Эртний Мезопотамийн математик

Одоо эртний Вавилончуудын математикийн талаар товч тэмдэглэл хийе. Вавилончууд гэдгээр бид Өрнийн соёл иргэншлийн өлгий нутаг гэгддэг Мезопотами буюу Хоёр мөрний сав газарт МЭӨ 4000 оны үеэс эхлээд манай эринийг эхлэх хүртэл амьдарч байсан улс үндэстнүүдийг ойлгоно. Мезопотами нь ойролцоогоор одоогийн Ирак, Сири хоёр улсын нутаг дэвсгэрт харгалздаг. Энэ газар нутагт Шумерчүүд МЭӨ 2500 оны үеийг хүртэл улс төрийн хувьд эрх барьж байгаад зайгаа Аккадчуудад тавьж өгсөн. Аккадчуудын дараа МЭӨ VIII зууны үеэс эхлээд МЭӨ III зууныг хүртэл ВавилонАссир, Халд, Миди, Перс зэрэг олон хүч хоёр мөрний сав нутагт ээлжлэн ноёрхож байв. Ингээд МЭӨ 331 онд Македоны Александраар толгойлуулсан Грекчүүд Мезопотамийг эзэлсэн ба Александр хааныг нас барсны дараа түүний нэг генерал болох Селевк Никатор нь энэ нутагт Селевкидийн эзэнт гүрнийг байгуулсан юм. Селевкидийн эзэнт гүрэн МЭӨ 60-аад онд мөхөж Парфянчуудад зайгаа тавьж өгсөн байна. Үүний дараа МЭ II зуунаас Ром, МЭ IV зуунаас Персийн Сасанид, МЭ VII зуунаас Арабын ноёрхолд байжээ.

Евфрат, Тигр хоёр мөрний хооронд орших газар нутгийг Мезопотами гэдэг. Мезопотами нь Өрнийн соёл иргэншлийн өлгий нутаг юм.

Евфрат, Тигр хоёр мөрний сав газар нь Өрнийн соёл иргэншлийн өлгий нутаг юм.

Хоёр мөрний сав газа сансраас. Баруун доод талд Газрын дундад тэнгис, Кипр арал харагдаж байна.

Хоёр мөрний сав газар сансраас. Баруун доод талд Газрын дундад тэнгис, Кипр арал харагдаж байна.

Хэдийгээр газар нутаг нь нилээдгүй олон төрийн нүүр үзсэн боловч Вавилоны математикийн уламжлал олон мянганы турш тасраагүй үргэлжилсэн байна. Тэдний бичиг үсэг нь ерөнхийдөө хавтгайлсан шавар гадаргуу дээр шавар нь нойтон байхад ирмэгтэй зүйлээр мөр гаргаад хатаах зарчим дээр тулгуурлагдсан байсан. Мөр гаргадаг зэмсэг нь жижигхэн шаантаг хэлбэртэй байсан тул шаантган бичиг ч гэж нэрлэдэг. Шаантган бичгийн маш чухал дурсгал бол МЭӨ VI зууны үед хамаарах Бехистун уулын хадны бичээс юм. Энэ бичээсэнд нэг ижил текстийг Эртний Перс, Элам, Вавилон гурван хэлээр, шаантган бичгээр бичсэн байдаг нь эдгээр хэлийг, мөн шаантган бичгийг тайлах гол түлхүүр болсон юм.

Эртний Вавилоны математиктай холбоотой одоогоор олдсон олдворууд нь МЭӨ 2000 – МЭӨ 1600 болон МЭӨ 600 – МЭ 300 оны үед харьяалагдах хоёр том бүлэгт хуваагдана. Эхнийх нь Хуучин Вавилоны үед, нөгөөх нь ерөнхийдөө Селевкидийн үед хамаарна. Энэ хоёр бүлгийг харьцуулахад Вавилоны математик 2 мянгаад жилийн турш бараг өөрчлөгдөөгүй тогтонги байсныг харуулдаг. Олдвор дотор одоогоор бол сурагчийн дэвтэр маягийн буруу зөв бодолтууд, том жижиг үсэг холилдсон хавтангууд ч байна, сурах бичиг маягийн маш эмх цэгцтэй жирийсэн жижигхэн үсгээр бичигдсэн хавтангууд ч байна. Өгүүлбэртэй болон геометрийн бодлогууд бодолттойгоо, үржих хуваахын хүрд, квадрат, куб, мөн квадрат болон куб язгуур зэргийн хүснэгтүүд ч байна.

Вавилончууд тоог тэмдэглэхдээ 60 суурьтай байрлалын систем ашигладаг байсан.

Дээрх зурагт Вавилончууд бүхэл тоог хэрхэн бичдэг байсныг үзүүлэв. Тухайлбал, нэгжийг босоо шаантган дүрсээр, аравтыг хэвтээ шаантган дүрсээр тэмдэглэх ба зөвхөн энэ хоёр тэмдэгтийг ашиглан 1-59 хүртэлх тоог бичнэ. Энд 10-тын систем ашиглагдаж байгаа. Гэхдээ 60-аас эхлээд арай өөр болж ирнэ: 60-ыг нэгжийн ард бага зэрэг зайтайгаар, хэрэв тэр зайг нь 0 гэж ойлговол 1:0 маягаар, 61-ийг 1:1, 70-ыг 1:10, 133-ыг 2:13, 1261-ийг 21:1, 1277-г 21:17 маягаар гэхчилэн бичнэ. Цаашилбал 3600-г 1:0:0 маягаар, 4000-г 1:6:40 маягаар бичнэ. Цифрийн утга нь хаана байрлаж байгаагаасаа хамаарах учир энэ нь байрлалын систем, нарийвчилбал (60-тын нэг “цифр” нь өөрөө 10-тын системээр бичигддэг) 60 суурьтай байрлалын систем юм. Гэхдээ 0 гэсэн цифр байхгүй, оронд нь хоосон зай ашиглаж байгаа тул зарим тоонуудыг хооронд нь ялгахад төвөгтэй болж ирнэ. Жишээлбэл 1, 60, 3600 гэсэн тоонууд хоорондоо бараг ялгагдахгүй, мөн 62-ыг (1:2) 3602-оос (1:0:2) ялгахад бэрх. Иймэрхүү тохиолдолд “жарын тоо шүү” гэх мэтээр зүгээр бичгээр тайлбарлачихна. Вавилончууд бүр сүүлд Селевкидийн үед 0-ийг тэмдэглэдэг тусгай тэмдэгт оруулсан боловч үүнийгээ зөвхөн тооны дунд орсон 0-ийг тэмдэглэхэд л ашигладаг байсан. Тэгэхээр энэ нь 62-ыг (1:2) 3602-оос (1:0:2) ялгахад тустай боловч 1, 60, 3600 нарыг хооронд нь ялгахад тус болохгүй гэсэн үг.

Бутархайг тэмдэглэхдээ Вавилончууд мөн адил байрлалын системийг ашигладаг байсан. Тухайлбал, 11 гэсэн тоог бутархай мэтээр ойлгоно шүү гэж бичсэн байвал 11/60 гэж, харин 5:56:21 гэж байвал 5/60+56/602+21/603 гэж ойлгоно. Одоогийнх шиг бүхэл, бутархай хэсгийг заагладаг таслал мэт тэмдэгт байгаагүй бөгөөд тооны бутархай хэсэг нь хаанаас эхэлж байгааг тусад нь зааж өгдөг байсан. Ер нь бол үржих хуваах үйлдэлд бутархай тооны таслалыг мартаад бүхэл тоонууд мэтээр үйлдлээ хийчихээд бүр сүүлд нь хаана таслал тавихаа шийдэж болдгийг бид мэднэ. Хоёр бутархай тоог нэмж хасах үед ч гэсэн таслалыг нь арилгаад аль нэг тооных нь ард олон 0-үүд тавьж “зэрэгцүүлж” байгаад бүхэл тоонууд мэтээр нэмж хасч болно. Иймд бутархайн таслал хэрэглэхгүйгээр Вавилончууд яаж “болгоод байсныг” төсөөлөхөд нэг их хэцүү биш юм. Үнэндээ бол өнөөгийн компьютерт тоог дүрслэх арга нь иймэрхүү зарчимтай байгаа. Эртний Грекчүүд 60 суурьтай байрлалын системийг Вавилончуудаас сурч авч өөрийн болгосон бөгөөд энэ нь цаашаа Арабаар дамжаад дундад зууны сүүл үеийн Европт нэвтэрч тэнд XVI зуунд 10-тын бутархайг оруулж ирэх хүртэл хэрэглэгдэж байсан юм.

Математик, одон орны тооцоонд дээр дурдагдсан 60-тын систем голчлон ашиглагддаг байсан бол бусад салбарт өөр янз бүрийн системүүдийг бас хэрэглэдэг байсан. Жишээлбэл, оныг тэмдэглэхдээ 256 гэхийг 2 m 56 гэж, 276 гэхийг 2 m 1:16 гэж бичсэн байгаа тохиолддог (Энд “m” үсгийн оронд “100” гэсэн үгийг яаж бичдэг байсан тэр тэмдэглэгээ байна гэж ойлгоорой). Эртний Мезопотами нь хэдэн мянган жилийн туршид оршин тогтносон олон үндэстэн ястнаас бүрдсэн соёл иргэншил байсан тул янз бүрийн зан заншил арга барил хоорондоо холилдож ганц биш олон арга барил шалгарч үлдсэн нь ойлгоход хэцүү зүйл биш юм.

Тоог тэмдэглэх байрлалын систем нь Вавилончуудын математикт оруулсан хамгийн чухал хувь нэмрүүдийн нэг юм. Ийм систем Мезопотамид яаж үүссэн талаар хоёр гол таамаглал бий. Эхний үедээ тэд 60-ыг том хэмжээтэй 1-ийн тоогоор, 120-ыг том 2-ын тоогоор гэх мэтчилэн тэмдэглэдэг байсан байж болох. Тэгэхээр 61-ийг 1:1 маягаар, 136-ыг 2:16 маягаар бичнэ гэсэн үг. Цаашилбал 3600-г бүр илүү том 1-ийн тоогоор тэмдэглэдэг байсан байж болох. Ингэж явж байгаад цифрүүдийг нь том жижиг ямар ч хэмжээтэй бичсэн тоог уншиж болдог нь аяндаа мэдэгдэж тооны бүх цифрүүдийг нэг жигд хэмжээтэй бичдэг болсон байж болох. Хоёрдахь таамаглал нь байрлалын системийн гарал нь нэг нэгж нь 60 жижигхэн нэгжид хуваагддаг ямар нэг мөнгөний нэгжтэй холбоотой гэсэн таамаглал байгаа. Жишээ болгоод 1 ембүү нь 60 зоостой тэнцүү байдаг байжээ гэж бодъё. Тэгвэл 70 зоос буюу 1 ембүү 10 зоосыг 1:10 маягаар бичдэг байсан байж болох. Мөнгө зоосыг тэмдэглэх тэмдэглэгээ явсаар тоог дүрслэх ерөнхий тэмдэглэгээ болж хувирсан байж болох.

