Цагаан сарын аажим шилжилт

Төгсбуянтын тооллын цагаан сар жилээс жилд хэзээ болж байсан, ирээдүйд хэзээ болох вэ, ерөнхийдөө хойшилж эсвэл урагшилж байгаа юу гэдэг асуудлыг сонирхоё. Дорх зурагт 1900–2024 оны хоорондох цагаан сарын шинийн нэгэн аргын тооллоор ямар өдөр тохиохыг үзүүлэв.

1900–2024 оны хоорондох цагаан сарын шинийн нэгэн

Энд хэд хэдэн ойролцоо зүй тогтол шууд ажиглагдаж байгаа. Нэгдүгээрт, өнгөрсөн жил илүү саргүй жил байсан бол цагаан сар өнгөрсөн жилийнхээс 11 хоног орчмоор эрт болно. Харин илүү сартай байсан бол 19 орчим хоногоор хойшилно. Энэ мэдээж сарны үечлэл (буюу хоёр битүү сарны хоорондох хугацаа) ≈29.530588 хоног учраас 12 билгийн сар 29.53 · 12 ≈ 354 хоног, харин 13 билгийн сар 29.53 · 13 ≈ 384 хоногийн урттай байдагтай холбоотой. Цаашилбал, ихэнх тохиолдолд 3 жил тутамд нэг илүү сар орж байгаа. Ийм үед билгийн тооллоор 3 жил нь 29.53 · (12+13+12) ≈ 1092.6 хоног, харин аргын тооллоор 1095 эсвэл 1096 хоног. Тэгэхээр дунд нь 2 илүү сар орчихгүй л бол 3 жил болоод цагаан сар 2–4 өдрийн өмнөх байрлалд «буцаж ирнэ» гэсэн үг. График дээр энэ нь зүүн дээрээс үл ялиг баруун доошоо чиглэсэн, хар цэгүүдийг холбосон шулуунууд болж харагдана. Ингэж явж байгаад хэт эрт болох гээд ирэнгүүт нь 2 илүү сар оруулаад бүр «дээш нь шидчихнэ».

Өөр нэг ойролцоо зүй тогтол ажиглагдаж байгаа нь 5 жил тутамд цагаан сар ойролцоогоор 5 хоногоор хойшилж байгаа. График дээр энэ нь зүүн доороос баруун тээшээ чиглэсэн, хар цэгүүдийг холбосон шулуунууд болж харагдана. Ийм үед дунд нь дандаа 2 илүү сар орж байгаа. Өмнөх маягаар тооцоо хийвэл ийм билгийн 5 жил 29.53 · (12+13+12+13+12) ≈ 1831 хоногийн урттай, харин аргын 5 жил 1826 юм уу 1827 хоногийн урттай байна. Эндээс шууд 4 юм уу 5 хоногоор хойшлох нь харагдаж байгаа. Ингэж хойшлуулж байгаад хэт хойшлоод ирэнгүүт нь 5 жилд ганц илүү сар өгөөд «доош нь татчихна».

Ямар ч Төвд-Монгол календарь илүү сараа тооцохдоо дараах хялбар дүрмийг дагадаг. Үүнд илүү саруудын хооронд орж байгаа «энгийн» саруудын тоо нь 33, 32, 33, 32, … гэх мэтчилэн ээлжилдэг. Өөрөөр хэлбэл билгийн 65 жилд энгийн, илүү нийлээд 65·12+2·12=804 сар байна. Энэ нь ойролцоогоор 29.530588 · 804 ≈ 23742.5927 хоног. Харин Григорийн тоололд жилийн урт дунджаар 365.2425 хоног гэдгээс аргын 65 жилд 365.2425 · 65 = 23740.7625 хоног байна. Тэгэхээр 65 жилд цагаан сар ойролцоогоор 1.83 хоногоор (эсвэл 250 жилд 7 хоногоор) хойшлоно гэсэн үг.

Дорх зурагт 1747–2100 оны хоорондох цагаан сарын шинийн нэгнүүдийг дүрслэв. Эндээс цагаан сар аажмаар хойшилж байгаа нь тодорхой харагдана. Тухайлбал, Төгсбуянтын тоололд цагаан сар анх удаа 3 сард тохиох явдал 2025/3/1-нд болох юм. Үүнээс хойш энэ зуунд нийтдээ 3 удаа ийм орой цагаан сар болох нь 2044/2/29, 2063/3/1, 2090/3/1-ний өдрүүдэд таарна.

