Жирар-Ньютоны адилтгалууд

Виетийн теорем ёсоор,

\displaystyle  x^2+px+q=0 ,

тэгшитгэлийн шийдүүд

\displaystyle  x_1+x_2 = -p, \qquad x_1x_2 = q,

харьцааг хангана. Эндээс шийдүүдийн квадратуудын нийлбэр

\displaystyle  x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2 = p^2-2q ,

кубүүдийн нийлбэр

\displaystyle  x_1^3+x_2^3 = (x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2) = -p^3+3pq ,

гэх мэтчилэн цааш нь үргэлжлүүлж болно. Түүнчлэн,

\displaystyle  x^3+px^2+qx+r = 0 ,

гэсэн куб тэгшитгэлийн шийдүүд

\displaystyle  x_1+x_2+x_3 = -p , \qquad q = x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 , \qquad x_1x_2x_3 + r = 0 ,

харьцааг хангах тул дээрхтэй төстэйгөөр

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  x_1^2+x_2^2+x_3^2 &=& p^2 - 2q , \\ x_1^3+x_2^3+x_3^3 &=& - p^3 + 3pq - 3r , \end{array}

гээд явж болно. Тухайлбал, куб тэгшитгэлийн хувьд {p=q=0} байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь шийдүүдийн 1-р ба 2-р момент (буюу дундаж, дисперс хоёр) хоёулаа 0 байх явдал юм:

\displaystyle  p=q=0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad x_1+x_2+x_3 = x_1^2+x_2^2+x_3^2 = 0 .

Дээрх адилтгалуудыг дурын зэргийн олон гишүүнтийн хувьд өргөтгөсөн хэлбэрийг Франц-Голландын математикч Альбер Жирар (1595–1632) олж «Алгебрын шинэ нээлтүүд» (1629) бүтээлдээ хэвлүүлсэн. Үүнтэй эквивалент томъёог Ньютон сүүлд «Универсаль арифметик» (1707) номондоо оруулсан байдгаас Ньютоны адилтгалууд гэж нэрлэх нь ч бий. Жирар, Ньютон нар адилтгалуудаа баталгааны оронд олон жишээний дэмжлэгтэйгээр дурдсан байдаг бол, анхны баталгааг нь Английн математикч Колин Маклорен (1698–1746) болон манай Их багш нар бараг нэгэн зэрэг хийжээ. Бид энд их багшийн нэг баталгааг толилуулъя.

Теорем 1. Хэрэв

\displaystyle  f(x) = x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0

олон гишүүнтийн язгууруудыг {x_1,\ldots,x_n}, эдгээр язгууруудын {k} дахь моментыг

\displaystyle  \mu_k=x_1^k+x_2^k+\ldots+x_n^k

гэж тэмдэглэвэл, дараах адилтгалууд хүчинтэй.

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \mu_1+a_{n-1} &=& 0 , \\ \mu_2+\mu_1a_{n-1} + 2a_{n-2} &=& 0 , \\ \mu_3+\mu_2a_{n-1} + \mu_3a_{n-2} + 3a_{n-3} &=& 0 , \\ \ldots &\ldots& \\ \mu_{n-1}+\mu_{n-2}a_{n-1}+\ldots+\mu_1a_2+(n-1)a_1 &=& 0 , \\ \mu_{n}+\mu_{n-1}a_{n-1}+\ldots+\mu_1a_1+na_0 &=& 0 , \\ \mu_{n+1}+\mu_{n}a_{n-1}+\ldots+\mu_2a_1+\mu_1a_0 &=& 0 , \\ \ldots &\ldots& \\ \end{array}

Баталгаа. Юуны түрүүнд, олон гишүүнтээ

\displaystyle  f(x) = (x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)

хэлбэрт бичвэл, логарифм нь

\displaystyle  \ln f(x) = \ln(x-x_1)+\ln(x-x_2)+\ldots+\ln(x-x_n)

болох ба, эндээсээ уламжлал авснаар

\displaystyle  \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac1{x-x_1}+\frac1{x-x_2}+\ldots+\frac1{x-x_n}

гэж гарна. Үүний баруун гар талынх нь гишүүн бүрийг Нейманы цуваанд

\displaystyle  \frac1{x-x_i} = \frac1{x}\cdot\frac1{x_i/x} = \frac1{x}\Big( 1+\frac{x_i}{x}+\frac{x_i^2}{x^2} + \ldots \Big) = \frac1{x} + \frac{x_i}{x^2} + \frac{x_i^2}{x^3} + \ldots

