Квадрат тэгшитгэл

Одоогоос дөрвөн мянгаад жилийн өмнө эртний Египтчүүд {ax^2=c} маягийн тэгшитгэлийг, тэдэнтэй нэг цаг үеийн Вавилончууд {x(b\pm x)=c} маягийн квадрат тэгшитгэлүүдийг бодож чаддаг байсан ул мөр бий. Үүнээс хойш квадрат тэгшитгэлийн талаарх ойлголт яаж хөгжсөн, энэ нь алгебр гэсэн шинэ салбарыг төрүүлээд зогсохгүй орчин үеийн математикийн тэмдэглэгээг үүсэхэд хэрхэн нөлөөлснийг товч өгүүлье.

  • МЭӨ 300–500 оны үеийн «Таттварха-сутра» зэрэг эртний Энэтхэг судруудад квадрат тэгшитгэлийг геометр аргаар бодсон жишээнүүд тохиолддог.
  • Евклидийн «Эхлэл» болон «Өгөгдөл» (МЭӨ 300 оны орчим) бүтээлд Вавилоны {x(b\pm x)=c} тэгшитгэлүүдийг (шулуун ба тойргийн огтлолцлыг олох бодлогод шилжүүлэн) геометр аргаар бодсон буй.
  • Эртний Хятадын «Есөн бүлэгт тооны урлаг» бүтээл (МЭӨ 2-р зуун) болон түүн дээр Лю Хуэйгийн нэмсэн тэмдэглэлд (МЭ 3-р зуун) {x^2+bx=c} маягийн хэд хэдэн тэгшитгэлийг бодсон байдаг.
  • Бахшалийн гар бичмэлд (МЭ 3-р зуун) квадрат тэгшитгэл бодсон жишээ бий.
  • Диофантын «Арифметик» (МЭ 250 оны орчим) бүтээлд эерэг коэффициенттэй, эерэг шийдтэй байж болох бүх төрлийн квадрат тэгшитгэлийг бодсон жишээнүүд бий. Гэхдээ ерөнхий аргын талаар нэг ч үг дурдаагүй, зөвхөн эерэг рациональ шийдүүдийг л авч үзсэнээс гадна квадрат тэгшитгэл хоёр шийдтэй байж болох талаар ойлголттой байсан шинж байхгүй.
  • Энэтхэгийн математикч Ариабхата (МЭ 476–550) арифметик прогрессыг судлах явцдаа (өөрөө мэдэлгүйгээр) ерөнхий коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийг бодсон.
  • Түүнчлэн, Брахмагупта (МЭ 598–668) тэг болон сөрөг тоотой ажиллах дүрмүүдийг түүхэнд анх удаа боловсруулж, квадрат тэгшитгэлийг бодох ерөнхий аргыг томъёолсон. Квадрат тэгшитгэл хоёр шийдтэй байж болно гэдгийг Брахмагупта мэддэг байсан бөгөөд сөрөг болон иррациональ шийдүүдийг ч авч үзсэн. Гэхдээ тэр үед сөрөг тооноос квадрат язгуур авдаггүй байсан учраас мэдээж комплекс шийдтэй тохиолдлуудыг орхигдуулсан.

Бүр эртний математикт одоогийнх шиг «томъёо» гэсэн ойлголт байхгүй, бүх зүйлийг үгээр тайлбарладаг байсан бол, Диофант, Брахмагупта нар алгебрын тооцоог ихээр хялбарчилсан тэмдэглэгээнүүдийг оруулж ирснээрээ онцлогтой. Жишээлбэл,

\displaystyle  x^2-2x-3=2

гэсэн тэгшитгэл Диофантын тэмдэглэгээгээр

\displaystyle  \Delta\!^\gamma\bar\alpha\Psi\varsigma\bar\beta M\bar\gamma\iota\sigma M\bar\delta

болно. Үүнд

  • {\Delta\!^\gamma} нь үл мэдэгдэгчийн квадрат зэрэг (ө.х. {x^2}),
  • {\varsigma} нь үл мэдэгдэгчийн дан зэрэг (ө.х. {x^1=x}),
  • {M} нь үл мэдэгдэгчийн тэг зэрэг (буюу 1),
  • {\bar\alpha,\bar\beta,\bar\gamma,\bar\delta} нь харгалзан 1, 2, 3, 4 тоонууд,
  • {\iota\sigma} нь «тэнцүү» гэсэн үгийн товчлол,
  • {\Psi} тэмдгийн өмнөх гишүүд эерэг, ардах гишүүд нь бүгд сөрөг (ө.х. өмнөө хасах тэмдэгтэй) гэж тооцогдоно. [Үнэндээ Диофант доошоо харсан {\Psi} тэмдэгтийг хэрэглсэн боловч энэ блог дээр тийм тэмдэгт гаргах боломж олдсонгүй.]

Тэгэхээр дээрх тэгшитгэл

\displaystyle  x^2\cdot1-(x^1\cdot2+x^0\cdot3)=x^0\cdot4

маягтай бичигдэж байна гэсэн үг. Иймэрхүү тэмдэглэгээнүүд нь одоогийнхтой харьцуулахад болхи мэт боловч тэр үедээ том дэвшил байсан байж таараа. Үргэлжлүүлэн унших

Сурталчилгаа
Posted in Алгебр | Tagged , , , , , , , , | Сэтгэгдэл бичих

Шугаман хувиргалт

E ба F нь K талбар дээрх шугаман огторгуйнууд болог. Хэрэв T:E\rightarrow F буулгалт дурын x,y\in E векторууд ба \alpha\in K скалярын хувьд T(\alpha x+y)=\alpha T(x)+T(y) нөхцлийг хангадаг бол түүнийг шугаман хувиргалт (өөрөөр шугаман функц, шугаман буулгалт, шугаман оператор) гэнэ. Шугаман хувиргалтын дүр ба цөмийг харгалзан

\mathrm{im}\, T=\{Tx : x\in E\}

ба

\mathrm{ker}\,T=\{x\in E:Tx=0\}

гэж тодорхойлно.

Жишээ 1. Дурын бэхлэгдсэн \alpha\in K элементийн хувьд x\mapsto\alpha x : E\rightarrow E нь шугаман хувиргалт болно. Иймд адилтгал хувиргалт x\mapsto x, тэг буулгалт x\mapsto0 нь шугаман хувиргалтууд.

Лемм. \mathrm{im}\,T\subset F ба \mathrm{ker}\,T\subset E нь шугаман дэд огторгуйнууд болно. Мөн T:E\rightarrow F нь инъектив байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь \mathrm{ker}\,T=\{0\} байх явдал ба цаашилбал T нь инъектив үед түүний урвуу T^{-1}:\mathrm{im}\,T\rightarrow E нь шугаман хувиргалт байна.