1747–2100 оны хоорондох цагаан сарын шинийн нэгэн

Posted in Одон орон, цаг тоолол | Tagged , , | Сэтгэгдэл бичих

Вейлийн хууль

Хоёр цэгийн хооронд чанга татаж бэхлэгдсэн утсыг доргиоход ямар давтамжтай хэлбэлзэх нь тухайн утасны уян харимхай чанар, урт, өргөнөөс хамаарна. Эдгээр параметрүүдийг нь удирдах замаар хийл, төгөлдөр хуур, гитар гэх мэт хөгжмийн зэмсгийг утасны хэлбэлзлийг ашиглан янз бүрийн давтамжтай дуу гаргахаар зохион бүтээсэн байдаг. Хэрэв бид жишээ нь гитарын нэг утасны гаргах дууг бичиж аваад давтамжаар нь салгаж үзвэл энэ утасны дуу зөвхөн ганц «цэвэр» давтамжаас бүтдэггүй болох нь харагдана. Сонирхолтой нь энэ дууны давтамжийн найрлага дотор хамгийн бага нэг давтамж байх бөгөөд найрлагад нь орсон бусад бүх давтамж энэ хамгийн бага давтамжийг бүхэл тоо дахин авсантай тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл гитарын утасны хэлбэлзэл нэг үндсэн давтамж f, мөн цаашаагаа 2f, 3f, 4f, 5f гэх мэт давтамжуудыг л агуулна. Эдгээр давтамжуудыг тухайн утасны хувийн давтамжууд гэдэг бөгөөд хоорондоо гармоник (буюу зохицолтой) харьцаанд байна, эсвэл f-ийн гармоникууд гэж ярьдаг. Хоорондоо гармоник харьцаанд байгаа давтамжуудыг зэрэг сонсоход хүний чихэнд тааламжтай байдгийг МЭӨ 500 оны үед Пифагор нээсэн нь Өрнийн хөгжимд маш чухал үүрэг гүйцэтгэдэг хууль юм. Үнэндээ гитарын нэг утсыг татахад дууных нь найрлагад маш олон давтамж байгаа боловч тэдгээр нь хоорондоо нийцтэй сонсогдох болохоор хүнд цэвэр давтамж мэтээр сонсогдоно гэсэн үг. Дээр өгүүлсэн зүйлийг арай тодруулбал, A урттай утсанд f гэсэн өгөгдсөн заагаас хэтрэхгүй хэдэн ширхэг хувийн давтамж байх нь

N(f) = cAf

гэсэн томъёогоор өгөгдөнө. Үүнд c нь тогтмол тоо. Өөрөөр хэлбэл f-ээс хэтрэхгүй хувийн давтамжийн тоо f ба A-д хоёуланд пропорциональ байна. Математикийн хувьд утасны хэлбэлзлийн бодлого нь үндсэндээ хоёрдугаар эрэмбийн уламжлалын хувийн утгын (Штурм-Лиувиллийн бодлого ч гэдэг) бодлого болох ба 18-р зууны дунд үед Брук Тейлор, Иоганн ба Даниел Бернулли, Жан Лерон Даламбер, Леонард Эйлер нарын ажлаар бүрэн шийдэгдсэн асуудал юм.

Гитарын утасны хэлбэлзлийн давтамжийн найрлага. Хэвтээ тэнхлэгийн дагуу давтамж, килоГерцээр. Босоо тэнхлэгийн дагуу дууны хүч, децибелээр. Энд 3, 6, 9, 12-р гармоникууд байхгүй байгаа нь утсыг анх татсан хурууны байрлалаас болж байгаа. Мөн энэ хэмжилт нь идеал биш бодит гитарын хэмжилт учраас цэвэр гармоникуудад харгалзах «шовх оргилуудын» хооронд бага зэрэг ч гэсэн бусад давтамжууд бас холилдсон байгааг ажиглаарай.

Одоо бид дээрх бодлогыг өргөтгөөд бөмбөрийн гадаргуу, хонхны гадаргуу, эсвэл өрөөн доторх дууны хэлбэлзлийн хувийн давтамжууд юу байх вэ гэсэн асуулт тавьж болно. Энэ нь хоёр юм уу гурван хэмжээстэй муж дахь Лаплас операторын хувийн утгын бодлогод хүргэх бөгөөд тэгш өнцөгт гэх мэт хялбар мужууд дээрх шууд тооцооноос f их үед

N(f) = cAf^n + o(f^n)

байж магадгүй гэсэн таамаглал гарч ирнэ. Үүнд A нь тухайн мужийн талбай юм уу эзэлхүүн, n нь огторгуйн хэмжээс (ө.х. бөмбөрийн хувьд n=2, өрөөний хувьд n=3), o(f^n) гэдэг нь f нь их үед f^n-ээс удаан өсдөг ямар нэг гишүүн. Тэгэхээр жишээ нь бөмбөрийн хувийн давтамж ба уг давтамжийн дугаар хоёрын хооронд утасных шиг шугаман хамаарал байхгүй учир бөмбөрийн хувийн давтамжууд хоорондоо гармоник харьцаатай биш. Үүгээр бөмбөр болон утсан хөгжмийн хооронд дууны чанарын эрс ялгаа байдгийг тайлбарлана.