Түүнчлэн Вавилончууд 60 гэсэн тоог тооллынхоо системийн суурь болгосон шалтгаан яг юу вэ гэдэг талаар баттай мэдээлэл бидэнд алга байна. Эртний Грекийн математикч Теон (МЭ 335-460) үүний талаар 60 нь 2, 3, 4, 5, 6-д зэрэг хуваагддаг хамгийн бага тоо учраас тэр байх гэж таамагласан. Хэрэв үнэхээр тооны хуваагдах чанар тийм чухал нөлөөтэй юм бол 60-ын оронд 12-ыг эсвэл 30-ыг яагаад сонгоогүй юм бэ гэсэн асуулт гарч ирнэ. Үүнтэй төстэй өөр нэг хувилбар бол жишээ нь жингийн нэг нэгжийн 1/3, 1/4, 1/5 хэсгүүдийг энд тэнд хэрэглээд дадчихсан байсныг нь нэгтгэж нэгмөр болгох үед 1/60 гэсэн жижигхэн нэгжийг оруулж ирж шийдсэн байж болох. Тэгээд жингийн нэгжийг 60 хуваадаг нь явсаар тооллын системд нь нөлөөлсөн байж болох. Гэхдээ бусад газрын түүхийг авч үзвэл тооллын системийн суурьт тооны хуваагдах чанар нөлөөлсөн тохиолдол огт байхгүй. Бусад газарт бол маш энгийн: Гарын арван хуруугаа ашиглаж тоолдог газар 10-тын систем, гар хөлийн хуруунуудаа ашигладаг газар 20-тын систем үүсч хөгжсөн байдаг. Эндээс хөөгөөд бодвол дараах таамаглал бас ортой байж мэднэ. Эрхий хурууг тооцохгүйгээр гарын 4 хурууны нийт 12 үе байна. Нэг гарын эдгээр 12 үен дээр эрхий хуруугаараа ээлжлэн дарж 12 хүртэл тоолж болох ба үүнийг нөгөө гарынхаа 5 хуруутай хослуулбал 60 хүртэл тоолох боломжтой болно. Арай хялбархан нэг боломж бол 12-тын системтэй нэг улс, 5-тын эсвэл 10-тын систем хэрэглэдэг өөр нэг улстай нэгдэх үед 60-тын систем бий болсон байж мэднэ. Вавилоны тооллын системд 1-59 хүртэлх тоог тэмдэглэхдээ 10-тын системийг хэрэглэдэг тул сүүлийнх нь хувилбар арай илүү үнэмшилтэй мэт. Энэ таамаглалын нэг авууштай зүйл нь хэрэв 12-тын болон 5-тын (эсвэл 10-тын) систем хольж хэрэглэсэн олдвор олдвол таамаглал ерөнхийдөө батлагдах юм. Хуучны Ром-Английн нэгжийн систем (фут, инч гэх мэт), Европын ихэнх хэлэнд 12 хүртэлх тоонууд өөр өөрийн өвөрмөц нэртэй байдаг явдал, өдөр шөнийг тус бүрт нь 12 цагт хуваасан зэрэг нь хэзээ нэгэн цагт 12-тын систем ашигладаг соёл иргэншил оршин тогтнож байсныг илтгэж байж мэдэх юм.

Арифметик. Вавилоны тооллын системд нэгж ба аравтын тэмдэгтүүдээс бүх тоо бүтэх тул 60-аас бага хоёр тоог нэмэхдээ нийлүүлж бичээд нэгжийн тэмдэгт 9-өөс олон гарвал аравтын тэмдэгт рүү шилжүүлээд, аравтын тэмдэгт 5-аас олон гарвал 60-тын нэг орон шилжүүлээд болно. Олон оронтой тоог нэмэхдээ энэ үйлдлээ 60-тын цифр бүр дээр давтана. Хасах үйлдлийг үүнтэй төстэйгөөр хийж болно. Вавилончууд тооцоондоо сампин ашигладаг байсан байх магадлалтай (Мезопотамиас МЭӨ 2700 оны үеийн сампин олдсон).

Сүүлийн 20-иод жилд хийгдсэн судалгаагаар Вавилончууд хоёр төрлийн нэмэх үйлдэл, мөн хоёр төрлийн хасах үйлдэл хэрэглэдэг байсан нь илэрсэн. Эхний нэмэх үйлдэл нь “нэмэх” эсвэл “наах” гэж хэлж болохоор үйлдэл. Энд нэг нэмэгдэхүүн нь анхнаасаа тэнд байж байсан гэж үзэх ба хоёрдахь нэмэгдэхүүн нь эхний нэмэгдэхүүн дээр “наагдаж” нэмэгдэнэ. Өөрөөр хэлбэл нэмэгдэхүүнүүд тэгш эрхгүй оролцоно гэсэн үг. Нөгөө нэмэх үйлдэл нь “нийлүүлэх” эсвэл “цуглуулах” гэж хэлж болохоор үйлдэл. Энд хоёр нэмэгдэхүүн тэгш эрхтэй оролцоно. Хасах үйлдлийн эхнийх нь “авах” эсвэл “хуулах” гэж болохоор үйлдэл. Энэ нь нэгдүгээр төрлийн нэмэх үйлдлийн урвуу нь. Нөгөө хасах үйлдэл нь “бутаргах” үйлдэл бөгөөд “нийлүүлэх” үйлдлийн урвуу нь. Тоог “бутаргахдаа” хаагуур нь яаж бутаргахаа шийдсэнээр үр дүнд нь хоорондоо ижил эрхтэй хоёр тоо гарч ирнэ. Хэрэв бид үйлдлүүдийн цаадах утгыг биш зөвхөн тоонуудыг нь анхаарвал хоёр төрлийн нэмэх үйлдэл, мөн хоёр төрлийн хасах үйлдэл тус бүр хоорондоо ямар ч ялгаагүй байгааг анхаараарай. Судлаачид эртний математикийг өнөөгийн математикчийн нүдээр харснаас болоод Вавилончууд арифметик үйлдэл бүрийг утгаар нь ингэж олон төрөлд салгадаг байсныг мэдээгүй өдийг хүргэсэн байна. Эртний Грекээс улбаатай өнөөгийн математикийн “хэмнэлттэй байх зарчим” нь ямарваа нэг онолын үндсэнд аль болох цөөхөн үйлдэл тодорхойлохыг шаардах ба жишээ нь Вавилончуудын нэг нэмэх үйлдлийг нөгөөгөөр нь илэрхийлж болох учир зөвхөн нэгийг нь л авч үзэхэд хангалттай. Гэхдээ орчин үеийн математикт ч гэсэн тухайн нөхцөл байдлаасаа хамаараад арифметикийн үндсэн үйлдлүүдийг янз бүрээр ойлгох, шинээр үйлдэл тодорхойлох явдал олонтаа тохиолддог.

Үржих үйлдлийг хийхдээ үржихийн хүрдийг нэмэх үйлдэлтэй хослуулж хийнэ. Ер нь 20-оос дээш тоогоор үржүүлдэг хүрд олдоогүй учир их тоогоор үржүүлдэг хүрд хэрэглэгддэггүй байсан байх гэж таамаглаж байгаа. Тэгэхээр жишээлбэл 24-өөр үржүүлэхдээ эхлээд 20-оор, дараа нь 4-өөр үржүүлээд, гарсан хариуг нь хооронд нь нэмж болно. Зарим үед үржихийн хүрдний оронд “квадратын хүрдийг”

ab=\frac14((a+b)^2-(a-b)^2)

эсвэл

ab=\frac12((a+b)^2-a^2-b^2)

томъёотой хослуулан хэрэглэх замаар бас үржүүлэх тооцоог хийдэг байсан. “Квадратын хүрд” гэдгээр олон тоонуудыг квадратынх нь хамт жагсаан бичсэн хүснэгтийг хэлж байна. Энэ аргачлал үржихийн хүрднээс илүү хэмнэлттэй гэдгийг ажиглаарай. Жишээлбэл, 10 хүртэлх тоонуудын үржихийн хүрдний оронд 20 хүртэлх тоонуудын квадратын хүрд байхад хангалттай.

Вавилоны "12-ын хүрд". Зүүн гар талд олдворын зураг (Мартин Скёйений цуглуулгын MS2184 гэсэн объект). Дунд нь сэргээж бичсэн байдал ("a-ra" гэдэг нь үржүүлэх гэсэн үг). Баруун гар талд нь "орчуулга".

МЭӨ 20-р зууны үеийн Вавилоны “12-ын хүрд”. Зүүн гар талд олдворын зураг (Мартин Скёйений цуглуулгын MS2184 гэсэн объект). Дунд нь сэргээж бичсэн байдал (“a-ra” гэдэг нь үржүүлэх гэсэн үг). Баруун гар талд нь “орчуулга”. Энэ хүрд цаашаа 12×30 хүртэл явсан байдаг.

Тоонд хуваах нь түүний урвуугаар үржүүлэхтэй адил (\frac{a}c=a\cdot\frac1c) гэдгийг ашиглаж тооны урвууг жагсаасан хүснэгтийн тусламжтайгаар хуваах үйлдлийг үржихээр сольдог байсан (Бидний дунд сургуульд үздэг шиг шууд хуваадаг арга ашигладаггүй байсан бололтой). Ихэнх ийм “урвуугийн хүрд” нь 60-тын бутархайгаар бичвэл төгсгөлөг цифр агуулдаг тийм урвуутай тоонуудыг авч үздэг. Жишээ нь 3-ын урвуу нь 20-той адилхан, 15-ын урвуу нь 4-тэй адилхан бичигдэнэ. Харин 7-ын урвуу нь төгсгөлгүй (үелэх) 60-тын бутархай үүсгэдэг. Ийм тоонуудын урвууг ойролцоогоор бодсон хүснэгтүүд цөөн боловч бас олдсон.

Эртний Мезопотамийн түүхийн хамгийн алдартай олдворуудын нэг нь Йелийн их сургуулийн цуглуулгад хадгалагдаж байгаа дараах зураг дээр дүрслэгдсэн хавтан юм.

