Бодит огторгуйн геометр бүтэц

Сонгодог физикийн тулгуур хуулиудын нэг болох Ньютоны 1-р хуулийг томъёолбол

Бусад биеттэй харилцан үйлчлэлцэхгүй байгаа биет тайван байдал эсвэл шулуун замын жигд хөдөлгөөнөө хадгална. Өөрөөр хэлбэл чөлөөтэй тусгаар орших биетийн хурдны хэмжээ болон чиглэл өөрчлөгдөхгүй.

Хурдны хэмжээг тодорхойлохын тулд бидэнд хугацаа ба уртыг хэмжих арга хэрэгтэй. Урт болон хугацааг хэмжиж болох үй түмэн аргуудаас зөвхөн цөөхөн хэд нь л Ньютоны 1-р хуулийг үнэн байлгадаг бөгөөд үнэн байлгадаг тийм аргууд оршин байдаг гэсэн туршлагын баримт нь уг хуулийн жинхэнэ агуулгынх нь нэг хэсэг юм гэдгийг бид өмнө авч үзсэн.

Дээрх хуульд хурдны хэмжээнээс гадна чиглэл өөрчлөгдөхгүй, хөдөлгөөнийх нь траектори шулуун байна гэж заасан байгаа. Үүнийг ойлгохын тулд «хурдны чиглэл», «шулуун» гэсэн ойлголтууд хэрэгтэй. Хурдны хэмжээ тогтмол гэдэг нь урьдаас зааж өгсөн траекториор яваа биет яаж хөдлөхийг тодорхойлох бол, хурдны чиглэл тогтмол гэдэг нь биетийн хөдөлгөөний траектори ямар хэлбэртэй, огтогуйд яаж байрласан байгааг зааж өгнө. Тэгэхээр бидэнд огторгуйн бүтцийн талаарх мэдээлэл хэрэгтэй гэсэн үг. Өөрөөр хэлбэл, «шулуун шугам» гэдгийг чөлөөт биетийн хөдөлгөөний траектори гээд тодорхойлчихож болдог байсан бол дээрх хуулинд шулуун гэж дурдах шаардлагагүй байх байсан. Гагцхүү дээрх хуулинд орсон шулуун гэсэн ойлголт нь, огторгуйд урьдаас оноосон ямар нэг (геометр) бүтэцтэй нийцтэй байдаг байж байж уг хуулийн дурдсан хэсэг утга төгөлдөр болох мэт.

Энэ асуудлыг бид яаж шийдэх вэ гэвэл, урт болон хугацааны хэмжилтийг яаж шийдсэнтэй төстэйгөөр, аль ч тийшээ хэт хэлбийж тэнцвэрээ алдалгүйгээр торгон дунджийг барих шаардлагатай. Үүнд, M гэсэн Евклидийн 3 хэмжээст математик огторгуй авъя. Тэгээд бодит физик огторгуйн p гэсэн цэг болгонд уг цэгээс хамаараад M огторгуйн ямар нэг x гэсэн цэгийг харгалзуулдаг харгалзаа болгоныг координатын систем гэж нэрлэе. Ингээд, хугацааг хэмжихтэй холбоотой асуудлуудыг орхивол, Ньютоны 1-р хуулийн жинхэнэ утга нь, дараах чанаруудыг хангадаг координатын систем олдоно гэж тунхаглаж байгаад оршино.

  • Уг координатын системд, чөлөөтэй хөдөлж байгаа биес шулуун замаар хөдөлнө. Өөрөөр хэлбэл эдгээр биетийн хөдөлгөөний траекторийн цэг бүрийг координатын харгалзааг ашиглан M огторгуйд авч үзвэл, математикийн шулуун шугам гарч ирнэ.
  • Шулууны дагуу хэмжсэн уртын хэмжилтүүд M огторгуй дахь Евклидийн урттай давхцана.

Зарчмын хувьд, Евклидийн биш, өөр геометр Ньютоны 1-р хуультай «залгагддаг» тийм ертөнцийг төсөөлж болно. Тэгэхээр энд Евклидийн геометрыг сонгож авч болдог явдал нь Ньютоны 1-р хуулиас ялгаатай, байгалийн өөр нэг тулгуур хууль юм. Үүнийг дараах маягаар товчлон илэрхийлж болно:

Бодит огторгуй 3 хэмжээст Евклидийн геометртэй.

Огторгуйн геометр бүтэц нь туршилтаар тодорхойлогдох физик шинж чанар юм гэдгийг хүн төрөлхтөн 19-р зуунд Евклидийн бус геометрууд нээгдсэний дараа л сая анзаарсан байгаа. Түүнээс өмнө бол мэдээж юу ч дурдалгүйгээр Евклидийн геометрыг физикт шууд хэрэглэдэг байсан.

Дээр өгүүлснийг одоо илүү дэлгэрэнгүй тайлбарлая. Уншигч таны цааш нь унших уу болих уу гэсэн эргэлзээг гаргахад туслах үүднээс хэлэхэд бид дараах хэдэн асуултыг ерөнхийдөө дагах болно:

  • Координатын систем гэж юу вэ? Огторгуй өөрөө цэгүүдээс тогтдог уу?
  • Огторгуй 3 хэмжээстэй гэдэг нь юу гэсэн үг вэ?
  • Уртыг яаж хэмжих вэ?
  • Шулуун шугам гэж юу вэ?
  • Огторгуй Евклидийн геометртэй гэдгийг ямар утгаар ойлговол зохих вэ?

Тэгэхээр бодит огторгуйн геометр бүтцийн талаар бүр эхнээс нь ярьж эхлэх нь. Урт, өнцөг, шулуун шугам гэх мэт геометр ойлголтуудыг бодит огторгуйд оруулж ирээгүй байгаа гэж төсөөлөөрэй. Бас нэг зүйл анхааруулахад бид бодит огторгуйн геометрийн талаар ярьж байгаа бөгөөд бидний дунд сургуульд үздэг «Евклидийн геометр» гэгчийг математикийн судлагдахуун гэдэг утгаар нь уншигч авхай бага ч гэсэн гадарладаг гэж үзэж байгаа.

Юуны түрүүнд, физик координатын систем (товчоор, координатын систем) гэдэг нь биетийн байрлалыг тодорхойлох (ө.х. хэмжих) аргыг хэлнэ. Тухайлбал, дорх зураг дээр үзүүлсэн шиг байшингийн торон «яс төмрийг» авч үзье. Энэ байгууламж дотор байгаа зүйлсийн «аль өрөөнд» байгаа нь тэдгээрийн байрлалыг барагцаагаар тодорхойлно. «Аль өрөөнд» гэдгийг заахын тулд мэдээж өрөөнүүддээ урьдаас нэр эсвэл дугаар оноох хэрэгтэй.

Өрөөнүүддээ дугаар оноохдоо зүгээр шоо хаяж байгаад ч юм уу учир замбараагүй дугаарууд оноочихож болохгүй гэсэн дүрэм байхгүй. Гэхдээ арай илүү эмх цэгцтэй болгохын тулд, жишээлбэл, дараах аргыг ашиглаж болно. Та өөрийгөө байшингийн наад талын булангийн тэнд газар зогсож байна гэж төсөөл. Эндээсээ дээшээ буланг дагаж авираад x давхарт гаръя (ягаан шугам). Тэгээд жаахан муруйсан харагдаж байгаа нүүрэн талын ханыг дагаж алхаад y дугаар өрөөнд очъё (улаан шугам). Тэндээсээ барилгын гүн рүү (нүүрэн талын хананаас холдож) алхаад z дүгээр өрөөнд ирье (ногоон шугам). Ийм (xyz) гэсэн гурван бүхэл тоогоор ямар ч өрөөний байрлалыг тодорхойлох боломжтой (нарийвчилбал, ийм боломжтой байхаар анхнаасаа өрөөнүүдээ зохион байгуулж болно).

Ямар нэг гадаргуу дээрх (ө.х. 2 хэмжээстэй тохиолдолд) биетийн байрлалыг тодорхойлох байгууламжийг зурж үзүүлэв. Тод зурааснуудаар том өрөөнүүдийн ханыг, бүдэг зурааснуудаар жижиг тасалгаануудын ханыг дүрсэлсэн. Цайвар цэнхэр тасалгааны координатуудыг олохын тулд тод улаан болон нил ягаан шугамнуудын дагуу хэдэн том өрөө, хэдэн жижиг тасалгаа байгааг тоолно.

Одоо өрөөнүүдээ олон жижигхэн тасалгаануудад хуваах замаар энэ байгууламжийн нарийвчлалыг сайжруулж болно. Жишээ болгож өрөө бүрийг хааш хааш нь 10 хэсэгт хуваая. Бидэнд «урт» гэсэн ойлголт хараахан байхгүй байгаа болохоор «зүгээр л таамгаараа» 10 хэсэгт хуваана гэдгийг анхаараарай (эсвэл энэ хуваалт нь өөрөө ямар нэг зохиомол уртын хэмжүүр тодорхойлж байна гэж бод). Тэгвэл мэдээж өрөө бүр 1000 жижигхэн тасалгаанд хуваагдах бөгөөд, гарч ирсэн жижигхэн тасалгаануудыг нь бутархай тоогоор (1.3 , 4.2, 2.7) гэх мэтчилэн дугаарлаж болно. Хэрэв энэ нарийвчлал хангалтгүй бол жижиг тасалгаануудаа дахиад цааш нь 1000 хуваагаад, гарч ирсэн бичил тасалгаануудыг нь (1.35, 4.28, 2.71) гэх мэтчилэн дугаарлаад явна. Үүнийг олон дахин давтвал тасалгаанууд маань атом молекулаас жижигхэн болчих учраас практикт бол хэд давтаад зогсохоос өөр аргагүй. Нөгөө талаас, яг ийм олон өрөө тасалгаатай барилгыг бодитоор барихгүй ч гэсэн, бодитоор барьсантай нийцтэй үр дүн өгдөг төдийгүй өрөөнүүдийг цааш нь маш олон хувааж болдог тийм хэмжих төхөөрөмжийг байгуулж болдог. Бодит байдал дээр бол технологийн эсвэл тулгуур физикийн ямар нэг бэрхшээлээс болоод хуваалтыг хичнээн сайн хийсэн ч гэсэн хэзээ нэгэн цагт зогсоох шаардлагатай болно. Гэхдээ бидэнд одоо байгаа физикийн бүх онол, өрөөний хуваалтыг хичнээн л бол хичнээн давтаж болно гэж үзсэнтэй зөрчилдөхгүй үр дүн өгдөг. Ирээдүйн квант гравитацын онолд л энэ ойлголт хэцүү сорилттой тулгарч магадгүй байгаа.