Дугуй хэлбэртэй бөмбөрийн гадаргуугийн хувийн хэлбэлзлийн горимууд (ө.х. ганц «цэвэр» давтамжтай хэлбэлзлүүд).

Энэ бодлого нь зөвхөн дууны хэлбэлзэл төдийгүй бүхий л долгиолог процесст хамаатай. Тухайлбал төгс ойлгодог гадаргуугаар доторлосон битүү саван доторх цахилгаан соронзон орны хувийн давтамжуудыг тооцох нь математикийн хувьд дээрхтэй яг ижил бодлого. Ийм савны доторх цахилгаан соронзон орныг ойлгох нь «хар биеийн цацаргалт» нэрийн дор 19-р зууны төгсгөл үед физикийн хамгийн тулгуур асуудлуудын нэг байсан бөгөөд эцэстээ квант механикийг нээхэд хүргэсэн юм. Тэгэхээр дээр дурдсан таамаглалыг дууны долгион болон хар биеийн цацаргалттай холбоотойгоор 1910 онд Арнольд Зоммерфельд, Хендрик Антон Лоренц нар дэвшүүлсэн байна. Зоммерфельд-Лоренцийн таамаглалын гол сонирхолтой бөгөөд батлахад хүндрэлтэй зүйл нь гэвэл хувийн утгуудын асимптот шинж чанар мужийн хэлбэр дүрсээс хамааралгүй, зөвхөн эзэлхүүнээс хамаарч байгаа явдал юм. Анх яаж батлагдсан түүх нь бас их сонирхолтой. Паул Волфскел (1856-1906) гэдэг герман эмч гэрээслэлдээ Фермагийн сүүлчийн теоремыг баталсан хүнд өгөөрэй, түүнээс өмнө хүүгээр нь жил бүр математик физикээр алдартай эрдэмтнийг Гёттингенд урьж 6 лекц уншуулж бай гэж 100 мянган марк үлдээжээ. Анхны 6 лекцийг 1909 онд Анри Пуанкарье, дараагийн 6 лекцийг 1910 оны намар Хендрик Антон Лоренц уншсан байна. Лоренц сүүлийн 3 лекцэндээ хар биеийн цацаргалтын талаар ярих үедээ дээрх Зоммерфельд-Лоренцийн таамаглалыг дурдсан аж. Лекцийн танхимд Давид Гильберт сууж байсан ба таамаглалыг сонсоод тэрбээр «намайг амьд байхад лав шийдэгдэхгүй асуудал байна» гэж дуу алдсан гэдэг. Гильбертийн хажууханд түүний шавь Герман Вейль бас сууж байсан бөгөөд ердөө хагас жилийн дотор тэрбээр Зоммерфельд-Лоренцийн таамаглалыг бүрэн баталсан байна. Гильбертийн шавь учраас Вейль анхны баталгаандаа интеграл тэгшитгэлийн онолыг ашигласан бол сүүлд вариацийн аргаар бас баталж болохыг үзүүлсэн. Ингээд Зоммерфельд-Лоренцийн таамаглал нь Вейлийн хууль нэртэй болсон. Дашрамд дурдахад Волфскелийн лекцийн уламжлал бараг 100 жил үргэлжилсний эцэст 1997 онд Эндрю Уайлс шагналынх нь мөнгийг гэрээслэл ёсоор гардан авснаар дуусгавар болжээ.

1915 он гэхэд Вейль өөрийн хуулийг цахилгаан соронзон болон хатуу биет доторх дууны долгионы хувьд өргөтгөн баталчихсан байсан. Мөн уг хуулийг цааш нь нарийсгасан дараах таамаглалыг дэвшүүлсэн.

N(f) = cAf^n + eBf^(n-1) + o( f^(n-1) )

Үүнд B нь мужийн хилийн урт, e нь тогтмол тоо. Вейлийн таамаглал гэгдэх болсон энэ бодлогон дээр олон математикч хөлсөө дуслуулсан бөгөөд хамгийн сүүлд 1980-аад онд Виктор Иврийгийн ажлаар үндсэндээ батлагдсан гэж үзэж болно. Энэ баталгаанд хүргэсэн гол аргачлал нь 1930-аад оны дундуур Торстен Карлеманы дэвшүүлсэн Лаплас операторын функцийн мөрийг (trace) хувийн утгуудын тоотой Тауберийн теоремийн тусламжтайгаар холбодог арга юм. Лаплас операторын функц гэдэгт ресольвент, дулааны болон долгионы тэгшитгэлийн шийдийн операторууд байж болох ба эдгээрээс хамгийн нарийвчлал сайтай үр дүн өгдөг нь долгионы тэгшитгэлийн шийдийн оператор болох нь тогтоогдсон. Тухайлбал Фурье интеграл оператор технологийн тусламжтайгаар долгионы тэгшитгэлийн шийдийн операторын мөрийг богино хугацаанд асимптот байдлаар үнэлэх замаар Ганс Дейстермаат (Hans Duistermaat), Виктор Гийемин (Victor Guillemin) хоёр 1975 онд Вейлийн таамаглалыг битүү цогцуудын (closed manifolds) хувьд баталсан байгаа. Энэ баталгааг хилтэй мужууд руу өргөтгөх хэцүү ажлыг Виктор Иврий хийсэн юм.