Дасгал 1. Дээрх леммыг батал.

Жишээ 2. X нь E-ийн шугаман дэд огторгуй бол натурал проекцлол \pi:E\rightarrow E/X нь шугаман хувиргалт болно. Цаашилбал дурын шугаман хувиргалт T:E\rightarrow F нь E\stackrel{\pi}\rightarrow E/X\stackrel{t}\rightarrow F гэж задрах зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь X\subset\mathrm{ker}\,T байх явдал болно.

Хэрэв шугаман хувиргалт T:E\rightarrow F нь инъектив ба сюръектив бол түүнийг E-ийн F дээрх (шугаман огторгуйн) изоморфизм гэнэ. Хоёр шугаман огторгуйн хооронд изоморфизм оршдог бол тэдгээрийг хоорондоо изоморф огторгуйнууд гэдэг. Хоорондоо изоморф огторгуйнууд ижил шугаман бүтэцтэй байна.

S,T:E\rightarrow F хоёр шугаман хувиргалт өгөгдсөн үед тэдгээрийн нийлбэрийг

(S+T)(x)=S(x)+T(x),\qquad x\in E,

гэж, \alpha\in K ба T-ийн үржвэрийг

(\alpha T)(x)=\alpha T(x),\qquad x\in E,

гэж тодорхойлъё. Тэгвэл E-ээс F рүү буулгасан бүх шугаман хувиргалтуудын олонлог L(E,F) нь дээрх үйлдлүүдийн хувьд K дээрх шугаман огторгуй болно. Бид L(E,K) огторгуйг E-ийн (алгебрын) хосмог огторгуй гээд E^*=L(E,K) гэж тэмдэглэнэ. Энэ хосмог огторгуйн элементүүдийг E дээрх шугаман хэлбэрүүд (эсвэл шугаман функционалиуд) гэж ярьна.

Одоо E,F ба G нь K дээрх шугаман огторгуйнууд, T:E\rightarrow F ба S:F\rightarrow G нь шугаман хувиргалтууд болог. Тэгвэл ST үржвэрийг композиц ашиглан ST=S\circ T:E\rightarrow G гэж тодорхойлно. S ба T-ийн композиц (буюу давхарлалт) нь

(S\circ T)(x)=S(T(x)),\qquad x\in E,

гэж тодорхойлогддогийг санавал шугаман хувиргалтуудын үржвэрийн дараах чанаруудыг (хэрэгтэй бүх үржвэрүүд нь тодорхойлогдсон үед) хялбархан баталж болно:

  1. R(ST)=(RS)T,
  2. R(S+T)=RS+RT; (R+S)T=RT+ST,
  3. \alpha (ST) = (\alpha S)T = S(\alpha T).

Хэрэв вектор огторгуйд дээрх 3 нөхцлийг хангахаар үржих үйлдэл тодорхойлгогдсон бол түүнийг (шугаман) ассоциатив алгебр гэдэг. Алгебрын үржих үйлдэл нь нэгжтэй бол түүнийг нэгжтэй (эсвэл унитал) алгебр гэнэ. Алгебрын элементүүд урвуутай байх албагүй.

Тэгэхээр E дээрх бүх шугаман хувиргалтуудын огторгуй L(E)=L(E,E) нь шугаман ассоциатив алгебр болох нь. Адилтгал хувиргалт композиц үржвэрийн хувьд нэгж учир энэ нь нэгжтэй алгебр. T\in L(E) нь урвуутай байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь \mathrm{im}\,T=E ба \mathrm{ker}\,T=\{0\} байх явдал болно.

Дээр S ба T-ийн композицийг бид E\stackrel{T}\rightarrow F\stackrel{S}\rightarrow G\,=\,E\stackrel{S\circ T}\rightarrow G гэж тодорхойлсон байгаа. Энд S нь

S_*:T\mapsto S\circ T:L(E,F)\rightarrow L(E,G)

гэсэн буулгалт тодорхойлж байна. S_*T=S\circ T элементийг T-ийн S-ийн дагуух түлхлэг гэж нэрлэдэг. Нөгөө талаас, T нь

T^*:S\mapsto S\circ T:L(F,G)\rightarrow L(E,G)

гэсэн буулгалт тодорхойлно. T^*S=S\circ T элементийг S-ийн T дээрх татлага гэж нэрлэдэг. S_* ба T^* буулгалтуудыг шугаман болохыг хялбархан харуулж болно.

Татлагын тодорхойлолтонд G=K гэж авснаар T^*:L(F,K)\rightarrow L(E,K) буюу T^*:F^*\rightarrow E^* байна. Өөрөөр хэлбэл T:E\rightarrow F шугаман хувиргалт болгоны хувьд T^*:F^*\rightarrow E^* гэсэн шугаман хувиргалт харгалзуулж болно. Энэ T^*T-ийн хосмог (эсвэл хөрвүүлсэн) хувиргалт гэдэг.

Posted in Алгебр, Шугаман алгебр | Tagged , , , , , , , , | Сэтгэгдэл бичих

Шугаман огторгуй

Дараах зүйлүүд өгөгдсөн болог:

  1. Талбар K; Энэ талбарын элементүүдийг бид цаашид \alpha,\beta гэх мэт жижиг грек үсгүүдээр тэмдэглэх ба коэффициентүүд, эсвэл скалярууд гэж нэрлэнэ.
  2. Аддитив абелийн бүлэг M; Энэ бүлгийн элементүүдийг бид энд x,y гэх мэт жижиг латин үсгүүдээр тэмдэглэх ба векторууд гэж нэрлэнэ.
  3. Скаляр \alpha\in K ба вектор x\in M бүрийн хувьд тэдгээрийн үржвэр гэж нэрлэгдэх ямар нэг вектор \alpha\cdot x\in M харгалзуулах дүрэм (\alpha, x)\mapsto\alpha\cdot x. Бид \alpha\cdot x гэхийг ихэвчлэн \alpha x гэж бичих ба энэ үржих үйлдлийг дараах аксиомуудыг хангадаг байхыг шаардана:
  • \alpha(x+y)=\alpha x+\alpha y (вектор нийлбэрийн хувьд хаалт нээх хууль).
  • (\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta x (скаляр нийлбэрийн хувьд хаалт нээх хууль).
  • (\alpha\beta)x=\alpha(\beta x) (бүлэглэх хууль).
  • 1x=x.