Тэгэхээр ядаж классик физикийн хүрээнд, цэг шиг жижигхэн биетийн байрлал (xyz) гэсэн гурван бодит тоогоор тодорхойлогдоно гэж үзэж болох нь. Энэ 3 тоог тухайн биетийн координатууд, биетийн байрлалыг координатаар илэрхийлж байгаа аргыг нь координатын систем гэж ярина. Нэг биш, хоёр биш, гурван координат ашигладаг нь ямар учиртай юм бэ гэвэл, тасалгаа хичнээн ч жижигхэн байсан гэсэн, зэргэлдээ тасалгаануудын координатууд хоорондоо ойролцоо тоонуудаар өгөгддөг байхаар зохион байгуулж болдогт байгаа юм. Жишээлбэл, хоёрдахь хуваалтын дараа (1.35, 4.28, 2.71) ба (1.35, 4.29, 2.71) координаттай тасалгаанууд зэргэлдээ байна. Энд уртын тухай ойлголт байхгүй байсан ч «зэргэлдээ тасалгаа» гэсэн ойлголт утга төгөлдөр байна гэдгийг анхаар. Нэг юм уу хоёр координат ашиглаад ийм чанартай координатын систем байгуулах боломжгүй. Гурваас илүү координаттайгаар бол мэдээж болно. Иймд 3 координаттай координатын системүүд хамгийн хэмнэлттэй нь гэсэн үг. Үүнийг дараах маягаар товчлон илэрхийлдэг.

Бодит огторгуй 3 хэмжээстэй.

Өдий болтол бид «огторгуйн цэг» эсвэл «огторгуйн цэгийн байрлал» гэж нэг ч дурдаагүй, зөвхөн биетийн байрлал, тасалгааны байрлал гэх мэтийг л ярьж ирсэн нь учиртай. Үнэндээ бол «огторгуй» гэдэг нь нэг биетийн байрлалыг нөгөөтэй нь харьцуулж авч үзэх үед л гарч ирдэг ойлголт юм. Тухайлбал, дээр бидний авч үздэг олон өрөөтэй барилга нь уг барилгатай харьцангуйгаар аливаа биетийн байрлалыг тодорхойлох боломж олгоно. «Тасалгааны байрлал» гэдэг нь уг тасалгааг хийсэн материалын байрлалыг, барилгатай харьцангуйгаар илэрхийлнэ. Нэгдүгээрт, ямар нэг бодит биетийн биш, хоосон орон зайн байрлалыг ярих нь утгагүй. Хоёрдугаарт, биетийн «байрлал» гэсэн абсолют ухагдахуун байхгүй, зөвхөн өөр нэг биеттэй харьцуулсан байрлал л гэж байна. Харин ямар нэг координатын систем өгөгдсөн нөхцөлд, жишээлбэл, (1.35, 4.29, 2.71) координаттай цэг тийм шинж чанартай гэх мэтчилэн яригдаж болно. Энэ нь юу гэсэн үг вэ гэвэл, туршилтын жижигхэн биетийг  тухайн координаттай байрлалд оруулбал юу болох вэ гэдгийг илэрхийлж байна гэж ойлгох хэрэгтэй. Цаашид бид үүнийг дахин дахин сануулалгүйгээр, «тийм координаттай цэг», «огторгуйн цэгийн координат» гэх мэтчилэн ярих болно.

Огторгуй 3 хэмжээстэй гэдэг нь огторгуйн топологи бүтцийн талаарх мэдлэг юм. Дараагийн алхам болгож уртыг хэмжих талаар авч үзье. Юуны өмнө, уртын стандарт болгож авах нэг биет хэрэгтэй. Мөн уртыг нь хэмжих нэг муруй хэрэгтэй. Энэ муруй нь мэдээж ямар нэг координатын системд өгөгдөнө. Өөрөөр хэлбэл, муруй маань координатын системийн аль аль цэгээр дайрч өнгөрөх вэ гэдгийг нэгд нэгэнгүй бүртгэсэн бүртгэл бидэнд байгаа гэж үзэж болно. Ингээд стандарт урттай биетээ өгөгдсөн муруйн дагуу дахин дахин зөөж тавих замаар уртыг хэмжинэ.

Өгөгдсөн муруйн дагуу уртыг хэмжихдээ стандарт нэгж болох биетийг дахин дахин зөөж тавих замаар хэмжинэ. Стандарт нэгжээ жижигхэн нэгжүүдэд бас хуваах боломжтой.

Стандарт нэгж болох биет нь хатуу материалаар хийгдсэн, өөрөөр хэлбэл яаж ч хөдөлгөж, ямар ч нөхцөл байдалд оруулж байсан урт нь өөрчлөгддөггүй биет байх хэрэгтэй. Тэгэхээр уртыг хэмжих арга өгөгдөөгүй байхад материалын хатуу эсэхийг яаж тогтоох вэ гэсэн асуудал гарна. Үүнд хариулахын тулд, эхний ээлжинд модоор ч юм уу төмрөөр ч юм уу нэг стандарт шугам хийчихнэ. Тэгээд уг стандартаараа урт тодорхойлоод, ингэж тодорхойлсон урт нь Ньютоны 1-р хуулийг (эсвэл үүнээс улбаалсан физикийн ямар нэг зүй тогтлыг) үнэн байлгаж чадаж байна уу гэж шалгана. Хэрэв үнэн байлгаж чадахгүй бол стандартаа өөрчлөх, эсвэл тухайн нөхцөл байдлаас хамаарсан онолын засварыг хэмжилт хийх аргачлалдаа оруулж өгөх хэрэгтэй. Энд онолын засвар гэдгээр жишээлбэл, температураас хамаарсан агшилт суналтыг тооцохыг ойлгоно. Логикийн хувьд, уртыг хэмжих аргыг Ньютоны 1-р хуультай нийцтэй байхаар яаж ийж байгаад тодорхойлж болдог явдал нь байгалийн тухай тривиаль биш ажиглалт болж байгаа юм.

Өгөгдсөн муруй маань нэг координатын системтэй холбогдсон байгаа тул уг муруйн дагуух уртын хэмжилт утга төгөлдөр байхын тулд мэдээж координатын систем нь өөрөө хатуу материалаар хийгдсэн (эсвэл хатуу материалаар хийгдсэн юм шиг шинж чанартай) байх хэрэгтэй. Үүнээс гадна, дээр өгүүлсэн процедурт дараах туршлагын баримтуудыг шингээсэн байгаа.

  • Хатуу биетийг нэг байрлалаас нөгөө рүү ямар ч замаар зөөсөн бай, эцсийн байрлал дээрээ ирэхдээ нэг ижил урттай байдаг. Өөрөөр хэлбэл хоорондоо яг ижил урттай байсан хоёр хатуу биетийг өөр өөр замаар зөөгөөд хаа нэг газар буцаагаад нийлүүлэхэд урт нь нэг ижил хэвээрээ л байна. Зөөнө гэдэгт байрлал өөрчлөх шилжүүлэлтээс гадна хэмжигч шугамны чиглэл өөрчлөх эргүүлэлт хамаарна.
  • Огторгуйн аль ч цэгээс аль ч цэг рүү хэмжигч шугамыг зөөх боломжтой. Энэ нь ямар ч хоёр хэрчмийн уртыг харьцуулах боломж олгоно.

Эдгээр баримтуудыг хамтад нь товчоор огторгуй нь нэгэн төрлийн геометртэй (эсвэл тогтмол муруйлттай) гэж ярьдаг.

Нэгэнт уртыг хэмжиж чаддаг болсон юм чинь одоо бид шулуун шугам гэж юу вэ гэдгийг тодорхойлоход амархан. Үүний тулд ямар ч хамаагүй, P ба Q гэсэн хоёр цэг аваад, тэдгээрийг холбосон муруйнууд дотроос хамгийн бага урттайг нь сонгож авч байна гэж төсөөл. Тэгээд энэ муруйг бид P ба Q цэгийг холбосон шулуун (эсвэл шулууны хэрчим) гэж нэрлэнэ. Мөн уг шулууны дагуу P ба Q цэгийн хооронд хэмжсэн уртыг уг хоёр цэгийн хоорондох зай гэдэг.

Хоёр цэгийг холбосон үй түмэн муруйнуудаас хамгийн богинохоныг нь шулуун гэнэ.

Эцэст нь бид бодит огторгуйг Евклидийн геометрт захирагддаг эсэхийг шалгах шалгуурыг танилцуулахад бэлэн боллоо. Евклидийн геометрт Пифагорын теорем гэж бий. Мөн тэгш өнцөгт (Декартын) координатын систем гэж мэдэх байх. Тэгэхээр тухайлбал, хэрэв бодит огторгуйн геометр нь Евклидийнх бол, P ба Q цэгийн хоорондох зай нь

s = \sqrt{(x_P-x_Q)^2+(y_P-y_Q)^2+(z_P-z_Q)^2}

байдаг тийм координатын систем байгуулж болох ёстой. Үүнд (xPyPzP) нь P цэгийн, (xQyQzQ) нь Q цэгийн координатууд болно. Нөгөө талаас, зөвхөн Декартын координатын систем дээр тулгуурлаад (өөрөөр хэлбэл Пифагорын теорем, бодит тооны үндсэн шинж чанаруудыг аксиом болгож аваад) Евклидийн геометрийг байгуулж болдог. Ийм замаар бид дараах шалгуурт хүрнэ.

Хэрэв хоёр цэгийн хоорондох зай дээрх томъёогоор (ө.х. Пифагорын теоремоор) өгөгддөг тийм физик координатын систем олддог бол бодит огторгуйг Евклидийн геометрт захирагддаг гэж ярина.

Үнэндээ, бодит байдал дээр гравитацын орон маш хүчтэй л биш бол дээрх шалгуур өндөр нарийвчлалтай биелдэг.

Декартын координатын систем ба Пифагорын теорем

Дээрх шалгуурыг практикт ойр болгохын тулд бид Декартын координатын систем яаж байгуулахыг зааж өгөх хэрэгтэй. Шулуун болон уртын тухай ойлголтууд нь эцэстээ (Ньютоны 1-р хууль гэх мэт) физикийн хуулиудтай хэр сайн холбогдож байна вэ гэдгээрээ шалгагдах ёстой. Тэгэхээр бид координатын системээ эхнээсээ байгуулахдаа физикийн хуулиудтай холбоотой байхаар байгуулчихвал «булхайцсан» болох уу? Жишээлбэл, гравитацын орон сул үед сийрэг орчинд гэрлийн цацраг шулуун замаар тархдаг гэдэг хуулийг үнэн гэж үзээд, түүн дээрээ дулдуйдаад нэг координатын систем байгууллаа гэж бодъё.