Орчин үед дифференциал операторын хувийн утга, хувийн функцийн судалгаа анализийн нэг гол салбар хэвээр байна. Одоогоор нилээд “халуун” байгаа зарим сэдвийг дурдвал Вейлийн таамаглалыг бутархай эрэмбийн болон өөртөө хосмог биш операторууд руу өргөтгөх, хувийн функцүүдийн төрөл бүрийн норм хэрхэн өсөхийг нарийвчлан судлах, хувийн функцүүдийг тэглэдэг олонлогийн хэмжээнд зааг тогтоох, гиперболлог хавтгайн муж дээрх Лаплас операторын спектрийн судалгаа зэрэг болно.

Зураг дээр: (А) Дугуй хэлбэртэй бөмбөрийн гадаргуугийн хувийн хэлбэлзлийн горимууд (ө.х. ганц “цэвэр” давтамжтай хэлбэлзлүүд). (Б) Гитарын утасны хэлбэлзлийн давтамжийн найрлага. Хэвтээ тэнхлэгийн дагуу давтамж, килоГерцээр. Босоо тэнхлэгийн дагуу дууны хүч, децибелээр. Энд 3, 6, 9, 12-р гармоникууд байхгүй байгаа нь утсыг анх татсан хурууны байрлалаас болж байгаа.

Posted in Анализ, Дифференциал тэгшитгэл, Математикийн түүх, Физик | Tagged , , | Сэтгэгдэл бичих

Бүх хүн зэрэг үсэрвэл дэлхий хөдлөх үү?

Дэлхийн бүх хүн нэг газар цуглаж байгаад зэрэг үсэрвэл дэлхийг хөдөлгөж чадах болов уу? Хэдүүлээ маш хялбар тооцоо хийгээд үзье л дээ. Дэлхийн хүн амыг ихээр бодож 8 тэрбум, нэг хүний дундаж массыг 70кг гэвэл нийт хүний масс хамгийн ихдээ 0.6 тэрбум тонн буюу 6\cdot10^{11}кг болно. Дэлхийн масс ойролцоогоор 6\cdot10^{24}кг, энэ нь бүх хүний массаас 10^{13} дахин их. Хүмүүс үсэрч ч байсан яаж ч байсан ялгаагүй нийт системийн хүндийн төв хадгалагдана. Тэгэхээр жишээлбэл, бүх хүн яг зэрэг 1метр өндөрт үсэрсэн гэвэл дэлхий 10^{-13}м буюу 0.1пикометр хэмжээгээр шилжинэ. Энэ нь устөрөгчийн атомын диаметрээс 1000 дахин бага юм. Дэлхий ийм бага хэмжээнд шилжих ба нөгөө хүмүүс маань эргээд газар буухад дэлхий маань мэдээж буцаад байрандаа оччихно.

Дээрх тооцоонд дэлхийг үнэмлэхүй хатуу биет гэж үзсэн байгаа. Яг үнэндээ бол дэлхийн хөрсний нэг хэсэгт ямар ч хүчтэй цохилт доргио болсон гэсэн нөгөө хэсэгтээ тэр дороо мэдэгдэхгүй, энэ доргио нь газар дотуур дууны хурдаар тархана. Газраар дамждаг хамгийн хурдан дууны долгион 10км/сек орчим хурдтай тархдаг. Хүн 1метр өндөрт үсрээд буухад 1 секунд орчим хугацаа зарцуулна. Энэ хугацаанд «хүмүүс үсэрсэн тухай мэдээлэл» дөнгөж 10км орчим газарт тархсан байна. Өөрөөр хэлбэл хүмүүс үсрээд буухад дэлхий бүхлээрээ хөдлөхгүй, сайндаа л 10–20км хэмжээтэй газар жаахан доргилт өгөөд л дуусна гэсэн үг.