МЭӨ 1800-1600 оны үед хамаарагдах "оюутны дэвтэр". Энд 30 талтай квадратын диагоналийн уртыг тооцсон байна.

МЭӨ 1800-1600 оны үед хамаарагдах оюутны дэвтэр (Йелийн их сургуулийн цуглуулгын YBC 7289 нэртэй объект). Энд 30 талтай квадратын диагоналийн уртыг тооцсон байна.

Уг хавтан дээр нэг квадрат, диагоналиудын хамт зурагдсан байх бөгөөд квадратын нэг талынх нь ойролцоо “30”, хэвтээ диагоналийнх нь дагуу 1:24:51:10 ба 42:25:35 гэсэн тоонууд бичигдсэн байдаг. Бичгийн хэв нь харьцангуй том учраас үүнийг тооцоо хийж сурч байсан оюутны дасгал ажил гэж үздэг. Эхний 1:24:51:10 гэсэн тоог аравтын системд

\displaystyle 1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3}\approx1.4142129

гэж уншвал энэ нь \sqrt{2}\approx1.4142135 тооны маш сайн ойролцоолол болохыг харж болно. Үнэндээ \sqrt{2} тооны 60-тын систем дэх бичлэг нь 1;24:51:10:7:46… (цэгтэй таслалаар бүхэл ба бутархай хэсгийг тусгаарласан) учир 1:24:51:10 тооны бүх цифр нь зөв байгаа юм. Зүгээр квадрат зураад диагоналийг нь яаж ч хэмжээд ийм нарийвчлалд хүрэх боломжгүй. Хоёрдахь тоо нь

\displaystyle 42+\frac{25}{60}+\frac{35}{60^2}\approx42.42639

буюу 30\sqrt{2}\approx42.42641 тооны ойролцоолол юм. Квадратын талын дагуу 30 гэсэн тоо байгааг санавал уг оюутны даалгавар нь 30 талтай квадратын диагоналийн уртыг тооцох байжээ гэж дүгнэж болно. Энэ бодлогыг бодохдоо \sqrt{2} гэсэн тооны сайн ойролцооллыг ямар нэг стандарт хүснэгтнээс харж хуулж бичээд, түүнийгээ 30-аар үржүүлэх замаар бодсон байх магадлалтай.

Тэгэхээр тэр стандарт хүснэгтэн дээр нь язгуур дорх 2-ыг анхнаасаа яаж тооцоолсон юм бол гэсэн асуулт гарна. Энд яв цав хариулт байхгүй боловч хамгийн боломжтой гэсэн нэг таамаглал бол “дараалан дөхөх арга” юм. Үүнд N гэсэн тооны квадрат язгуурыг тооцох хэрэгтэй болжээ гэе. Мөн x\approx\sqrt{N} гэсэн нэг “таамаг” байна гэе. Практик дээр энэ таамаг их нарийн байх шаардлага байхгүй. Жишээ нь x=1 юм уу x=N гээд авчихаж болно. Одоо энэ x гэсэн таамгаа өөрчлөөд y=x+h гэсэн илүү нарийн таамаг олох гэж оролдъё. Өөрөөр хэлбэл y^2=N буюу

(x+h)^2=x^2+2xh+h^2=N

байх шаардлагыг хангадаг h гэсэн тоог олох гэж оролдъё. Энэ тэгшитгэл h-ийн хувьд квадрат тэгшитгэл учраас h-ийг яг олъё гэвэл квадрат язгуур гаргах үйлдэл шаардлагатай. Тэгэхээр бид ямар ч ашиггүй явж явж анх байсан газраа яг эргээд ирсэн мэт. Гэвч бид x нь \sqrt{N}-ийн жинхэнэ утганд ойр байсан гэж үзвэл, h\approx0 байх ёстой. Тэгвэл h^2 нь бүр бага тоо байх ёстой болно. Өөрөөр хэлбэл

x^2+2xh+h^2\approx x^2+2xh

болох ба x^2+2xh=N байхаар h-ийг олбол y=x+h гэсэн тоо \sqrt{N} утганд x-ийг бодвол илүү ойртож очих байх гэсэн таамаг төрнө. Одоо x^2+2xh=N тэгшитгэл нь h-ийн хувьд шугаман тэгшитгэл учир амархан бодогдоно:

h = \displaystyle\frac{N-x^2}{2x}=\frac{N}{2x}-\frac{x}2

буюу

y=x+h = \displaystyle\frac{N}{2x}+\frac{x}2=\frac12\big(x+\frac{N}x\big)

Энэ томъёог бас дараах аргаар гаргаж болно. Хэрэв x<\sqrt{N} бол \frac{N}x>\sqrt{N} ба x>\sqrt{N} бол \frac{N}x<\sqrt{N} байна. Тэгэхээр x ба \frac{N}x тоонуудын дунджийг авбал \sqrt{N} утганд илүү дөхөж магадгүй байна.

Өмнөх параграфт өгүүлснийг дүгнэхэд, x\approx\sqrt{N} бол

y=\displaystyle\frac12\big(x+\frac{N}x\big)

тоо нь \sqrt{N} тоонд бүр илүү дөхөж очно. Энэ процедурийг олон дахин давтсанаар \sqrt{N} тоог улам улам нарийвчлалтай тооцож болно. Жишээлбэл, N=2, x=1 гэж авбал

y = \displaystyle\frac12(1+\frac21)=\frac32

Одоо x=\frac32 гэж аван өмнөх процедурыг дахин давтвал

y_1=\displaystyle\frac12\big(\frac32+\frac2{3/2}\big)=\frac{17}{12}

буюу 60-тын тооллын системд 1;25 (ойролцоогоор 1.4166). Дахиад давтвал

y_2=\displaystyle\frac12\big(\frac{17}{12}+\frac2{17/12}\big)=\frac{577}{408}

буюу 60-тын системд 1;24:51:10:35… (ойролцоогоор 1.4142156) болно. Вавилончууд бүх үйлдлийг 60-тын бутархай дээр хийх учраас энд \frac{17}{12} буюу 1;25 гэсэн тооны урвууг ойролцоогоор бодох шаардлага гарна. Үүнийг хангалттай нарийвчлалтай бодвол дээр дурдсан олдвор дээрх 1;24:51:10 гэсэн тоо гарч ирэх бүрэн боломжтой болохыг бид харлаа. Квадрат язгуур боддог энэ дараалан дөхөх аргыг одоо үед Вавилоны арга, дунджийн арга, мөн эртний Грекийн зохион бүтээгч математикч Герон (МЭ 10-70) бүтээлдээ бичиж үлдээсэн байдгаас улбаалан Героны арга гэх мэтээр нэрлэдэг ба компьютер болон тооны машины дотоодод язгуур гаргах програмд өргөн ашигладаг юм.

Вавилончууд a ба b талтай тэгш өнцөгтийн диагоналийн уртыг олохдоо

\displaystyle d\approx a+\frac{b^2}{2a}

гэсэн томъёогоор боддог байсан байгаа. Нөгөө талаас, дунджийн аргыг ашиглан N=a^2+b^2 тооноос ойролцоогоор язгуур гаргах замаар d=\sqrt{a^2+b^2} диагоналийг бас тооцоолж болно. Үүнд x=a гэсэн “таамагтайгаар” дунджийн аргыг эхэлбэл

\displaystyle d=\sqrt{N}\approx\frac12\big(a+\frac{N}{a}\big)=\frac12\big(a+\frac{a^2+b^2}{a}\big)=a+\frac{b^2}{2a}

болно. Энэ нь дээрх томъёотой тохирч байгаа нь Вавилончууд дунджийн аргыг мэддэг байсныг илтгэх өөр нэг сэжүүр болж байгаа юм. Одоогийнхоор бол \sqrt{a^2+b^2}\approx a+\frac{b^2}{2a} томъёо болон дунджийн аргын алхам бүр нь f(x)=\sqrt{1+x} функцийн биномын (буюу Тейлорын) цувааны эхний хоёр гишүүнд харгалзах ойролцоолол болно.

Алгебр ба геометр. Вавилоны математикийн олдворууд дотор алгебр ба геометрийн өгүүлбэртэй бодлогуудыг бодсон бодолтууд өргөн тохиолддог. Эдгээрийн Египтийн математиктай адил тал нь тухайн арга яагаад зөв хариу өгөх ёстой юм бэ гэдгийг тайлбарласан тайлбар байдаггүй. Мөн зөвхөн тодорхой өгөгдөлтэй бодлогуудыг л жишээ болгож бодсон байдаг. Египтийн математикаас ялгаатай нь Вавилончууд нарийн тооцоо хийхдээ гаргуун байсан байгаа (дээрх \sqrt{2} тоог тооцсон жишээг сана). Энэ мэдээж тоог тэмдэглэх байрлалын системтэй нь холбоотой.

Бутархай болон олон оронтой тооны үржих хуваах үйлдэл, квадрат ба куб язгуур гаргах зэрэг арифметик үйлдлүүдийг нарийн хийхээс гадна Вавилончууд квадрат тэгшитгэлийг бас бодож чаддаг байсан. Ингэхдээ сөрөг тооны ойлголт байхгүй учраас квадрат тэгшитгэлийг дотор нь олон хувилбарууд болгож салгана. Жишээлбэл, “Нэг тоон дээр урвууг нь нэмэхэд 3 гарч байсан. Тэр тоо хэд вэ?” гэсэн бодлого байна. Орчин үеийн тэмдэглэгээгээр энэ нь

xy=1, \qquad x+y=3

гэсэн системийг бод гэсэн үг. Үүнийг Вавилончууд яаж бодох вэ гэвэл 3-ыг өөрөөр нь үржүүлээд, гарсан хариунаас нь 4-ийг (1-ээр үржсэн үржвэрийг) хасна. Өөрөөр хэлбэл

(x+y)^2-4xy=3^2-4\cdot1=5.

Нөгөө талаас,

(x+y)^2-4xy=x^2+y^2+2xy-4xy=x^2+y^2-2xy=(x-y)^2

тул (x-y)^2=5 буюу x-y=\sqrt5. Одоо

\displaystyle x=\frac{(x+y)+(x-y)}2=\frac{3+\sqrt5}2

гэж олоход амархан. Яг энэ аргачлалыг ашиглан

xy=q, \qquad x+y=b

буюу

x^2+q=bx

хэлбэрийн бүх тэгшитгэлийг бодож болно. Цаашилбал

x^2+bx=q

x^2=bx+q

хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлүүдийг мөн төстэй аргаар боддог байсан байгаа. Өөрөөр хэлбэл 4 мянган жилийн өмнө Вавилончууд эерэг шийдтэй ямар ч квадрат тэгшитгэлийг бодож чаддаг байсан гэсэн үг.

