөлгөөнгүй) байжээ гэе. Тэгвэл Q цэнэгт q-гийн зүгээс үйлчлэх цахилгаан хүч нь

\displaystyle F = \kappa Qq\frac{x-y}{|x-y|^3}

томъёогоор өгөгдөнө. Энэ хуулийг Францын физикч Шарль Огюстен де Кулон 1784 онд нээсэн бөгөөд κ тогтмолыг Кулоны тогтмол гэдэг. Кулоны хуулийг Ньютоны таталцлын хуультай харьцуулан тэмдэглэх зүйлс хэд байна.

  • Массын тоон хэмжээ үргэлж эерэг байдаг бол цэнэгийн тоон хэмжээ эерэг ба сөрөг утгын аль алиныг авч болдог.
  • Кулоны тогтмолын утга нь эерэг (κ > 0). Өөрөөр хэлбэл ижил цэнэгүүд түлхэлцэх ба эсрэг цэнэгүүд таталцана. Үүнтэй харьцуулахад Ньютоны таталцлын хуульд κ = – G < 0 байгаа гэж үзэж болох тул эерэг масстай биетүүд үргэлж таталцана. Хэрэв сөрөг масстай биетүүд оршин байдаг бөгөөд Ньютоны таталцлын хууль тэдгээр биетийн хувьд мөн биелдэг бол эерэг ба сөрөг масстай биетүүд хоорондоо түлхэлцэх байсан.
  • Ньютоны таталцлын хуульд орж байгаа массыг гравитацын цэнэг гэвэл илүү зохино. Гравитацын цэнэг нь Ньютоны 2-р хуулинд ордог инерцийн масстай тэнцүү байдаг нь эквивалентын зарчим гэгддэг байгалийн тулгуур хууль юм. Эквивалентын зарчмыг гравитацын оронд байгаа биетийн хурдатгал массаасаа хамаарахгүй гэж томъёолж ч болно. Энд яригдаж байгаа хурдатгал нь мэдээж гравитацын орны (тухайн цэг дээрх) хүчлэгтэй тэнцүү байна.
  • Бидэнд өдөр тутамд тохиолддог биетүүдийн хоорондох таталцлын хүч хэт бага байдаг нь уламжлалт нэгжийн системүүдэд Ньютоны тогтмолын утга мөн үлэмж бага байдгаар илэрнэ. Хэрэв Ньютоны тогтмолын тоон утгыг жишээ нь 1 байлгая гэвэл массыг маш том нэгжээр (эсвэл хүчийг, уртыг маш бага нэгжээр) хэмжих хэрэгтэй.
  • Дээрхтэй харьцуулахад, өдөр тутам тохиолддог цэнэгүүдийн хоорондох цахилгаан хүч нь тийм ч бага биш. Жишээлбэл, хоорондоо 1см зайтай хоёр протон цахилгаан хүчний улмаас 1400 м/сек2 орчим хурдатгал олж авна. Тэгэхээр Кулоны тогтмолын тоон утгыг 1 эсвэл өөр «гоё» утгатай байлгахаар цэнэгийн нэгжийг тодорхойлоход нэг их асуудал гарахгүй. Үнэндээ ийм нэгжийн системүүд байдаг (Жишээлбэл, Гауссын нэгжийн систем байна).

Гравитацын оронтой төстэйгөөр цахилгаан орон гэсэн ойлголтыг мөн оруулж ирж болох бөгөөд уг орныг цахилгаан орны хүчлэг буюу нэгж цэнэгт үйлчлэх хүчээр төлөөлүүлэн ойлгож болно. Тухайлбал, y1, y2, y3, … гэсэн цэгүүд дээр байрласан q1, q2, q3, … гэсэн төгсгөлөг тооны цэнэгийн үүсгэх цахилгаан орны хүчлэг

\displaystyle E(x) = \kappa\sum_{i}q_i\frac{x-y_i}{|x-y_i|^3}

байна. Цахилгаан орны хүчлэг мэдэгдэж буй бол x цэгт байрласан Q цэнэгт тус орны зүгээс үйлчлэх хүч

F = Q E(x).