Энэ үсрэлтээр тэр хавийн газар орон хэр их доргих вэ гэдэг талаар ойлголт авахын тулд ялгаруулсан энергийг нь тооцоё. Бүх хүн 1метр өндөрт үсэрсэн гэвэл 6\cdot10^{12}жоуль буюу 6теражоуль энерги ялгаруулна. Энэ нь Рихтерийн шатлалаар 5 баллын газар хөдлөлттэй дүйцэхүйц энерги бөгөөд иймэрхүү газар хөдлөлт барилга байгууламжинд бараг нөлөөлдөггүй, үл ялиг мэдрэгддэг сул газар хөдлөлтөндөө ордог. Тэсрэх бөмбөгний ялгаруулах энергитэй жишвэл 6теражоуль энерги нь 1500тонн тринитротолуолын тэсрэлтээс үүсэх энерги, эсвэл Хирошима дээр хаясан атомын бөмбөгнийхөөс 10 дахин бага энергид харгалзах юм.

Эцэст нь зүгээр зугаа болгож дэлхийн бүх хүнийг цуглуулахад хэр их талбай хэрэгтэй вэ гэдгийг бодож үзье. Нэг хүнд 1 квадрат метр талбай ногдуулна гэвэл 8000 квадрат км буюу ойролцоогоор Говьсүмбэр, Дархан-Уул хоёр аймгийг нийлүүлчихсэн юм шиг хэмжээний талбай хэрэг болно. Улаанбаатар хотын талбай 4700 квадрат км гэж байгаа тэгэхээр сайн шахаж байгаад дөрвөн уулын дунд багтаавал багтаачихаар л юм байна.

Posted in Физик, Хялбар тооцоо, Элдэв зүйлс | Tagged , | Сэтгэгдэл бичих

Нуур яагаад ёроолдоо хүртэл хөлддөггүй вэ?

Гол, нуурын ус өвөл яагаад ёроолдоо хүртэл хөлдчихгүй байна вэ? Хэдүүлээ энд нэг хялбарчилсан тооцоо хийгээд үзье л дээ.

Нуурын мандалд нимгэхэн мөс тогтчихсон байна гэж төсөөл. Тэгвэл мөсний дээд захын температур агаарын температуртай адилхан, доод захын температур 0˚C байна. Мөсний доод захаар хиллэсэн ус аажмаар хөлдөж мөсний зузааныг нэмэгдүүлэх бөгөөд ус хөлдөхөд ялгарсан дулаан мөсөөр дамжиж дээшээ агаарт цацагдана. Одоо мөсний гадаргуу дээр S талбайтай квадрат зураад тэр квадратын яг дор орших мөсөн баганыг авч үзье. Нуурын мөсний зузааныг x, мөсний дээд ба доод захын хоорондох температурын зөрөөг T гэвэл (ө.х. агаарын температур нь -T), мөсөн баганын дээд гадаргуугаар ∆t хугацаанд алдагдах дулаан 

k · T · S · ∆t / x

байна. Үүнд k ≈ 2.22 Ватт / (метр·градус) нь мөсний хувийн дулаан дамжуулалт. Энэ хугацаанд мөсөн баганын доод талд ∆x зузаантай мөс нэмэгдсэн гэвэл усны хөлдөлтөөр тэнд ялгарах дулаан

σ · ρ · ∆x · S · ∆t

байна. Үүнд ρ ≈ 0.92 г / см² нь мөсний нягт ба σ ≈ 334 Жоуль / г нь мөсний хайлалтын хувийн дулаан. Дээрх хоёр илэрхийллийг хооронд нь тэнцүүлбэл, C = k/(ρσ) тогтмолтой

x’ = ∆x / ∆t = CT / x

гэсэн дифференциал тэгшитгэлд хүрэх ба хугацаа t = 0 үед x = 0 байх шийд нь

x² = 2C·T·t

болно. Энэ томъёоноос мөсний зузаан хугацаанаас квадрат язгуур авсан мэтээр өсөх нь харагдаж байна. Одоо C тогтмолыг тооцвол

C ≈ 6 см² / (хоног·градус)

гэж гарах ба дээрх томъёог практикт ашиглахад амар байдлаар

x² ≈ 3.5² · T · t

гэж бичиж болно. Үүнд T нь градусаар, t нь хоногоор өгөгдөх бөгөөд хариу нь см-ээр гарна. Жишээлбэл, агаарын температур -20˚C бол температурын зөрөө T = 20˚C болох бөгөөд t = 30 хоног гэвэл T · t = 600, үүнээс язгуур аваад 24.5. Тэгэхээр

x ≈ 3.5 · 24.5 ≈ 86 см.

Одоо T = 20˚C ба t = 100 хоног гэвэл T · t = 2000, язгуур аваад 44.7, ингээд

x ≈ 3.5 · 44.7 ≈ 156 см.

Тэгэхээр нэг өвлийн турш мөсний зузаан 1-2 метрээс илүү гарах боломж бараг байхгүй гэж дүгнэж болох нь.