гэж задлаад, бүгдийг нь хооронд нь нэмбэл

\displaystyle  \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{n}{x} + \frac{\mu_1}{x^2} + \frac{\mu_2}{x^3} + \frac{\mu_3}{x^4} + \ldots

тэнцэтгэлд хүрнэ. Одоо хоёр талыг нь {f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0} илэрхийллээр үржүүлээд, төсөөтэй гишүүдийг бүлэглэж бичвэл

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  f'(x) &=& nx^{n-1} + (\mu_1+na_{n-1})x^{n-2} + (\mu_2+\mu_1a_{n-1}+na_{n-2})x^{n-3} \\ &&+\ldots + (\mu_{n-2}+\mu_{n-3}a_{n-1}+\ldots+\mu_1a_3+na_2)x \\ &&+ (\mu_{n-1}+\mu_{n-2}a_{n-1}+\ldots+\mu_1a_2+na_1) \\ &&+ (\mu_{n}+\mu_{n-1}a_{n-1}+\ldots+\mu_1a_1+na_0)x^{-1} \\ &&+ (\mu_{n+1}+\mu_{n}a_{n-1}+\ldots+\mu_2a_1+\mu_1a_0)x^{-2} + \ldots \end{array}

болно. Эцэст нь үүнийгээ

\displaystyle  f'(x) = nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + (n-2)a_{n-2}x^{n-3} + \ldots 2a_2 + a_1 ,

тэнцэтгэлтэй харьцуулснаар теорем батлагдана. \Box

Альбер Жирар (1595–1632). Колин Маклорен (1698–1746).

Сурталчилгаа
Posted in Алгебр, түүх | Tagged , , , , | Сэтгэгдэл бичих

Виетийн теорем

Дунд сургуулийн хичээлээс бид

\displaystyle  x^2+px+q=0 , \ \ \ \ \ (1)

тэгшитгэлийн шийдүүд, Виетийн теорем гэж нэрлэгдсэн

\displaystyle  x_1+x_2 = -p, \qquad x_1x_2 = q,

харьцааг хангадгийг мэднэ. Тухайлбал, бүтэн квадрат ялгана гэдэг нь хоёр шийдийн нийлбэрийг 0 байлгахаар (координатын эхийг зөөх) хувиргалт хийж байна гэсэн үг. Түүнчлэн, {x_1} бүхэл, {q} бүхэл бол {x_1} нь {q}-ийн хуваагч байх ёстой. Үүнийг бол Кардано ч мэддэг байсан. Харин Франсуа Виет (1540–1603) өөрийн «синкрезис» аргыг ашиглан дээрх харьцааг 5 хүртэлх зэргийн тэгшитгэлүүд рүү өргөтгөж, «Хос бүтээл» (1615) номондоо хэвлүүлжээ.

Виетийн «синкрезис» аргыг куб тэгшитгэл дээр тайлбарлая. Юуны өмнө, тэгшитгэлээ

\displaystyle  x^3+px^2+qx+r = 0 ,

гэж тохиръё. Энэ тэгшитгэл {x_1,x_2,x_3} гэсэн 3 шийдтэй бол

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  x_1^3+px_1^2+qx_1+r &=& 0 , \\ x_2^3+px_2^2+qx_2+r &=& 0 , \\ x_3^3+px_3^2+qx_3+r &=& 0 . \end{array}

Дундах тэгшитгэлийг эхний тэгшитгэлээс хасаад, {x_1-x_2} хэмжигдэхүүнд хуваагаад, сүүлийн хоёр тэгшитгэл дээр бас энэ үйлдлээ давтвал

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  x_1^2+x_1x_2+x_2^2+p(x_1+x_2)+ q &=& 0 , \\ x_2^2+x_2x_3+x_3^2+p(x_2+x_3)+ q &=& 0 , \\ \end{array}

гарна. Одоо энэ хоёрыгоо хооронд нь хасаад, {x_2-x_3} хэмжигдэхүүнд хуваавал

\displaystyle  x_1+x_2+x_3+p = 0 .