Тэгвэл M бүлгийг (K талбар ба скаляраар үржих үйлдэлтэй нь хамт авч үзэж буй үед) K талбар дээрх шугаман огторгуй (өөрөөр вектор огторгуй) гэж нэрлэнэ. Бодит тоон талбар дээрх шугаман огторгуйг бодит шугаман огторгуй, комплекс тоон талбар дээрхийг нь комплекс шугаман огторгуй гэнэ. Бид ихэнхдээ бодит эсвэл комплекс шугаман огторгуйг авч үзэх учир дээрх тодорхойлолтыг шууд K=\mathbb{R} эсвэл K=\mathbb{C} болгоод уншсан ч болно. Гагцхүү шугаман огторгуйн скалярууд нь зөвхөн бодит тоонууд байх албагүй гэдгийг санаж байх хэрэгтэй.

Дээрх аксиомууд нь үндсэндээ скаляраар үржих үйлдлийг M дээрх абелийн бүтэц ба K дээрх цагираг бүтцийг хадгалдаг байхыг шаардана (K нь зөвхөн цагираг үед M-ийг модуль гэнэ).

Жишээ 1. Бодит тоон олонлогийг нэмэх үйлдлийнх нь хувьд абелийн бүлэг мэтээр үзэж, бодит тоогоор үржих үйлдлийг скаляр үржвэр болгон авбал \mathbb{R} нь бодит шугаман огторгуй болно. Үүнтэй төстэйгөөр \mathbb{C} нь комплекс шугаман огторгуй болно.

Жишээ 2. Комплекс тоон олонлогийг нэмэх үйлдлийнх нь хувьд абелийн бүлэг мэтээр үзэж, комплекс тоог бодит тоогоор үржих үйлдлийг скаляр үржвэр болгож авснаар \mathbb{C} нь бодит шугаман огторгуй болно. Энэ огторгуй нь дээрх жишээн дэх комплекс вектор огторгуйгаас ялгаатай.

Жишээ 3. \mathbb{R}^n=\{(\xi_1,\ldots,\xi_n):\xi_1,\ldots,\xi_n\in\mathbb{R}\} нь n урттай бодит тоон дарааллуудын олонлог болог. Хэрэв x=(\xi_1,\ldots,\xi_n), y=(\eta_1,\ldots,\eta_n), ба \alpha\in\mathbb{R} бол \mathbb{R}^n дээрх вектор нийлбэр, тэг вектор, эсрэг вектор, скаляр үржвэрийг дараах байдлаар тодорхойлъё:

  • x+y=(\xi_1+\eta_1,\ldots,\xi_n+\eta_n)
  • 0=(0,\ldots,0)
  • -x=(-\xi_1,\ldots,-\xi_n)
  • \alpha x=(\alpha\xi_1,\ldots,\alpha\xi_n).

\mathbb{R}^n нь бодит шугаман огторгуй болохыг амархан шалгаж болно. Мөн үүнтэй төстэйгөөр комплекс шугаман огторгуй \mathbb{C}^n-ийг тодорхойлно. Үүнчлэн, дурын талбар K өгөгдсөн үед түүн дээрх шугаман огторгуй K^n-ийг тодорхойлж болно.

Дээрх жишээнд тэг вектор (0\in M) ба тэгийн тоо (0\in\mathbb{R}) ижил тэмдэглэгдэж байгаа боловч ерөнхийдөө вектор уу тоо юу гэдэг нь хаана хэрэглэгдэж байгаагаас нь ойлгомжтой байдаг. Хэрэв ойлгомжтой биш байж мэдэхээр бол ямар нэг байдлаар ялгаж өгөх хэрэгтэй.

Жишээ 4. A нь ямар нэг олонлог, \mathbb{R}^A нь A дээр тодорхойлогдсон бодит утга авдаг бүх функцүүдийн олонлог болог. Энэ олонлог дээр шугаман огторгуйн бүтэц дараах байдлаар оруулъя:

  • {}[x+y](a)=x(a)+y(a), x,y\in\mathbb{R}^A, a\in A (функцүүдийн нийлбэр)
  • 0(a)=0, a\in A (тэг функц)
  • {}[-x](a)=-x(a), x\in\mathbb{R}^A, a\in A (эсрэг функц)
  • {}[\alpha x](a)=\alpha x(a), x\in\mathbb{R}^A, a\in A, \alpha\in\mathbb{R} (функцийг тоогоор үржүүлэх)

Эдгээр үйлдлүүдийн хувьд \mathbb{R}^A нь бодит шугаман огторгуй болохыг хялбархан баталж болно. Мөн \mathbb{R}^n нь үүний A=\{1,\ldots,n\} байх нэг тухайн тохиолдол болохыг харж болно.

Жишээ 5. \mathbb{R} дээрх бүх олон гишүүнт фунцүүдийн олонлог \mathbb{R}[x] нь Жишээ 4-т тодорхойлсонтой адил үйлдлүүдийн хувьд шугаман огторгуй болно. Зэрэг нь n-ээс хэтрэхгүй бүх олон гишүүнт фунцүүдийн олонлог P_n мөн шугаман огторгуй болно.

Дасгал 1. \mathbb{R}[x]-г шугаман огторгуй гэж харуул. Мөн P_n-ийг.

Дасгал 2. K нь талбар ба M нь түүн дээрх шугаман огторгуй байг. Мөн A нь ямар нэг олонлог, M^A нь A дээр тодорхойлогдсон M-ээс утга авдаг бүх функцүүдийн олонлог бол M^AK дээрх шугаман огторгуй болгох бүтэц тодорхойл. Өөрөөр хэлбэл M^A дээр аддитив абелийн бүлгийн бүтэц, мөн шугаман огторгуйн аксиомуудыг хангадаг байхаар K-ийн элементүүдээр үржих үйлдэл оруул.

Дасгал 3. x ба y нь векторууд ба \alpha нь скаляр бол дараах чанаруудыг батал.

  • 0+x=x
  • -0=0
  • \alpha\cdot 0=0
  • 0\cdot x=0
  • Хэрэв \alpha x=0 бол \alpha=0 эсвэл x=0 байна (эсвэл хоёул биелнэ).
  • -x=(-1)x

Хэрэв шугаман огторгуйн дэд олонлог мөн (эх огторгуйтайгаа ижил скаляр ба ижил скаляраар үржих үйлдлийн хувьд) шугаман огторгуй болдог бол түүнийг шугаман дэд огторгуй гэдэг. Жишээлбэл, P_n нь \mathbb{R}[x]-ийн шугаман дэд огторгуй, {}\mathbb{R}[x] нь \mathbb{R}^{\mathbb{R}}-ийн шугаман дэд огторгуй болно. Шугаман огторгуйн аливаа дэд олонлогийг шугаман дэд огторгуй эсэхийг шалгахын тулд зөвхөн уг дэд олонлог нь (эх огторгуйнхаа абелийн бүтцийн хувьд) дэд бүлэг ба скаляраар үржих үйлдлийн хувьд битүү эсэхийг нь шалгахад хангалттай. Үүнийг арай тодруулъя.

