Муаврын томъёо

Куб тэгшитгэлийг бодох дель Ферро, Тарталья, Кардано нарын томъёо, 4 зэрэгт тэгшитгэлийг бодох Феррарийн томъёотой хамт 1545 онд анх хэвлэгдсэн бол, куб тэгшитгэлийн шийдэгдээгүй үлдсэн «үл задрах» тохиолдлыг нь 1592 онд Виет тригонометрийн аргаар шийдсэн билээ. Цаашилбал, 4 зэргийн тэгшитгэлийг бодох шинэ аргыг Декарт олж, 1637 онд хэвлүүлсэн. Мөн 5 зэргийн тэгшитгэлийг бодох гэсэн Худде, Грегори, Чирнхаус, Лейбниц нарын бүтэлгүй оролдлогуудын тухай өмнө дурдсан. Эдгээр оролдлогууд дундаас нэг чухал үр дүн гарсан нь Чирнхаус өөрийнх нь нэрийг сүүлд зүүсэн хувиргалтыг ашиглан куб тэгшитгэлийг бодсон явдал байв. Чирнхаусын ажил 1683 онд хэвлэгдсэн ч, энэ аргыг 4 зэргийн тэгшитгэл рүү зөвхөн 1771 онд Лагранж өргөтгөснийг бид мэднэ. Лагранжаас өмнө, Чирнхаусаас хойш олон гишүүнт тэгшитгэлийн онолд ахиц гаргасан хүмүүс бол Колсон, Абрахам де Муавр (1667–1754), их багш Эйлер, Этьен Безу (1730–1783) нар юм. Куб тэгшитгэлийн 3 шийдийг Карданы томъёоноос яаж гаргаж авахыг, тухайлбал энэ томъёо нь комплекс тоонууд дээр ч хүчинтэй болохыг анх тайлбарлаж үзүүлсэн Колсоны 1707 оны ажлын тухай бид хэдийнээ дурдсан. Энэ өгүүллээр бид де Муаврын хувь нэмрийн талаар авч үзэх гэж байна.

Абрахам де Муавр нь Францын Шампань мужид төрсөн ба Парис хотод математикт суралцсаныхаа дараа 1688 онд Англид ирж, үүнээс хойш амьдралынхаа сүүлийн 66 жилийг тэнд өнгөрөөсөн хүн юм. Түүний математикийн мэдлэг чадвар нь тухайн үеийн ихэнх англи профессоруудынхаас хэд дахин илүү байсан ч франц гаралтайн улмаас ажилд орох боломж олдолгүй насан туршдаа хувиараа хүүхдүүдэд давтлага өгч өлөө залгуулдаг байжээ. Тэрбээр маш чухал олон нээлт хийсний нэг нь одоо бидний авч үзэх гэж байгаа {n} зэргийн зарим тэгшитгэлийг боддог томъёо бөгөөд үүнтэй холбоотойгоор өөрийн алдарт

\displaystyle  \cos n\theta + i\sin n\theta = (\cos\theta+i\sin\theta)^n

адилтгалаа нээсэн түүхтэй.

Үргэлжлүүлэн унших

Posted in Алгебр, түүх | Tagged , , | Сэтгэгдэл бичих

Чирнхаусын хувиргалт

Анх 1545 онд Жероламо Кардано «Агуу урлаг» бүтээлдээ 3 ба 4 зэргийн тэгшитгэлийг бодох ерөнхий аргыг нийтэлснээс хойш дэлхийн математикчид 5 зэргийн тэгшитгэлийг бодох гэж бараг 300 жил оролдсоны эцэст ийм оролдлогуудын хэзээ ч бүтэхгүй болохыг Норвегийн суут математикч Нильс Хенрик Абель (1802–1829) баталсан билээ. Абелийн баталгаа нь мэдээж өмнөх үеийнхээ судлаачдын 3 ба 4 зэргийн тэгшитгэлийн нууцад илүү нэвтрэх, ингэснээр 5 зэргийн тэгшитгэл рүү өргөтгөж болохоор ерөнхий аргыг олох гэж махран зүтгэсэн хөдөлмөрийн үр дүн дээр дөрөөлж бүрэлдсэн байгаа.

Дөрвөн зэргийн тэгшитгэлийг бодохын тулд Рене Декарт

\displaystyle  x^4+px^2+qx+r = (x^2-tx+u)(x^2-tx+v)

гэсэн задаргааг ашигласныг бид мэднэ. Энэ аргыг 5 ба 6 зэргийн тэгшитгэлүүд рүү өргөтгөхөөр (Амстердам хотын захирагчийн ажлыг 30 жил хашсан) Голландын хөрөнгөтөн, математикч Иоганн Худде (1628–1704) оролдсон боловч, задаргааны коэффициентуудыг олдог (ө.х. ресольвент) тэгшитгэл нь хамгийн багадаа 10 зэргийнх байж таараад, мухардалд хүрчээ. Худдегийн үр дүн 1657 онд Декартын «Геометр» бүтээлийн латин орчуулганд хавсралт болж хэвлэгдсэн.