Хэрэв цэгэн цэнэгүүдийн оронд ρ(y) гэсэн нягттай цэнэгийн тархалтыг авч үзвэл, түүний үүсгэх цахилгаан орон нь дараах интегралаар илэрхийлэгдэнэ.

\displaystyle E(x) = \kappa\int \rho(y)\frac{x-y}{|x-y|^3} d^3y.

newtcoul4.jpg

Эерэг ба сөрөг цэнэгтэй хоёр бөмбөрцгийн үүсгэх цахилгаан оронг бүдүүвчлэн дүрсэлсэн нь. Улаан бөмбөрцөг нь эерэг цэнэгтэй ба цэнэгийн хэмжээ нь цэнхэр бөмбөрцгийнхөөсөө арай их байгаа.

Эцэст нь хэлэхэд, Ньютоны гравитац ба Кулоны цахилгаан харилцан үйлчлэлийн хоорондох ганц чанарын ялгаа нь κ тогтмолын эерэг сөрөг эсэхэд байгааг анхаараарай. Хэрэв κ тогтмолын тэмдгийг хязгаарлалгүйгээр эерэг ч байж мэдэх сөрөг ч байж мэдэх тогтмол гэж үзвэл энэ хоёр харилцан үйлчлэлийг математикийн хувьд нэг ерөнхий аргаар судалж болох юм.

Posted in Таталцал, Физик, Цахилгаан соронзон | Tagged , , , , | Сэтгэгдэл бичих

Дэлхий анх хэр халуун байсан бэ?

Нарыг «нялх» үед түүнийг тойроод эргэж байсан солир, астероидууд хоорондоо мөргөлдөж, бөөгнөрөн хуралдсаар дэлхий болон бусад чулуулаг гаригууд үүссэн гэж үздэг. Солир, астероидуудын дундаж нягт 3.5г/см³ байдаг бол дэлхийн дундаж нягт 5.6г/см³ орчим байгаа. Тэгэхээр дэлхийг анх үүсгэсэн материал таталцлын улмаас агшиж одоогийнхоо хэмжээнд очсон гэсэн үг.

Дэлхийг анх 3.5г/см³ нягттай цул бөмбөрцөг байж байгаад 5.6г/см³ нягттай болтлоо агшсан гэж үзье. Энэ агшилтын улмаас дэлхийн нийт потенциал энерги багасах учраас илүүдэл потенциал энерги дулаанд шилжих ёстой (Том бөмбөрцөг байж байгаад агшиж жижигрэхийг бөмбөрцөг доторх бодисууд доошоо унахтай зүйрлэж болно). Анхны том бөмбөрцгийн температур 0 Кельвин байсан гэж үзвэл агшсаны дараа (одоогийнхоо хэмжээнд очих үедээ) ямар температуртай болох бол?

 

earth5

Дэлхийн радиус R’ байж байгаад R болтлоо агшив. Хэрэв дэлхийн бүх масс M зөвхөн бөмбөлгийнхөө гадаргуу дээр хуримтлагдсан (тод улаан хүрээнүүд) гэж үзвэл, агшилтаар ялгарах энерги нь M масс h өндрөөс унахад ялгарах энергитэй тэнцүү байна.

Энэ үзэгдлийг ядаж чанарын хувьд ойлгох үүднээс эхлээд дараах хялбарчилсан загварыг авч үзье.