Лемм. M нь K талбар дээрх шугаман огторгуй ба B\subset M болог. Тэгвэл B нь M-ийн шугаман дэд огторгуй болох гарцаагүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь дараах хоёр зэрэг хангагдаж байх явдал болно:

  • x,y\in B бол x-y\in B;
  • \alpha\in K ба x\in B бол \alpha x\in B.

Дасгал 4. Дээрх леммыг батал.

Дасгал 5. Шугаман огторгуй \mathbb{R}[x] ба дараах нөхцлийг хангах бүх олон гишүүнт функц p-ээс тогтох түүний дэд олонлог V-г авч үзье.

(а) p-ийн зэрэг нь 3.

(б) 2p(0)=p(1).

(в) 0\leq t\leq 1 бол p(t)\geq0.

(г) Бүх t-ийн хувьд p(t)=p(1-t).

Аль тохиолдолд нь V шугаман дэд огторгуй болох вэ?

Posted in Алгебр, Шугаман алгебр | Tagged , , , | Сэтгэгдэл бичих

Компакт олонлог

X нь топологи огторгуй (бид ямар топологи ярьж байгаа нь тодорхой ойлгогдохоор үед олонлогийн топологийг нь тэмдэглэх тусгай тэмдэглэгээ оруулахгүй) ба A\subseteq X нь түүний дэд олонлог болог. Хэрэв \{O_\alpha\} дэд олонлогуудын бүлийн нэгдэл A-г агуулдаг (ө.х. A\subseteq\cup_\alpha O_\alpha) бол \{O_\alpha\} бүлийг A олонлогийн хучилт гэж нэрлэнэ. Хучилтын бүх элемент задгай олонлогууд бол задгай хучилт болно. Хэрэв хучилтын дэд олонлог мөн A олонлогийн хучилт болдог бол түүнийг дэд хучилт гэнэ.

Тодорхойлолт. A олонлогийн дурын задгай хучилт төгсгөлөг дэд хучилт агуулдаг бол Aкомпакт олонлог (өөрөөр авсаар олонлог) гэнэ.

Жишээ. Дурын топологи огторгуйд ганц цэгээс бүтсэн олонлог авсаар олонлог болно. Бодит тоон шулуун дээр стандарт топологийн дор (0,1) задгай завсар нь компакт биш. Учир нь \{(\frac1n,1):n\in\mathbb{N}\} задгай хучилтад төгсгөлөг дэд хучилт олдохгүй.

Гейне-Борелийн теоремийг баталгаагүйгээр дурдъя:

Теорем 1. (Гейне-Борель). Бодит тоон битүү завсар {}[a,b] нь (стандарт топологид) компакт.

Топологи огторгуй (өөрийнхөө дэд олонлог мэтээр) компакт бол түүнийг компакт огторгуй гэнэ.

Теорем 2. Компакт топологи огторгуйн битүү дэд олонлог компакт байна.

Баталгаа. X нь компакт топологи огторгуй, B нь түүний битүү дэд олонлог болог. Бид B-ийн дурын задгай хучилт \{O_\alpha\} төгсгөлөг дэд хучилт агуулна гэж харуулах ёстой. B олонлогийн гүйцээлт нь задгай, иймд \{O_\alpha\}\cup\{X\setminus B\} нь X-н задгай хучилт болно. Одоо X компакт гэдгээс төгсгөлөг дэд хучилт олдох ба энэ дэд хучилтын \{O_\alpha\}-тай огтлолцох огтлолцол B-ийн хучилт болох нь тодорхой.

Теорем 3. Хаусдорф огторгуйн компакт дэд олонлог битүү байна.

Баталгаа. X нь Хаусдорф огторгуй, B нь түүний компакт дэд олонлог болог. Бид дурын x\in X\setminus B цэгийн хувьд X\setminus B дотор бүхлээрээ орших орчин олдоно (ө.х. B-ийн гүйцээлтийг задгай) гэж харуулъя. Хаусдорф огторгуйн тодорхойлолт ёсоор дурын y\in B цэгийн хувьд x\in U_y ба y\in V_y байх хоорондоо огтлолцдоггүй хоёр задгай олонлог U_y,V_y\subset X олдоно. Эндээс \{V_y:y\in B\} нь B-ийн задгай хучилт болох нь тодорхой ба төгсгөлөг дэд хучилт агуулна. Өөрөөр хэлбэл \cup_{y\in A}V_y\supset B байх төгсгөлөг олонлог A\subset B олдоно. Одоо N=\cap_{y\in A}U_y\ni x нь X\setminus B дотор бүхлээрээ орших орчин болохыг харж болно.

Бодит тоон дэд олонлог A\subset\mathbb{R} нь хэрэв A\subset(-x,x) байх x\in\mathbb{R} олддог бол зааглагдсан гэгддэгийг сануулъя.

Мөрдлөгөө. Бодит тоон дэд олонлог авсаар байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь уг олонлог битүү ба зааглагдсан байх явдал болно.

Дасгал 1. Мөрдлөгөөг батал.

Дасгал 2. X нь топологи огторгуй ба A\subseteq X нь түүний дэд олонлог болог. Тэгвэл «X дотор A компакт» гэдэг нь «X-ээс уламжилж авсан дэд огторгуйн топологи дор A компакт огторгуй» гэдэгтэй эквивалент гэж үзүүл. (Уламжлагдсан топологид задгай олонлог X огторгуйн топологид задгай байх албагүй; уламжлагдсан топологийн тодорхойлолтыг үз.)

Бодлого. X ба Y нь компакт топологи огторгуйнууд бол X\times Y нь үржвэр топологийн дор компакт гэж харуул.

Posted in Анализ, Топологи | Tagged , , , | Сэтгэгдэл бичих

Эйлерийн өнцгүүд

Гурван хэмжээст огторгуй дахь эргүүлэлтийг дүрслэх хамгийн эртний бөгөөд хялбар арга нь Эйлерийн өнцгүүд юм. Эйлерийн \alpha,\beta,\gamma өнцгүүдээр илэрхийлэгдэх эргүүлэлтийг дараах маягаар байгуулна.

  • Эхлээд z тэнхлэгийг тойруулан \alpha өнцгөөр эргүүлнэ. Үр дүнд нь x тэнхлэг байсан цэгүүд N байрлалд ирнэ.
  • Одоо N тэнхлэгийг тойруулан \beta өнцгөөр эргүүлнэ. Энэ үед z тэнхлэг дээр байсан цэгүүд Z байрлалд ирнэ.
  • Ингээд Z тэнхлэгийг тойруулан \gamma өнцгөөр эргүүлнэ.