Үүний дараа, 1667 онд хэвлэгдсэн сурах бичгийнхээ хавсралтанд Франсуа Дулоренс гэгч Франц математикч нэгэн чухал ажиглалтыг хийв. Жишээ болгоод,

\displaystyle  x^3+px^2+qx+r = 0 , \ \ \ \ \ (1)

тэгшитгэлийн шийдүүдийг

\displaystyle  x = y + \alpha , \ \ \ \ \ (2)

гэсэн хуулиар хувиргасан ба, ингэж хувиргасан шийдүүд нь

\displaystyle  y^3+Py^2+Qy+R = 0 , \ \ \ \ \ (3)

тэгшитгэлийг хангадаг гэж үзье. Тэгвэл (2) илэрхийллийг (1) тэгшитгэлд орлуулаад, (3) тэгшитгэлтэй харьцуулснаар

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  P &=& p + 3\alpha , \\ Q &=& q + 2p\alpha + 3\alpha^2 , \\ R &=& r + q\alpha + p\alpha^2 + \alpha^3 , \\ \end{array}

гарна. Тухайлбал, {P=0} болгож, тэгшитгэлийг хураангуй хэлбэрт шилжүүлэхийн тулд {\alpha=-p/3} гэж авах хэрэгтэй. Энэ хувиргалтыг бол Кардано ч мэддэг байсан. Харин Дулоренсын шинэ санаа нь, {q + 2p\alpha + 3\alpha^2=0} байхаар {\alpha} коэффициентийг сонгож авбал {Q=0} болохыг анзаарсан ба, (2) хувиргалтаас илүү ерөнхий, тэгшитгэлийн хэд хэдэн гишүүний коэффициентийг зэрэг 0 болгодог хувиргалт байдаг байж болзошгүйг таамагласан явдал юм. Жишээлбэл, {P=Q=0} болгодог хувиргалт олж чадвал куб тэгшитгэлийг бодчихлоо гэсэн үг.

Дулоренсын санааг Шотландын одон оронч, математикч Жеймс Грегори (1638–1675) цааш нь хөгжүүлж, 1672 оны орчимд дараах үр дүнд хүрчээ. Куб тэгшитгэлийн хувьд, (1) тэгшитгэлээс (3) тэгшитгэл рүү (2) хувиргалтаар шилжсэний дараа, (3) тэгшитгэлээ {y^3+ay^2+by+c} гэсэн илэрхийллээр үржүүлж, 6 зэргийн тэгшитгэл гарган авна. Одоо энд {a,b,c,\alpha} гэсэн 4 чөлөөт параметр байгаа. Эдгээрийг ашиглан, квадратаас дээш зэргийн тэгшитгэл бодолгүйгээр, 6 зэргийн тэгшитгэлийнхээ {y^5,y^4,y^2,y} гишүүдийн коэффициентийг 0 болгож, {y^3}-ийн хувьд квадрат тэгшитгэлд шилжүүлж болно гэдгийг Грегори үзүүлсэн. Цаашилбал, 4 зэргийн тэгшитгэлийн хувьд, (2) хувиргалтыг хийсний дараа {y^2+ay+by} гэсэн илэрхийллээр үржүүлж, мөн л 6 зэргийн тэгшитгэл гарган авна. Гэхдээ энэ удаа {y^5,y^3,y} гишүүдийн коэффициентийг 0 болгож, {y^2}-ийн хувьд куб тэгшитгэлд шилжүүлнэ. Энэ үед кубээс дээш зэргийн тэгшитгэл бодох шаардлагагүй. Эцэст нь, 5 зэргийн тэгшитгэлийн хувьд, (2) хувиргалтыг хийсний дараа, Грегори 15 зэргийн олон гишүүнтээр үржүүлж, 20 зэргийн тэгшитгэл гарган авсан ба, үүнийхээ {y^{20},y^{15},y^{10},y^{5},y^0} гишүүдийг л үлдээгээд бусдынх нь коэффициентийг 0 болгох гэж оролдсон боловч, 16 үл мэдэгдэгчтэй 16 ширхэг олон гишүүнт тэгшитгэлийн системд хүрч, цааш нь үргэлжлүүлэхээсээ халган шантарчээ. Грегори өөрийн хүрсэн үр дүнг зөвхөн Английн нягтлан бодогч, математикч Жон Коллинзтой (1625–1683) харилцсан захианууддаа бичиж үлдээсэн тул тухайн үедээ нийтэд хүрэлгүй өнгөрсөн. Түүнд Дулоренсын санааг анх дуулгасан хүн нь Коллинз байсан гэдгийг дурдах нь зүйтэй.

Ингээд Грегорийн зүрх жаахан мохоод ирэнгүүт, 1675 оны үед Коллинз нэгэн шинэ хүн олж аваад нөгөө бодлогоо бодуулах гээд шавдуулж эхэлсэн нь Германы эрдэмтэн Эренфрид Вальтер фон Чирнхаус (1651–1708) байв. Чирнхаус ч өөрөө бодлогонд нь автаад, эх орон нэгт суутан Вильгельм Лейбництэй (1646–1716) хамтран дор дурдсан санаанууд дээр нилээд ажилласан.

  • Тэгшитгэлдээ {x=a+b} эсвэл {x=a+b+c} гэх мэтийн орлуулга хийгээд, {a,b,c,\ldots} коэффициентүүдийг зохимжтойгоор сонгож авах.
  • Дээрхтэй төстэй {x=\sqrt{a}+\sqrt{b}}, {x=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} маягийн орлуулгууд ашиглах.

Эдгээр орлуулгуудаас ялангуяа 5 зэргийн тэгшитгэлийн хувьд анхныхаасаа илүү төвөгтэй тэгшитгэлүүд гарч ирээд байсан учраас Лейбниц тэгсхийгээд итгэл алдарсан бол, Чирнхаус ямар нэг арга байх ёстой гэж цөхрөлтгүй эрж байгаад Чирнхаусын хувиргалт гэж сүүлд алдаршсан хувиргалтаа нээжээ. Түүний гол санаа нь юу байсан бэ гэвэл, тэгшитгэлийн шийдүүдийг хувиргах (2) хувиргалтын оронд квадратлаг

\displaystyle  y = x^2 + \alpha x + \beta , \ \ \ \ \ (4)

болон илүү өндөр зэргийн олон гишүүнт хувиргалтуудыг хэрэглэх явдал байв. Гэхдээ 1677 онд Лейбниц рүү явуулсан захиандаа Чирнхаус өөрийн хувиргалтыг ашиглан зөвхөн куб тэгшитгэлийг бодож үзүүлсэн бөгөөд, илүү өндөр зэргийн тэгшитгэлүүдийн хувьд бол «болох ёстой» гэсэн итгэлээс өөр юм байгаагүй. Үүнд нь Лейбниц «болгоомж илүүдэхгүй» гэсэн утгатай хариу илгээсэн боловч, Чирнхаус өөрийнхөө санааг 1683 онд Acta Eruditorum сэтгүүлд хэвлүүлсэн. Уг өгүүллийн англи орчуулгыг эндээс уншиж болно.