Түүнчлэн квадрат тэгшитгэлээр зогсохгүй x^3+x^2=a гэх мэт зарим хялбар куб тэгшитгэл, биквадрат тэгшигтэл, мөн 5 үл мэдэгдэгчтэй шугаман тэгшитгэлийн системийг бодсон бичээсүүд олдсон. Нэг олдворт бүр 10 үл мэдэгдэгчтэй шугаман бус 10 тэгшитгэлийг дараалан зайлуулах аргаар бодсон байдаг. Геометртэй хамааралгүй бодлогон дээр ч үл мэдэгдэгчийг “урт, өргөн” гэх мэтээр нэрлэх нь их байсан. Жишээ болгож нэг бодлогыг шууд орчуулж толилуулъя.

Урт ба өргөнийг үржүүлбэл 10 гэсэн талбай гарав. Уртыг өөрөөр нь үржүүлэхэд нэг талбай гарав. Урт нь өргөнөөсөө илүү гарах тэр хэсгийг өөрөөр нь үржүүлээд, гарсан хариуг нь 9-өөр үржүүлэхэд бас нэг талбай гарав. Энэ талбай нь уртыг өөрөөр нь үржүүлэхэд гарсан талбайтай адил байв. Урт ба өргөн нь хэд байсан бэ?

Уртыг x өргөнийг y гэвэл дээрх бодлого нь

xy=10, \qquad 9(x-y)^2=x^2

системд шилжих ба үүнийг биквадрат тэгшитгэл болохыг харж болно.

Вавилончууд арифметик болон геометр прогресс, мөн бүхэл тооны квадратуудын нийлбэрийг олж чаддаг байсан. Жишээлбэл

1+2+4+\ldots+2^n=2^n+(2^n-1)=2^{n+1}-1

мөн

1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac{2n+1}3\cdot(1+2+3+\ldots+n)

томъёог ашигласан болов уу гэмээр тооцоо хийсэн тохиолдлууд бий. Гэвч “9 дээр 10-ыг нэмлээ, гарсан хариуг нь 12-оор үржүүллээ” гэх мэтээс илүү дэлгэрэнгүй тайлбар хадгалагдаж үлдээгүй болохоор цаана нь ерөнхий томъёоны хэмжээний мэдлэг байсан эсэхийг баттай хэлэх аргагүй юм.

Вавилоны геометр нь Египтийнхтэй төстэй, хялбар дүрсийн талбай, эзэлхүүнийг бодох дээр голчлон төвлөрдөг, зөв буруу холилдсон дүрмүүдийн цуглуулга гэмээр зүйл байж. Египттэй харьцангуй дэвшилттэй зүйл гэвэл Пифагорын теорем болон төсөөтэй гурвалжны талаар Вавилончууд мэддэг байсан байгаа. Тойрогтой холбоотой бодлогон дээр π тооны утгыг 3 (заримдаа 3.125) гэж авсан байдаг. Геометрийг тариалангийн газрын талбай бодох, суваг шуудуу ухахад гарах шорооны эзэлхүүнээр хэдий хэмжээний ажиллах хүч хэрэг болохыг тооцох гэх мэтэд хэрэглэдэг байсан. Ерөнхий математикийн хэрэглээ гэвэл наймаа арилжаа, өв залгамжлагчдад хөрөнгө хуваах, одон орон, цаг тооны бичиг хөтлөх гэх мэтчилэн дурдаж болно.

Эцэст нь дүгнэж хэлэхэд одоогоос 4 мянга орчим жилийн өмнөх үеийн Мезопотамид тэр үеийн Египтийг бодвол математик харьцангуй өндөр хөгжсөн байжээ. Вавилоны математикийн нэг давуу тал болох тоог тэмдэглэхдээ ашигладаг байсан 60 суурьтай байрлалын систем нь бутархай болон олон оронтой тоон дээрх үржих, хуваах, язгуур гаргах гэх мэт үйлдлүүдийг нарийн тооцох аргуудыг нээж ашиглахад дөхөмтэй болгосон байна. Үүнийгээ дагаад квадрат, куб тэгшитгэлүүд, шугаман тэгшитгэлийн системийг бодож сурав. Геометрийн тал дээр Пифагорын теорем, төсөөтэй гурвалжны талаар мэддэг байв. Тооцоолох чадлын хувьд хүчирхэг боловч бодлого бодох аргын зөв бурууг тайлбарлах гэж оролддоггүй, ерөнхий аргын талаар ярьдаггүй, тооны жинхэнэ ба ойролцоо утгыг хооронд нь ялгадаггүй, заримдаа маш ойролцоогоор багцаалсан хариуг жинхэнэ хариу мэтээр өгдөг байсан зэрэг нь Вавилоны математикийг эртний Египтийнхтэй адилаар хэдэн зуун жилийн түүхийн явцад практикаар шилэгдэн үлдсэн, өдөр тутмын амьдралд тохиолддог бодлогуудыг шийдэхэд хэрэгтэй аргуудын цуглуулга байжээ гэж дүгнэхэд хүргэж байгаа юм. Египт ба Вавилоны математик тэр цагаас хойш бараг өөрчлөгдсөнгүй байж байгаад эртний Грекийн хүчирхэгжлийн үетэй (буюу ойролцоогоор МЭӨ 500-300 он) золгосон байна. Эртний Египт ба ялангуяа Вавилончуудын хуримтлуулсан одон орон болон математикийн их мэдлэг эртний Грекийн танин мэдэхүйн үсрэнгүй хөгжлийн гарааны цэг болж өгсөн юм.

Posted in Математикийн түүх | Tagged , , | Сэтгэгдэл үлдээх

Эртний Египтийн математик

Өнөөгийн математик нь сэргэн мандлын үеэс эхлэн эрчтэй хөгжиж ирсэн Өрнийн математикийн үргэлжлэл гэдэгтэй хэн ч маргахгүй. Цаашилбал Өрнийн математик төдийгүй соёл иргэншилд нь хамгийн их түүхэн нөлөөтэй соёл иргэншил бол Эртний Грекийнх. Эртний Грек тархай бутархай хэлбэрээр одоогоос 4000 жилийн өмнөөс Вавилон, Египт, Перс гэх мэт улс үндэстнүүдтэй зэрэгцэн оршиж ирсэн ба МЭӨ VI зууны үеэс эхлэн хүчирхэгжиж, тэр үедээ Египт, Вавилоны хэдэн мянган жилийн турш бараг тогтонги байдалд байсан математик болон одон орны мэдлэгийг өөртөө шингээж аваад цааш нь хөгжүүлэн хэдхэн зууны дотор МЭ XVII зууныг хүртэл түүхэнд давтагдаагүй тийм өндөрлөгт гаргасан юм.

Бүр эртний үе рүү өнгийвөл, газар тариалан мал аж ахуй хөгжсөнөөр хүмүүс одоогоос 12,000 жилийн өмнөөс нэг газраа суурьшиж хот тосгон байгуулж эхэлсэн боловч МЭӨ XXX зууны үеийн Вавилон болон Египтийн соёл иргэншлийг хүртэл математик нэг их хөгжсөнгүй. Эртний хүмүүсийн математикийн мэдлэг том биш бүхэл тоонууд дээрх арифметикийн дөрвөн үйлдэл, бүхэл тоог тэмдэглэх янз бүрийн тэмдэглэгээ, хагас, гуравны нэг гэх мэт цөөхөн хэдэн хялбар бутархай, шулуун шугам, тойрог, өнцөг гэх мэт зарим геометрийн ойлголтоос цааш хэтэрч байсангүй. Тэдний математикийн хэрэглээ наймаа худалдааны хялбар тооцоо, газрын талбай бодох, ваар сав, нэхмэл материал дээр чимэглэл хийх, цаг хугацааг тоолох зэргээр хязгаарлагдаж байв.

Тэгэхээр эртний Грекийн математик хаанаас эхэлсэн бэ гэдгийг мэдэхийн тулд Египт, Вавилоны математикийн талаар ярих хэрэгтэй болж байна. Энд эртний Египтийн математикийн талаар товч тэмдэглэл хийе гэж бодлоо (Вавилоны математикийг сүүлд авч үзнэ). Эртний Грекийн түүхч Геродотын хэлснээр, Египтийн соёл иргэншил нь хүн төрөлхтөнд өгсөн Нил мөрний бэлэг юм. Нил мөрөн жил бүрийн намар ихээр үерлэж эргийнхээ дагуу үржил шимтэй хөрс үлдээх бөгөөд эртний Египтчүүд энэ хөрсөнд тариалан тарьж амьдардаг байв.

Нил мөрний сансраас авсан зураг (НАСА)

Нил мөрний сансраас авсан зураг (НАСА). Мөрөн хойшоо урсаж байгаад Каир хотын ойролцоо олон салаалж эхлээд, Газрын Дундад Тэнгист цутгана. Энэ олон салаа нь зургийн дээд хэсэг дэх V хэлбэрийн дүрст харгалзана.  Мөрний дагуу ногоон, бусад газраар цөл байгааг харж болно.

Одоогоос 6000 жилийн өмнө Нил мөрний эргээр хүмүүс аль хэдийн суурьшсан байсан ба энэ овог аймгууд МЭӨ 3200 оны үед нэгдэж Египтийн анхны эзэнт гүрэн Мемфис хотод нийслэлтэйгээр байгуулагджээ. Эртний Египтийн соёл иргэншил МЭӨ 2500 оны үед оргилдоо хүрч, энэ үеэс пирамид гэх мэт том том байгууламжууд барьж эхэлсэн. Ингээд МЭӨ 332 онд Македоны Александраар толгойлуулсан Грект эзлэгдэх хүртлээ Вавилончуудтай бага зэрэг харилцаатай байснаас өөр соёлын хувьд нэг их гадны нөлөө үзэлгүй өөрийн мөрөөр явсан байна. Александр хааныг нас барсны дараа өрлөг жанжнуудынх нь нэг Птолемей Сотер өөрийгөө Египтийн фараонд өргөмжлөн “грекжсэн” буюу Эллинистик Египтийн үндсийг тавьсан бөгөөд Птолемейн угсааны үе залгамжилсан хаанчлал МЭӨ 30 онд Ромын цэргүүд Египтийг эзлэх үеэр хатан хаан Клеопатра амиа хорлосноор дуусгавар болсон билээ. Египт МЭ VII зуунд Арабт эзлэгдэх хүртэл Ромын ноёрхол тэнд бараг тасралтгүй үргэлжилсэн юм. Энэ өгүүллийн хүрээнд бидэнд Грекийн булаан эзлэлтээс хойших үйл явдал ер хамаагүй боловч дараа Грек болон Арабын математикийн тухай ярьвал дурдагдаж магадгүй гэж “сүүлийн үеийн” түүхээс бага зэрэг орууллаа.