Мөсөн дээр хүн явахад цөмөрчихгүй байхын тулд мөс дор хаяж 10 см зузаантай байх хэрэгтэй гэдэг. Агаарын температур -20˚C үед 10 см зузаантай мөс бүрэлдэхэд хэрэгтэй хугацааг олбол

t ≈ 100 / (3.5² · 20) ≈ 0.4 хоног ≈ 10 цаг.

Эцэст нь хэлэхэд бид мөсөн дээрх цасны дулаан тусгаарлах чанар, мөсөн дорх усны дулаан хадгалах чанарыг тооцоогүй тул мөс бүрэлдэх явц бодит байдал дээр энд тооцсоноос арай удаан байна гэдгийг анхаараарай. Бодит жишээ авъя гэвэл олон жилийн ажиглалтаар Канадын нууруудын мөсний зузаан 1 метрээс дээш гарсан тохиолдол бараг байхгүй гэнэ. Тэгэхээр бидний гаргасан томъёо тийм ч их алдаатай биш болох нь харагдаж байна.

Posted in Физик, Хялбар тооцоо | Tagged , | Сэтгэгдэл бичих

Уртыг хэмжих

Уртыг яаж хэмждэг билээ? Юуны түрүүнд урт нь ер өөрчлөгддөггүй нэг саваа эсвэл тууз хэрэгтэй. Тэгээд тэр туузаа уртыг нь хэмжих гэсэн зүйлтэйгээ жиших замаар хэмжинэ. Гэтэл энэ туузныхаа уртыг өөрчлөгдөхгүй байгаа гэдгийг юутай харьцуулж мэдэх юм бэ? Энэ хүндрэл нь хугацааг цагаар хэмжихэд гарч байсан хүндрэлтэй яг адилхан учраас хоёуланг нь төстэй аргаар шийдэж болно. Товчхондоо бол зарим материалаар хийсэн багажаар уртыг хэмжвэл өөр бусад материалаар хийсэн багаж ашигласнаас физикийн хуулиуд илүү хялбар байдаг бөгөөд ийм материалуудыг «хатуулаг чанар сайтай» гэж ярьдаг.

Гадаргуу дээр шугамнууд зурагт үзүүлсэн байдлаар байрласан бөгөөд гадаргуугийн дээд хэсэг халуун, доод хэсэг хүйтэн. Ногоон нь хуванцар, хүрэн нь тугалган, цэнхэр нь төмөр шугам. Эдгээр шугаман дээрх зурааснуудаар шагайн байрлалыг хэмжээд, хугацаанаас хамаарсан хамаарлыг нь баруун гар талын графикт дүрсэлсэн. Тасархай улаан зураас нь шугамнуудын хэмжилтийн тоон утганд температураас хамаарсан засвар хийх замаар гаргасан тооцоо.

Дээрхийг арай дэлгэрүүлж тайлбарлая. Хуванцар болон тугалган шугаман дээр нэг жижигхэн хэрчмийг эх болгож авч гүйлгэж байгаад (сантиметрийн шугаман дээр байдаг шиг) уртын хуваарь зуржээ гэж бод. Тэгээд маш толигор гадаргуу дээр хоёр шугамаа зэрэгцүүлээд тавья. Энэ толигор гадаргуу маань зарим газраа халуун, зарим газраа хүйтэн байдаг бол хоёр шугамын хуваариуд хоорондоо зөрж ирнэ. Одоо нөгөө гадаргуугийнхаа нэг захаас нөгөө зах руу нь шагай ч юм уу нэг жижигхэн биет гулсуулж туршилт хийвэл, тугалган шугамын зурааснуудын хувьд шагай жигд хурдтай боловч хуванцар шугамаар уртыг хэмжихээр шагайн хурд жигд биш, халуун газар удаашраад, хүйтэн газар хурдан яваад байгаа нь харагдана. Цаашлаад бүр нарийн ажиглавал, тугалган шугамаар хэмжсэн үед ч шагайн хурд бас яг жигд биш нь мэдэгдэх бөгөөд төмөр шугам ашигласнаар шагайн хурд илүү жигд болж ирнэ.