Чирнхаусын санааг кубээс дээш зэргийн тэгшитгэлүүд рүү өргөтгөх асуудал ингээд 100-гаад жил «гацаанд» байсан ба энэ гацааг 1771 онд Итали-Францын суут математикч Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) сая гаргаж, квадратлаг (4) эсвэл куб хувиргалтыг ашиглан ямар ч 4 зэргийн тэгшитгэлийг бодож болохыг үзүүлсэн бол, 1786 онд Шведийн хуульч, философич, түүхч, математикч Эрланд Бринг (1736–1798) дөрвөн зэргийн хувиргалт ашиглан ямар ч 5 зэргийн тэгшитгэлийг

\displaystyle  x^5+x+q=0 , \ \ \ \ \ (5)

гэсэн хялбар хэлбэрт шилжүүлж болохыг нээсэн юм. Өөрөөр хэлбэл, (5) хэлбэрийн тэгшитгэлийг л бодож чаддаг болчихвол, бүх 5 зэргийн тэгшитгэл бодогдоно гэсэн үг. Энэ үр дүнд Брингээс хамааралгүйгээр 1832 онд Британийн математикч Жорж Жеррард (1804–1863) мөн хүрсэн тул, дээрх (5) хэлбэрийг одоо 5 зэргийн тэгшитгэлийн Бринг-Жеррард хэлбэр гэж нэрлэдэг. Цаашилбал, Бринг-Жеррард хэлбэртээ байгаа 5 зэргийн тэгшитгэлийг эллипслэг функцүүдийн тусламжтай бодож болохыг анх 1858 онд Францын математикч Шарль Эрмит (1822–1901) нээснээр, 5 зэргийн тэгшитгэлийг бодох гэсэн тэмцэл амжилттай өндөрлөсөн гэж үзэж болно. Энэ үр дүн Абелийн теоремтой яагаад зөрчилдөхгүй вэ гэвэл, Абель бүхэл зэргийн язгуурууд ашиглан 5 зэргийн тэгшитгэлийг боддог томъёо байхгүй гэж л баталсан болохоос биш, илүү ерөнхий функцүүд ашиглавал юу болох талаар үг дуугараагүй юм.

Энэ өгүүллээр бид Чирнхаусын хувиргалтыг ашиглан дурын 4 зэргийн тэгшитгэлийг яаж бодох, дурын 5 зэргийн тэгшитгэлийг Бринг-Жеррард хэлбэрт нь яаж оруулж болохыг авч үзэх гэж байна. Үргэлжлүүлэн унших

Posted in Алгебр, түүх | Tagged , , , | Сэтгэгдэл бичих

Жирар-Ньютоны адилтгалууд

Виетийн теорем ёсоор,

\displaystyle  x^2+px+q=0 ,

тэгшитгэлийн шийдүүд

\displaystyle  x_1+x_2 = -p, \qquad x_1x_2 = q,

харьцааг хангана. Эндээс шийдүүдийн квадратуудын нийлбэр

\displaystyle  x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2 = p^2-2q ,

кубүүдийн нийлбэр

\displaystyle  x_1^3+x_2^3 = (x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2) = -p^3+3pq ,

гэх мэтчилэн цааш нь үргэлжлүүлж болно. Түүнчлэн,

\displaystyle  x^3+px^2+qx+r = 0 ,

гэсэн куб тэгшитгэлийн шийдүүд

\displaystyle  x_1+x_2+x_3 = -p , \qquad q = x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 , \qquad x_1x_2x_3 + r = 0 ,

харьцааг хангах тул дээрхтэй төстэйгөөр

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  x_1^2+x_2^2+x_3^2 &=& p^2 - 2q , \\ x_1^3+x_2^3+x_3^3 &=& - p^3 + 3pq - 3r , \end{array}

гээд явж болно. Тухайлбал, куб тэгшитгэлийн хувьд {p=q=0} байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь шийдүүдийн 1-р ба 2-р момент (буюу дундаж, дисперс хоёр) хоёулаа 0 байх явдал юм:

\displaystyle  p=q=0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad x_1+x_2+x_3 = x_1^2+x_2^2+x_3^2 = 0 .

Дээрх адилтгалуудыг дурын зэргийн олон гишүүнтийн хувьд өргөтгөсөн хэлбэрийг Франц-Голландын математикч Альбер Жирар (1595–1632) олж «Алгебрын шинэ нээлтүүд» (1629) бүтээлдээ хэвлүүлсэн. Үүнтэй эквивалент томъёог Ньютон сүүлд «Универсаль арифметик» (1707) номондоо оруулсан байдгаас Ньютоны адилтгалууд гэж нэрлэх нь ч бий. Жирар, Ньютон нар адилтгалуудаа баталгааны оронд олон жишээний дэмжлэгтэйгээр дурдсан байдаг бол, анхны баталгааг нь Английн математикч Колин Маклорен (1698–1746) болон манай Их багш нар бараг нэгэн зэрэг хийжээ. Бид энд их багшийн нэг баталгааг толилуулъя.

Теорем 1. Хэрэв

\displaystyle  f(x) = x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0

олон гишүүнтийн язгууруудыг {x_1,\ldots,x_n}, эдгээр язгууруудын {k} дахь моментыг

\displaystyle  \mu_k=x_1^k+x_2^k+\ldots+x_n^k

гэж тэмдэглэвэл, дараах адилтгалууд хүчинтэй.