Эцэст нь үүнийгээ өмнөх тэгшитгэлүүддээ орлуулан

\displaystyle  q = x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 ,

ба

\displaystyle  x_1x_2x_3 + r = 0 ,

харьцаануудыг гарган авч болно. Дээрх гурван адилтгал бол Виетийн теоремын куб тэгшитгэлд зориулагдсан хувилбар нь юм. Эндээс, куб тэгшитгэлийг хураангуй хэлбэрт оруулах нь шийдүүдийн нийлбэрийг 0 болгох (ө.х. координатын эхийг шийдүүдийн хүндийн төв рүү зөөх) үйлдэл болох нь харагдана. Үүн дээр нэмээд, хэрэв куб тэгшитгэлийг бүрэн бодъё гэвэл анхныхаа тэгшитгэлийг ямар нэг аргаар {x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=0} нөхцлийг хангах тэгшитгэлүүд рүү хөрвүүлэх хэрэгтэй гэсэн үг.

Дасгал 1. Дээрх гаргалгаанд бүх шийдүүд нь хоорондоо ялгаатай гэж үзсэн. Тэнцүү шийдүүдтэй үед гаргалгааг яаж зөвтгөх вэ?

Дасгал 2. Виетийн «синкрезис» аргыг 4 зэргийн тэгшитгэл дээр хэрэглэ.

Виетийн теоремын цаадах нууцыг бүрэн тайлж үзүүлсэн хүн бол Английн математикч Томас Хэрриот (1560–1621) бөлгөө. Тэрбээр {n} зэргийн

\displaystyle  f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0 , \ \ \ \ \ (2)

олон гишүүнт {x_1,x_2,\ldots,x_n} гэсэн язгууруудтай бол, уг олон гишүүнт

\displaystyle  f(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n), \ \ \ \ \ (3)

байдлаар задарна гэдгийг нээжээ (Дасгал!). Энэ задаргааны хаалтуудыг нээж үржүүлэн, (2) илэрхийлэлтэй харьцуулснаар Виетийн теоремын хамгийн ерөнхий хэлбэр шууд мөрдөнө. Тухайлбал,

\displaystyle  a_{n-1} = -\sum_{1\leq i\leq n}x_i, \qquad a_{n-2} = \sum_{1\leq i<j\leq n}x_ix_j, \quad\ldots,\quad a_0 = (-1)^nx_1\cdots x_n .

Эцэст нь, {n} зэргийн олон гишүүнт бүр {n} ширхэг язгууртай байх уу гэсэн асуулт гарч ирнэ. Энэ ауултын хариулт нь Алгебрын үндсэн теорем бөгөөд, комплекс язгууруудыг оруулж тоолбол, {n} зэргийн олон гишүүнт бүр {n} ширхэг язгууртай гэж тунхагладаг. Тэгэхээр ямар ч олон гишүүнтийг (3) маягаар шугаман функцүүдийн үржвэрт задалж болно гэсэн үг. Алгебрын үндсэн теоремыг анх томъёолж, комплекс язгууруудыг тоолохгүй бол болохгүй гэдгийг анх ойлгосон хүн нь Франц-Голландын математикч Альбер Жирар (1595–1632) юм. Харин баталгааг нь хийх гэж дэлхийн сор математикчид 200 орчим жил оролдоод бараагүй бөгөөд 1806 онд Францын жижиг бизнес эрхлэгч, математикч Жан Робер Арган (1768–1822) сая анхны бүрэн баталгааг олжээ.

Франсуа Виет (1540–1603). Томас Хэрриот (1560–1621).