Мэдээж төмөр ч гэсэн яг төгс байж чадахгүй. Гадаргуугийн нэг цэгээс нөгөө цэг дэх халуун хүйтний зөрөө их бол төмөр шугамаар уртыг хэмжээд ч шагайн хурд цэгээс цэгт мэдэгдэхүйц өөрчлөлттэй болж ирнэ. Тэгэхээр төмрөөс ч илүү «хатуулаг чанар» бүхий материал байдаг бол тэр материалаар хийсэн шугамаар уртыг хэмжсэнээр шагайн хурд бүр илүү жигд болж хэмжигдэх байх гэсэн таамаг гарна. Гэхдээ тэр шинэ материал нь бодит материал юм болохоор хичнээн ч нарийн байсан гэсэн яг төгс үр дүн өгнө гэдэг эргэлзээтэй. Иймд ерөөсөө шинэ материал хайхаа болиод, төмөр шугамаар хэмжсэн хэмжилтийн тоон утганд температураас хамаарсан засвар хийх замаар шагайн хурдыг жигд болгож хэмжих боломжтой байж мэднэ гэсэн санаа ч төрнө. Үе үеийн судлаачдын олон нарийн туршилтын үр дүнд ямар ч байсан туршилтын нарийвчлалын хүрээнд ийм засвар хийж болдог нь батлагдсан байгаа. Мөн төмрөөс гадна олон бодисыг ингэж судалж болох бөгөөд эцэстээ бүгдээрээ хоорондоо нийцтэй нэг л уртын хэмжээг өгдөг. Өөрөөр хэлбэл байгаль дээр «урт» гэдэг зүйл нэг л байдаг гэсэн үг. Жишээлбэл төмрийн уртыг температураас яаж ч хамаардаг гэж үзэж яаж ч засвар хийгээд шагайн хурдыг тогтмол болгож болдоггүй байж болох байсан учир уртыг нарийвчлалтай хэмжих арга олддог явдал нь өөрөө байгалийн тулгуур хууль юм.

Posted in Физик, Харьцангуйн онол | Tagged , , | Сэтгэгдэл бичих

Хугацааг хэмжих

Хугацааг бид цагаар хэмждэг. Цаг гэж юу юм бэ? гэж физикчээс асуувал, өдөр шөнө солигдох, дүүжингийн хэлбэлзэл, пүршний хэлбэлзэл гэх мэт хоёр давталтын хоорондох хугацаа нь маш тогтонги байдаг тийм үелэх процессыг хэлнэ гэж хариулах вий. Гэтэл хугацааг яаж хэмжихээ тодорхойлоогүй байж хоёр давталтын хоорондох хугацаа тогтонги байна уу үгүй юу гэдгийг яаж мэдэх юм бэ? Энэ асуултанд хариулахыг оролдъё.

Юуны түрүүнд, үелэх процессыг тогтонги хэлбэлзэж байна уу үгүй юу гэдгийг нь цаг байхгүй бол хэлэх аргагүй тул ямар ч давтагдах процессыг цаг хийхэд ашиглаж болно гэж үзье. Жишээ нь миний зүрхний цохилт, Цэцгээгийн судасны лугшилт, Улаанбаатарт нар мандах, «Дорж» нэртэй шоргоолж баруун урд талын хөлөө газар хүргэх гэх мэт үзэгдлүүдийг бүгдийг нь цаганд ашиглаж болно.

Одоо янз бүрийн цаг ашиглаад физик процессуудыг судлая. Жишээ нь маш толигор мөсөн дээгүүр А цэгээс Б цэг рүү чулуу гулгуулаад, тэр чулууныхаа байрлалыг хугацаанаас хамаарч яаж өөрчлөгдөхийг нь тэмдэглэж аваад график зуржээ гэе. Тэгвэл зурагт үзүүлсэн графикууд гарч ирж болно. Үүнд эхний ногоон муруй нь би зүрхнийхээ цохилтоор хугацааг хэмжихэд гарч ирсэн муруй. Энэ хэмжилтийн дараа би жаахан гүйж байгаад ирээд зүрхнийхээ цохилтоор цагийг хэмжээд дахиад туршилт хийхэд улаан муруй нь гарсан. Голын хоёр муруй нь хоёр шоргоолж аваачаад тэдгээрийн хөлийн алхмаар хугацааг тоолоход гарч ирсэн муруйнууд. Сүүлийн хөх шугамнууд нь бугуйн цагаар хугацааг хэмжээд, чулуугаа хүчтэй сул хоёр янзаар түлхэхэд гарч ирсэн графикууд.

Эндээс анхны асуултын хариулт тодорхой болж байгаа байх. Төсөөлж болох тоо томшгүй олон цагнаас ямар цаг нь практикт илүү ач холбогдолтой байх вэ? Зургийг ажвал, бугуйн цагаар хугацааг хэмжвэл мөсөн дээрх чулууны хөдөлгөөн «жигд» хурдтай (өөрөөр хэлбэл график нь шулуун) байх нь харагдаж байна. Үүний эсрэгээр, энэ ертөнц ямар ч цаг хэрэглэсэн гэсэн чулуу гулгуулахад хурд нь жигд байх уу үгүй юу гэдгийг урьдчилан хэлэх боломжгүй тийм хууль зүйтэй байж болох байсан. Тэгэхээр бусдаас тусгаарлагдсан биетийн хурдыг жигд байлгадаг тийм цаг оршин байдаг нь туршилтаар хамгийн нарийн шалгагдсан, байгалийн хамгийн тулгуур хуулиудын нэг юм. Энэ хууль нь Ньютоны 1-р хуулийн «хагас» нь бөгөөд бүх физикийн сууринд байж, ямар цагийг физикт хэрэглэх вэ гэдгийг зааж өгдөг.