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \mu_1+a_{n-1} &=& 0 , \\ \mu_2+\mu_1a_{n-1} + 2a_{n-2} &=& 0 , \\ \mu_3+\mu_2a_{n-1} + \mu_1a_{n-2} + 3a_{n-3} &=& 0 , \\ \ldots &\ldots& \\ \mu_{n-1}+\mu_{n-2}a_{n-1}+\ldots+\mu_1a_2+(n-1)a_1 &=& 0 , \\ \mu_{n}+\mu_{n-1}a_{n-1}+\ldots+\mu_1a_1+na_0 &=& 0 , \\ \mu_{n+1}+\mu_{n}a_{n-1}+\ldots+\mu_2a_1+\mu_1a_0 &=& 0 , \\ \ldots &\ldots& \\ \end{array}

Баталгаа. Юуны түрүүнд, олон гишүүнтээ

\displaystyle  f(x) = (x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)

хэлбэрт бичвэл, логарифм нь

\displaystyle  \ln f(x) = \ln(x-x_1)+\ln(x-x_2)+\ldots+\ln(x-x_n)

болох ба, эндээсээ уламжлал авснаар

\displaystyle  \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac1{x-x_1}+\frac1{x-x_2}+\ldots+\frac1{x-x_n}

гэж гарна. Үүний баруун гар талынх нь гишүүн бүрийг Нейманы цуваанд

\displaystyle  \frac1{x-x_i} = \frac1{x}\cdot\frac1{x_i/x} = \frac1{x}\Big( 1+\frac{x_i}{x}+\frac{x_i^2}{x^2} + \ldots \Big) = \frac1{x} + \frac{x_i}{x^2} + \frac{x_i^2}{x^3} + \ldots

гэж задлаад, бүгдийг нь хооронд нь нэмбэл

\displaystyle  \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{n}{x} + \frac{\mu_1}{x^2} + \frac{\mu_2}{x^3} + \frac{\mu_3}{x^4} + \ldots

тэнцэтгэлд хүрнэ. Одоо хоёр талыг нь {f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0} илэрхийллээр үржүүлээд, төсөөтэй гишүүдийг бүлэглэж бичвэл

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  f'(x) &=& nx^{n-1} + (\mu_1+na_{n-1})x^{n-2} + (\mu_2+\mu_1a_{n-1}+na_{n-2})x^{n-3} \\ &&+\ldots + (\mu_{n-2}+\mu_{n-3}a_{n-1}+\ldots+\mu_1a_3+na_2)x \\ &&+ (\mu_{n-1}+\mu_{n-2}a_{n-1}+\ldots+\mu_1a_2+na_1) \\ &&+ (\mu_{n}+\mu_{n-1}a_{n-1}+\ldots+\mu_1a_1+na_0)x^{-1} \\ &&+ (\mu_{n+1}+\mu_{n}a_{n-1}+\ldots+\mu_2a_1+\mu_1a_0)x^{-2} + \ldots \end{array}

болно. Эцэст нь үүнийгээ

\displaystyle  f'(x) = nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + (n-2)a_{n-2}x^{n-3} + \ldots 2a_2 + a_1 ,

тэнцэтгэлтэй харьцуулснаар теорем батлагдана. \Box

Альбер Жирар (1595–1632). Колин Маклорен (1698–1746).

Posted in Алгебр, түүх | Tagged , , , , | Сэтгэгдэл бичих

Виетийн теорем

Дунд сургуулийн хичээлээс бид

\displaystyle  x^2+px+q=0 , \ \ \ \ \ (1)

тэгшитгэлийн шийдүүд, Виетийн теорем гэж нэрлэгдсэн

\displaystyle  x_1+x_2 = -p, \qquad x_1x_2 = q,

харьцааг хангадгийг мэднэ. Тухайлбал, бүтэн квадрат ялгана гэдэг нь хоёр шийдийн нийлбэрийг 0 байлгахаар (координатын эхийг зөөх) хувиргалт хийж байна гэсэн үг. Түүнчлэн, {x_1} бүхэл, {q} бүхэл бол {x_1} нь {q}-ийн хуваагч байх ёстой. Үүнийг бол Кардано ч мэддэг байсан. Харин Франсуа Виет (1540–1603) өөрийн «синкрезис» аргыг ашиглан дээрх харьцааг 5 хүртэлх зэргийн тэгшитгэлүүд рүү өргөтгөж, «Хос бүтээл» (1615) номондоо хэвлүүлжээ.

Виетийн «синкрезис» аргыг куб тэгшитгэл дээр тайлбарлая. Юуны өмнө, тэгшитгэлээ

\displaystyle  x^3+px^2+qx+r = 0 ,

гэж тохиръё. Энэ тэгшитгэл {x_1,x_2,x_3} гэсэн 3 шийдтэй бол

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  x_1^3+px_1^2+qx_1+r &=& 0 , \\ x_2^3+px_2^2+qx_2+r &=& 0 , \\ x_3^3+px_3^2+qx_3+r &=& 0 . \end{array}

Дундах тэгшитгэлийг эхний тэгшитгэлээс хасаад, {x_1-x_2} хэмжигдэхүүнд хуваагаад, сүүлийн хоёр тэгшитгэл дээр бас энэ үйлдлээ давтвал

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  x_1^2+x_1x_2+x_2^2+p(x_1+x_2)+ q &=& 0 , \\ x_2^2+x_2x_3+x_3^2+p(x_2+x_3)+ q &=& 0 , \\ \end{array}

гарна. Одоо энэ хоёрыгоо хооронд нь хасаад, {x_2-x_3} хэмжигдэхүүнд хуваавал

\displaystyle  x_1+x_2+x_3+p = 0 .