  • Энэ байгуулалт нь гэрлийн цацраг шулуун замаар тархдаг гэдэг хуулийг автоматаар үнэн болгочих учраас утгаа алдахгүй юу?
  • Үгүй. Дээр дурдсан хуулийн жинхэнэ утга нь юу вэ гэвэл, уг хууль биелдэг тийм физик координатын систем олддог гэдэгт байгаа юм. Тэгэхээр үүнийг туршилтаар батлахын тулд координатын системээ ямар ч аргаар байгуулж болно. Хэрвээ уг хууль үнэн биш байсан бол ямар ч арга ашиглаад тийм шинж чанартай координатын систем байгуулах боломжгүй байх байсан.

Одоо практикт илүү дөхүү координатын системийн хоёр жишээ авч үзье. Тайлбарыг хялбарчлах үүднээс огторгуйг хоёр хэмжээстэй гэж авсан байгаа. Эхнийх нь туйлын координатын систем гэж нэрлэгддэг систем. Радарт төхөөрөмжүүд нь ийм координатын системийн жишээ юм.

«Координатын эх» болох ногоон цэгээс цайвар дөрвөлжин цэг рүү гэрлийн цацраг тусгаж зайг нь хэмжинэ. Мөн уг цацрагийн ногоон зураастай огтлолцох цэгийн координатыг зураасныхаа дагуу хэмжих ба эдгээр хэмжилтүүд нь цайвар дөрвөлжингийн байрлалыг бүрэн илэрхийлнэ. Ногоон зураасны дагуу хэмжсэн хэмжилт нь мэдээж өнцөг юм.

Дараагийнх нь параллакс ашиглаж байрлал тодорхойлох арга (гурвалжинчлах арга ч гэж ярьдаг). Хоёр нүдтэй амьтдын хараа, хэт хол биш од гаригийн байрлалыг тодорхойлох зэрэгт ийм координатын систем шууд ашиглагдаж байгаа.

Хоёр ногоон цэг дээр төвтэй хоёр өнцгийг хэмжсэнээр цайвар цэнхэр дөрвөлжингийн байрлал бүрэн тодорхойлогдоно.

Огторгуйд нэг Декартын координатын систем оруулчихсан байгаа гэж үзээд, дээрх (туйлын болон параллакс) физик координатын системүүдээс Декартын координатын систем рүү шилжүүлэх томъёо гаргахад амархан. Ийм замаар бид Декартынх эсэх нь туршилтаар шийдэгдэх (Декартын системд «нэр дэвшигч») координатын системийг тодорхойлж болно.

Заавал Декартын физик координатын систем байгуулж их төвөг удалгүйгээр огторгуйн геометрийг Евклидийнх гэдгийг нь туршилтаар харуулж болох уу? Мэдээж болно. Нэг хялбар шалгуур бол гурвалжны дотоод өнцгүүдийн нийлбэр 180° эсэхийг шалгах байна. Хэрвээ огторгуйн геометр Евклидийнх биш бол ялангуяа том гурвалжингуудын дотоод өнцгүүдийн нийлбэр 180°-аас зөрөх ёстой. Хэрэв энэ нийлбэр 180°-аас бага бол огторгуйг сөрөг муруйлттай, 180°-аас их бол огторгуйг эерэг муруйлттай гэж ярьдаг. Огторгуйн геометр нэгэн төрөл гэдэг нь мэдэгдэж байгаа бол, сөрөг муруйлттай огторгуй нь Лобачевскийн төрлийн геометрт, эерэг муруйлттай огторгуй нь бөмбөлөг геометрт захирагдана.

Өгүүллээ өндөрлөхийн өмнө, дээр авч үзсэн алхмуудаас зарим чухлыг нь дүгнэлт маягаар дахин нэг дурдъя.

  • Физик координатын систем гэдэг нь огторгуй дахь биетийн байрлалыг тодорхойлох байгууламж юм. «Хар ухаанаар» бодвол энэ нь хатуу материалаар хийгдсэн маш нарийн тор шиг зүйл гэж ойлгож болно.
  • Ямар ч координатын системтэй холбоогүй, «биетийн огторгуй дахь байрлал» гэсэн ойлголт байхгүй. Мөн «огторгуйн цэг» гэж байхгүй. «Огторгуйн цэг» гэдгээр, өгөгдсөн координатын системд, тийм координаттай цэгт жижигхэн биет байрлуулбал юу болох вэ гэдгийг ярьж байна гэж ойлгох хэрэгтэй.
  • Хатуу материалаар хийгдсэн уртын стандарт сонгож авснаар уртыг хэмжих аргыг тодорхойлно. Энэ стандарт биетийг яаж ч эргэлдүүлж, хааш нь ч зөөж болдгоос огторгуйн геометр нь нэгэн төрөл гэж гарна.
  • Уртыг хэмжиж сурснаар шулуун шугам, хоёр цэгийн хоорондох зай гэсэн ойлголтууд урган гарна.
  • Одоо энэ цэг дээр Ньютоны 1-р хууль орж ирнэ. Хугацааг хэмжих арга бидэнд байгаа гэж үзвэл, Ньютоны 1-р хуулийн тусламжтайгаар дээрх урт, шулуун гэсэн ойлголтуудаа шалгаж, сайжруулж болно. Үнэндээ ингэж сайжруулж болдог нь Ньютоны 1-р хуулийн жинхэнэ агуулга нь юм.
  • Нэгэн төрлийн геометр нь Евклидийн, Лобачевскийн, мөн бөмбөлөг байж болно. Ньютоны 1-р хууль эдгээрийг хооронд нь ялгахгүй. Ньютоны механикт (туршилтын баримтуудтай нийцтэйгээр) бодит огторгуйн геометр нь Евклидийнх гэж үздэг. Тэгэхээр үүнийг Ньютоны 1-р хуультай хамааралгүй шинэ хууль гэж үзэх хэрэгтэй. Энэ шинэ хуулийг туршилтаар шалгахдаа Декартын координатын систем байгуулах, эсвэл гурвалжны дотоод өнцгүүдийн нийлбэрийг хэмжих зэргээр шалгаж болно.
Advertisements
Posted in Геометр, Классик онол, Физик, Харьцангуйн онол | Tagged , , , , , , , , , , , , , | Сэтгэгдэл бичих

Нар төвт систем ба оддын параллакс

Дэлхий нарыг тойрдог гэдгийг хэдэн онд хэн яаж баталсан юм бол?

Товч хариулт: Яг тэдэн онд баталсан гэхэд хэцүү. Аажим аажмаар их удаан хугацаанд бүрэлдэж бий болсон мэдлэг.

Бүр МЭӨ 3-р зуунд эртний Грекийн философич Аристарх нар төвт системийн санааг дэвшүүлсэн боловч оддын параллакс ажиглагдахгүй байсан учир тэр үедээ хэн ч тоогоогүй. Параллакс гэдэг нь савлаж байгаа савлуур дээрээс хажуу тийшээ жишээ нь мод руу харахад мод савлаж харагддаг үзэгдлийг хэлж байгаа юм. Аристарх өөрөө одод маш хол учраас параллакс ажиглагдахгүй байгаа гэж онолоо аврахыг оролдож байсан.

Сүүлд 1543 оны үед Николай Коперник энэ санааг дахин амилуулсан ч гаригуудын тойрог замыг эллипс гэж мэдээгүйгээс яс юман дээр тооцоо хийхэд Птолемейн дэлхий төвт системээс нарийвчлал нь муу байсан. Гэхдээ нарыг ертөнцийн төвд тавьснаар хэд хэдэн зүйлс чанарын хувьд их хялбарчлагдаж байгааг зарим хүмүүс ажигласан байгаа.

Коперникийн онол үнэн бол оддын параллакс ажиглагдах ёстой. Үүнийг ажиглах гэж Тихо Браге олон нарийн хэмжилт хийгээд бараагүй болохоор (1587 оны үед) нар сар хоёр дэлхийг тойрдог бөгөөд бусад гаригууд нарыг тойрдог эрлийз систем дэвшүүлсэн. Параллакс ажиглагдаагүй учраас дэлхий хөдөлгөөнгүй байх ёстой гэж бодсоноос тэр. Дорх видеонд Птолемейн, Коперникийн болон Брагегийн загваруудыг харьцуулж үзүүлсэн байна.

Ингээд Брагег хальсны дараа түүний туслагч байсан Иоганн Кеплер Брагегийн нарийн ажиглалтууд дээр үндэслээд гаригууд нарыг эллипсээр тойрдог төдийгүй тойрохдоо ямар хурдтай явдгийг нь тодорхойлсон хуулиудаа нээж, 1609 онд «Астрономиа Нова» нэртэй номондоо хэвлүүлсэн байна. Үүний дараа тэр хэд хэдэн номондоо гаригуудын байрлалыг өмнөх үеийнхнээсээ дор хаяж 10 дахин их нарийвчлалтай тооцож оруулсан байсан нь Кеплерийн загварыг олонд үнэмшүүлэхэд их үүрэг гүйцэтгэсэн юм.

«Астрономиа Нова» хэвлэгддэг жил Галилео Галилей анх удаагаа шөнийн тэнгэр лүү өөрийн бүтээсэн дуранг чиглүүлж, олон сонирхолтой юм ажигласан. Жишээлбэл нарны толбо, саран дээрх уул нуруу, Бархасбадийн дагуулууд, Сугар гаригийн арвидал хомсдол зэргийг дурдаж болно. Эдгээр ажиглалтууд нь тэнгэрийн эрхэс Аристотелийн номлосончлон төгс төгөлдөр, хиргүй тунгалаг биш, өөр гаригийг бас жижигхэн биетүүд тойрч болдгийг харуулсан. Птолемейн дэлхий төвт систем нь Аристотелийн физик дээр үндэслэгддэг болохоор Галилейн ажиглалтууд суурийг нь ганхуулж эхэлсэн гэсэн үг. Мөн Сугар гаригийн арвидал хомсдолыг Птолемейн системээр тайлбарлах ямар ч боломжгүй. Гэхдээ энэ нь Брагегийн эрлийз системд төвөг учруулахгүй. Тэгэхээр ялангуяа шашныхан Брагегийн систем рүү хэлбийж эхэлсэн.

Дорх видеонд Сугар гаригийн арвидал хомсдолыг дүрсэлж үзүүлсэн байна.

Энэ хооронд шинжлэх ухааны арга хөгжиж, өөрийн гараар туршилт судалгаа хийх хүмүүсийн тоо олширсон. Оддын параллаксыг ажиглаж нар төвт системийг эцэслэн батлах гэж олон хүн оролдоод мөн л бараагүй. Харин 1676 оны үед Бархасбадийн дагуулуудыг судалж байх явцдаа Данийн одон оронч Оле Рёмер дагуулуудын гаригаа тойрох үе нь дэлхийн байрлалаас хамаарч өөрчлөгдөж байгааг ажигласан. Үүнийг тэр гэрлийн хурдны хязгааргүй биш байдагтай холбож тайлбарласан бөгөөд энэ нь дэлхий хөдөлгөөнтэй байдагтай ямар ч байсан нийцтэй тайлбар байж.