  • Дэлхийн бүх масс маш нимгэхэн бөмбөлөг давхарга маягаар зөвхөн гадаргуу дээгүүрээ байрлана. Өөрөөр хэлбэл бид дэлхийг дотроо хөндий гэж үзэх гэж байна. Бодит байдал дээр мэдээж дэлхий нь цул зүйл байгаа.
  • Дэлхийг агших явцад гравитацын орон өөрчлөгдөхгүй, чөлөөт уналтын хурдатгал нь үргэлж дэлхийн төв рүү чиглэсэн, g ≈ 9.8м/сек² утгатай хэвээр байна гэе. Бодит байдал дээр мэдээж агших явцад дэлхийн гравитацын орон өөрөө өөрчлөгдөнө. Үүнээс гадна үнэндээ чөлөөт уналтын хурдатгал дэлхийн гадаргаас холдох тусам багасах ёстой.

Тэгэхээр дэлхийн потенциал энергийн өөрчлөлт

∆U = Mgh = Mg (R’ – R)

болно. Үүнд M нь дэлхийн масс, R ≈ 6370км нь дэлхийн одоогийн радиус ба R’ нь дэлхийн анхны радиус. Дэлхий агшихаасаа өмнө ямар радиустай байсныг олохын тулд масс нь өөрчлөгдөөгүй гэсэн нөхцлийг ашиглана. Дэлхийн анхны нягтыг ρ‘ = 3.5г/см³, эцсийн нягтыг ρ = 5.6г/см³ гэвэл, масс хадгалагдаж байхын тулд ρR³ = ρ(R’)³ гэсэн нөхцөл биелэх ёстой. Эндээс R’ ≈ 7450км гэж олдоно. Цаашилбал, анхны температур 0 Кельвин тул эцсийн температур

T ∆U / (Mc) = g (R’ – R/ c

байна. Үүнд c ≈ 800Ж/(кг·К) нь дэлхийн дундаж хувийн дулаан багтаамж (ө.х. 1 килограмм бодисыг 1 Кельвинээр халаахад 800 Жоуль дулаан зарцуулна). Дэлхийн ихэнх хэсгийг бүрдүүлдэг магмын чулуулгийн хувийн дулаан багтаамж иймэрхүү байгаа. Ингээд бүх тоон утгуудыг орлуулан

T ≈ 9.8 · (7450000 – 6370000) / 800 К 13000К 

гэж гарна.

Одоо энэ тооцоогоо бага зэрэг сайжруулах гээд үзье. Тухайлбал, дэлхийн бүх масс зөвхөн гадаргуу дээгүүрээ биш, эзэлхүүнээрээ жигд тархсан гэвэл дэлхийн агшилтын үеэр арай бага масс шилжих тул эцсийн температур 13000К-ээс бага гарах ёстой мэт. Нөгөө талаас, дэлхийн нягт төвдөө ч, захдаа ч жигд ихсэх болохоор шилжиж байгаа массын зарим хэсэг нь илүү хол зайд шилжинэ гэж үзэж болно. Тэгэхээр эцсийн температур 13000К-ээс их гарах ёстой ч юм шиг.

Юуны түрүүнд жигд нягттай цул бөмбөрцгийн гравитацын потенциал энергийг олъё. Дээрх хялбарчилсан тооцооноос энэ юугаараа ялгаатай  вэ гэвэл дэлхийн гүнд байгаа хэсэгхэн массыг авч үзвэл энэ массыг дэлхийн бусад хэсэг дээрээс нь ч, доороос нь ч, үнэндээ зүг бүрээс нь татах учраас уг масст яг ямар хүч үйлчлэхийг тооцоход хүндрэлтэй. Гэхдээ энэ хүндрэлээс бид Ньютоны теоремыг ашигласнаар амархан гарч болно:

Бөмбөлгөн тэгш хэмтэй (ө.х. нягт нь зөвхөн төв хүртэлх зайнаасаа хамаардаг) биетийн гаднах гравитацын орон нь уг биетийн бүх масс төвдөө төвлөрсөн байгаагаас ялгагдахгүй.