Posted in Алгебр, түүх | Tagged , , , , , | Сэтгэгдэл бичих

Дөрвөн зэргийн тэгшитгэл

Дөрвөн зэргийн тэгшитгэлийг бодох ерөнхий аргыг анх олсон хүн бол Жероламо Карданы авъяаслаг шавь Лодовико Феррари (1522–1565) юм. Тэрбээр 14 настайдаа Карданы шавь болсон ба авъяас билэг нь тэр дороо цэцэглэж, Кардантай мөр зэрэгцэн судалгаа хийж эхэлсэн. Ингээд 20 хүрээгүй байхдаа Ром хотод математикийн профессор болж, төд удалгүй Милан хотын захирагчийн дэргэд цалин ихтэй албанд ороод, 42 настайдаа нилээд хөрөнгөжүү хүн тэтгэвэртээ гарсан боловч, жилийн дараа хэн нэгэнд хорлогдон нас баржээ. Карданы бичсэнээр бол Феррариг дүү нь хорлосон гэдэг. Ямар ч байсан Маддалена гэгдэх дүү нь Феррарийн бүх хөрөнгийг өвлөж авсан ба Феррарийн оршуулганд ч оролцоогүйгээр барахгүй оршуулганаас нь 14 хоногийн дараа нөхөрт гарсан гэж байгаа. Гэхдээ шинэ нөхөр нь удалгүй бүх хөрөнгийг нь аваад салж, Маддалена өөрөө нас эцэслэтлээ гуйлгачны амьдралаар амьдарсан гэдэг.

Ферраригаас өмнө кубээс дээш зэргийн тэгшитгэлийн судалгаа нь зөвхөн дараах чиглэлүүд дээр төвлөрч байв:

  • олон үл мэдэгдэгчтэй тохиолдол,
  • квадрат тэгшитгэлд шууд шилжих (биквадрат гэх мэт) тэгшитгэлүүд,
  • шийдийг орон орноор нь тооцдог ойролцоо аргууд.

Тухайлбал, агуу Диофант өөрийн «Арифметик» (МЭ 250 оны орчим) бүтээлд олон үл мэдэгдэгчтэй (3, 4, 6 зэргийн) олон гишүүнт тэгшитгэлийн (болон систем тэгшитгэлийн) рациональ шийдүүдийг судалсан.

Цаашилбал, эртний Хятадад Ван Сяо-тун (МЭ 580–640) биквадрат буюу

\displaystyle  x^4+bx^2=c

хэлбэрийн тэгшитгэлүүдийг бодох аргыг олсон бол, Энэтхэгт Махавира (МЭ 8-р зуун)

\displaystyle  a(x^n-1)=b(x-1)

болон

\displaystyle  a\sqrt{x}+b\sqrt{x-a\sqrt{x}}=c

маягийн тэгшитгэлүүдийн шийдийг шууд тааж олсон байдаг. Түүнчлэн, Исламын эзэнт гүрний аль-Каражи (953–1029) ба аль-Бируни (973–1050) нар

\displaystyle  x^{2n+m}+bx^{n+m}=cx^m

хэлбэрийн тэгшитгэлийг бодож чаддаг байсан. Мөн Ибн Лайс (10-р зуун) зарим куб болон 4 зэрэгт тэгшитгэлийг конус огтлол ашиглан бодсон. Нөгөө талаас, Аль-Бируни (973–1050), Омар Хайям (1048–1131), Мароккийн Самуил (1130–1180) нар тооноос {n} зэргийн язгуурыг орон орноор нь гаргах алгоритмыг боловсруулжээ. Үүнтэй төстэй алгоритмыг Хятадад Цзя Сянь (1010–1070) куб, 4 зэргийн язгуурын хувьд нээсэн нь 200-аад жилийн дотор дурын зэргийн олон гишүүнт тэгшитгэлийн системийг бодох алгоритм болтлоо хөгжсөн. Тухайлбал, Цинь Цзюшао (1202–1261) «Математикийн 9 ном» (1247) бүтээлдээ 10 хүртэлх зэргийн тэгшитгэлийг, Чжу Шицзе (1249–1314) «Дөрвөн үл мэдэгдэгчийн хаш толь» (1303) бүтээлдээ 14 хүртэлх зэргийн тэгшитгэл төдийгүй 4 ширхэг олон гишүүнт тэгшитгэлээс бүтсэн системийг бодсон байдаг. Харин Арабчуудын хувьд иймэрхүү алгоритмыг Шарафуддин ат-Туси (1135–1213) куб тэгшитгэлийн хувьд боловсруулсан боловч кубээс дээш зэргийн олон гишүүнтүүд рүү өргөтгөөгүй.