Ойролцоогоор МЭӨ XXX зууны үеэс Египтчүүд иероглиф болон иератик бичгүүдийг хэрэглэж эхэлсэн ба сүүлд МЭӨ VII зуунаас иератик бичиг дээр үндэслэгдсэн демотик бичиг бас их хэрэглэгддэг болсон. Эртний Египтийн хэл бичгийг тайлахад гол үүрэг гүйцэтгэсэн олдвор бол Розеттийн чулуу гэгддэг гайхамшигтай бичгийн дурсгал юм. Розеттийн чулуу нь МЭӨ II зуунд хамаарах бөгөөд дээр нь нэг ижил текстийг Эртний Египтийн иероглиф, демотик бичгээр, мөн Эртний Грек хэлээр зэрэгцүүлэн сийлсэн байдаг.

Мэдээж Египтчүүд юм бичих болгондоо чулуун дээр сийлээд байдаггүй байсан нь ойлгомжтой. Ер нь бол папирус дээр бэхээр бичдэг байсан. Монголоор папирусыг муутуу цаас, папирус дээрх бичээсийг зэгсэн дээрх бичээс гэж хэлэх нь бий. Папирус нь хадгалалт даахдаа маш муу тул ийм олдвор маш ховор байдаг. Одоогоор олдоод байгаа математикийн холбогдолтой папирус дотроос хамгийн чухал нь МЭӨ 1700 оны үед хамаарагдах хоёр папирус юм. Нэгийг нь Ахмес гэдэг хүн бичсэн нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд “Нууц далд харанхуй бүхний тухай мэдлэгт хүрэх зам” гэсэн гарчигтай. Ахмесийн папирус Их Британийн Музейд хадгалагдаж байна. Нөгөө папирус нь Москвад Пушкины музейд хадгалагдаж байгаа. Энэ хоёр папирус нийтдээ 100 бодлого бодолттой нь агуулсан байдаг бөгөөд эдгээр жишээгээр дамжуулан илүү ерөнхий арга барилыг тайлбарлах гэсэн санаатай нь ажиглагддаг.

Арифметик. Дараах зурагт эртний Египтийн иероглиф тооны цифрүүд, тоо бичих ерөнхий зарчмыг үзүүлэв.

Египтийн иероглиф тоо. Бичихдээ баруунаас зүүн тийш бичих ба цифрүүдээ дан эсвэл давхарлуулж тавьж болно.

Египтийн иероглиф тоо. Бичихдээ баруунаас зүүн тийш бичих ба нэг тоонд багтах цифрүүдийг дан эсвэл давхар эгнээгээр тавьж болно.

Эндээс тоо бичих дүрэм нь аравтын системтэй боловч тооны утганд цифрийн байрлал нөлөөлөхгүй болохыг харж болно. Иймд хоёр тоог нэмэх үйлдэл нь ерөнхийдөө хоёр тоог хамтад нь бичээд нэг ижил 10 цифр гарч ирвэл арилгаад дараагийнх нь том цифрээр солихтой адилхан болж хувирна. Хасах үйлдлийг үүнтэй төстэйгөөр цифрүүдийг арилгах замаар хийж болно. Дараах зурагт үзүүлсэн маягаар бүхэл тоон дээр зууван дугуй хэлбэртэй тусгай тэмдэг тавьбал уг тооны урвууг илтгэнэ. Мөн жишээгээр үзүүлснээр, ийм бутархайнуудыг залгаж бичих замаар ямар ч энгийн бутархайг тэмдэглэж болно.

Бутархай тооны тэмдэглэгээ

Одоо бүхэл тооны үржүүлэх ба хуваах үйлдлийг авч үзье. Жишээ нь, 12-ыг 13-аар үржүүлэхийн тулд эхлээд тэд дараах хүснэгтийг зохионо.

1 ~ 12
2 ~ 24
4 ~ 48
8 ~ 96

Эндээс шууд 12·13 = 96 + 48 + 12 = 166 гэж олно. Одоогийн өндөрлөгөөс харвал энд 13-ын хоёртын бичлэг ашиглагдаж байгааг ажиглаарай. Хуваах үйлдлийг үүнтэй төстэйгөөр хийнэ. Жишээ нь, 27-г 12-т хуваахын тулд дараах хүснэгтийг зохионо.

1 ~ 12
2 ~ 24
½ ~ 6
¼ ~ 3

Эндээс 27/12 = 2 + ¼ гэж олно.

Дээр дурдсан бутархай тооны тэмдэглэгээ нь бутархай тоон дээрх арифметик үйлдлүүдийг их төвөгтэй болгодгийг төсөөлөхөд бэрх биш. Үүнийг эртний Египтийн математик бараг хөгжөөгүйн нэг гол шалтгаан гэж үздэг.

Алгебр. Эртний Египтчүүд (ax=b гэсэн) нэг үл мэдэгдэгчтэй шугаман тэгшитгэлийг бодож чаддаг байсан. Мэдээж одоогийнх шиг тэгшитгэлийг тэмдэглэх тэмдэглэгээ байхгүй, тодорхой тоон өгөгдлүүдтэй өгүүлбэртэй бодлого бодох явцдаа цаана нь байгаа ерөнхий аргачлалыг хүнд хүргэх гэж оролдох ба энэ нь одоогийнхоор бол тэгшитгэл бодож байгаатай барагцаагаар адилхан зүйл. Жишээ нь, папирус дээрх нэг бодлого “700 талхыг 4 хүн хувааж авахдаа хоорондоо 2/3 : 1/2 : 1/3 : 1/4 харьцаатай байхаар хувааж авав. Хэн хэдэн талх авсныг ол.” гэсэн бодлого байна. Үүнийг Ахмес (папирусыг бичсэн хүн) бодсон нь: “2/3 , 1/2 , 1/3 , 1/4 тоонуудыг нэм. 1+1/2+1/4 гарна. Одоо 1-ийг энэ тоондоо хуваа. 1/2+1/14 гэсэн тоо гарна. Энэ тоогоо 700-аар үржүүл. Хариу нь 400.” Энд Ахмесийг орчин үеийн тэмдэглэгээгээр бол

\displaystyle \frac23x+\frac12x+\frac13x+\frac14x = 700

гэсэн тэгшитгэлийг бодчихлоо гэж хэлэхэд маргах хүн олон гарахгүй болов уу.

Папирусын бодлогон дотор шугаман тэгшитгэлээс гадна ax2=b гэсэн хялбар квадрат тэгшитгэлийг бодсон жишээнүүд бас бий. Тооноос язгуур авахдаа ойролцоогоор бодох ба иррациональ тооны талаар ямар нэг ойлголт байсан шинж огт байхгүй.

Геометр. Эртний Египтийн геометр нь янз бүрийн дүрсийн талбай, эзэлхүүнийг ойролцоогоор бодох хэдэн томьёогоор хязгаарлагдаж байсан гэхэд хилсдэхгүй. Жишээлбэл, R радиустай дугуйн талбайг A=(16R/9)томьёогоор тооцоолж байсан нь π≈(16/9)2≈3.16 гэсэн ойролцоололд харгалзана. Гурвалжны талбайг олохдоо хоёр талын уртуудыг үржүүлээд 2-т хуваадаг байсан нь үнэндээ тэгш өнцөгт гурвалжин дээр л үнэн болохоос ерөнхий тохиолдолд буруу. Үүнчлэн, дөрвөн өнцөгтийн талбайг олохдоо эсрэг талуудын дунджуудыг олоод хооронд нь үржүүлдэг байсан. Энэ нь тэгш өнцөгт гэх мэт зарим дүрс дээр зөв боловч мөн л ерөнхий тохиолдолд буруу үр дүн өгнө. Цаашилбал огтлогдсон конус болон огтлогдсон пирамидын эзэлхүүнийг ойролцоогоор тооцоолсон жишээнүүд байдаг.

Тэд томьёо хэрэглэхгүй, ерөнхий дүрэм ч өгөхгүй, зөвхөн тодорхой өгөгдлүүдтэй жишээнүүдийн тусламжтай тооцооныхоо аргуудыг тайлбарлаж бичсэн байдгийг дахин тодотгоё. Жишээ нь, огтлогдсон пирамидын эзэлхүүнийг яаж олохыг тайлбарлахдаа, “Огтлогдсон пирамидын өндөр нь 6, суурийн нэг талын урт 4, дээд хавтангийнх нь нэг талын  урт 2 болог. 4-ийг өөрөөр нь үржүүл. 16 гарна. 4-ийг 2-оор үржүүл. 8 гарна. 2-ыг өөрөөр нь үржүүл. 4 гарна. 16, 8, 4 гэсэн тоонуудаа хооронд нь нэм. 28 гарна. 6-г гуравт хуваа. 2 гарна. 28-ыг 2-оор үржүүл. 56 гарна. Зөв хариу нь энэ.” гэсэн байна. Энд одоогийнхоор бол

\displaystyle V = \frac{h}{3}(a^2+ab+b^2)

гэсэн томъёог тайлбарлаад байгааг харж болно. Энэ нь квадрат суурьтай (огтлогдсон) пирамидын хувьд зөв томъёо юм.

Бидэнд байгаа олдворууд дотор бодлого бодох аргыг яаж олсноо тайлбарласан, эсвэл арга нь зөв гэдгийг батлах гэж оролдсон зүйл нэг ч байхгүй. Мөн дээр дурдсанчлан бодлого бодсон арга барилууд дотор нь ерөнхий тохиолдолд буруу үр дүн өгдөг шийдлүүд олон байна. Тэгэхээр эртний Египтийн математикийг амьдралын туршлагаар олж авсан практик мэдлэгийг хатуу шалгуургүйгээр цуглуулсан цуглуулга байжээ гэж дүгнэж болох нь.