Эцэст нь үүнийгээ өмнөх тэгшитгэлүүддээ орлуулан

\displaystyle  q = x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 ,

ба

\displaystyle  x_1x_2x_3 + r = 0 ,

харьцаануудыг гарган авч болно. Дээрх гурван адилтгал бол Виетийн теоремын куб тэгшитгэлд зориулагдсан хувилбар нь юм. Эндээс, куб тэгшитгэлийг хураангуй хэлбэрт оруулах нь шийдүүдийн нийлбэрийг 0 болгох (ө.х. координатын эхийг шийдүүдийн хүндийн төв рүү зөөх) үйлдэл болох нь харагдана. Үүн дээр нэмээд, хэрэв куб тэгшитгэлийг бүрэн бодъё гэвэл анхныхаа тэгшитгэлийг ямар нэг аргаар {x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=0} нөхцлийг хангах тэгшитгэлүүд рүү хөрвүүлэх хэрэгтэй гэсэн үг.

Дасгал 1. Дээрх гаргалгаанд бүх шийдүүд нь хоорондоо ялгаатай гэж үзсэн. Тэнцүү шийдүүдтэй үед гаргалгааг яаж зөвтгөх вэ?

Дасгал 2. Виетийн «синкрезис» аргыг 4 зэргийн тэгшитгэл дээр хэрэглэ.

Виетийн теоремын цаадах нууцыг бүрэн тайлж үзүүлсэн хүн бол Английн математикч Томас Хэрриот (1560–1621) бөлгөө. Тэрбээр {n} зэргийн

\displaystyle  f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0 , \ \ \ \ \ (2)

олон гишүүнт {x_1,x_2,\ldots,x_n} гэсэн язгууруудтай бол, уг олон гишүүнт

\displaystyle  f(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n), \ \ \ \ \ (3)

байдлаар задарна гэдгийг нээжээ (Дасгал!). Энэ задаргааны хаалтуудыг нээж үржүүлэн, (2) илэрхийлэлтэй харьцуулснаар Виетийн теоремын хамгийн ерөнхий хэлбэр шууд мөрдөнө. Тухайлбал,

\displaystyle  a_{n-1} = -\sum_{1\leq i\leq n}x_i, \qquad a_{n-2} = \sum_{1\leq i<j\leq n}x_ix_j, \quad\ldots,\quad a_0 = (-1)^nx_1\cdots x_n .

Эцэст нь, {n} зэргийн олон гишүүнт бүр {n} ширхэг язгууртай байх уу гэсэн асуулт гарч ирнэ. Энэ ауултын хариулт нь Алгебрын үндсэн теорем бөгөөд, комплекс язгууруудыг оруулж тоолбол, {n} зэргийн олон гишүүнт бүр {n} ширхэг язгууртай гэж тунхагладаг. Тэгэхээр ямар ч олон гишүүнтийг (3) маягаар шугаман функцүүдийн үржвэрт задалж болно гэсэн үг. Алгебрын үндсэн теоремыг анх томъёолж, комплекс язгууруудыг тоолохгүй бол болохгүй гэдгийг анх ойлгосон хүн нь Франц-Голландын математикч Альбер Жирар (1595–1632) юм. Харин баталгааг нь хийх гэж дэлхийн сор математикчид 200 орчим жил оролдоод бараагүй бөгөөд 1806 онд Францын жижиг бизнес эрхлэгч, математикч Жан Робер Арган (1768–1822) сая анхны бүрэн баталгааг олжээ.

Франсуа Виет (1540–1603). Томас Хэрриот (1560–1621).

Posted in Алгебр, түүх | Tagged , , , , , | Сэтгэгдэл бичих

Дөрвөн зэргийн тэгшитгэл

Дөрвөн зэргийн тэгшитгэлийг бодох ерөнхий аргыг анх олсон хүн бол Жероламо Карданы авъяаслаг шавь Лодовико Феррари (1522–1565) юм. Тэрбээр 14 настайдаа Карданы шавь болсон ба авъяас билэг нь тэр дороо цэцэглэж, Кардантай мөр зэрэгцэн судалгаа хийж эхэлсэн. Ингээд 20 хүрээгүй байхдаа Ром хотод математикийн профессор болж, төд удалгүй Милан хотын захирагчийн дэргэд цалин ихтэй албанд ороод, 42 настайдаа нилээд хөрөнгөжүү хүн тэтгэвэртээ гарсан боловч, жилийн дараа хэн нэгэнд хорлогдон нас баржээ. Карданы бичсэнээр бол Феррариг дүү нь хорлосон гэдэг. Ямар ч байсан Маддалена гэгдэх дүү нь Феррарийн бүх хөрөнгийг өвлөж авсан ба Феррарийн оршуулганд ч оролцоогүйгээр барахгүй оршуулганаас нь 14 хоногийн дараа нөхөрт гарсан гэж байгаа. Гэхдээ шинэ нөхөр нь удалгүй бүх хөрөнгийг нь аваад салж, Маддалена өөрөө нас эцэслэтлээ гуйлгачны амьдралаар амьдарсан гэдэг.

Ферраригаас өмнө кубээс дээш зэргийн тэгшитгэлийн судалгаа нь зөвхөн дараах чиглэлүүд дээр төвлөрч байв:

  • олон үл мэдэгдэгчтэй тохиолдол,
  • квадрат тэгшитгэлд шууд шилжих (биквадрат гэх мэт) тэгшитгэлүүд,
  • шийдийг орон орноор нь тооцдог ойролцоо аргууд.

Тухайлбал, агуу Диофант өөрийн «Арифметик» (МЭ 250 оны орчим) бүтээлд олон үл мэдэгдэгчтэй (3, 4, 6 зэргийн) олон гишүүнт тэгшитгэлийн (болон систем тэгшитгэлийн) рациональ шийдүүдийг судалсан.