Эцэст нь тэмдэглэхэд, Энэтхэгийн Бхаскара II (1114–1185)

\displaystyle  x^4-2x^2-400x=9999

тэгшитгэлийг {x^4+2x^2+1=4x^2+400x+10000} хэлбэрт шилжүүлээд, хоёр талаас нь шууд язгуур авах замаар бодож байсан. Үргэлжлүүлэн унших

Posted in Алгебр, түүх | Tagged , , , , , | Сэтгэгдэл бичих

Куб тэгшитгэл

Куб тэгшитгэлийн (эерэг) шийдүүдийг олох ерөнхий геометр аргыг анх томъёолсон хүн бол Персийн алдарт яруу найрагч, математикч Омар Хайям (1048–1131) билээ. Омар Хайямын бүтээлийг исламын алтан үеийн математикийн оргил цэг гэж үзэж болно. Түүнээс өмнө куб тэгшитгэлийн судлал яаж хөгжиж ирсэн талаар товч дурдъя.

МЭӨ 20-р зууны үед эртний Вавилончууд {x^3+x^2=b} маягийн тэгшитгэлийг (ойролцоогоор) бодохдоо {n^3+n^2} хэмжигдэхүүнийг ({n=1,2,\ldots} үед) жагсааж бичсэн хүснэгт ашигладаг байсан ул мөр бий. Үнэндээ ямар ч куб тэгшитгэлийг ийм хэлбэрт шилжүүлэх боломжтой. Гэхдээ Вавилончууд ингэж шилжүүлж чаддаг байсныг батлах баримт олдоогүй.

Өгөгдсөн кубээс 2 дахин их эзэлхүүнтэй кубын ирмэгийн уртыг олох бодлого эртний Грект «куб ихэрлүүлэх бодлого» нэрээр ихэд алдаршжээ. Үүнээс дутахааргүй алдартай өөр нэг бодлого бол өгөгдсөн өнцгийг 3 тэнцүү хуваах бодлого юм. Грекийн сонгодог геометрт гортиг шугамаар байгуулсан байгуулалт л зөвшөөрөгдөх тул, одоогийн өндөрлөгөөс харвал, куб ихэрлүүлэх бодлого нь {\sqrt[3]{2}} урттай хэрчмийг, өнцгийг 3 хуваах бодлого нь {4x^3-3x=b} тэгшитгэлийн шийдийг гортиг шугам ашиглан байгуулах бодлогуудтай дүйнэ. Эдгээр бодлогуудыг үнэндээ гортиг шугамаар шийдэх боломжгүй гэдгийг 1837 онд Францын математикч Пьер Ванцель (1814–1848) баталсан. Харин эртний Грекчүүд гортиг шугамаар яаж ч оролдоод бүтэхгүй болохоор илүү ерөнхий геометр байгуулалтууд руу шилжихээс өөр аргагүй байдалд хүрсэн. Координатын хавтгай, функцийн график байтугай алгебрын тэмдэглэгээ тэр үед хөгжөөгүй байсан тул дор дурдагдах байгуулалтуудыг бид орчин үеийн тэмдэглэгээ ашиглан тайлбарлах боловч тэр үедээ бол бүгд цэвэр геометр хэлбэртэй байсан гэдгийг анхаараарай.