Эйлерийн өнцгүүд (эх сурвалж: Викимедиа)

Энэ процедурыг бэхлэгдсэн тэнхлэгүүдийг тойрох эргүүлэлтүүдэд дараах маягаар бас задалж болно.

  • Эхлээд z тэнхлэгийг тойруулан \gamma өнцгөөр эргүүлнэ.
  • Дараа нь x тэнхлэгийг тойруулан \beta өнцгөөр эргүүлнэ.
  • Эцэст нь z тэнхлэгийг тойруулан \alpha өнцгөөр эргүүлнэ.

Тэгэхээр Эйлерийн \alpha,\beta,\gamma өнцгүүдээр илэрхийлэгдэх эргүүлэлтийн матриц нь

R(\alpha,\beta,\gamma)=R_{z,\alpha}R_{x,\beta}R_{z,\gamma}

болох ба

R_{z,\alpha}= \begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha&0\\\sin\alpha&\cos\alpha&0\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad R_{x,\beta}= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos\beta&-\sin\beta\\0&\sin\beta&\cos\beta\end{pmatrix}

томъёонуудыг орлуулан тооцвол

R(\alpha,\beta,\gamma)=\begin{pmatrix}\cos\alpha\cos\gamma-\sin\alpha\cos\beta\sin\gamma&-\cos\alpha\sin\gamma-\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma&\sin\alpha\sin\beta\\\sin\alpha\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta\sin\gamma&-\sin\alpha\sin\gamma+\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma&-\cos\alpha\sin\beta\\\sin\beta\sin\gamma&\sin\beta\cos\gamma&\cos\beta\end{pmatrix}

гарна. Баруун гар тал дахь илэрхийлэл нь \alpha,\beta,\gamma хувьсагч тус бүрээс 2\pi үетэйгээр хамаарах ба Эйлерийн өнцгүүд

R:\mathbb{T}^3\to SO(3)

буулгалтыг тодорхойлно. Үүнд \mathbb{T}=\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}\eqsim S^1. Дээрх томъёоноос

R(\alpha,-\beta,\gamma)=R(\alpha\pm\pi,\beta,\gamma\pm\pi)

гэдэг нь илэрхий тул Эйлерийн өнцгүүдэд

-\pi<\alpha\leq\pi,\qquad0\leq\beta\leq\pi,\qquad-\pi<\gamma\leq\pi

гэсэн хязгаарлалт тавихад алдах юм байхгүй. Одоо R буулгалтын сюръектив (ө.х. Эйлерийн өнцгүүдээр ямар ч эргүүлэлтийг илэрхийлж болно) гэдгийг харуулах үүднээс

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\in SO(3)

матриц өгөгдсөн байгаа гэж үзье. Юун түрүүнд

\cos\beta=a_{33}

нөхцлөөс \beta\in[0,\pi] өнцөг нэг утгатай тодорхойлогдоно. Тухайлбал, хэрэв a_{33}=1 бол \beta=0 буюу

R(\alpha,0,\gamma)=\begin{pmatrix}\cos\alpha\cos\gamma-\sin\alpha\sin\gamma&-\cos\alpha\sin\gamma-\sin\alpha\cos\gamma&0\\\sin\alpha\cos\gamma+\cos\alpha\sin\gamma&-\sin\alpha\sin\gamma+\cos\alpha\cos\gamma&0\\0&0&1\end{pmatrix}.

Нөгөө талаас, a_{33}=1 үед A матрицын хэлбэр

A= \begin{pmatrix}\cos\delta&-\sin\delta&0\\\sin\delta&\cos\delta&0\\0&0&1\end{pmatrix}

байх ёстой. Иймд \alpha,\gamma өнцгүүдийг \alpha+\gamma=\delta байхаар сонговол

A=R(\alpha,0,\gamma)

тэнцэл биелнэ. Түүнчлэн, a_{33}=-1 бол \beta=\pi буюу

R(\alpha,\pi,\gamma)=\begin{pmatrix}\cos\alpha\cos\gamma+\sin\alpha\sin\gamma&-\cos\alpha\sin\gamma+\sin\alpha\cos\gamma&0\\\sin\alpha\cos\gamma-\cos\alpha\sin\gamma&-\sin\alpha\sin\gamma-\cos\alpha\cos\gamma&0\\0&0&-1\end{pmatrix}.

Нөгөө талаас, a_{33}=-1 үед A матрицын хэлбэр

A= \begin{pmatrix}\cos\delta&\sin\delta&0\\\sin\delta&-\cos\delta&0\\0&0&-1\end{pmatrix}

байх ёстой. Иймд \alpha,\gamma өнцгүүдийг \alpha-\gamma=\delta байхаар сонговол

A=R(\alpha,\pi,\gamma)

тэнцэл биелнэ.

Одоо -1<a_{33}<1 буюу 0<\beta<\pi тохиолдол үлдлээ. Энэ үед \sin\beta\neq0 тул

\sin\alpha\sin\beta=a_{13},\qquad-\cos\alpha\sin\beta=a_{23},\\\sin\gamma\sin\beta=a_{31},\qquad\cos\gamma\sin\beta=a_{32},

харьцаануудаас \alpha,\gamma\in(-\pi,\pi] өнцгүүд нэг утгатай тодорхойлогдоно. Энд A матрицын мөр баганууд нь нэгж векторууд тул тухайлбал

a_{13}^2+a_{23}^2=a_{31}^2+a_{32}^2=\sin^2\!\beta

болохыг санаарай. Цааш нь,

B=R_{z,-\alpha}AR_{z,-\gamma}

гэсэн матриц оруулаад, хэлбэрийг нь тооцвол

B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&0\\b_{21}&b_{22}&-\sin\beta\\0&\sin\beta&\cos\beta\end{pmatrix}\in SO(3)

байна. Үүний эхний ба сүүлийн багана хоорондоо ортогональ гэдгээс b_{21}=0 ба b_{11}=\pm1, эхний ба сүүлийн мөр хоорондоо ортогональ гэдгээс b_{11}=0 гэж гарна. Ингээд 2 ба 3-р багануудын ортогональ байх нөхцлөөс b_{22}=\cos\beta болох ба, \det B=1 гэдгээс b_{11}=1 гэж мөрдөнө. Өөрөөр хэлбэл, B=R_{x,\beta} буюу

B=R_{z,-\alpha}AR_{z,-\gamma}=R_{x,\beta}\qquad\Longrightarrow\qquad A=R_{z,\alpha}R_{x,\beta}R_{z,\gamma}=R(\alpha,\beta,\gamma).