Цаашилбал, эртний Хятадад Ван Сяо-тун (МЭ 580–640) биквадрат буюу

\displaystyle  x^4+bx^2=c

хэлбэрийн тэгшитгэлүүдийг бодох аргыг олсон бол, Энэтхэгт Махавира (МЭ 8-р зуун)

\displaystyle  a(x^n-1)=b(x-1)

болон

\displaystyle  a\sqrt{x}+b\sqrt{x-a\sqrt{x}}=c

маягийн тэгшитгэлүүдийн шийдийг шууд тааж олсон байдаг. Түүнчлэн, Исламын эзэнт гүрний аль-Каражи (953–1029) ба аль-Бируни (973–1050) нар

\displaystyle  x^{2n+m}+bx^{n+m}=cx^m

хэлбэрийн тэгшитгэлийг бодож чаддаг байсан. Мөн Ибн Лайс (10-р зуун) зарим куб болон 4 зэрэгт тэгшитгэлийг конус огтлол ашиглан бодсон. Нөгөө талаас, Аль-Бируни (973–1050), Омар Хайям (1048–1131), Мароккийн Самуил (1130–1180) нар тооноос {n} зэргийн язгуурыг орон орноор нь гаргах алгоритмыг боловсруулжээ. Үүнтэй төстэй алгоритмыг Хятадад Цзя Сянь (1010–1070) куб, 4 зэргийн язгуурын хувьд нээсэн нь 200-аад жилийн дотор дурын зэргийн олон гишүүнт тэгшитгэлийн системийг бодох алгоритм болтлоо хөгжсөн. Тухайлбал, Цинь Цзюшао (1202–1261) «Математикийн 9 ном» (1247) бүтээлдээ 10 хүртэлх зэргийн тэгшитгэлийг, Чжу Шицзе (1249–1314) «Дөрвөн үл мэдэгдэгчийн хаш толь» (1303) бүтээлдээ 14 хүртэлх зэргийн тэгшитгэл төдийгүй 4 ширхэг олон гишүүнт тэгшитгэлээс бүтсэн системийг бодсон байдаг. Харин Арабчуудын хувьд иймэрхүү алгоритмыг Шарафуддин ат-Туси (1135–1213) куб тэгшитгэлийн хувьд боловсруулсан боловч кубээс дээш зэргийн олон гишүүнтүүд рүү өргөтгөөгүй.

Эцэст нь тэмдэглэхэд, Энэтхэгийн Бхаскара II (1114–1185)

\displaystyle  x^4-2x^2-400x=9999

тэгшитгэлийг {x^4+2x^2+1=4x^2+400x+10000} хэлбэрт шилжүүлээд, хоёр талаас нь шууд язгуур авах замаар бодож байсан. Үргэлжлүүлэн унших

Posted in Алгебр, түүх | Tagged , , , , , | 1 Сэтгэгдэл

Куб тэгшитгэл

Куб тэгшитгэлийн (эерэг) шийдүүдийг олох ерөнхий геометр аргыг анх томъёолсон хүн бол Персийн алдарт яруу найрагч, математикч Омар Хайям (1048–1131) билээ. Омар Хайямын бүтээлийг исламын алтан үеийн математикийн оргил цэг гэж үзэж болно. Түүнээс өмнө куб тэгшитгэлийн судлал яаж хөгжиж ирсэн талаар товч дурдъя.

МЭӨ 20-р зууны үед эртний Вавилончууд {x^3+x^2=b} маягийн тэгшитгэлийг (ойролцоогоор) бодохдоо {n^3+n^2} хэмжигдэхүүнийг ({n=1,2,\ldots} үед) жагсааж бичсэн хүснэгт ашигладаг байсан ул мөр бий. Үнэндээ ямар ч куб тэгшитгэлийг ийм хэлбэрт шилжүүлэх боломжтой. Гэхдээ Вавилончууд ингэж шилжүүлж чаддаг байсныг батлах баримт олдоогүй.

Өгөгдсөн кубээс 2 дахин их эзэлхүүнтэй кубын ирмэгийн уртыг олох бодлого эртний Грект «куб ихэрлүүлэх бодлого» нэрээр ихэд алдаршжээ. Үүнээс дутахааргүй алдартай өөр нэг бодлого бол өгөгдсөн өнцгийг 3 тэнцүү хуваах бодлого юм. Грекийн сонгодог геометрт гортиг шугамаар байгуулсан байгуулалт л зөвшөөрөгдөх тул, одоогийн өндөрлөгөөс харвал, куб ихэрлүүлэх бодлого нь {\sqrt[3]{2}} урттай хэрчмийг, өнцгийг 3 хуваах бодлого нь {4x^3-3x=b} тэгшитгэлийн шийдийг гортиг шугам ашиглан байгуулах бодлогуудтай дүйнэ. Эдгээр бодлогуудыг үнэндээ гортиг шугамаар шийдэх боломжгүй гэдгийг 1837 онд Францын математикч Пьер Ванцель (1814–1848) баталсан. Харин эртний Грекчүүд гортиг шугамаар яаж ч оролдоод бүтэхгүй болохоор илүү ерөнхий геометр байгуулалтууд руу шилжихээс өөр аргагүй байдалд хүрсэн. Координатын хавтгай, функцийн график байтугай алгебрын тэмдэглэгээ тэр үед хөгжөөгүй байсан тул дор дурдагдах байгуулалтуудыг бид орчин үеийн тэмдэглэгээ ашиглан тайлбарлах боловч тэр үедээ бол бүгд цэвэр геометр хэлбэртэй байсан гэдгийг анхаараарай.