  • Гиппократ (МЭӨ 470–410) өнцгийг 3 тэнцүү хувааж чадах механик багаж санаачлав. Мөн куб ихэрлүүлэхийг {\frac{1}{x}=\frac{x}{y}=\frac{y}{2}} пропорцод шилжүүлэв.
  • Гиппий (МЭӨ 5-р зуун) өөрийн санаачилсан квадратис нэртэй муруйг ашиглан, Архит (МЭӨ 428–347) гурван хэмжээст геометр байгуулалт ашиглан тус тус кубыг ихэрлүүлэв.
  • Куб ихэрлүүлэх бодлогыг Менехм (МЭӨ 380–320) {y^2=2x} ба {x^2=y} гэсэн хоёр параболын огтлолцол хэлбэрээр, мөн {y^2=2x} ба {xy=1} гэсэн парабол, гиперболын огтлолцол хэлбэрээр бодов.
  • Архимед (МЭӨ 287–212) {x^2-x^3=b} тэгшитгэлийг {y=x^2} ба {(1-x)y=b} гэсэн парабол, гиперболын огтлолцол хэлбэрээр бодов. Өнцөг 3 хуваах бодлогыг шийдэх хоёр арга санаачлав: Нэг нь Архимедийн спираль гэгддэг муруйг, нөгөө нь сүүлд конхоид гэж нэрлэгдсэн муруйн шинж чанарыг ашигласан.
  • Филон (МЭӨ 280–220) куб ихэрлүүлэх бодлогыг Филоны шулуун ашиглан бодов. Сүүлд Аполлоний (МЭӨ 262–190), Герон (МЭ 10–70) нар үүнтэй үндсэндээ адилхан бодолтууд олсон. Эдгээр байгуулалтууд хоёр параболын огтлолцол олж байгаатай эквивалент.
  • Никомед (МЭӨ 280–210) конхоид муруйг тодорхойлж, Гиппократ, Архимед нарын өнцгийг 3 хуваах шийдлүүд үнэндээ конхоид ашигласан болохыг тогтоов. Цааш нь, конхоидоо ашиглан кубыг ихэрлүүлэв.
  • Эратосфен (МЭӨ 276–194) {\frac{1}{x}=\frac{x}{y}=\frac{y}{z}} пропорцтой хэрчмүүдийг шууд байгуулдаг механик багаж санаачлав. Одоогийн хэлээр бол, энэ нь үндсэндээ {z=x^3} функцийн графикийг байгуулдаг багаж байсан.
  • Аполлоний (МЭӨ 262–190) алдарт «Конус огтлол» бүтээлээ туурвиж, куб ихэрлүүлэх, өнцөг 3 хуваах бодлогуудад конус огтлолыг ашиглав.
  • Диокл (МЭӨ 240–180) өөрийн санаачилсан циссоид муруйн тусламжтайгаар кубыг ихэрлүүлэв.
  • Диофантын «Арифметик» (МЭ 250 оны орчим) бүтээлд {x^3+x=4x^2+4} тэгшитгэлийн шийдийг шууд {x=4} гэж (тааж) олсон байдаг. Гэхдээ 2 хувьсагчтай куб тэгшитгэлийг зохих орлуулгын тусламжтайгаар 1 хувьсагчтай квадрат тэгшитгэл рүү шилжүүлэн рациональ шийд олсон жишээ олон бий.

Эртний Хятадад бодлогын шийдийг аравтын орон орноор нь тооцдог аргууд нилээд хөгжсөн. Тухайлбал, «Есөн бүлэгт тооны урлаг» (МЭӨ 2-р зуун) бүтээлд тооноос куб язгуур гаргадаг алгоритмыг дурдсан байдаг. Ван Сяо-тун (МЭ 580–640) «Эртний математикийн үргэлжлэл» бүтээлдээ куб тэгшитгэлийн ойролцоо шийдийг олсон олон жишээ оруулсан боловч яг ямар аргаар бодсоноо тайлбарлаагүй. Куб язгуур гаргах алгоритмыг Цзя Сянь (1010–1070) төгс хэлбэрт нь оруулсан бол, үүнийг куб (болон өндөр зэргийн) тэгшитгэл боддог болгож өргөтгөсөн хэлбэрийг Ли Е (1192–1279), Цинь Цзюшао (1202–1261) нар бичиж үлдээсэн байдаг.

Энэтхэгт Ариабхата (МЭ 476–550) куб язгуур гаргах алгоритмыг нээсэн боловч куб тэгшитгэлийн судалгаа тухайн үедээ сайн хөгжөөгүй. Бүр сүүлд Бхаскара II (1114–1185) {x^3+12x=6x^2+35} тэгшитгэлийг шууд {x^3-6x^2+12x-8=(x-2)^3} гэсэн задаргааны тусламжтай бодсон байдаг.

Исламын алтан үеийн математик нь эртний Грек болон тухайн үеийн Энэтхэг, Хятадын математикийн уулзвар цэг дээрээс гараагаа эхэлснээрээ онцлогтой.

  • Жафар аль-Хазин (900–971), Ибн Лайс (10-р зуун), Ибн аль-Хайсам (965–1040) нар зарим куб тэгшитгэлийг конус огтлолын тусламжтай бодов.
  • Аль-Бируни (973–1050) өнцгийг 3 хуваах бодлогыг ойролцоогоор бодсон.
  • Бидний мэдэж байгаагаар тооноос куб язгуур гаргах алгоритмын талаар Араб хэл дээрх анхны бүтээлийг аль-Уклидиси (МЭ 10-р зуун) бичсэн юм. Түүнчлэн, ибн Лаббан (971–1029), ибн Тахир (980–1037), ан-Насави (1011–1075) нар энэ сэдвээр туурвисан байдаг. Эдгээр алгоритмууд Энэтхэг, Хятадын алгоритмуудтай «хамаатнууд» байж мэдэх боловч ийм холбоо байсан гэдгийг нотлох баттай баримт олдоогүй.
  • Дээрх алгоритмыг Шарафуддин ат-Туси (1135–1213) дурын куб тэгшитгэлийн шийдийг орон орноор нь бодох алгоритм болгож өргөтгөсөн. Мөн куб тэгшитгэлийн дискриминантыг нээв. Сонирхолтой нь, ат-Тусийн алгоритм, Хятадын Цзюшаогийн алгоритм, сүүлд Европт Виетээр эхлээд Руффини, Горнер нарын төгөлдөржүүлсэн алгоритм гурав хоорондоо эгч дүүс гэж хэлж болохоор маш төстэй алгоритмууд юм.