Одоо мэдээж Ньютоны тайзан дээр гарч ирэх цаг. 1687 онд бичсэн номондоо тэрбээр Аристотелийн физикийг газартай тэгшлээд өөрийн шинэ шинжлэх ухааныг сүндэрлүүлэн босгосон байгаа. Уг номонд орсон цоо шинэ үр дүнгүүдээс дурдвал: ертөнц дахины таталцлын хуулийг тухайн үеийн ажиглалтын нарийвчлалын хүрээнд баталсан, Кеплерийн хуулиудыг Ньютоны механикийн мөрдлөгөө мэтээр гаргасан, сүүлт однуудын траекторийг тайлбарласан, нар яг хөдөлгөөнгүй байдаггүй, нарны аймгийн хүндийн төвийг тойрч эргэдгийг урьдчилж хэлсэн, гаригуудын массыг үнэлсэн, сарны хөдөлгөөний нарийн ширийн хэлбэлзлүүдийг тайлбарласан, дэлхийн цүлцэн хэлбэрийг тодорхойлсон, далайн таталт түрэлтийг тайлбарласан, дэлхийн эргэлтийн тэнхлэг 26000 жилийн үетэйгээр хэлбэлздэг явдлыг тайлбарласан зэрэг байна. Үүнээс хойш дэлхий төвт системийн тухай яриа үндсэндээ замхарсан гэж болно.

Ньютоны номноос авсан зураг

Гэхдээ нөгөө гайхал параллаксыг хэн ч ажиглаж чадаагүй хэвээр байж. Оддын параллаксыг илрүүлэх гэж оролдож байгаад 1725 онд Английн одон оронч Жеймс Брэдли юу ажигласан бэ гэвэл, нэг жилийн хугацаанд оддын харагдах байрлал хамгийн ихдээ нумын 40 секунд орчмоор хэлбэлзэж байгааг илрүүлсэн байна. Үүнийг параллаксаар тайлбарлах аргагүй байсан бөгөөд Брэдлиг гэрлийн аберраци гэдэг шинэ үзэгдлийг нээхэд хүргэсэн. Энэ нь чанх дээрээс бороо орж байх үед хурдтай машинаар явахад бороо машины урд шилийг цохиж өнцөг үүсгэж ордогтой адил үзэгдэл гэрлийн хувьд ажиглагдаж байгаа нь юм. Ийнхүү ододтой харьцуулахад дэлхий нэг жилийн үетэй хэлбэлзэх хөдөлгөөн хийж байгаа нь шууд батлагдсанаар дэлхий төвт системүүдийн үнс нурамны сүүлчийн ширхгийг салхинд хийсгэн хөөжээ.

Эцэст нь, одны параллаксыг хэн анх хэмжих вэ гэсэн их уралдаанд Германы эрдэмтэн Фридрих Бессель 1838 онд Хунгийн ордны 61 дугаартай одны параллаксыг нумын 0.3 секунд гэж хэмжсэнээр түрүүлж, хоёр мянга гаруй жил үргэлжилсэн маргаанд цэг тавьжээ.

Маралын ордны ойролцоох зарим одны жилийн параллаксыг амилуулж үзүүлсэн нь.

 

Posted in Одон орон, Физик, түүх | Tagged , , , , , , , , | Сэтгэгдэл бичих

Ньютоны болон Кулоны хуулиуд

Байгалийн философийн математик эхлэл (1687) номондоо Исаак Ньютон ертөнц дахины таталцлын (буюу гравитацын) хуулийг дараах байдлаар томъёолсон.

Ямар ч хоёр цэгэн масс бие биенийгээ татах бөгөөд энэ таталцлын хүчний хэмжээ нь уг хоёр массын үржвэрт шууд, хоорондох зайн квадратад нь урвуу пропорциональ байна.

Өөрөөр хэлбэл, хоёр массын хэмжээг M ба m, хоорондох зайг нь r гэвэл

Таталцлын хүчний хэмжээ = GMm/r²

томъёо биелнэ. Үүнд пропорционалийн коэффициент G нь Ньютоны тогтмол нэртэй универсаль тогтмол бөгөөд тоон утга нь СИ системд

G ≈ 6.67×10−11 м3/(кг⋅сек2)

байдаг. Жишээлбэл, хоорондоо 1м зайтай, тус бүр 100 тонн масстай хоёр жижиг биет бие биенээ 0.667Н орчим хүчээр татна гэсэн үг. Түүнчлэн, хоорондоо 1см зайтай хоёр протон таталцлын хүчний улмаас 10−32 м/сек2 орчим хурдатгал олж авна.

Огторгуйд нэг тэгш өнцөгт координатын систем бэхлээд, M массын координатуудыг x = (x1x2x3), m массын координатуудыг y = (y1, y2, y3) гэж тэмдэглэвэл тэдгээрийн хоорондох зай

r = |x-y| = \sqrt{(x^1-y^1)^2+(x^2-y^2)^2+(x^3-y^3)^2}

болно. Энд |xy| тэмдэглэгээ нь xy векторын уртыг тэмдэглэж байгаа. Мөн x1x2, ба x3 нь x векторын 3 координат (тооны зэргүүд биш!) гэдгийг анхаараарай. Жишээлбэл, z = (1м,5м,–2м) гэсэн векторын координатууд нь z1 = 1м, z2 = 5м, ба z3 = –2м болно.

Таталцлын хүчний зөвхөн хэмжээг төдийгүй чиглэлийг тооцон m массын зүгээс M масст үйлчилж байгаа таталцлын хүчийг вектор хэлбэрт бичвэл

\displaystyle F = \frac{GMm}{|x-y|^2}\tau = - GMm\frac{x-y}{|x-y|^3}.

Үүнд τ нь x цэгээс y цэг рүү чиглэсэн нэгж вектор

\displaystyle\tau = - \frac{x-y}{|x-y|}.

newtcoul1

m массаас M масст үйлчлэх хүч y–x векторын дагуу чиглэх бол M массаас m масст үйлчлэх хүч яг эсрэг зүгт чиглэнэ. Эдгээр хүчний хэмжээ хоорондоо тэнцүү бөгөөд Mүржвэрт шууд, |xy|² хэмжигдэхүүнд урвуу пропорциональ байна.

Одоо m массынхаа оронд m1, m2, m3, … гэсэн төгсгөлөг тооны массыг y1, y2, y3, … гэсэн цэгүүд дээр байрлуулъя. Тэгвэл эдгээр массын зүгээс x цэгт байрлах M масст үйлчлэх нийт хүчийг олохдоо масс тус бүрээс үйлчлэх хүчнүүдийг нэмэх хэрэгтэй:

\displaystyle F = \sum_iF_i = - GM\sum_{i}m_i\frac{x-y_i}{|x-y_i|^3}.

newtcoul2

M масст үйлчлэх нийт таталцлын хүч нь mба m2 масс тус бүрийн зүгээс үйлчлэх таталцлын хүчнүүдийн (вектор) нийлбэртэй тэнцүү байна.

Таталцлын хүчний «цаадах механизм» нь яг юу юм бэ гэдэг талаар Ньютон юу ч дурдаагүй, зөвхөн таталцлын хүчийг ингэж тооцоход бодит байдалтай таарч байна гэдгийг л зааж өгсөн. Тэр цагаас хойш Ньютоны таталцлын хууль үй түмэн туршилтаар маш нарийн шалгагдсан байгаа. Харин таталцлын хүчний «цаадах механизмыг» тайлбарлах асуудлаар 19-р зууны сүүл үе гэхэд Ньютоны үетэй харьцуулахад нэг шат ахисан гэж үзэж болно. Энэ тайлбар нь Майкл Фарадейн оруулж ирсэн физик орон гэгдэх ойлголт дээр үндэслэгддэг. Дээр өгүүлсэн ёсоор m1, m2, m3, … массуудын зүгээс үйлчлэх таталцлын хүчийг M масс «мэдэрч» байгаа. Ингэж таталцлын харилцан үйлчлэлд орохдоо M масс маань m1, m2, m3, … массуудын оршин байгааг шууд мэдрэх үү? Үүнд бид M масс маань зөвхөн x цэг дээрх таталцлын орон гэгч зүйлийг л мэдэрнэ, харин таталцлын орон нь өөрөө m1, m2, m3, … массуудын байрлал болон хэмжээнээс хамаарна гэж үзнэ.  Өөрөөр хэлбэл M массын байгаа эсэхээс хамааралгүйгээр, m1, m2, m3, … массуудын нөлөөн дор огторгуйн цэг бүрийн шинж чанар ямар нэг байдлаар өөрчлөгдөж, туршилтын цэгэн массыг хаана ч байрлуулсан гэсэн түүнийг хааш нь түлхэхээ «мэдэхээр» болж бэлтгэгдэнэ гэсэн үг. Огторгуйн цэгүүдийн ингэж өөрчлөгдсөн төлөв байдлыг таталцлын орон (эсвэл гравитацын орон) гэж нэрлэнэ.

Математикийн хувьд таталцлын орныг

\displaystyle E(x) = - G\sum_{i}m_i\frac{x-y_i}{|x-y_i|^3}

гэсэн вектор орноор төлөөлүүлж болно. Энэ вектор орны физик утга нь x цэг дээр нэгж масс байрлуулбал түүнд ямар хүч үйлчлэх вэ гэдгийг илэрхийлнэ. Иймд хэрэв x цэг дээр M масс байрлуулбал таталцлын орны зүгээс түүнд үйлчлэх хүч нь

F = ME(x)

байна. Ньютоны 2-р хуулиас (F = Ma), x цэг дээр ямар ч масс байрлуулсан гэсэн түүний олж авах хурдатгал нь E(x) вектортой тэнцүү болохыг бас харж болно. Энэ E(x) вектор орныг таталцлын орны хүчлэг, мөн хүндийн хүчний хурдатгал гэж нэрлэх нь бий. Хэрэв цэгэн массуудын оронд ρ(y) гэсэн нягттай цул биетийг авч үзвэл, түүний үүсгэх таталцлын орон нь дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ.

\displaystyle E(x) = - G\int \rho(y)\frac{x-y}{|x-y|^3} d^3y.

Үүнд d³y тэмдэглэгээ нь эзэлхүүнээр авсан интегралыг илтгэнэ.

newtcoul3.jpg

Эллипсойд хэлбэртэй биетийн үүсгэх таталцлын оронг бүдүүвчлэн дүрсэлсэн нь

Ньютоны таталцлын хуультай өнгөн дээрээ яг адилхан хууль цахилгаан цэнэгүүдийн хувьд бас үйлчилдэг нь их сонирхолтой. Дээрхтэй төстэйгөөр, x цэг дээр Q хэмжээтэй цэнэг, y цэг дээр q хэмжээтэй цэнэг (хөдөлгөөнгүй) байжээ гэе. Тэгвэл Q цэнэгт q-гийн зүгээс үйлчлэх цахилгаан хүч нь

\displaystyle F = \kappa Qq\frac{x-y}{|x-y|^3}

томъёогоор өгөгдөнө. Энэ хуулийг Францын физикч Шарль Огюстен де Кулон 1784 онд нээсэн бөгөөд κ тогтмолыг Кулоны тогтмол гэдэг. Кулоны хуулийг Ньютоны таталцлын хуультай харьцуулан тэмдэглэх зүйлс хэд байна.