Дээрхийг дүгнэвэл

  • Ямар ч A\in SO(3) матрицыг A=R_{z,\alpha}R_{x,\beta}R_{z,\gamma} гэж задалж болно.
  • Хэрэв 0<\beta<\pi бол A=R_{z,\alpha}R_{x,\beta}R_{z,\gamma} задаргаа -\pi<\alpha,\gamma\leq\pi, 0\leq\beta\leq\pi мужид цор ганц байна.
  • Харин \beta=0 эсвэл \beta=\pi бол A=R_{z,\alpha}R_{x,\beta}R_{z,\gamma} задаргаанд зөвхөн \alpha+\gamma эсвэл \alpha-\gamma хэмжигдэхүүн л (харгалзан) нэг утгатай тодорхойлогдоно. Энэ горимыг нугасны түгжрэл (gimbal lock) гэж нэрлэдэг.

Нугасны түгжрэлийн үед \alpha,\gamma параметрүүд хамтдаа \alpha+\gamma эсвэл \alpha-\gamma гэсэн нэг л параметрийн үүрэг гүйцэтгэх тул Эйлерийн өнцгүүдээр тодорхойлогдох

R:\mathbb{T}^3\to SO(3)

буулгалтын ранг 3-аас бага болдог гэсэн үг (гэтэл SO(3) нь 3 хэмжээстэй цогц). Тухайлбал, энэ үед R буулгалтын дифференциалын урвуу оршин байхаа больно. Үүнтэй холбоотойгоор, нугасны түгжрэл бүхий төлөвт ойртох тусам Эйлерийн өнцгүүдийн эргүүлэлтээс хамаарах хамаарал маш мэдрэмтгий болж ирдэг. Ийм дутагдалгүй параметрчлэл гэвэл жишээ нь кватернионууд байна.

Ер нь R:\mathbb{T}^3\to SO(3) төрлийн ямар ч параметрчлэл нугасны түгжрэлгүй байх боломжгүй. Учир нь, хэрэв x\in\mathbb{T}^3 гэсэн цэг болгоны хувьд R нь урвуутай байх орчин олддог (ө.х. R нь локаль гомеоморфизм) бол, \mathbb{T}^3 нь SO(3)-ын хучилт гэсэн үг. Иймд \mathbb{T}^3-ын универсаль хучилт нь SO(3)-ын универсаль хучилттай адилхан болоход хүрнэ. Гэтэл SO(3)-ын универсаль хучилт нь S^3 ба, \mathbb{T}^3-ын универсаль хучилт нь \mathbb{R}^3 тул, R:\mathbb{T}^3\to SO(3) хэлбэрийн ямар ч параметрчлэл \mathbb{T}^3-ын зарим цэгүүдийн орчинд урвуугүй байна.

Үргэлжлүүлэн унших

Posted in Алгебр, Геометр | Tagged , , , , , , | Сэтгэгдэл бичих

4 хэмжээст огторгуй дахь эргүүлэлт

Жил гарангийн өмнөх нэгэн постоор бид нэг цэг нь бэхлээтэй биетийг 3 хэмжээст огторгуйд яаж ч эргүүлж тойрууллаа гэсэн эцсийн дүн нь ямар нэг тэнхлэгийг тойруулж тодорхой өнцгөөр эргүүлсэн эргүүлэлт байна гэсэн Эйлерийн алдарт теоремыг баталсан. Цаашилбал, n\in S^2 тэнхлэгийг тойруулан \theta өнцгөөр эргүүлэх эргүүлэлтийг дүрслэх

\begin{array}{rcl}R_{n,\theta}x&=&x+(\sin\theta)n\times x+(1-\cos\theta)n\times(n\times x)\\&=&x+2\cos(\frac\theta2)\sin(\frac\theta2)n\times x+2\sin^2(\frac\theta2)n\times(n\times x)\end{array}

гэх мэт томъёонуудыг гаргасан. Эдгээрийн эхнийх нь үндсэндээ Эйлерийн томъёо бол, сүүлийнх нь үндсэндээ Родригийн гаргасан томъёо. Родригийн томъёо нь биднийг кватернионууд руу хөтөлсөн ба, 3 хэмжээст векторуудыг

p=(0,x)=x_1{\bf i}+x_2{\bf j}+x_3{\bf k}

маягаар цэвэр кватернионуудаар (ө.х. бодит хэсэг байхгүй) төлөөлүүлбэл, q\in S^3 гэсэн нэгж кватернион бүр

p\mapsto qp\bar q

гэсэн эргүүлэлтийг тодорхойлдог. Энэ эргүүлэлтийг R(q)\in SO(3) гэвэл,

R:S^3\to SO(3)

нь нэгж кватернионуудын бүлгээс SO(3) бүлэг рүү буулгасан эпиморфизм (ө.х. сюръектив гомоморфизм) болно. Уг гомоморфизмын цөм нь \pm1 тул R нь 2:1 буулгалт бөгөөд

SO(3)=S^3/\{\pm1\}\simeq\mathbb{RP}^3

болох нь харагдана. Тухайлбал, SO(3) бүлэг нь топологийн хувьд 3 хэмжээстэй бодит проектив огторгуйтай адилхан. Эцэст нь, бид нэгж кватернионуудын бүлэг S^3 нь SU(2) бүлэгтэй изоморф гэдгийг баталсан. Нэг ийм изоморфизм

Q(t+x{\bf i}+y{\bf j}+z{\bf k})=tI-i(x\sigma_1+y\sigma_2+z\sigma_3)

томъёогоор өгөгдөнө. Үүнд

\sigma_1=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad\sigma_2=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\qquad\sigma_3=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

нь Паулийн матрицууд.

Одоо 4 хэмжээст Евклидийн огторгуй дахь эргүүлэлтүүдийн бүлэг SO(4)-ийн талаар товч сонирхоё. Энэ бүлгийн нууцыг тайлахад 4 хэмжээст эргүүлэлтийн кватернион хэлбэр их үүрэг гүйцэтгэх болно. Кватернион нь өөрөө 4 хэмжээстэй объект тул, дээр дурдагдсан 3 хэмжээст эргүүлэлтийн

x=x_1{\bf i}+x_2{\bf j}+x_3{\bf k}\mapsto q(x_1{\bf i}+x_2{\bf j}+x_3{\bf k})\bar q

томъёо нь

x=x_0+x_1{\bf i}+x_2{\bf j}+x_3{\bf k}

гэсэн кватернионыг 4 хэмжээст эргүүлэлтэнд оруулдаг илүү ерөнхий томъёоны t=0 байх тухайн тохиолдол байж болзошгүй юм гэсэн таамаг гарна. Хэрэв уншигчид ийм таамаглал төрсөн бол, таны таамаглал үнэн.