Иймд   ρ нягттай, r радиустай (V = 4πr³/3 эзэлхүүнтэй) бөмбөрцгийн гадна, төвөөс нь x зайд байрлах нэгж масст үйлчлэх хүч

E = γρV / x²

байна (энд γ нь гравитацын тогтмол). Энэ хүч потенциал энергиэс x-ээр авсан уламжлалтай тэнцүү байх ёстой тул, потенциал энергийг хязгааргүйд 0 гэж үзвэл, уг нэгж массын гравитацын потенциал энерги

φ = – γρV / x

болно. Одоо цул бөмбөрцгийн потенциал энергийг олохын тулд, 0 радиустай бөмбөрцгөөс эхлээд хальс шиг нимгэхэн давхаргуудыг нэг нэгээр нь нэмээд бөмбөрцгийнхөө радиусыг ихэсгээд явъя.

earth3.jpg

Тухайлбал, бөмбөрцөг r радиустай байх үед dr зузаантай (dm = ρ · r²dr масстай) давхарга нэмэхэд потенциал энерги

dU = φ · dm = – γρV / r · ρ · 4πr²dr = – (16/3)π²γρ²rdr

хэмжээгээр өөрчлөгдөх тул нийт энергийг

\displaystyle U = - \frac{16}{3}\pi^2\gamma\rho^2\int_0^R r^4 dr = - \frac{16}{15}\pi^2\gamma\rho^2 R^5

гэж тооцож болно. Энэ илэрхийлэлд M = ρ · (4/3)πR³ ба g = γM/R² гэдгийг орлуулбал

\displaystyle U = - \frac{3\gamma M^2}{5R} = - \frac35MgR

болж хялбарчлагдана. Тэгэхээр дэлхий агшихаас өмнөх ба агшсаны дараах үеийн потенциал энергийн зөрөө

\displaystyle \Delta U = \frac35M(gR-g'R') = \frac{3MgR}{5R'}\Big(R'-\frac{g'(R')^2}{gR}\Big)= \frac{3MgR}{5R'}(R'-R)

байна. Энд g‘ нь дэлхий R‘ радиустай байх үеийн гадаргуу дээрх чөлөөт уналтын хурдатгал (g(R)² = g‘(R‘)² харьцааг хангана). Эцэст нь агшилтын дараах дэлхийн температур

\displaystyle T = \frac{\Delta U}{Mc} = \frac{3gR(R'-R)}{5R'c} = \frac{3R}{5R'}T_0 \approx \frac{3\cdot6370}{5\cdot7450}\cdot13000K \approx 6700K

гэж олдоно. Үүнд T_0\approx13000K нь дээр бидний хялбарчилсан тооцооноос гардаг температур.

Posted in Одон орон, Физик | Tagged , , | Сэтгэгдэл бичих

Ньютоны теорем

Та зөгнөлт кинон дээр гардаг шиг газар доогуур чөлөөтэй явж чаддаг машинд суугаад газрын гүн рүү аялжээ гэе. Тэгээд жишээлбэл, 100км-ын гүнд орвол таны дээр байгаа 100км зузаан давхарга таныг дээш нь татна. Иймд доошлох тусам таны жин багассаар дэлхийн яг төвд тэг болох ёстой. Харин жин яг ямар хэмжээгээр багасахыг нь яаж тооцох вэ?

earth1.jpg

Дэлхий дотор байгаа биетийн жин ямар байх вэ?

Үүнд гариг эрхсийн таталцлын хүчийг ойлгоход чухал үүрэг гүйцэтгэдэг Ньютоны алдарт теорем тус болно. Уг теоремын эхний зарчим юу гэж хэлдэг вэ гэвэл

Маш нимгэхэн бөгөөд жигд нягттай бөмбөлөг (гадаргуу) дотор байгаа биетэд уг бөмбөлгөөс үзүүлэх таталцлын хүч тэгтэй тэнцүү.