  • Массын тоон хэмжээ үргэлж эерэг байдаг бол цэнэгийн тоон хэмжээ эерэг ба сөрөг утгын аль алиныг авч болдог.
  • Кулоны тогтмолын утга нь эерэг (κ > 0). Өөрөөр хэлбэл ижил цэнэгүүд түлхэлцэх ба эсрэг цэнэгүүд таталцана. Үүнтэй харьцуулахад Ньютоны таталцлын хуульд κ = – G < 0 байгаа гэж үзэж болох тул эерэг масстай биетүүд үргэлж таталцана. Хэрэв сөрөг масстай биетүүд оршин байдаг бөгөөд Ньютоны таталцлын хууль тэдгээр биетийн хувьд мөн биелдэг бол эерэг ба сөрөг масстай биетүүд хоорондоо түлхэлцэх байсан.
  • Ньютоны таталцлын хуульд орж байгаа массыг гравитацын цэнэг гэвэл илүү зохино. Гравитацын цэнэг нь Ньютоны 2-р хуулинд ордог инерцийн масстай тэнцүү байдаг нь эквивалентын зарчим гэгддэг байгалийн тулгуур хууль юм. Эквивалентын зарчмыг гравитацын оронд байгаа биетийн хурдатгал массаасаа хамаарахгүй гэж томъёолж ч болно. Энд яригдаж байгаа хурдатгал нь мэдээж гравитацын орны (тухайн цэг дээрх) хүчлэгтэй тэнцүү байна.
  • Бидэнд өдөр тутамд тохиолддог биетүүдийн хоорондох таталцлын хүч хэт бага байдаг нь уламжлалт нэгжийн системүүдэд Ньютоны тогтмолын утга мөн үлэмж бага байдгаар илэрнэ. Хэрэв Ньютоны тогтмолын тоон утгыг жишээ нь 1 байлгая гэвэл массыг маш том нэгжээр (эсвэл хүчийг, уртыг маш бага нэгжээр) хэмжих хэрэгтэй.
  • Дээрхтэй харьцуулахад, өдөр тутам тохиолддог цэнэгүүдийн хоорондох цахилгаан хүч нь тийм ч бага биш. Жишээлбэл, хоорондоо 1см зайтай хоёр протон цахилгаан хүчний улмаас 1400 м/сек2 орчим хурдатгал олж авна. Тэгэхээр Кулоны тогтмолын тоон утгыг 1 эсвэл өөр «гоё» утгатай байлгахаар цэнэгийн нэгжийг тодорхойлоход нэг их асуудал гарахгүй. Үнэндээ ийм нэгжийн системүүд байдаг (Жишээлбэл, Гауссын нэгжийн систем байна).

Гравитацын оронтой төстэйгөөр цахилгаан орон гэсэн ойлголтыг мөн оруулж ирж болох бөгөөд уг орныг цахилгаан орны хүчлэг буюу нэгж цэнэгт үйлчлэх хүчээр төлөөлүүлэн ойлгож болно. Тухайлбал, y1, y2, y3, … гэсэн цэгүүд дээр байрласан q1, q2, q3, … гэсэн төгсгөлөг тооны цэнэгийн үүсгэх цахилгаан орны хүчлэг

\displaystyle E(x) = \kappa\sum_{i}q_i\frac{x-y_i}{|x-y_i|^3}

байна. Цахилгаан орны хүчлэг мэдэгдэж буй бол x цэгт байрласан Q цэнэгт тус орны зүгээс үйлчлэх хүч

F = Q E(x).

Хэрэв цэгэн цэнэгүүдийн оронд ρ(y) гэсэн нягттай цэнэгийн тархалтыг авч үзвэл, түүний үүсгэх цахилгаан орон нь дараах интегралаар илэрхийлэгдэнэ.

\displaystyle E(x) = \kappa\int \rho(y)\frac{x-y}{|x-y|^3} d^3y.

newtcoul4.jpg

Эерэг ба сөрөг цэнэгтэй хоёр бөмбөрцгийн үүсгэх цахилгаан оронг бүдүүвчлэн дүрсэлсэн нь. Улаан бөмбөрцөг нь эерэг цэнэгтэй ба цэнэгийн хэмжээ нь цэнхэр бөмбөрцгийнхөөсөө арай их байгаа.

Эцэст нь хэлэхэд, Ньютоны гравитац ба Кулоны цахилгаан харилцан үйлчлэлийн хоорондох ганц чанарын ялгаа нь κ тогтмолын эерэг сөрөг эсэхэд байгааг анхаараарай. Хэрэв κ тогтмолын тэмдгийг хязгаарлалгүйгээр эерэг ч байж мэдэх сөрөг ч байж мэдэх тогтмол гэж үзвэл энэ хоёр харилцан үйлчлэлийг математикийн хувьд нэг ерөнхий аргаар судалж болох юм.

Posted in Таталцал, Физик, Цахилгаан соронзон | Tagged , , , , | Сэтгэгдэл бичих

Дэлхий анх хэр халуун байсан бэ?

Нарыг «нялх» үед түүнийг тойроод эргэж байсан солир, астероидууд хоорондоо мөргөлдөж, бөөгнөрөн хуралдсаар дэлхий болон бусад чулуулаг гаригууд үүссэн гэж үздэг. Солир, астероидуудын дундаж нягт 3.5г/см³ байдаг бол дэлхийн дундаж нягт 5.6г/см³ орчим байгаа. Тэгэхээр дэлхийг анх үүсгэсэн материал таталцлын улмаас агшиж одоогийнхоо хэмжээнд очсон гэсэн үг.

Дэлхийг анх 3.5г/см³ нягттай цул бөмбөрцөг байж байгаад 5.6г/см³ нягттай болтлоо агшсан гэж үзье. Энэ агшилтын улмаас дэлхийн нийт потенциал энерги багасах учраас илүүдэл потенциал энерги дулаанд шилжих ёстой (Том бөмбөрцөг байж байгаад агшиж жижигрэхийг бөмбөрцөг доторх бодисууд доошоо унахтай зүйрлэж болно). Анхны том бөмбөрцгийн температур 0 Кельвин байсан гэж үзвэл агшсаны дараа (одоогийнхоо хэмжээнд очих үедээ) ямар температуртай болох бол?

 

earth5

Дэлхийн радиус R’ байж байгаад R болтлоо агшив. Хэрэв дэлхийн бүх масс M зөвхөн бөмбөлгийнхөө гадаргуу дээр хуримтлагдсан (тод улаан хүрээнүүд) гэж үзвэл, агшилтаар ялгарах энерги нь M масс h өндрөөс унахад ялгарах энергитэй тэнцүү байна.

Энэ үзэгдлийг ядаж чанарын хувьд ойлгох үүднээс эхлээд дараах хялбарчилсан загварыг авч үзье.

  • Дэлхийн бүх масс маш нимгэхэн бөмбөлөг давхарга маягаар зөвхөн гадаргуу дээгүүрээ байрлана. Өөрөөр хэлбэл бид дэлхийг дотроо хөндий гэж үзэх гэж байна. Бодит байдал дээр мэдээж дэлхий нь цул зүйл байгаа.
  • Дэлхийг агших явцад гравитацын орон өөрчлөгдөхгүй, чөлөөт уналтын хурдатгал нь үргэлж дэлхийн төв рүү чиглэсэн, g ≈ 9.8м/сек² утгатай хэвээр байна гэе. Бодит байдал дээр мэдээж агших явцад дэлхийн гравитацын орон өөрөө өөрчлөгдөнө. Үүнээс гадна үнэндээ чөлөөт уналтын хурдатгал дэлхийн гадаргаас холдох тусам багасах ёстой.

Тэгэхээр дэлхийн потенциал энергийн өөрчлөлт

∆U = Mgh = Mg (R’ – R)

болно. Үүнд M нь дэлхийн масс, R ≈ 6370км нь дэлхийн одоогийн радиус ба R’ нь дэлхийн анхны радиус. Дэлхий агшихаасаа өмнө ямар радиустай байсныг олохын тулд масс нь өөрчлөгдөөгүй гэсэн нөхцлийг ашиглана. Дэлхийн анхны нягтыг ρ‘ = 3.5г/см³, эцсийн нягтыг ρ = 5.6г/см³ гэвэл, масс хадгалагдаж байхын тулд ρR³ = ρ(R’)³ гэсэн нөхцөл биелэх ёстой. Эндээс R’ ≈ 7450км гэж олдоно. Цаашилбал, анхны температур 0 Кельвин тул эцсийн температур

T ∆U / (Mc) = g (R’ – R/ c

байна. Үүнд c ≈ 800Ж/(кг·К) нь дэлхийн дундаж хувийн дулаан багтаамж (ө.х. 1 килограмм бодисыг 1 Кельвинээр халаахад 800 Жоуль дулаан зарцуулна). Дэлхийн ихэнх хэсгийг бүрдүүлдэг магмын чулуулгийн хувийн дулаан багтаамж иймэрхүү байгаа. Ингээд бүх тоон утгуудыг орлуулан

T ≈ 9.8 · (7450000 – 6370000) / 800 К 13000К 

гэж гарна.

Одоо энэ тооцоогоо бага зэрэг сайжруулах гээд үзье. Тухайлбал, дэлхийн бүх масс зөвхөн гадаргуу дээгүүрээ биш, эзэлхүүнээрээ жигд тархсан гэвэл дэлхийн агшилтын үеэр арай бага масс шилжих тул эцсийн температур 13000К-ээс бага гарах ёстой мэт. Нөгөө талаас, дэлхийн нягт төвдөө ч, захдаа ч жигд ихсэх болохоор шилжиж байгаа массын зарим хэсэг нь илүү хол зайд шилжинэ гэж үзэж болно. Тэгэхээр эцсийн температур 13000К-ээс их гарах ёстой ч юм шиг.

Юуны түрүүнд жигд нягттай цул бөмбөрцгийн гравитацын потенциал энергийг олъё. Дээрх хялбарчилсан тооцооноос энэ юугаараа ялгаатай  вэ гэвэл дэлхийн гүнд байгаа хэсэгхэн массыг авч үзвэл энэ массыг дэлхийн бусад хэсэг дээрээс нь ч, доороос нь ч, үнэндээ зүг бүрээс нь татах учраас уг масст яг ямар хүч үйлчлэхийг тооцоход хүндрэлтэй. Гэхдээ энэ хүндрэлээс бид Ньютоны теоремыг ашигласнаар амархан гарч болно:

Бөмбөлгөн тэгш хэмтэй (ө.х. нягт нь зөвхөн төв хүртэлх зайнаасаа хамаардаг) биетийн гаднах гравитацын орон нь уг биетийн бүх масс төвдөө төвлөрсөн байгаагаас ялгагдахгүй.