Теорем (Кейли 1854). Нэгж кватернионы p,q\in S^3 хос болгонд

R(p,q)x=px\bar q

гэж өгөгдөх R(p,q):\mathbb{H}\to\mathbb{H} шугаман хувиргалтыг харгалзуулъя. Тэгвэл \mathbb{H}\eqsim\mathbb{R}^4 адилтгалын дор

R:S^3\times S^3\to SO(4)

нь S^3\times S^3 бүлгээс SO(4) рүү буулгасан эпиморфизм (ө.х. сюръектив гомоморфизм) бөгөөд, цөм нь \{(-1,-1),(1,1)\}. Өөрөөр хэблэл R нь 2:1 буулгалт ба

SO(4)\eqsim S^3\times S^3/\{\pm(1,1)\}\eqsim SU(2)\times SU(2)/\{\pm I\}.

Баталгаа. Юуны түрүүнд, R буулгалт бол гомоморфизм юм гэдэг нь

R(pr,qs)x=prx\overline{qs}=p(rx\bar s)\bar q=R(p,q)R(r,s)x

тэнцэтгэлээс илэрхий. Уг гомоморфизмын цөм нь

px\bar q=x\qquad\forall x\in\mathbb{H}

байдаг (p,q)\in S^3\times S^3 хосуудаас тогтоно. Энд x=1 гэж орлуулснаар p\bar q=1 буюу p=q байх ёстой нь харагдана. Өөрөөр хэлбэл бодлого маань

px\bar p=x\qquad\forall x\in\mathbb{H}

байдаг p\in S^3 элментүүдийг олох бодлогод шилжих ба, үүний шийд нь \{\pm1\} гэдгийг бид мэднэ. Тэгэхээр

\mathrm{ker}\,R=\{(-1,-1),(1,1)\}.

Цаашилбал,

|px\bar q|=|p||x||\bar q|=|x|

тул p,q\in S^3 үед R(p,q)\in O(4). Хэрэв u,v\in\mathbb{H} хоёр кватернионы үржвэрийг байгуулагчдаар нь задлан матриц-векторын үржвэр мэтээр бичвэл

uv = \begin{pmatrix}u_0v_0-u_1v_1-u_2v_2-u_3v_3\\u_0v_1+u_1v_0+u_2v_3-u_3v_2\\u_0v_2+u_2v_0+u_3v_1-u_1v_3\\u_0v_3+u_3v_0+u_1v_2-u_2v_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_0&-u_1&-u_2&-u_3\\u_1&u_0&-u_3&u_2\\u_2&u_3&u_0&-u_1\\u_3&-u_2&u_1&u_0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_0\\v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}

болох ба эндээс v\mapsto uv хувиргалтын тодорхойлогч

\det(v\mapsto uv)=\det\begin{pmatrix}u_0&-u_1&-u_2&-u_3\\u_1&u_0&-u_3&u_2\\u_2&u_3&u_0&-u_1\\u_3&-u_2&u_1&u_0\end{pmatrix}=|u|^4.

Мөн түүнчлэн \det(u\mapsto\bar u)=-1 гэдгээс

\det(u\mapsto u\bar v)=\det(u\mapsto\overline{v\bar u})=|v|^4

гарах тул p,q\in S^3 үед

\det R(p,q)=\det(x\mapsto px\bar q)=\det(px\mapsto px\bar q)\det(x\mapsto px)=|p|^4|q|^4=1

буюу R(p,q)\in SO(4).

Одоо R:S^3\times S^3\to SO(4) гомоморфизмыг сюръектив гэж харуулах л үлдлээ. Үүний тулд, Эйлерийн теоремын 4 хэмжээст өргөтгөлийг бид дор батлана. Тэр теоремоос, ямар ч A\in SO(4) матрицыг

A=V \begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha&0&0\\\sin\alpha&\cos\alpha&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} V^\top,\qquad V\in SO(4)

хэлбэрийн матрицуудын үржвэр хэлбэртэй тавьж болно гэж гарна. Өөрөөр хэбэл, 4 хэмжээст эргүүлэлтүүд нь 2 хэмжээст эргүүлэлтүүдээс бүтнэ. Цаашилбал, 2 хэмжээст эргүүлэлт бүр нь 2 ширхэг ойлтоос бүтнэ. Иймд R:S^3\times S^3\to SO(4) нь сюръектив гэдгийг батлахын тулд дараалсан 2 ойлт бүрийг R(p,q) хэлбэртэй бичиж болно гэж харуулахад хангалттай.

Хэрэв n\in S^3 бол энэ векторын дагуух ойлт

P_nx=x-2(x\cdot n)n

гэж өгөгдөнө. Үүнийг кватернион хэлбэрт бичихийн тулд

\displaystyle x\cdot n=\frac{|x+n|^2-|x|^2-1}2=\frac{(x+n)(\bar x+\bar n)-x\bar x-1}2=\frac{x\bar n+n\bar x}2

адилтгалыг ашиглавал

P_nx=x-(x\bar n+n\bar x)n=-n\bar x n

гарна. Тэгэхээр n,m\in S^3 векторуудын дагуу дараалуулж ойлгоход

P_mP_nx=m\overline{n\bar xn}m=m\bar nx\bar nm=m\bar nx\overline{\bar mn}=R(m\bar n,\bar mn)x

тул теорем батлагдлаа. \Box

Энэ теоремоос гарах зарим үр дүнг дурдвал:

  • SO(4) нь 6 хэмжээстэй компакт Ли бүлэг.
  • SO(4)-ийн универсаль хучилт нь S^3\times S^3\eqsim SU(2)\times SU(2).
  • Топологийн хувьд SO(4)\eqsim SU(2)\times{}SO(3)\eqsim S^3\times\mathbb{RP}^3.

Сүүлийнх нь үр дүн бага зэрэг тайлбар шаардана. Үүнд F:S^3\times(S^3/\{\pm1\})\to SO(4) гэсэн тасралтгүй буулгалтыг

F(p,q)=R(pq,q)

буюу

F(p,q)x=pqx\bar q

гэж тодорхойлъё. Дээрх теоремоос

R(p,q)=R(p',q')\qquad\Longrightarrow\qquad (p',q')=\pm(p,q)

гэж гарах тул, F буулгалтын урвуу нь

F:R(p,q)\mapsto (p\bar q,q)\in S^3\times(S^3/\{\pm1\})

томъёогоор өгөгдөнө.