Биет маань бөмбөлгийн дотор хаана нь ч байрласан байж болно гэдгийг анхаараарай. Мөн бөмбөлөг гэдгээр зөвхөн гадаргууг ойлгодог гэдгийг санацгаая (Бөмбөлөг, бөмбөрцөг хоёрын ялгаа нь тойрог, дугуй хоёрын ялгаатай адилхан). Тэгэхээр 100км-ын гүнд байгаа биетэд дэлхийн яг гадаргын нимгэн давхаргаас үйлчлэх хүч тэг байна. Өөрөөр хэлбэл гадаргын нимгэн давхаргыг хуулаад авчихад уг биетэд үйлчилж байгаа хүч өөрчлөгдөхгүй. Үүнчлэн нимгэн давхаргуудыг дараа дараагаар нь хуулсаар дэлхийн радиусыг 100км-ээр бага болтол нь хуулж болно. Эндээс 100км-ын гүнд байгаа биетийг 100км-ээр бага радиустай жижигхэн дэлхий татаж байгаа болохоор уг биетийн жин тэр хэмжээгээр багасах нь харагдана.

earth2.jpg

Ногоон цэгт байгаа биетэд хөх давхаргаас үйлчлэх хүч тэгтэй тэнцүү. Иймд дэлхийг шар хүрэн бөмбөрцгөөр сольбол уг биетийн жин өөрчлөгдөхгүй.

Дээрх зарчмын үнэн эсэхийг яаж мэдэх вэ? Жигд нягттай бөмбөлөг гадаргуу дотор байгаа A цэгийг дайруулж шулуун татаад, тэр шулууны бөмбөлөгтэй огтолцох цэгүүдийг B, C гэе. Одоо A цэгээс нэг ижил биет өнцгөөр харагдах хоёр жижигхэн ялтсыг B ба C цэгийнхээ орчимд, бөмбөлөг дээрээ авъя (зураг дээр улаанаар дүрсэлсэн). Эдгээр жижиг ялтаснууд A цэг дээр байгаа биетийг яг ижил хүчээр хоёр талаас нь татна гээд харуулчихвал, A цэг дээр үйлчлэх нийт хүч нь ийм жижиг ялтаснуудаас үйлчлэх хүчнүүдийн нийлбэр учраас тэг болж таарах юм.

newthm1.jpg

ABO өнцөг ACO өнцөгтэй тэнцүү гэдгээс бөмбөлөг дээр улаанаар дүрслэгдсэн гадаргуунуудын талбай харгалзан |AB|² ба |AC|² хэмжигдэхүүнүүдэд пропорциональ гэж мөрдөнө.

B цэг дээрх ялтасны масс κ|AB|² байх ба C цэг дээрх ялтасны масс κ|AC|² байна. Өмнөө κ гэсэн нэг ижил коэффициенттэй байгаа нь дараах маягаар тайлбарлагдана.

  • Зураг дээрээс, B ба C цэгүүдийн орчимд ногооноор дүрсэлсэн гадаргуунуудын талбай (A цэгээс нэг ижил биет өнцгөөр харагдах тул) харгалзан |AB|² ба |AC|² хэмжигдэхүүнүүдэд пропорциональ байна.
  • B цэгт уулзах улаан ба ногоон хавтгайн хоорондох өнцөг, C цэгт уулзах улаан ба ногоон хавтгайн хоорондох өнцөгтэй тэнцүү. Иймд улаан ялтаснуудын талбай харгалзан |AB|² ба |AC|² хэмжигдэхүүнүүдэд пропорциональ байна.
  • Одоо улаан ялтаснуудынхаа талбайг гадаргуугийн нягтаар үржүүлснээр эдгээр ялтаснуудын масс гарч ирнэ.

Аль нэг ялтаснаас A цэгт үйлчлэх хүч ялтасны масст шууд, ялтас хүртэлх зайн квадратад урвуу пропорциональ байна. Нэгэнт аль ч ялтасных нь масс ялтас хүртэлх зайн квадратад шууд хамааралтайг дээр харуулсан тул хоёр ялтаснаас A цэгт үйлчлэх нийт хүч тэгтэй тэнцүү болж бидний зорилго биелэгдлээ.