Иймд   ρ нягттай, r радиустай (V = 4πr³/3 эзэлхүүнтэй) бөмбөрцгийн гадна, төвөөс нь x зайд байрлах нэгж масст үйлчлэх хүч

E = γρV / x²

байна (энд γ нь гравитацын тогтмол). Энэ хүч потенциал энергиэс x-ээр авсан уламжлалтай тэнцүү байх ёстой тул, потенциал энергийг хязгааргүйд 0 гэж үзвэл, уг нэгж массын гравитацын потенциал энерги

φ = – γρV / x

болно. Одоо цул бөмбөрцгийн потенциал энергийг олохын тулд, 0 радиустай бөмбөрцгөөс эхлээд хальс шиг нимгэхэн давхаргуудыг нэг нэгээр нь нэмээд бөмбөрцгийнхөө радиусыг ихэсгээд явъя.

earth3.jpg

Тухайлбал, бөмбөрцөг r радиустай байх үед dr зузаантай (dm = ρ · r²dr масстай) давхарга нэмэхэд потенциал энерги

dU = φ · dm = – γρV / r · ρ · 4πr²dr = – (16/3)π²γρ²rdr

хэмжээгээр өөрчлөгдөх тул нийт энергийг

\displaystyle U = - \frac{16}{3}\pi^2\gamma\rho^2\int_0^R r^4 dr = - \frac{16}{15}\pi^2\gamma\rho^2 R^5

гэж тооцож болно. Энэ илэрхийлэлд M = ρ · (4/3)πR³ ба g = γM/R² гэдгийг орлуулбал

\displaystyle U = - \frac{3\gamma M^2}{5R} = - \frac35MgR

болж хялбарчлагдана. Тэгэхээр дэлхий агшихаас өмнөх ба агшсаны дараах үеийн потенциал энергийн зөрөө

\displaystyle \Delta U = \frac35M(gR-g'R') = \frac{3MgR}{5R'}\Big(R'-\frac{g'(R')^2}{gR}\Big)= \frac{3MgR}{5R'}(R'-R)

байна. Энд g‘ нь дэлхий R‘ радиустай байх үеийн гадаргуу дээрх чөлөөт уналтын хурдатгал (g(R)² = g‘(R‘)² харьцааг хангана). Эцэст нь агшилтын дараах дэлхийн температур

\displaystyle T = \frac{\Delta U}{Mc} = \frac{3gR(R'-R)}{5R'c} = \frac{3R}{5R'}T_0 \approx \frac{3\cdot6370}{5\cdot7450}\cdot13000K \approx 6700K

гэж олдоно. Үүнд T_0\approx13000K нь дээр бидний хялбарчилсан тооцооноос гардаг температур.

Posted in Одон орон, Физик | Tagged , , | Сэтгэгдэл бичих

Ньютоны теорем

Та зөгнөлт кинон дээр гардаг шиг газар доогуур чөлөөтэй явж чаддаг машинд суугаад газрын гүн рүү аялжээ гэе. Тэгээд жишээлбэл, 100км-ын гүнд орвол таны дээр байгаа 100км зузаан давхарга таныг дээш нь татна. Иймд доошлох тусам таны жин багассаар дэлхийн яг төвд тэг болох ёстой. Харин жин яг ямар хэмжээгээр багасахыг нь яаж тооцох вэ?

earth1.jpg

Дэлхий дотор байгаа биетийн жин ямар байх вэ?

Үүнд гариг эрхсийн таталцлын хүчийг ойлгоход чухал үүрэг гүйцэтгэдэг Ньютоны алдарт теорем тус болно. Уг теоремын эхний зарчим юу гэж хэлдэг вэ гэвэл

Маш нимгэхэн бөгөөд жигд нягттай бөмбөлөг (гадаргуу) дотор байгаа биетэд уг бөмбөлгөөс үзүүлэх таталцлын хүч тэгтэй тэнцүү.

Биет маань бөмбөлгийн дотор хаана нь ч байрласан байж болно гэдгийг анхаараарай. Мөн бөмбөлөг гэдгээр зөвхөн гадаргууг ойлгодог гэдгийг санацгаая (Бөмбөлөг, бөмбөрцөг хоёрын ялгаа нь тойрог, дугуй хоёрын ялгаатай адилхан). Тэгэхээр 100км-ын гүнд байгаа биетэд дэлхийн яг гадаргын нимгэн давхаргаас үйлчлэх хүч тэг байна. Өөрөөр хэлбэл гадаргын нимгэн давхаргыг хуулаад авчихад уг биетэд үйлчилж байгаа хүч өөрчлөгдөхгүй. Үүнчлэн нимгэн давхаргуудыг дараа дараагаар нь хуулсаар дэлхийн радиусыг 100км-ээр бага болтол нь хуулж болно. Эндээс 100км-ын гүнд байгаа биетийг 100км-ээр бага радиустай жижигхэн дэлхий татаж байгаа болохоор уг биетийн жин тэр хэмжээгээр багасах нь харагдана.

earth2.jpg

Ногоон цэгт байгаа биетэд хөх давхаргаас үйлчлэх хүч тэгтэй тэнцүү. Иймд дэлхийг шар хүрэн бөмбөрцгөөр сольбол уг биетийн жин өөрчлөгдөхгүй.

Дээрх зарчмын үнэн эсэхийг яаж мэдэх вэ? Жигд нягттай бөмбөлөг гадаргуу дотор байгаа A цэгийг дайруулж шулуун татаад, тэр шулууны бөмбөлөгтэй огтолцох цэгүүдийг B, C гэе. Одоо A цэгээс нэг ижил биет өнцгөөр харагдах хоёр жижигхэн ялтсыг B ба C цэгийнхээ орчимд, бөмбөлөг дээрээ авъя (зураг дээр улаанаар дүрсэлсэн). Эдгээр жижиг ялтаснууд A цэг дээр байгаа биетийг яг ижил хүчээр хоёр талаас нь татна гээд харуулчихвал, A цэг дээр үйлчлэх нийт хүч нь ийм жижиг ялтаснуудаас үйлчлэх хүчнүүдийн нийлбэр учраас тэг болж таарах юм.

newthm1.jpg

ABO өнцөг ACO өнцөгтэй тэнцүү гэдгээс бөмбөлөг дээр улаанаар дүрслэгдсэн гадаргуунуудын талбай харгалзан |AB|² ба |AC|² хэмжигдэхүүнүүдэд пропорциональ гэж мөрдөнө.

B цэг дээрх ялтасны масс κ|AB|² байх ба C цэг дээрх ялтасны масс κ|AC|² байна. Өмнөө κ гэсэн нэг ижил коэффициенттэй байгаа нь дараах маягаар тайлбарлагдана.

  • Зураг дээрээс, B ба C цэгүүдийн орчимд ногооноор дүрсэлсэн гадаргуунуудын талбай (A цэгээс нэг ижил биет өнцгөөр харагдах тул) харгалзан |AB|² ба |AC|² хэмжигдэхүүнүүдэд пропорциональ байна.
  • B цэгт уулзах улаан ба ногоон хавтгайн хоорондох өнцөг, C цэгт уулзах улаан ба ногоон хавтгайн хоорондох өнцөгтэй тэнцүү. Иймд улаан ялтаснуудын талбай харгалзан |AB|² ба |AC|² хэмжигдэхүүнүүдэд пропорциональ байна.
  • Одоо улаан ялтаснуудынхаа талбайг гадаргуугийн нягтаар үржүүлснээр эдгээр ялтаснуудын масс гарч ирнэ.

Аль нэг ялтаснаас A цэгт үйлчлэх хүч ялтасны масст шууд, ялтас хүртэлх зайн квадратад урвуу пропорциональ байна. Нэгэнт аль ч ялтасных нь масс ялтас хүртэлх зайн квадратад шууд хамааралтайг дээр харуулсан тул хоёр ялтаснаас A цэгт үйлчлэх нийт хүч тэгтэй тэнцүү болж бидний зорилго биелэгдлээ.

Тэгэхээр дэлхийн гүнд байгаа биетэд үйлчлэх таталцлын хүчийг тооцохын тулд уг биет маань дөнгөж гадна талд нь байхаар тийм хэмжээтэй жижигхэн бөмбөрцгөөр дэлхийг сольж болно гэсэн үг. Энэ жижигхэн бөмбөрцгөөс үйлчлэх хүчийг яаж тооцох вэ?

Эхнийхээ зарчимтай холбож ойлгохын тулд цул бөмбөрцгийн оронд эхлээд бөмбөлгөн гадаргуу аваад үзье. Тэгвэл дорх зурагт үзүүлснээр, A цэг маань бөмбөлгийн гадна талд байгаа учраас A цэгээс татсан шулуун дээр орших ялтаснуудаас үйлчлэх хүч хоорондоо (эсрэг биш) нэг чиглэлд байна. Иймд хүчийг тооцох нь A цэг бөмбөлөг дотор байх тохиолдлыг бодвол арай илүү ярвигтай.

newthm2.jpg

Улаан ялтаснуудаас A цэгт үйлчлэх хүчнүүд хоорондоо нэмэгдэнэ.

Гэхдээ шууд интеграл ашиглаад тооцсон ч нэг их төвөгтэй биш. Хамгийн хялбар арга гэвэл потенциалаар нь дамжуулж хөөх байж магадгүй. Ингээд эцэст нь Ньютоны теоремын хоёрдахь зарчмыг гаргаж авч болно:

Маш нимгэхэн бөгөөд жигд нягттай бөмбөлөг гадаргуугийн гаднах таталцлын орон нь уг бөмбөлөгийн төвд байрлах, бөмбөлөгийн масстай тэнцүү масстай жижигхэн биетийн үүсгэх таталцлын оронтой яг адилхан.

Дээрх зарчимд нимгэн гадаргуугийн таталцлын хүчний талаар яригдаж байгаа боловч үүнийг практикт илүү ойр тохиолдлууд руу хөрвүүлэхэд амархан.

  • Жигд нягттай цул бөмбөрцгийг олон нимгэхэн давхаргаас бүтсэн гэж бодож болох тул дээрх зарчим энэ тохиолдолд мөн биелнэ.
  • Үнэндээ заавал жигд нягттай ч байх албагүй, нягт нь зөвхөн төв хүртэлх зайнаасаа хамаардаг (ө.х. «бөмбөлгөн тэгш хэмтэй») цул бөмбөрцөг байхад л хангалттай.