Одон орон ба цаг тоолол. Эртний ертөнцөд математикийн нэг гол хэрэглээ нь одон орон болон цаг тооны бичиг хөтлөх явдал байсан тул энэ талаар бага зэрэг дэлгэрэнгүй өгүүлье. Цаг хугацааг тоолох, од гаригсын хөдөлгөөнийг нарийн тооцох нь Нил мөрний үерлэх үеийг урьдчилж мэдэх, шашны элдэв зан үйл, баяр ёслолын өдөр судрыг тааруулахад хэрэгтэй байлаа. Өдөр бүр нар зүүнээс мандаад баруун тийшээ шингэдгийг хүн бүр мэднэ. Харин шөнө бол одот тэнгэр бүхлээрээ зүүнээс баруун тийш эргэдэг. Ямар нэг одыг зүүн талаас мандахаас нь эхлээд дагаад ажиглавал, орой дээгүүр яваад баруун талд тэнгэрийн хаяа руу орж жаргана. Дэлхийн хойд хагасаас харагддаг ганц хөдөлгөөнгүй од байдаг нь Алтан Гадас бөгөөд түүний ойролцоох однууд шөнийн турш жаргахгүй, Алтан Гадасыг тойрох хөдөлгөөн хийнэ. Одот тэнгэрийн шөнийн турш дахь хөдөлгөөн нь мэдээж нарны мандалт жаргалттай адилаар дэлхийн эргэлтээс болж үүсч байгааг бид одоо мэднэ.

Алтан Гадасын ойролцоох однуудын хөдөлгөөн (Wikipedia, A.Santerne)

Алтан Гадасын ойролцоох однуудын хөдөлгөөн (Wikipedia, A.Santerne)

Тэгэхээр ямар од дөнгөж мандаж байна, ямар од орой дээр байна, эсвэл ямар од яг шингэж байна гэдгээр нь шөнийн турш цагийг хэлэх боломжтой болохыг Египтчүүд ажиглажээ. Үүнийг яг хэрэгжүүлье гэвэл жаахан төвөгтэй. Учир нь жилийн турш дэлхийн улирлын хөдөлгөөний улмаас шөнө тэнгэрт гарах однууд бага багаар өөрчлөгддөг. Жишээ нь, нэг орой нар дөнгөж жаргасны дараа хамгийн түрүүнд зүүнээс мандах од Хөхдэй Мэргэн байжээ гэж бодъё. Түүнээс 7 хоногийн дараа энэ ажиглалтаа дахин хийвэл нар дөнгөж жаргасны дараа Хөхдэй Мэргэн өмнө ажигласнаас арай дээр оччихсон байх болно (Нэг хоногийн дараа бол энэ өөрчлөлт нь маш бага байх тул тусгай багажгүйгээр ажиглахад хэцүү). Өөрөөр хэлбэл одот тэнгэр бүхлээрээ өдөр болгон дэлхийг нэг бүтэн тойроод дээрээс нь нэмээд бага зэрэг эргэнэ гэсэн үг. Ингэсээр яг нэг жилийн дараа буцаад байрандаа ирнэ. Одоо бид үүнийг дэлхийн нарыг тойрч эргэж байгаа хөдөлгөөнтэй холбоотой гэдгийг мэднэ. Жишээлбэл Улаанбаатарт нар мандсанаас хойш дэлхий тэнхлэгээ яг нэг бүтэн эргэхдээ нарыг тойроод жаахан явчихсан байх учраас Улаанбаатарт дахиад нар мандтал дэлхий дахиад жаахан эргэх хэрэгтэй гэсэн үг (Эндээс дэлхий нарыг тойрч эргэж байгаа тэр чиглэлдээ өөрийн тэнхлэгийг эргэдэг нь мэдэгдэнэ).

Египтчүүд энэ хүндрэлээс яаж гарсан бэ гэвэл нар жаргаснаас хойш ямар од хамгийн түрүүнд манддагийг жилийн турш бүртгэсэн хүснэгт ашигладаг байсан. Ингэхдээ бакиу (Грекээр декан) нэж нэрлэгдэх 36 ширхэг одыг тусгайлан сонгож авсан бөгөөд сонголтынх нь шалгуур нь шөнө ажиглахад декануудын мандалтын хоорондох зай ойролцоогоор тогтмол байх явдал байж. Тэгэхээр аль декан мандаж байна гэдгээр нь цагийг хэмжиж болох ба тухайн нэг декан тухайн шөнийн хэддүгээр декан бэ гэдгийг хүснэгтээсээ хараад мэдчихнэ гэсэн үг. Үнэндээ тэр хүснэгтийг нь зохиоход ч тийм хэцүү биш. Гучин зургаан декан тэнгэрийг жигд хуваана гэхээр нэг декан нь ойролцоогоор 10° өнцөгт (буюу 45 минутад) харгалзана. Жилийн турш энэ 36 декан ээлжлэн шөнийн эхний декан болно. Иймд нэг декан шөнийн эхний декан болсны дараа 10 хоноод дараагийнхаа деканаар солигдоно. Мэдээж “декан” гэсэн Грек нэр үүнтэй холбоотой.

Бодит байдал дээр бол шөнийн эхний декан ингэж жигд солигдохгүй. Өдөр шөнийн урт жилийн турш өөрчлөгдөх учраас зарим үед 8 хоноод, зарим үед 12 хоноод шөнийн эхний декан солигдох тохиолдол ч гарна. Үүнийг Египтчүүд яаж аргалсан бэ гэвэл зуны шөнөөр үлгэр болгож аваад, декануудаа тогтмол 10 хоноод солигддог байхаар хүснэгт хийгээд, “шөнийн эхний декан” гэдгийг бодит байдал дээр шөнө эхлэв үү үгүй юу гэдгээр биш, хүснэгтээрээ тодорхойлдог болсон. Тэгэхээр өвөл бол шөнө болчихоод нилээд удаж байж “шөнийн эхний декан” нь гарч ирнэ гэсэн үг. Энэ деканы өмнө тэр шөнө өөр хэд хэдэн декан мандсан ч байж болно. Эдгээрийг “шөнийн эхний деканаас түрүүлээд гарчихлаа” гэж ярих нь. Бидний одоо хэрэглэдэг цаг хэзээ өдөр шөнө солигдож байна гэдэгтэй ямар ч хамааралгүй байдаг тул дээр дурдсан зүйл бидэнд танил сонсогдох ёстой. Зуны шөнөөр үлгэр авсан, мөн үдшийн бүрий үүрийн гэгээг шөнө гэдэгт оруулаагүйгээс болж шөнө 12 деканд хуваагддаг байсан ба үүнтэйгээ тэгш хэмтэйгээр өдрийн 12 декан гэж бас гаргаж ирж ашигладаг байсан. Энэ нь сүүлд эртний Грекчүүдийн хоногийг 24 цагт хуваах шалтгаан нь болсон түүхтэй.

Оддын тэнгэр дэх байрлалаар жилийн уртыг бас хэмжиж болно. Энд нар жаргасны дараа хамгийн түрүүнд мандах одыг биш, нар мандахаас дөнгөж өмнө мандаж эхлэх, өөрөөр хэлбэл тухайн шөнийн хувьд хамгийн сүүлд мандах одыг авч үзье. Ийм одыг нартай мандаж байгаа од гэнэ. Жилийн турш өөр өөр однууд нартай мандах ба жил бүр яг энэ дараалал нь давтагдана. Хөхдэй Мэргэн нартай мандах тэр өдөр Нил мөрөн үерлэж эхэлдэг нь ажиглагдсан тул энэ од Египтчүүдийн хувьд их чухал од байсан. Ингээд олон жилийн ажиглалтаар Хөхдэй Мэргэний нартай мандах үечлэл нь  365.25 хоног гэж хэмжсэн. Өөрөөр хэлбэл 365 хоногийн дараа уг од нартай арай мандахгүй, 366 хоногийн дараа нар гарахаас нилээд өмнө мандах бөгөөд яг нартай мандахыг нь хүлээвэл 1461 хоног болно. Үүнээсээ үүдээд Египтчүүд жилд 365 хоногтой календарийг МЭӨ 4231 оноос мөрдөж эхэлсэн гэдэг. Нэг жил нь тус бүр 30 хоногтой 12 сар, мөн ямар ч сард харъяалагддаггүй 5 хоногоос бүтдэг. Энд жилийн 365 хоногийг Хөхдэй Мэргэний ажиглалтаас биш Нил мөрний үерлэлтийн давтамжаас үүдэлтэй, мөн Египтийн календарийг МЭӨ 2773 онд эхэлсэн гэж үздэг судлаачид байдаг гэдгийг дурдах нь зүйтэй. Египтийн календарь нь 4 жилд нэг хоногоор зөрсөөр сүүлдээ жилийн улиралтай ямар ч холбоогүй болох ба 1460 жил болоод буцаж байрандаа ирдэг. Энэ календарь дээр үндэслэгдсэн, 4 жилд нэг өндөр жилтэй шинэ календарийг МЭӨ 45 оноос Юлий Цезарийн тушаалаар Ромд хэрэглэж эхэлсэн нь (1582 оны Грегорийн өндөр жил тооцох аргачлалд хийсэн бага зэргийн шинэчлэлийг эс тооцвол) одоогийн бидний мөрддөг календарь юм.

Тэд мэдээж тэргэл сар эсвэл шинэ сар ойролцоогоор 30 хоногийн үечлэлтэй гарч ирдэг гэдэг дээр үндэслэж он тооллын нэг сарыг 30 хоногтой зохион байгуулсан байгаа. Гэвч, жишээ нь, нэг тэргэл сартай шөнөөс эхлээд 30 хоногоор тоолоод явбал хэдэн сарын дараа тэргэл саран дээр буухаа болих ба байн байн 29 хоногоор бас тоолохгүй бол болохгүй нь мэдэгдэнэ. Египтчүүд энэ маягаар олон жил ажиглалт хийсний эцэст 25 Египтийн жил буюу 25·365=9125 хоног яг 309 сарны үечлэлтэй тэнцдэгийг олсон нь цаашид тэргэл сар хэзээ гарахыг урьдчилж хэлэх асуудлыг нэг мөр шийдсэн байна. Орчин үеийн хэмжилтээр тэргэл сарны давталтын нэг үе 29.53059 хоног бөгөөд үүнийг 309-өөр үржүүлбэл 9124.95 болно. Тэгэхээр Египтчүүдийн энэ хэмжилт 25 жилд 0.05 хоногийн алдаа гаргах бөгөөд 25·20=500 жилд алдааг нь нэг засчихаад яваад байхад тэргэл сартай өдрийг урьдчилж хэлэхэд төвөггүй болно гэсэн үг юм.