Эцэст нь дүгнэхэд, бид цагийг сонгохдоо «жигд цохилттойг нь» биш, физикийн хуулиудыг хялбар болгодгийг нь сонгодог. Дээрх физикчийн буруу ч биш, зүгээр товчхон хариулах гэж л тэгсэн хэрэг. Зарчмын хувьд бид ямар ч цагийг ашиглаж болох боловч цагаа хайш яйш сонговол бүх юм учир замбараагаа алддаггүй юм аа гэхэд физикийн хуулиуд маш нарийн төвөгтэй болж ирнэ. Жишээлбэл миний зүрхний цохилтоор цаг хийвэл чулууны гулгах хурд нь миний ууртай байгаа эсэхээс хамаарахад хүрнэ.

Posted in Физик, Харьцангуйн онол | Tagged , , | Сэтгэгдэл бичих

Эквивалентын зарчим ба улаан шилжилт

Харьцангуйн ерөнхий онолын тулгуур болсон Эйнштейний эквивалентын зарчмыг томъёолбол: Гравитацын орны үйлчлэлийг жижиг мужид, богино хугацаанд авч үзвэл гравитацгүй газар хурдатгалтай хөдөлж байгаа тооллын системээс ялгагдахгүй. Тухайлбал, битүү өрөөн дотор ямар ч туршилт хийгээд тэр өрөө дэлхийн гадарга дээр тайван байна уу эсвэл сансарт яг g хурдатгалтай хөдөлж байгаа пуужин дотор байна уу гэдгийг тодорхойлох боломжгүй.

Энэ зарчмыг томъёолохдоо Эйнштейн логикийн үсрэлт хийсэн тул үнэн эсэхийг нь туршилтаар шалгах хэрэгтэй. Эйнштейний хамгийн түрүүнд бодож олсон ийм шалгуур нь гравитацын улаан шилжилт байсан юм. Тэр үед гравитацын улаан шилжилт нээгдээгүй байсан боловч энерги хадгалагдах хуулийг ашиглан Эйнштейн ийм шилжилт байх ёстой гэдгийг урьдчилан хэлсэн. Нөгөө талаас, эквивалентын зарчим дээр үндэслэгдсэн улаан шилжилт байх ёстой гэсэн аргументийг тэр бас дэвшүүлсэн. Энэ нь тэгэхээр ямар ч байсан эквивалентын зарчмын анхны шалгуур болж чадах юм. 

Одоо эквивалентын зарчим үнэн бол гравитацын улаан шилжилт байх ёстой гэсэн дүгнэлтэд яаж хүрч болохыг авч үзье. Зурагт үзүүлснээр, дэлхийн гадаргуу дээр байгаа h өндөртэй өрөөний шалан дээр фотон үүсгэгч тавиад, чанх дээр нь таазанд бүртгэгч байрлуулъя. Эквивалентын зарчим ёсоор, энэ нь сансарт (гравитац маш сул газар) дээшээ g хурдатгалтай явж байгаа яг адилхан өрөөн дотор туршилтыг хийснээс ялгаагүй байх ёстой. Өрөөний эхний хурд v = 0 байсан гэвэл фотон таазанд хүрэхэд таазны хурд ойролцоогоор v = gt = gh болсон байна. Үүнд гэрлийн хурдыг c = 1 гэж авсан ба t = h нь фотон таазанд хүрэх хугацаа. Тэгэхээр Доплер эффектийн улмаас таазанд байрлуулсан бүртгэгч долгионы уртыг 1 + gh дахин ихэссэн байхаар бүртгэж авна. Энэ нь өмнө авч үзсэн гравитацын улаан шилжилтийн томъёотой яг таарч байгаа.

Дээрх аргумент нь гравитацын улаан шилжилт болон Доплер эффект хоёулаа ямар нэг илүү ерөнхий зүй тогтлын тухайн тохиолдлууд юм гэдгийг бас харуулж байна. Эквивалентийн зарчмын цаашдын шалгуурыг ярих юм бол харьцангуйн ерөнхий онол бүхлээрээ энэ зарчим дээр үндэслэгдсэн юм болохоор энэ онол практикт ашиглагдах бүрт, энэ онолоос гарсан ямар нэг эффект нарийн шалгагдах бүрт эквивалентийн зарчим туршилтаар шалгагдаж байна гэсэн үг.

Posted in Таталцал, Физик, Харьцангуйн онол | Tagged , | Сэтгэгдэл бичих