Дүгнэж хэлэхэд, дэлхийн цул дотор, төвөөс нь r зайтай байгаа биетэд дэлхийн зүгээс үйлчлэх таталцлын хүчийг тооцохын тулд

  • дэлхийн r радиусын гадна байгаа хэсгийг нэгмөсөн арилгаад,
  • үлдсэн хэсгийнх нь бүх масс төвдөө хуримтлагдсан гэж үзэж болно.
earth2a

Ногоон цэгт үйлчлэх таталцлын хүчийг тооцохын тулд, бүдэг хөх өнгөтэй хэсгийг нэгмөсөн арилгаад, үлдсэн хэсгийн бүх массыг төвд байгаа ягаан цэгт хуримтлагдсан гэж үзэж болно.

Иймд дэлхийг жигд нягттай гэж үзвэл, r радиустай бөмбөрцгийн масс r-ийн кубт пропорциональ:

M = ρr³

Энэ масс яг төвдөө хуримтлагдсан гэж үзэж болох тул таталцлын хүч

F = γmM/r² = γmρr

гарна. Үүнд γ нь гравитацын тогтмол, m нь жижиг биетийн масс, ρ нь дэлхийн нягтаас хамаарсан коэффициент. Газрын гадаргуу дээр буюу r = R үед энэ хүч F = mg болох ёстой гэдгээс

F = mgr/R

гэж бичиж бас болно. Тэгэхээр дэлхийн гүн рүү явж байгаа биетийн жин дэлхийн төв хүртэлх зайнаасаа шууд (шугаман) хамааралтай буурах нь.

Одоо энэ гаргасан томъёоныхоо хэрэглээ болгоод нэг жишээ авч үзье. Дэлхийг төвийг нь дайруулж нэвт нүхэлсэн хонгил хийгээд, тэр нүх рүүгээ жижигхэн биет унагаалаа гэж төсөөл.

earth4

Зурагт үзүүлснээр, хонгилынхоо дагуу x тэнхлэгийг, тооллын эх нь дэлхийн төвд байхаар сонгож авъя. Тэгвэл хонгил дотор биет x байрлалд байх үед түүнд дэлхийн зүгээс үзүүлэх хүч

F = – mgx/R

байна. Энэ томъёонд бид хүчний чиглэлийг бас тооцсон байгаа. Тэгэхээр Ньютоны 2-р хууль ёсоор

mx'' = - mgx/R             буюу              x'' + gx/R = 0.

Үүнд x'' нь x-ээс хугацаагаар авсан хоёрдугаар эрэмбийн уламжлал (ө.х. хурдатгал). Дээрх тэгшитгэл нь гармоник дүүжингийн тэгшитгэлтэй адилхан тул ерөнхий шийд нь

x(t) = A·sin(ωt) + B·cos(ωt),             (ω² = g/R)

байна. Шийдийн бичлэгийг арай хялбарчлахын тулд жижиг биетийг яг нүхний амсраас унагааж эхлэх агшинд хугацааг тоолж эхэлсэн (өөрөөр хэлбэл x(0) = R, x'(0) = 0) гэж үзвэл

x(t) = R·cos(ωt)

болно. Эндээс биетийн хурдыг олбол

x‘(t) = – ωR·sin(ωt).

Биет маань ωt = π/2 болох агшинд дэлхийн төвөөр дайрах ба энэ үед хурдны хэмжээ хамгийн их, x‘ = – ωR байна. Цаашилбал, ωt = π үед хонгилын нөгөө амсарт хүрч, хоромхон зуур «зогсоод» буцаад унаж эхэлнэ.  Тэгээд ωt = 3π/2 үед дэлхийн төвөөр дахиж дайраад, ωt = 2π болох агшинд буцаж анх байсан газраа ирнэ. Тэгэхээр нэг бүтэн хэлбэлзэл хийх үе нь

T = 2π/ω.

Дэлхийн радиус R ≈ 6370км, чөлөөт уналтын хурдатгал g ≈ 9.8м/сек² гэдгийг орлуулан бодвол

ω ≈ 0.001240 Гц            буюу           T ≈ 5065 сек = 84 мин 25 сек

гэж гарна.

Дээрх тоо танд танил санагдаж байж мэднэ. Тэгвэл дэлхийг гадаргаас маш бага өндөрт тойрох хиймэл дагуулын эргэлтийн үе бас 84 минут орчим байдаг. Яагаад ингээд таарчихав аа гэвэл нүхэнд унагаасан биетийн хөдөлгөөн нь дэлхийг тойрч байгаа хиймэл дагуулын хөдөлгөөний x–тэнхлэг дээрх проекцтой давхацдагаас тэр юм. Зураг дээрээс, хиймэл дагуулд үйлчлэх хүчний x–байгуулагч нь

F = mg·x/R

болохыг шууд харж болно.

Дасгал. Дэлхий дээрх хоёр хотыг газар доогуур шулуун хонгилоор шууд холбож, төмөр зам тавьжээ (зураг: доод талын нарийхан хонгил). Энэ төмөр замаар аянд нь өнхрүүлсэн галт тэрэгний хэлбэлзлийн үеийг ол. Үрэлтийг тооцохгүй.

Posted in Одон орон, Таталцал, Физик | Tagged , , , | Сэтгэгдэл бичих

Дөрвөн улирал

North_season.jpg

Дэлхийн хойд хэсгийн газар нутаг өдөртөө нар луу «нүүрээрээ харах» үед тэнд зун болдог. Харин 6 сар орчмын дараа тухайн газар нутагт өдөр болж байсан ч гэсэн нар ташуу тусах бөгөөд нэгж талбайд оногдох нарны энерги багассанаас тэнд өвөл болно.

SunRayAngles.png

 

Газар дээр байгаа бидний хувьд бол энэ нь зуны үдийн нар бараг эгц дээрээс шардаг бол өвлийн нар тээр дороос нүүр лүү тусдаг байдлаар илэрдэг. Үүнээс гадна өвөл өдөр богиносч, агаарт болон хөрсөнд хоног тутамд шингэж байгаа энергийн хэмжээ багасна.

Одоо дэлхийн өмнөд хэсэгт юу болох вэ гэвэл яг эсрэгээрээ. Дэлхийн хойд хэсэгт өвөл болж байх үед өмнөд хэсэгт зун болно.

Дэлхийн тойрог зам тойргоос бараг ялгагддаггүй учир нарнаас хамгийн хол ба хамгийн ойр үедээ нарнаас авах энергийн зөрөө улирал солигдоход нөлөө үзүүлдэггүй. Үнэндээ бол дэлхий наранд хамгийн ойртох үе нь 1-р сарын эхээр тохиодог.

sunvis.png

Энэ зурагт өдрийн урт (буюу нарны тэнгэрт байх хугацаа) жилийн турш хэрхэн өөрчлөгдөхийг үзүүлэв. Босоо тэнхлэг дээр өдрийн уртыг цагаар илэрхийлсэн.

  • Цэнхэр: Оросын Мурманск хот, өргөрөг нь 69° орчимд.
  • Ногоон: Аляскийн Файрбанкс, өргөрөг нь 65° орчимд.
  • Улаан: Улаанбаатар хот, 48° орчимд.
  • Хар: Тайландын Бангкок, 14° орчимд.
  • Улбар шар: Австралийн Мельбурн, –38° орчимд.

Тухайлбал, цэнхэр муруй өвөл бас зун хавтгай болж байгаа нь тухайн газар нутагт өвөл нар гарахгүй, зун нар жаргахгүй үе тохиодгийг илэрхийлнэ. Хар муруй бараг шув шулуун байгаа нь экваторын ойролцоо жилийн турш өдрийн урт бараг өөрчлөгдөхгүй тогтмол байдагтай холбоотой. Бүх муруйнууд хоорондоо 3 сарын 21-ний орчим нэг, 9 сарын 21-ний орчим нэг огтлолцож байгаа. Эдгээр нь мэдээж өдөр шөнө тэнцэх цэгүүд. Зуны туйл (нар буцах) болон өвлийн туйл дээр муруйнууд хамгийн их эсвэл хамгийн бага утгаа авч байгаа. Өөрөөр хэлбэл 6 сарын 21, 12 сарын 21-ний үед дэлхийн хаана ч байсан хамгийн урт эсвэл хамгийн богино өдөр тохионо. Улбар шар муруй бусдаасаа «эсрэгээр» байрласан байгаа нь Мельбурн хот дэлхийн өмнөд хэсэгт байдгаас тэр.

Дээрх графикаас өдрийн урт богино ба жилийн улирал хоорондоо хамааралтай нь харагдаж байна. Гэвч энэ нь яагаад экваторын бүсийн орнууд Монголоос халуун байдгийг тайлбарлахад хангалтгүй. Үүнийг тайлбарлахын тулд газрын гадаргын 1 квадрат метр талбай өдөрт нарнаас хэр хэмжээний энерги хүлээж авахыг ойролцоогоор тооцон дор зурж үзүүлэв. Босоо тэнхлэг дээр энергийн нэгж килоВатт · цагаар, ямар өнгө аль газар орныг илэрхийлэх нь дээрхтэй адил хэвээрээ байгаа.

insolkWh.png

Эндээс жишээлбэл, Улаанбаатарт нэгж талбайд өдөрт оногдох нарны энергийн хэмжээ зун нэг хэсэг Бангкокийнхийг давах боловч, жилийн турш авах энергийн хувьд Бангкок хамаагүй илүү байгааг харж болно.

Posted in Одон орон, Физик, цаг тоолол | Сэтгэгдэл бичих

Галилейн сарнууд ба гэрлийн хурд

2016 оны зун Жуно хөлөг Бархасбадь руу дөхөж байх үедээ авсан зурагнуудыг эвлүүлэн хөдөлгөөнтэй дүрс болгож харахад ийм байна.
Дагуулуудынх нь нэр хамгийн дотор талаасаа эхлээд Ио, Европа, Ганимед, Каллисто гэж явна. Бархасбадийн сүүдэрт эдгээр дагуулууд байн байн орж «хиртэж» байгааг сайн ажиглаарай. Үнэндээ бол дотор талын 3 дагуул гаригаа тойрох болгондоо ингэж сүүдрээр дайрч гардаг. Тэгэхээр Бархасбадь дээрээс ажиглавал эдгээр сарнууд тэргэл болох бүртээ хиртэнэ гэсэн үг. Дэлхий дээрээс харахад бол дагуул байхгүй байж байгаад гэнэт гараад ирж байгаа юм шиг, эсвэл гэнэт алга болчих шиг санагдана. Энэ үзэгдлийг ашиглаж эдгээр дагуулуудын гаригаа тойрох үеийг нь анх тогтоосон гэдэг.