Тэгэхээр дэлхийн гүнд байгаа биетэд үйлчлэх таталцлын хүчийг тооцохын тулд уг биет маань дөнгөж гадна талд нь байхаар тийм хэмжээтэй жижигхэн бөмбөрцгөөр дэлхийг сольж болно гэсэн үг. Энэ жижигхэн бөмбөрцгөөс үйлчлэх хүчийг яаж тооцох вэ?

Эхнийхээ зарчимтай холбож ойлгохын тулд цул бөмбөрцгийн оронд эхлээд бөмбөлгөн гадаргуу аваад үзье. Тэгвэл дорх зурагт үзүүлснээр, A цэг маань бөмбөлгийн гадна талд байгаа учраас A цэгээс татсан шулуун дээр орших ялтаснуудаас үйлчлэх хүч хоорондоо (эсрэг биш) нэг чиглэлд байна. Иймд хүчийг тооцох нь A цэг бөмбөлөг дотор байх тохиолдлыг бодвол арай илүү ярвигтай.

newthm2.jpg

Улаан ялтаснуудаас A цэгт үйлчлэх хүчнүүд хоорондоо нэмэгдэнэ.

Гэхдээ шууд интеграл ашиглаад тооцсон ч нэг их төвөгтэй биш. Хамгийн хялбар арга гэвэл потенциалаар нь дамжуулж хөөх байж магадгүй. Ингээд эцэст нь Ньютоны теоремын хоёрдахь зарчмыг гаргаж авч болно:

Маш нимгэхэн бөгөөд жигд нягттай бөмбөлөг гадаргуугийн гаднах таталцлын орон нь уг бөмбөлөгийн төвд байрлах, бөмбөлөгийн масстай тэнцүү масстай жижигхэн биетийн үүсгэх таталцлын оронтой яг адилхан.

Дээрх зарчимд нимгэн гадаргуугийн таталцлын хүчний талаар яригдаж байгаа боловч үүнийг практикт илүү ойр тохиолдлууд руу хөрвүүлэхэд амархан.

  • Жигд нягттай цул бөмбөрцгийг олон нимгэхэн давхаргаас бүтсэн гэж бодож болох тул дээрх зарчим энэ тохиолдолд мөн биелнэ.
  • Үнэндээ заавал жигд нягттай ч байх албагүй, нягт нь зөвхөн төв хүртэлх зайнаасаа хамаардаг (ө.х. «бөмбөлгөн тэгш хэмтэй») цул бөмбөрцөг байхад л хангалттай.

Дүгнэж хэлэхэд, дэлхийн цул дотор, төвөөс нь r зайтай байгаа биетэд дэлхийн зүгээс үйлчлэх таталцлын хүчийг тооцохын тулд

  • дэлхийн r радиусын гадна байгаа хэсгийг нэгмөсөн арилгаад,
  • үлдсэн хэсгийнх нь бүх масс төвдөө хуримтлагдсан гэж үзэж болно.
earth2a

Ногоон цэгт үйлчлэх таталцлын хүчийг тооцохын тулд, бүдэг хөх өнгөтэй хэсгийг нэгмөсөн арилгаад, үлдсэн хэсгийн бүх массыг төвд байгаа ягаан цэгт хуримтлагдсан гэж үзэж болно.

Иймд дэлхийг жигд нягттай гэж үзвэл, r радиустай бөмбөрцгийн масс r-ийн кубт пропорциональ:

M = ρr³

Энэ масс яг төвдөө хуримтлагдсан гэж үзэж болох тул таталцлын хүч

F = γmM/r² = γmρr

гарна. Үүнд γ нь гравитацын тогтмол, m нь жижиг биетийн масс, ρ нь дэлхийн нягтаас хамаарсан коэффициент. Газрын гадаргуу дээр буюу r = R үед энэ хүч F = mg болох ёстой гэдгээс

F = mgr/R

гэж бичиж бас болно. Тэгэхээр дэлхийн гүн рүү явж байгаа биетийн жин дэлхийн төв хүртэлх зайнаасаа шууд (шугаман) хамааралтай буурах нь.