Эртний Египтчүүд одон орны болон геометрийн мэдлэгээ ашиглаад сүм дуган, пирамид зэргийг барихдаа тэдгээрийг аль нэг одны зүг чиглүүлдэг, эсвэл жилийн тодорхой нэг өдөр тодорхой нэг цагт нар тодорхой нэг зүйлийг гэрэлтүүлж тусахаар зохион байгуулдаг байсан. Эдгээр болон дээр дурдсан бусад ололтууд нь магтмаар амжилтууд боловч эртний Египтийн математик нь үнэндээ ямар ч гүн гүнзгий шинэ санаа байхгүй маш энгийн бүдүүн бараг эд байсан гэдгийг ойлгох хэрэгтэй. Математик нь тусдаа салбар ч байсангүй, хэдэн мянган жил болоход бараг өөрчлөгдсөн ч үгүй, зүгээр л өдөр тутмын амьдралд гарч ирдэг асуудлуудыг шийдвэрлэхэд тусалдаг хэдэн хялбар дүрэм төдий зүйл л байв.

Posted in Математикийн түүх | Tagged , , , , | 2 Сэтгэгдлүүд

Иррациональ тооны иррациональ зэрэг

Иррациональ тооны иррациональ зэрэг рациональ тоо байж болох уу?

Хариулт нь дор бий.

Continue reading

Posted in Элдэв зүйлс, бодлого, теорем | 7 Сэтгэгдлүүд

Өмнө нь тэгэхээр шалтгаан нь

Ямар нэг үйл явдал А өөр нэг үйл явдал Б-ийн өмнө нь болсон учраас А нь Б-ийн шалтгаан гэж ярих.

Жишээ:

  1. Би энэ архийг перцтэй хольж ууснаас хойш 2 хоногийн дараа ханиад маань ор сураггүй эдгэсэн. Архи перцтэй уух ханиаданд сайн сайн.
  2. Энэ засгийн газрыг ажиллаж эхэлснээс хойш Монголын эдийн засаг их сайжирч байгаа. Энэ нь шинэ засгийн газрын супер дупер бодлогоос шалтгаалж байгаагаас зайлахгүй.
  3. Энэ хүүхдийн үсийг авснаас хойш нэг л өвчин ороогоод байх боллоо. Үсийг нь буруу өдөр авчихсан юм шиг байна.

Жишээ нэмээрэй!

Posted in Логик | Tagged | 6 Сэтгэгдлүүд

Эйлерийн үржвэр

Евклидийн теоремийн Эйлерийн баталгаанд дараах адилтгал шийдвэрлэх үүрэг гүйцэтгэсэн

\displaystyle\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{1-\frac1{p_i}}=\sum_{m\in M(n)}\frac1{m}\qquad\qquad\qquad(1).

Үүнд M(n) нь анхны тоон задаргаандаа  p_n-ээс их анхны тоог агуулдаггүй тоонуудын олонлог

M(n)=\{p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots  p_n^{k_n}:k_i\geq0\}.

Жишээ нь M(1) нь 2-ын сөрөг биш зэргүүдээс тогтсон олонлог, M(2) нь 2 ба 3-ын сөрөг биш зэргүүдийн үржвэрүүдээс тогтсон олонлог гэх мэт. Тухайлбал үргэлж 1\in M(n) байна. Арифметикийн үндсэн теоремаас n\to\infty үед M(n) олонлог натурал тоон олонлогийг бүрхэх нь ойлгомжтой. Тэгэхээр (1) адилтгалын баруун гар тал дахь нийлбэр n\to\infty үед (гармоник цуваа учир) сарних ба ингэснээр уг адилтгалын зүүн гар тал дахь үржвэр мөн сарнихад хүрч төгсгөлгүй олон анхны тоо оршин байх нь батлагдана. Арай өөр өнцгөөс, (1) адилтгалыг дараах формал адилтгалд утга оноохын тулд төгсгөлгүй нийлбэр ба үржвэрийг төгсгөлөг нийлбэр ба үржвэрээр сольсон хувилбар гэж үзэж болно.

\displaystyle \prod_{i=1}^{\infty}\frac{1}{1-\frac1{p_i}}=\sum_{m=1}^{\infty}\frac1{m}\qquad(2).

Энэ формал адилтгалын баруун гар тал төгсгөлгүй учир зүүн гар талд нь төгсгөлгүй олон анхны тоо байх ёстой гэсэн өгүүлбэрийг дээрх хязгаартай баталгааны товчлол мэтээр ойлгож болно.

(2) адилтгалд утга оноох өөр хувилбарууд бий. Үүний нэг жишээ нь s>1 байх бодит тоо бэхлээд, цувааны гишүүн 1/{m}-ийг 1/{m^s}-ээр солих явдал болно. Энэ шинэ цуваа (s>1 үед) абсолют нийлдэг цуваа болох нь интеграл шинжүүрээс илэрхий:

\displaystyle \zeta(s):=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^s}\leq\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^s}=\left.\frac{1}{(1-s)x^{s-1}}\right|_1^{\infty}=\frac{1}{s-1}.

Эйлерийн зета функц. s нь 1 рүү дөхөх үед төгсгөлгүй рүү, s ихсэхэд 1 рүү явна.

Дээрх илэрхийлэл Эйлерийн зета функцийг тодорхойлох ба одоо (2) адилтгалд утга оноохын тулд зүүн гар тал дахь үржвэр нь яаж өөрчлөгдөх вэ гэдгийг тодруулаад, s\to1^+ (ө.х. s нь 1 рүү дээрээс нь дөхөх) хязгаар авна гэсэн үг. Абсолют нийлдэг цуваатай ажиллах нь төгсгөлөг нийлбэртэй ажиллахаас үндсэндээ ялгагдахгүй. Өмнөхтэй адил аргументаар (2)-ийн зүүн гар тал \displaystyle\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-s}} хэлбэрийн үржвэрт хувирахыг хялбархан шалгаж болно. Гэвч энд бид арай өөр шууд баталгаа оруулъя.

Эйлерийн үржвэрийн теорем. s>1 үед \displaystyle \zeta(s)\equiv\sum_{n}\frac{1}{n^s}=\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-s}}. Энд n-ээр авсан нийлбэрийг бүх натурал тоогоор, p-ээр авсан үржвэрийг бүх анхны тоогоор авсан гэж ойлгоно.

Баталгаа. N(k) нь p_1,\ldots,p_k анхны тоонуудын алинд ч хуваагдаггүй бүх натурал тоонуудын олонлог болог

N(k) = \{m\in\mathbb{N}|\mathrm{gcd}(m,p_1)=\ldots=\mathrm{gcd}(m,p_k)=1\}.

Жишээ нь N(1) нь сондгой тоонуудын олонлог, N(2) нь 2 ба 3-ын алинд нь ч хуваагддаггүй тоонуудын олонлог гэх мэт. Тухайлбал үргэлж 1\in N(k) байна. Өөрөөр, N(k) нь (1-ийг эс тооцвол) анхны тоон задаргаандаа зөвхөн p_k-ээс их анхны тоонуудыг л агуулдаг бүхэл тоонуудын олонлог юм

N(k)\setminus \{1\} = \mathbb{N}\setminus M(k)\qquad\qquad\qquad(*).

Одоо s>1 үед дараах үржвэрийг сонирхъё

\displaystyle (1-2^{-s})\zeta(s) = (1-2^{-s})\sum_{n}\frac{1}{n^s} = \sum_{n}\frac{1}{n^s}-\sum_{n}\frac{1}{(2n)^s} = \sum_{n\in N(1)}\frac{1}{n^s}.

Үүнд s>1 учир зета функцийг тодорхойлж буй цуваа абсолют нийлэх ба уг цувааг тоогоор үржүүлэхэд хаалт нээх хууль биелнэ. Дээрх илэрхийллийг (1-3^{-s})-ээр үржүүлбэл

\displaystyle (1-3^{-s})(1-2^{-s})\zeta(s) =  \sum_{n\in N(1)}\frac{1}{n^s}-\sum_{n\in N(1)}\frac{1}{(3n)^s} = \sum_{n\in N(2)}\frac{1}{n^s}

болно. Энд бид сондгой тоонууд нь 2 ба 3-ын алинд нь ч хуваагддаггүй тоонууд ба 3-т хуваагддаг сондгой тоонуудаас тогтоно, ө.х. N(1)=N(2)\cup\{3n:n\in N(1)\} гэдгийг ашигласан. Үүнтэй төстэйгөөр цааш нь үржүүлэн явбал дараах үр дүнд хүрнэ.

\displaystyle (1-p_k^{-s})\cdots(1-3^{-s})(1-2^{-s})\zeta(s) =  \sum_{n\in  N(k)}\frac{1}{n^s} = 1+ \sum_{n}\frac{1}{n^s} - \sum_{n\in M(k)}\frac{1}{n^s}.

Үүнд сүүлийн тэнцэтгэлд (*)-ыг, ө.х. N(k)=\mathbb{N}\setminus M(k)\cup\{1\} болохыг ашигласан (цуваанууд абсолют нийлдэг учир ингэж төгсгөлөг нийлбэр мэтээр харьцаж болж буйг дахин сануулъя). Одоо хоёр талаас нь k\to\infty хязгаар авбал

\displaystyle \zeta(s)\lim_{k\to\infty}\prod_{i=1}^{k}(1-p_i^{-s}) =   1 буюу \displaystyle \zeta(s) = \lim_{k\to\infty}\prod_{i=1}^{k}\frac1{1-p_i^{-s}}

болж теорем батлагдана.

Эцэст нь энэ теоремаа ашиглаж анхны тоонуудын тоог төгсгөлгүй болохыг дахин нэг харъя. Бид s>1 үед

\displaystyle \zeta(s)\equiv\sum_{n}\frac{1}{n^s}=\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-s}}

болохыг баталсан. Хэрэв анхны тоонуудын тоо төгсгөлөг байсан бол тэнцэтгэлийн баруун гар тал дахь илэрхийлэл  s\neq0 үед (төгсгөлөг ширхэг төгсгөлөг тоонуудын үржвэр учир) төгсгөлөг байна. Гэвч зүүн гар тал нь s\to 1^+ үед хязгааргүй рүү явах учир үүнтэй харшилж анхны тоонуудын тоог төгсгөлөг биш болохыг харуулна. Тэгэхээр Эйлерийн зета функц s=1 дээр онцгой цэгтэй, тодруулбал

\displaystyle\lim_{s\to1^+}\zeta(s)=\infty

байгаа нь анхны тоонуудын тоо төгсгөлөг биш гэдэгтэй холбоотой байх нь.

Posted in Анализ, Тооны онол | Tagged , , , , | Сэтгэгдэл үлдээх

Эйлерийн баталгаа

p_i нь i дэх анхны тоо, \pi(x) нь x-ээс хэтэрдэггүй анхны тоонуудын тоо бол дорх функцийг авч үзье

f(x)=\displaystyle\prod_{i=1}^{\pi(x)}\frac{1}{1-\frac1{p_i}}.