  • Гиппократ (МЭӨ 470–410) өнцгийг 3 тэнцүү хувааж чадах механик багаж санаачлав. Мөн куб ихэрлүүлэхийг {\frac{1}{x}=\frac{x}{y}=\frac{y}{2}} пропорцод шилжүүлэв.
  • Гиппий (МЭӨ 5-р зуун) өөрийн санаачилсан квадратис нэртэй муруйг ашиглан, Архит (МЭӨ 428–347) гурван хэмжээст геометр байгуулалт ашиглан тус тус кубыг ихэрлүүлэв.
  • Куб ихэрлүүлэх бодлогыг Менехм (МЭӨ 380–320) {y^2=2x} ба {x^2=y} гэсэн хоёр параболын огтлолцол хэлбэрээр, мөн {y^2=2x} ба {xy=1} гэсэн парабол, гиперболын огтлолцол хэлбэрээр бодов.
  • Архимед (МЭӨ 287–212) {x^2-x^3=b} тэгшитгэлийг {y=x^2} ба {(1-x)y=b} гэсэн парабол, гиперболын огтлолцол хэлбэрээр бодов. Өнцөг 3 хуваах бодлогыг шийдэх хоёр арга санаачлав: Нэг нь Архимедийн спираль гэгддэг муруйг, нөгөө нь сүүлд конхоид гэж нэрлэгдсэн муруйн шинж чанарыг ашигласан.
  • Филон (МЭӨ 280–220) куб ихэрлүүлэх бодлогыг Филоны шулуун ашиглан бодов. Сүүлд Аполлоний (МЭӨ 262–190), Герон (МЭ 10–70) нар үүнтэй үндсэндээ адилхан бодолтууд олсон. Эдгээр байгуулалтууд хоёр параболын огтлолцол олж байгаатай эквивалент.
  • Никомед (МЭӨ 280–210) конхоид муруйг тодорхойлж, Гиппократ, Архимед нарын өнцгийг 3 хуваах шийдлүүд үнэндээ конхоид ашигласан болохыг тогтоов. Цааш нь, конхоидоо ашиглан кубыг ихэрлүүлэв.
  • Эратосфен (МЭӨ 276–194) {\frac{1}{x}=\frac{x}{y}=\frac{y}{z}} пропорцтой хэрчмүүдийг шууд байгуулдаг механик багаж санаачлав. Одоогийн хэлээр бол, энэ нь үндсэндээ {z=x^3} функцийн графикийг байгуулдаг багаж байсан.
  • Аполлоний (МЭӨ 262–190) алдарт «Конус огтлол» бүтээлээ туурвиж, куб ихэрлүүлэх, өнцөг 3 хуваах бодлогуудад конус огтлолыг ашиглав.
  • Диокл (МЭӨ 240–180) өөрийн санаачилсан циссоид муруйн тусламжтайгаар кубыг ихэрлүүлэв.
  • Диофантын «Арифметик» (МЭ 250 оны орчим) бүтээлд {x^3+x=4x^2+4} тэгшитгэлийн шийдийг шууд {x=4} гэж (тааж) олсон байдаг. Гэхдээ 2 хувьсагчтай куб тэгшитгэлийг зохих орлуулгын тусламжтайгаар 1 хувьсагчтай квадрат тэгшитгэл рүү шилжүүлэн рациональ шийд олсон жишээ олон бий.

Эртний Хятадад бодлогын шийдийг аравтын орон орноор нь тооцдог аргууд нилээд хөгжсөн. Тухайлбал, «Есөн бүлэгт тооны урлаг» (МЭӨ 2-р зуун) бүтээлд тооноос куб язгуур гаргадаг алгоритмыг дурдсан байдаг. Ван Сяо-тун (МЭ 580–640) «Эртний математикийн үргэлжлэл» бүтээлдээ куб тэгшитгэлийн ойролцоо шийдийг олсон олон жишээ оруулсан боловч яг ямар аргаар бодсоноо тайлбарлаагүй. Куб язгуур гаргах алгоритмыг Цзя Сянь (1010–1070) төгс хэлбэрт нь оруулсан бол, үүнийг куб (болон өндөр зэргийн) тэгшитгэл боддог болгож өргөтгөсөн хэлбэрийг Ли Е (1192–1279), Цинь Цзюшао (1202–1261) нар бичиж үлдээсэн байдаг.

Энэтхэгт Ариабхата (МЭ 476–550) куб язгуур гаргах алгоритмыг нээсэн боловч куб тэгшитгэлийн судалгаа тухайн үедээ сайн хөгжөөгүй. Бүр сүүлд Бхаскара II (1114–1185) {x^3+12x=6x^2+35} тэгшитгэлийг шууд {x^3-6x^2+12x-8=(x-2)^3} гэсэн задаргааны тусламжтай бодсон байдаг.

Исламын алтан үеийн математик нь эртний Грек болон тухайн үеийн Энэтхэг, Хятадын математикийн уулзвар цэг дээрээс гараагаа эхэлснээрээ онцлогтой.

  • Жафар аль-Хазин (900–971), Ибн Лайс (10-р зуун), Ибн аль-Хайсам (965–1040) нар зарим куб тэгшитгэлийг конус огтлолын тусламжтай бодов.
  • Аль-Бируни (973–1050) өнцгийг 3 хуваах бодлогыг ойролцоогоор бодсон.
  • Бидний мэдэж байгаагаар тооноос куб язгуур гаргах алгоритмын талаар Араб хэл дээрх анхны бүтээлийг аль-Уклидиси (МЭ 10-р зуун) бичсэн юм. Түүнчлэн, ибн Лаббан (971–1029), ибн Тахир (980–1037), ан-Насави (1011–1075) нар энэ сэдвээр туурвисан байдаг. Эдгээр алгоритмууд Энэтхэг, Хятадын алгоритмуудтай «хамаатнууд» байж мэдэх боловч ийм холбоо байсан гэдгийг нотлох баттай баримт олдоогүй.
  • Дээрх алгоритмыг Шарафуддин ат-Туси (1135–1213) дурын куб тэгшитгэлийн шийдийг орон орноор нь бодох алгоритм болгож өргөтгөсөн. Мөн куб тэгшитгэлийн дискриминантыг нээв. Сонирхолтой нь, ат-Тусийн алгоритм, Хятадын Цзюшаогийн алгоритм, сүүлд Европт Виетээр эхлээд Руффини, Горнер нарын төгөлдөржүүлсэн алгоритм гурав хоорондоо эгч дүүс гэж хэлж болохоор маш төстэй алгоритмууд юм.