Үргэлжлүүлэн унших

Posted in Геометр, Ли бүлэг | Tagged , , , | Сэтгэгдэл бичих

Кватернионы матрицан загвар ба SU(2)

Саяхны нэг постоор бид

i^2=j^2=k^2=ijk=-1

аксиомуудыг хангах i,j,k гэсэн хуурмаг нэгжүүдтэй

q=t+xi+yj+zk,\qquad t,x,y,z\in\mathbb{R},

хэлбэрийн объектууд нь кватернионы алгебр \mathbb{H} гээчийг үүсгэдэг болохыг үзсэн. Үүнтэй эквивалентаар, \mathbb{R}^4 огторгуйд

(\lambda,u)\cdot(\mu,v)=(\lambda\mu-u\cdot v,\lambda v+\mu u+u\times v)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3

гэсэн үржвэр оруулсныг бас кватернионы алгебр гэж тодорхойлж болно (энд \lambda,\mu\in\mathbb{R} ба u,v\in\mathbb{R}^3). Мөн түүнчлэн, q=(\lambda,u) гэсэн (тэг биш) кватернион бүрт

R(q)x =q\cdot(0,x)\cdot q^{-1}=x+2\lambda u\times x+2u\times(u\times x)

гэж тодорхойлогдох R(q):\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 гэсэн шугаман хувиргалтыг харгалзуулбал,

R:S^3\to SO(3)

нь нэгж кватернионуудын бүлгээс SO(3) бүлэг рүү буулгасан эпиморфизм (ө.х. сюръектив гомоморфизм) болно. Энэ гомоморфизмын цөм нь \pm1 тул R нь 2:1 буулгалт юм. Нэгж кватернионууд буюу версоруудын бүлэг нь кватернионы огторгуй дахь нэгж бөмбөлөг гэдгийг санацгаая:

S^3=\{x\in\mathbb{H}:|x|=1\}.

Кейли-Диксоны байгуулалт

Дээрх тодорхойлолтуудын эхнийх нь \mathbb{R}^4=\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}, хоёрдахь нь \mathbb{R}^4=\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3 гэсэн задаргаанд харгалзаж байгаа. Энэ постоор бид \mathbb{R}^4=\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2 буюу \mathbb{R}^4=\mathbb{C}\times\mathbb{C} задаргаа биднийг хааш нь хөтлөхийг харах гэж байна. Гэхдээ кватернионуудыг ярихын өмнө эхлээд комплекс тооны байгуулалтыг авч үзье. Комплекс тоонууд нь i^2=-1 байдаг i гэсэн элементийг бодит тоонууд дээр нэмснээр үүснэ. Хоёр комплекс тоог үржүүлэхэд

(a+bi)\cdot(x+yi)=ax-by+i(ay+bx).

Комплекс тоонуудыг бас (a,b)\in\mathbb{R}^2 маягийн хос бодит тоонууд гэж үзэж болох ба, энэ үед хоёр комплекс тооны үржвэр

(a,b)\cdot(x,y)=(ax-by,ay+bx)\qquad\qquad(*)

гэж тодорхойлогдоно. Цаашилбал, (x,y) хос бодит тоог баганан вектор гэж бодоод дээрх үржвэрийг матриц-векторын үржвэр байдлаар

\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax-by\\bx+ay\end{pmatrix}

гэж бичих боломжтой. Эндээс, комплекс тооны алгебр нь

\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix},\qquad a,b\in\mathbb{R},

хэлбэрийн матрицуудын алгебртай изоморф гэдэг нь харагдана.

Ингээд кватернионы сэдэв рүүгээ эргэж ороод, юуны түрүүнд

k=ij=-ji

гэдгийг ашиглан дурын кватернионыг

q=t+xi+yj+zk=t+xi+yj+zij=t+xi+(y+zi)j

эсвэл

q=t+xi+yj+zk=t+xi+yj-zji=t+xi+j(y-zi)

гэж бичиж болохыг ажиглая. Тэгэхээр, жишээлбэл сүүлийн хэлбэрийг нь сонговол, ямар ч кватернионыг

q=\alpha+j\beta,\qquad \alpha,\beta\in\mathbb{C},

маягаар бичиж болно гэсэн үг (\alpha,\beta параметрүүд «хуучин» t,x,y,z параметрүүдтэй \alpha=t+xi,\beta=y-zi гэж харьцахыг анхаар). Энэ дүрслэлдээ хоёр кватернионы үржвэрийг тооцоолъё. Үүнд

(a+bi)j=aj+bij=aj-bji=j(a-bi),\qquad a,b\in\mathbb{R},

буюу

\alpha j=j\bar\alpha,\qquad \alpha\in\mathbb{C},

гэсэн адилтгалыг хэрэглэн

(\alpha+j\beta)\cdot(u+jv)=\alpha u -\bar\beta v +j(\beta u+\bar\alpha v)

болохыг төвөггүй тооцож болно. Өөрөөр хэлбэл, (\alpha,\beta)\in\mathbb{C}^2 маягийн хос комплекс тоонууд дээр

(\alpha,\beta)\cdot(u,v)=(\alpha u -\bar\beta v,\beta u+\bar\alpha v)\qquad\qquad(**)

гэсэн үржвэр тодорхойлсноор кватернионы алгебр гарч ирэх нь. Комплекс хосмог гэсэн нэг шинэ үйлдэл орж ирснийг эс тооцвол энэ байгуулалт нь комплекс тооны (*) байгуулалттай яг адилхан байгаа. Мэдээж бодит тооны хосмог нь өөрөө тул (**) байгуулалт нь (*) байгуулалтыг агуулна. Цаашилбал, кватернионы хосмогийг

\overline{(\alpha,\beta)}=(\bar\alpha,-\beta)

гэж тодорхойлж болно. Энэ ерөнхий байгуулалтыг Кейли-Диксоны байгуулалт гэж нэрлэдэг. Кейли-Диксоны байгуулалтыг кватернионууд дээр давтан хийж, (p,q)\in\mathbb{H}^2 маягийн хос кватернионууд дээр шинэ алгебр тодорхойлох боломжтой. Тэгвэл 8 хэмжээстэй, октонионы алгебр гэж нэрлэгддэг зүйл гарч ирнэ.  Октонионоос цаашаа седенион гэх мэтчилэн явах боловч, октонионы алгебр нь ассоциатив биш, седенионы алгебр нь хуваалтын алгебр биш (ө.х. тэгийн хуваагчтай). Бодит тоон дээр төгсгөлөг хэмжээстэй ассоциатив хуваалтын алгебр дараах 3-аас өөр байхгүй гэдгийг Георг Фробениус 1877 онд баталсан: \mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}. Үргэлжлүүлэн унших

Posted in Алгебр, Геометр | Tagged , , , , , , , , , | Сэтгэгдэл бичих