Иогийн тойрог замын радиус нь ойролцоогоор 420 мянган км, гаригаа нэг тойрох үе буюу «хиртэлтийн үе» нь 42.5 цаг орчим байдаг. Тэгээд Европагийн хиртэлтийн үе Иогийнхоос яг 2 дахин их, Ганимедийн хиртэлтийн үе Европагийнхаас яг 2 дахин их (ө.х. дагуулууд 4:2:1 харьцаатай «резонанст» байна). Бархасбадь дээр байгаа ажиглагчийн хувьд энэ нь юу гэсэн үг вэ гэвэл эдгээр сарнууд одот тэнгэрийн тодорхой тогтсон хэсгүүдэд л бие биенийгээ гүйцэж уулздаг гэсэн үг. Одоо Европа, Ганимед хоёрын гаригаа тойрох үеүдийг нь мэдэж байгаа юм чинь Кеплерийн 3-р хуулийг ашиглаж тойрог замын радиусыг нь тооцоолж болно. Үнэндээ бол Бархасбадийн дагуулууд дээр Кеплерийн 3-р хууль биелж байсан нь тухайн үедээ энэ хуулийг бүр бататгаж өгсөн байгаа.

Бархасбадийн энэ 4 дагуулыг анх Галилео Галилей 1609-1610 оны үед нээсэн бөгөөд «Галилейн сарнууд» гэж нэрлэдгийг мэдэж байгаа байх. Эдгээр дагуулыг Галилейгээс хамааралгүйгээр (Галилейгээс арай өмнө ч байж магадгүй) Германы одон оронч Симон Марий бас нээсэн боловч түүнийгээ эрт зарлаагүйн дээр ажиглалтын тэмдэглэл нь бүрхэгдүү байснаас уг нээлтийн алдар хүндийг Галилей хүртэх болсон юм. Симон Марий өөрөө ч нэг их маргаан гаргаагүй. Харин Симон Марийгийн дагуулуудад өгсөн нэршил нь одоогийн бидний хэрэглэдэг нэршил бөгөөд Галилейн өгсөн нэршлийг түүхийн явцад «ялж гарсан» нь юм байна.

Галилейн үед тулгараад байсан нэг том асуудал нь далайд (болон газар дээр) байгаа ажиглагч өөрийн уртрагийг нарийн тодорхойлох арга олох явдал байсан (Өргөрөгийг бол одоор, эсвэл нараар тодорхойлоход тийм хэцүү биш). Ийм арга байхгүйгээс болоод усан онгоцнууд байрлалаа тодорхойлохдоо 500-1000 км-ийн алдаа гаргах нь хэвийн үзэгдэл байж. Уртрагийг тодорхойлох нь тухайн орон нутгийн цагийг урьдчилан сонгож авсан өөр нэг газрын цагтай харьцуулахтай адилхан. Үүнийг жишээгээр тайлбарлавал, та Улаанбаатарын цагаар цагаа тааруулж гараад Москвад очоод нар яг хэзээ хамгийн өндөр цэгтээ ирэхийг нь харвал таны цагаар оройн 5 цагийн орчимд байх вий. Эндээс Москва хотын уртраг Улаанбаатарынхаас 75° орчмоор баруун тийшээ байна гэж гарна. Мэдээж үүнийг практик арга болгоё гэвэл алдаагүй ажилладаг цаг, нарны өнцгийг нарийн хэмждэг багаж зэрэг зүйлс хэрэгтэй. Шөнө бол нарны оронд оддыг ашиглаж болно. Гэтэл тэр үед усан онгоцон дээр сайн ажилладаг цаг байгаагүй. Үүнийг шийдэхийн тулд Галилей Бархасбадийн дагуулуудыг цаг болгож ашиглах санал гаргасан байна. Тодруулбал, Бархасбадийн дагуулуудын байрлалыг цаг цагаар нь нарийн жагсаасан хүснэгт хийчихвэл усан онгоцон дээрээс тэр дагуулуудыг ажиглаж хэмжилт хийх замаар цагийг нарийн тодорхойлж болох юм.

Галилейг нас барснаас хойш 30-аад жилийн дараа энэ санааг гүйцэлдүүлэхээр Парисын одон орны хүрээлэнгийн захирал, Итали эрдэмтэн Жованни Кассини ханцуй шамлан орж, Бархасбадийн дагуулуудын хөдөлгөөнийг нарийн судалж эхэлсэн байна. Энэ төсөл дээрээ Данийн залуу одон оронч Оле Рёмерийг авч ажиллуулснаараа түүхэнд мөнхөрч үлдэх нэгэн чухал нээлтийн гарааг тавьснаа Кассини хэрхэн мэдэх билээ. Рёмер юу ажигласан бэ гэхээр Иогийн хиртэлтийн үеийг хэмжиж байгаад, дэлхий Бархасбадиас холдох үед хиртэлтийн үе нь арай ихсээд, ойртох үед арай багасаад байгааг ажигласан байна. Өөрөөр хэлбэл нар жаргасны дараа Бархасбадь тэнгэрт байх үед Иогийн тойролт арай удаан, нар гарахын өмнө Бархасбадь тэнгэрт байх үед Иогийн тойролт арай хурдан юм шиг байж. Гэхдээ Ио гаригаа ганц удаа тойрох хугацааг хэмжээд мэдэгдэхүйц ялгаа гарахгүй боловч хэд хэдэн удаа тойрох хугацааг нь хэмжвэл нийт дүн нь байх ёстой утгаасаа бага зэрэг зөрөөд байсан. Энэ нь юу гэсэн үг вэ гэвэл нэг удаа тойрох хугацааны зөрөө маш бага бөгөөд энэ зөрөө олон удаа тойроход хуримтлагдаад хэмжилтээр илэрч байна гэсэн үг. Үүнийг тайлбарлахын тулд гэрлийг хязгааргүй хурдтай биш гэсэн таамаглалыг Рёмер дэвшүүлсэн.Зургийн зүүн гар тал дахь хэсэгт дэлхий байхад Ио яг Бархасбадийн сүүдрээс гарах агшинд цацарсан гэрэл (улаан шугам) дэлхий дээр тодорхой агшинд ирж бүртгэгджээ гэе. Тэгвэл 42.5 цаг орчмын дараа Ио дараагийн удаа хиртэлтээс гарч ирэхэд цацарсан гэрэл (ногоон шугам) дэлхий дээр иртлээ арай урт зам туулах учраас Иогийн хиртэлтийн үе байгаагаасаа арай урт болж бүртгэгдэнэ. Дэлхий нөгөө талдаа байхад яг эсрэгээрээ, Иогийн хиртэлтийн үе байгаагаасаа арай богино болж бүртгэгдэнэ. Рёмер 42.5 цагт дэлхий өөрийнхөө диаметрийг 210 дахин туулна гэж үнэлсэн (яг үнэндээ 300 гаранг туулна). Тэгээд хэрэв дэлхийн диаметрийг гэрэл 1 секундэд туулдаг бол, Иогийн хиртэлтийн үе 210 секундээр их ба бага болж бүртгэгдэх ёстой. Ийм зөрөө ажиглагдахгүй байгаа тул гэрлийн хурд маш их юм байна гэж дүгнэжээ. Тэгэхээр гэрлийн хурдыг хэмжихийн тулд Иогийн олон тойролтын хугацааг хэмжиж хуримтлагдсан зөрөөгөөр тооцох хэрэгтэй болж байна. Дэлхий Бархасбадиас холдохдоо (эсвэл ойртохдоо) яг шулуунаар жигд хурдтай явдаггүй, нарыг тойрч эргэж байгаа болохоор дэлхий яг хаана байгаагаас хамаараад Иогийн хиртэлтийн үеийн зөрөө нь их бага янз бүр гарна. Үүнийг зураг дээр илүү тодорхой тайлбарлая.

Бархасбадь гаригийг r=0 гэсэн босоо тэнхлэгээр, Бархасбадийн сүүдрээс Ио гарах болгонд цацарсан гэрлийг ташуу шар зурааснуудаар төлөөлүүлсэн. Эхлээд Бархасбадь дээр байсан ажиглагч жигд хурдаар холджээ гэж бод (улаан хэрчим). Тэгвэл ижил хугацаанд (тасархай зураас) улаан зураасан дээр босоо тэнхлэгийг бодвол цөөхөн ташуу шар зураас ирж байгаа учраас уг ажиглагчид Иогийн хиртэлтийн үе удаан болж харагдана. Харин уг ажиглагч эргээд Бархасбадь руу ойртох үедээ (цэнхэр хэрчим) босоо тэнхлэгийг бодвол олон зураас хүлээж авах тул түүнд Иогийн хиртэлтийн үе хурдан болж үзэгдэнэ. Одоо баруун талын өнгө алагласан муруй бол дэлхий нарыг нэг тойроход Бархасбадь хуртэлх зай нь яаж өөрчлөгдөхийг төлөөлж байгаа. Эндээс дэлхий Бархасбадиас холдож байх үед Иогийн хиртэлтийн үе ерөнхийдөө удаашраад, ойртож байх үед ерөнхийдөө хурдсаад байгаа нь харагдана. Дашрамд дурдахад гэрлийн болон дууны долгионы Доплерийн эффектийг яг энэ зургаар тайлбарлаж болно.Дээрх зураг дээр хэвтээ тэнхлэгийн дагуу Бархасбадь яг нарны эсрэг талд ирэхээс эхлээд тоолсон хугацаа, босоо тэнхлэгийн дагуу дэлхий дээрээс харахад Ио гаригаа хэдэн удаа тойрсныг илэрхийлсэн тоо байгаа. Тасархай шугам нь хэрэв гэрэл хязгааргүй хурдтай байсан бол Ио яаж ажиглагдах байсан бэ гэдгийг харуулна. Хэвтээ тэнхлэг дээр байгаа Δt гэсэн хэсэг Иогийн n дэх тойролт жигд хурдтай гэж тооцсон хугацаанаас хоцорч бүртгэгдэж байгааг үзүүлнэ.

Энэ бүхнийг тооцсоны үндсэн дээр Рёмер дэлхийгээс нар хүртэлх зайг гэрэл 11 минутанд туулна гэж тооцсон. Дэлхий нар хоёрын хоорондох зайн жинхэнэ утгыг үүнд орлуулаад бодвол Рёмерын хэмжилтээр гэрлийн хурд 230000км/сек гэж гарна. Гэрлийг анх удаа хязгааргүй биш хурдтай гэж үзүүлсэн түүх энэ.

Уртраг тодорхойлох Галилейн нөгөө санаа юу болсон бэ гэвэл, усан онгоцон дээрээс одон орны нарийн хэмжилт хийхэд төвөгтэй байснаас энэ санаа үнэндээ хэрэгжээгүй. Гэхдээ газар дээр бол нилээд ашиглагддаг байсан. Уртрагийг хэмжих асуудал 18-р зууны дундуур нарийвчлал сайтай механик цаг бүтээгдэх хүртэл бүрэн шийдэгдээгүй.

Posted in Одон орон, Физик, түүх | Tagged , , , , , , | Сэтгэгдэл бичих