Үргэлжлүүлэн унших

Posted in Алгебр | Tagged , , , , , , , , | Сэтгэгдэл бичих

Квадрат тэгшитгэл

Одоогоос дөрвөн мянгаад жилийн өмнө эртний Египтчүүд {ax^2=c} маягийн тэгшитгэлийг, тэдэнтэй нэг цаг үеийн Вавилончууд {x(b\pm x)=c} маягийн квадрат тэгшитгэлүүдийг бодож чаддаг байсан ул мөр бий. Үүнээс хойш квадрат тэгшитгэлийн талаарх ойлголт яаж хөгжсөн, энэ нь алгебр гэсэн шинэ салбарыг төрүүлээд зогсохгүй орчин үеийн математикийн тэмдэглэгээг үүсэхэд хэрхэн нөлөөлснийг товч өгүүлье.

  • МЭӨ 300–500 оны үеийн «Таттварха-сутра» зэрэг эртний Энэтхэг судруудад квадрат тэгшитгэлийг геометр аргаар бодсон жишээнүүд тохиолддог.
  • Евклидийн «Эхлэл» болон «Өгөгдөл» (МЭӨ 300 оны орчим) бүтээлд Вавилоны {x(b\pm x)=c} тэгшитгэлүүдийг (шулуун ба тойргийн огтлолцлыг олох бодлогод шилжүүлэн) геометр аргаар бодсон буй.
  • Эртний Хятадын «Есөн бүлэгт тооны урлаг» бүтээл (МЭӨ 2-р зуун) болон түүн дээр Лю Хуэйгийн нэмсэн тэмдэглэлд (МЭ 3-р зуун) {x^2+bx=c} маягийн хэд хэдэн тэгшитгэлийг бодсон байдаг.
  • Бахшалийн гар бичмэлд (МЭ 3-р зуун) квадрат тэгшитгэл бодсон жишээ бий.
  • Диофантын «Арифметик» (МЭ 250 оны орчим) бүтээлд эерэг коэффициенттэй, эерэг шийдтэй байж болох бүх төрлийн квадрат тэгшитгэлийг бодсон жишээнүүд бий. Гэхдээ ерөнхий аргын талаар нэг ч үг дурдаагүй, зөвхөн эерэг рациональ шийдүүдийг л авч үзсэнээс гадна квадрат тэгшитгэл хоёр шийдтэй байж болох талаар ойлголттой байсан шинж байхгүй.
  • Энэтхэгийн математикч Ариабхата (МЭ 476–550) арифметик прогрессыг судлах явцдаа (өөрөө мэдэлгүйгээр) ерөнхий коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийг бодсон.
  • Түүнчлэн, Брахмагупта (МЭ 598–668) тэг болон сөрөг тоотой ажиллах дүрмүүдийг түүхэнд анх удаа боловсруулж, квадрат тэгшитгэлийг бодох ерөнхий аргыг томъёолсон. Квадрат тэгшитгэл хоёр шийдтэй байж болно гэдгийг Брахмагупта мэддэг байсан бөгөөд сөрөг болон иррациональ шийдүүдийг ч авч үзсэн. Гэхдээ тэр үед сөрөг тооноос квадрат язгуур авдаггүй байсан учраас мэдээж комплекс шийдтэй тохиолдлуудыг орхигдуулсан.

Бүр эртний математикт одоогийнх шиг «томъёо» гэсэн ойлголт байхгүй, бүх зүйлийг үгээр тайлбарладаг байсан бол, Диофант, Брахмагупта нар алгебрын тооцоог ихээр хялбарчилсан тэмдэглэгээнүүдийг оруулж ирснээрээ онцлогтой. Жишээлбэл,

\displaystyle  x^2-2x-3=2

гэсэн тэгшитгэл Диофантын тэмдэглэгээгээр

\displaystyle  \Delta\!^\gamma\bar\alpha\Psi\varsigma\bar\beta M\bar\gamma\iota\sigma M\bar\delta

болно. Үүнд

  • {\Delta\!^\gamma} нь үл мэдэгдэгчийн квадрат зэрэг (ө.х. {x^2}),
  • {\varsigma} нь үл мэдэгдэгчийн дан зэрэг (ө.х. {x^1=x}),
  • {M} нь үл мэдэгдэгчийн тэг зэрэг (буюу 1),
  • {\bar\alpha,\bar\beta,\bar\gamma,\bar\delta} нь харгалзан 1, 2, 3, 4 тоонууд,
  • {\iota\sigma} нь «тэнцүү» гэсэн үгийн товчлол,
  • {\Psi} тэмдгийн өмнөх гишүүд эерэг, ардах гишүүд нь бүгд сөрөг (ө.х. өмнөө хасах тэмдэгтэй) гэж тооцогдоно. [Үнэндээ Диофант доошоо харсан {\Psi} тэмдэгтийг хэрэглсэн боловч энэ блог дээр тийм тэмдэгт гаргах боломж олдсонгүй.]

Тэгэхээр дээрх тэгшитгэл

\displaystyle  x^2\cdot1-(x^1\cdot2+x^0\cdot3)=x^0\cdot4

маягтай бичигдэж байна гэсэн үг. Иймэрхүү тэмдэглэгээнүүд нь одоогийнхтой харьцуулахад болхи мэт боловч тэр үедээ том дэвшил байсан байж таараа. Үргэлжлүүлэн унших

Posted in Алгебр | Tagged , , , , , , , , | Сэтгэгдэл бичих