Одоо энэ гаргасан томъёоныхоо хэрэглээ болгоод нэг жишээ авч үзье. Дэлхийг төвийг нь дайруулж нэвт нүхэлсэн хонгил хийгээд, тэр нүх рүүгээ жижигхэн биет унагаалаа гэж төсөөл.

earth4

Зурагт үзүүлснээр, хонгилынхоо дагуу x тэнхлэгийг, тооллын эх нь дэлхийн төвд байхаар сонгож авъя. Тэгвэл хонгил дотор биет x байрлалд байх үед түүнд дэлхийн зүгээс үзүүлэх хүч

F = – mgx/R

байна. Энэ томъёонд бид хүчний чиглэлийг бас тооцсон байгаа. Тэгэхээр Ньютоны 2-р хууль ёсоор

mx'' = - mgx/R             буюу              x'' + gx/R = 0.

Үүнд x'' нь x-ээс хугацаагаар авсан хоёрдугаар эрэмбийн уламжлал (ө.х. хурдатгал). Дээрх тэгшитгэл нь гармоник дүүжингийн тэгшитгэлтэй адилхан тул ерөнхий шийд нь

x(t) = A·sin(ωt) + B·cos(ωt),             (ω² = g/R)

байна. Шийдийн бичлэгийг арай хялбарчлахын тулд жижиг биетийг яг нүхний амсраас унагааж эхлэх агшинд хугацааг тоолж эхэлсэн (өөрөөр хэлбэл x(0) = R, x'(0) = 0) гэж үзвэл

x(t) = R·cos(ωt)

болно. Эндээс биетийн хурдыг олбол

x‘(t) = – ωR·sin(ωt).

Биет маань ωt = π/2 болох агшинд дэлхийн төвөөр дайрах ба энэ үед хурдны хэмжээ хамгийн их, x‘ = – ωR байна. Цаашилбал, ωt = π үед хонгилын нөгөө амсарт хүрч, хоромхон зуур «зогсоод» буцаад унаж эхэлнэ.  Тэгээд ωt = 3π/2 үед дэлхийн төвөөр дахиж дайраад, ωt = 2π болох агшинд буцаж анх байсан газраа ирнэ. Тэгэхээр нэг бүтэн хэлбэлзэл хийх үе нь

T = 2π/ω.

Дэлхийн радиус R ≈ 6370км, чөлөөт уналтын хурдатгал g ≈ 9.8м/сек² гэдгийг орлуулан бодвол

ω ≈ 0.001240 Гц            буюу           T ≈ 5065 сек = 84 мин 25 сек

гэж гарна.

Дээрх тоо танд танил санагдаж байж мэднэ. Тэгвэл дэлхийг гадаргаас маш бага өндөрт тойрох хиймэл дагуулын эргэлтийн үе бас 84 минут орчим байдаг. Яагаад ингээд таарчихав аа гэвэл нүхэнд унагаасан биетийн хөдөлгөөн нь дэлхийг тойрч байгаа хиймэл дагуулын хөдөлгөөний x–тэнхлэг дээрх проекцтой давхацдагаас тэр юм. Зураг дээрээс, хиймэл дагуулд үйлчлэх хүчний x–байгуулагч нь

F = mg·x/R

болохыг шууд харж болно.

Дасгал. Дэлхий дээрх хоёр хотыг газар доогуур шулуун хонгилоор шууд холбож, төмөр зам тавьжээ (зураг: доод талын нарийхан хонгил). Энэ төмөр замаар аянд нь өнхрүүлсэн галт тэрэгний хэлбэлзлийн үеийг ол. Үрэлтийг тооцохгүй.

Posted in Одон орон, Таталцал, Физик | Tagged , , , | Сэтгэгдэл бичих