Энэ үржвэрт орж буй үржигдэхүүн бүр нэгээс их тул f нь үл буурах функц болно. Хэрэв анхны тоонуудын тоо төгсгөлөг байсан бол x-ийг ихэсгээд байхад дээрх үржвэр бүх анхны тоонуудыг оролцуулсан үржвэрт хүрээд цаашид өөрчлөгдөхөө зогсоно. Өөрөөр хэлбэл хамгийн их анхны тоог q гэвэл x\geq q байх x болгоны хувьд f(x)=f(q) байх байсан. Эйлер x\to\infty үед f(x)\to\infty гэж баталсан ба эндээс анхны тоонуудын тоо төгсгөлгүй гэж мөрдөх нь ойлгомжтой. Нэг ийм баталгааг дор сийрүүлэв.

f-ийн тодорхойлолтод орж буй нэг үржигдэхүүнийг сонирхвол энэ нь буурах геометр прогрессийн нийлбэр болохыг ажиглаж болно:

\displaystyle\frac{1}{1-\frac1{p_i}}=1+\frac1{p_i}+\left(\frac1{p_i}\right)^2+\left(\frac1{p_i}\right)^3+\ldots=\sum_{k=0}^\infty\frac1{p_i^k}.

Үүнийгээ f-ийн тодорхойлолтод орлуулаад, n=\pi(x) гэсэн товчлол хийвэл

f(x)=\displaystyle\sum_{k_1=0}^\infty\ldots\sum_{k_n=0}^\infty\frac1{p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots  p_n^{k_n}}.

Өөрөөр хэлбэл {f(x)} нь x-ээс бага бүх анхны тоонуудын сөрөг биш зэргүүдийг оролцуулан гаргаж болох бүх үржвэрүүдийн урвуунуудын нийлбэртэй тэнцүү. Арифметикийн үндсэн теоремоор p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots  p_n^{k_n} дотор давтагдах тоо байхгүй. Иймд анхны тоон задаргаандаа  p_n-ээс их анхны тоог агуулдаггүй тоонуудын олонлогийг

M(n)=\{p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots  p_n^{k_n}:k_i\geq0\}

гэвэл

f(x)=\displaystyle\sum_{m\in M(n)}\frac1{m}.

Жишээ нь M(1) нь 2-ын сөрөг биш зэргүүдээс тогтсон олонлог, M(2) нь 2 ба 3-ын сөрөг биш зэргүүдийн үржвэрүүдээс тогтсон олонлог гэх мэт. Тухайлбал үргэлж 1\in M(n) байна. Одоо n=\pi(x) гэдгийг санавал x-ээс хэтрэхгүй ямар ч эерэг бүхэл тоо анхны тоон задаргаандаа p_n-ээс их анхны тоог агуулахгүй. Тэгэхээр M(n) нь x-ээс хэтрэхгүй бүх эерэг бүхэл тоог агуулна: \{1,\ldots,\lfloor{x}\rfloor\}\subset M(n) буюу

f(x)=\displaystyle\sum_{m\in M(n)}\frac1{m}\geq\sum_{m=1}^{\lfloor{x}\rfloor}\frac1{m}

үүнд \lfloor{x}\rfloor нь x-ээс хэтрэхгүй хамгийн их бүхэл тоо. Дээрх тэнцэл бишийн баруун гар тал x\to\infty үед хязгааргүй руу тэмүүлэх тул зүүн гар тал нь мөн хязгааргүй руу явах болж бидний батлах гэсэн зүйл батлагдана.

Үүнээс гадна дээрх баталгаа f функцийн өсөлтийн хурдны талаар мэдээлэл өгнө:

\displaystyle f(x)\geq\sum_{m=1}^{\lfloor{x}\rfloor}\frac1{m}\geq\ln(\lfloor{x}\rfloor+1)\geq\ln x.

i дэх анхны тоо i-ээс эрс их байх нь ойлгомжтой: p_i\geq i+1. Үүнийг ашиглан

\displaystyle\frac{1}{1-\frac1{p_i}}=\frac{p_i}{p_i-1}=1+\frac1{p_i-1}\leq1+\frac1{i}=\frac{i+1}i

гэж бичиж болох ба эндээс

f(x)=\displaystyle\prod_{i=1}^{\pi(x)}\frac{1}{1-\frac1{p_i}}\leq\prod_{i=1}^{\pi(x)}\frac{i+1}i=\frac21\cdot\frac32\cdots\frac{\pi(x)+1}{\pi(x)}=\pi(x)+1.

Тэгэхээр дараах теорем батлагдана.

Теорем. \pi(x)+1\geq\ln x.

Дараах зурагт энэ үр дүнг Евклидийн баталгаанаас гаргасан үнэлэмжтэй жишиж үзүүлэв.

π(x), ln(x) ба lnln(x)

Posted in Тооны онол, теорем | Tagged , , | 2 Сэтгэгдлүүд

Евклидийн теорем

Менделеевийн үелэх системийн 200 гаран элементийн атомууд бүх химийн бодисыг бүрдүүлдэг. Үүнтэй төстэйгээр анхны тоонууд бүх бүхэл тоонуудыг бүрдүүлдэг. Дараах теоремд бүх анхны тоог химийн элементүүд шиг нэг нэгээр нь судалж гүйцээх аргагүй болохыг харуулна.

Евклидийн теорем. Төгсгөлгүй олон анхны тоо оршин байна.

Баталгаа. Эсрэгээр нь анхны тоонуудын тоог төгсгөлөг гэж үзье. Тэгвэл бүх анхны тоонуудыг хооронд нь үржүүлээд нэгийг нэмэхэд гарах тоо нь ямар ч анхны тоонд хуваагдахгүй. Тодруулбал, бүх анхны тоог

p_1,p_2,\ldots,p_n

гэж дугаарлаад

m=p_1p_2\ldots p_n+1

гэвэл m нь p_i-ийн алинд ч хуваагдахгүй. Учир нь хэрэв p_i|m бол p_i нь 1-ийн хуваагч болох байсан. Тэгэхээр m нь анхны тоонуудын үржвэрт задардаггүй бүхэл тоо болж зөрчилд хүрнэ.

Дээрх баталгаанаас {B} нь анхны тоонуудын төгсгөлөг олонлог бол {B} дэх тоонуудын үржвэрээс нэгээр их тоо анхны тоон задаргаандаа {B}-д ордоггүй анхны тоог агуулна гэж гарна. Тухайлбал n дэх анхны тоог p_n гэвэл p_{n+1} нь дээр тодорхойлогдсон m-ээс хэтрэхгүй

p_{n+1}\leq p_1p_2\ldots p_n+1.

Тэгэхээр энэ баталгаа нь зөвхөн анхны тооны тоог төгсгөлгүй гэж харуулаад зогсохгүй бас анхны тоонуудын тархалтын нягтын талаар бага зэрэг мэдээлэл өгч байна. Анхны тооны тархалтын нягтыг хэмжихийн тулд бодит тоо x-ээс хэтрэхгүй бүх анхны тооны тоог \pi(x) гэж тэмдэглэе:

π(x) функцийн график

\pi(x)=\min\{n:p_{n+1} > x\}.

Иймд жишээ нь, x<2 үед \pi(x)=0, мөн \pi(2.5)=1, \pi(5)=3 байна. Ингэж тодорхойлогдсон функц \pi:\mathbb{R}\to\mathbb{R} нь сөрөг биш бүхэл утга авдаг үл буурах функц байх нь мэдээж. Энэ функцийг хичнээн нарийн мэднэ анхны тоонуудын байрлалын талаар төчнөөн их мэдээлэлтэй болно гэдэг нь мөн ойлгомжтой. Жишээ нь анхны тоонуудын тоо төгсгөлгүй гэдэг нь

\displaystyle\lim_{x\to\infty}\pi(x)=\infty

гэдэгтэй эквивалент. Цаашилбал {\pi(x)}-ийн өсөлтийн хурд анхны тооны тархалтын нягтын талаар мэдээлэл өгнө.

Евклидийн теоремийн баталгаанаас, a_1=2 ба

a_{n+1}=a_1a_2\ldots a_n+1

байх дараалал тодорхойлбол p_n\leq a_n байхыг харж болно. Тэгэхээр

\pi(x)\geq\min\{n:a_n\geq x\}

байх ба a_n дараалал нь ерөнхийдөө факториал мэтээр өсдөг дараалал тул дээрх тэнцэтгэл бишийн баруун гар тал дахь илэрхийлэл x-ээс хамааран факториалын урвуу функц мэтээр (маш удаанаар) өснө. Гэвч дээрх аргументийг сайн шахвал үүнээс арай дээр үнэлэмж гаргаж авч болно.

Теорем. p_n<2^{2^n} ба \pi(x)+1>\log_2\log_2 x байна (сүүлийн тэнцэл бишид x\geq2).

Баталгаа. n=1 үед 2<2^{2} тул теоремын эхний хэсэг үнэн. Одоо n\leq m байх бүх n-ийн хувьд p_n<2^{2^n} гэж үзье. Тэгвэл

\displaystyle p_{m+1}\leq p_1p_2\ldots p_{m}+1<2^{2+4+\ldots+2^{m}}+1<2^{2^{m+1}}

болж теоремийн эхний хэсэг батлагдана. Одоо n нь 2^{2^n}\leq x<2^{2^{n+1}} байх бүхэл тоо болог. Тэгвэл \log_2\log_2x<n+1 ба теоремийн эхний хэсгээс n\leq\pi(2^{2^n}) гэдгийг тооцвол теоремийн сүүлийн хэсэг батлагдана.

Энэ теоремд дурдагдаж буй логарифмуудийн суурийг ихэсгэх замаар тэнцэтгэл бишийн зүүн гар тал дахь +1-ийг арилгах боломжтой. Тухайлбал логарифмуудыг натурал логарифмуудаар сольвол \pi(x)\geq\ln\ln x гэж гаргаж болно.

Тэмдэглэл. {\pi(x)} нь үнэндээ \displaystyle \frac{x}{\ln x} мэтээр өсдөг функц юм. Тэгэхээр дээрх теорем дахь \log\log x нь асар ихээр баримжаалсан үнэлэмж гэсэн үг. Сүүлд бид илүү нарийн үр дүнгүүдийг авч үзнэ.

π(x) ба lnln(x)

Posted in Тооны онол, теорем | Tagged | 3 Сэтгэгдлүүд