Үргэлжлүүлэн унших

Posted in Алгебр | Tagged , , , , , , , , | Сэтгэгдэл бичих

Квадрат тэгшитгэл

Одоогоос дөрвөн мянгаад жилийн өмнө эртний Египтчүүд {ax^2=c} маягийн тэгшитгэлийг, тэдэнтэй нэг цаг үеийн Вавилончууд {x(b\pm x)=c} маягийн квадрат тэгшитгэлүүдийг бодож чаддаг байсан ул мөр бий. Үүнээс хойш квадрат тэгшитгэлийн талаарх ойлголт яаж хөгжсөн, энэ нь алгебр гэсэн шинэ салбарыг төрүүлээд зогсохгүй орчин үеийн математикийн тэмдэглэгээг үүсэхэд хэрхэн нөлөөлснийг товч өгүүлье.

  • МЭӨ 300–500 оны үеийн «Таттварха-сутра» зэрэг эртний Энэтхэг судруудад квадрат тэгшитгэлийг геометр аргаар бодсон жишээнүүд тохиолддог.
  • Евклидийн «Эхлэл» болон «Өгөгдөл» (МЭӨ 300 оны орчим) бүтээлд Вавилоны {x(b\pm x)=c} тэгшитгэлүүдийг (шулуун ба тойргийн огтлолцлыг олох бодлогод шилжүүлэн) геометр аргаар бодсон буй.
  • Эртний Хятадын «Есөн бүлэгт тооны урлаг» бүтээл (МЭӨ 2-р зуун) болон түүн дээр Лю Хуэйгийн нэмсэн тэмдэглэлд (МЭ 3-р зуун) {x^2+bx=c} маягийн хэд хэдэн тэгшитгэлийг бодсон байдаг.
  • Бахшалийн гар бичмэлд (МЭ 3-р зуун) квадрат тэгшитгэл бодсон жишээ бий.
  • Диофантын «Арифметик» (МЭ 250 оны орчим) бүтээлд эерэг коэффициенттэй, эерэг шийдтэй байж болох бүх төрлийн квадрат тэгшитгэлийг бодсон жишээнүүд бий. Гэхдээ ерөнхий аргын талаар нэг ч үг дурдаагүй, зөвхөн эерэг рациональ шийдүүдийг л авч үзсэнээс гадна квадрат тэгшитгэл хоёр шийдтэй байж болох талаар ойлголттой байсан шинж байхгүй.
  • Энэтхэгийн математикч Ариабхата (МЭ 476–550) арифметик прогрессыг судлах явцдаа (өөрөө мэдэлгүйгээр) ерөнхий коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийг бодсон.
  • Түүнчлэн, Брахмагупта (МЭ 598–668) тэг болон сөрөг тоотой ажиллах дүрмүүдийг түүхэнд анх удаа боловсруулж, квадрат тэгшитгэлийг бодох ерөнхий аргыг томъёолсон. Квадрат тэгшитгэл хоёр шийдтэй байж болно гэдгийг Брахмагупта мэддэг байсан бөгөөд сөрөг болон иррациональ шийдүүдийг ч авч үзсэн. Гэхдээ тэр үед сөрөг тооноос квадрат язгуур авдаггүй байсан учраас мэдээж комплекс шийдтэй тохиолдлуудыг орхигдуулсан.

Бүр эртний математикт одоогийнх шиг «томъёо» гэсэн ойлголт байхгүй, бүх зүйлийг үгээр тайлбарладаг байсан бол, Диофант, Брахмагупта нар алгебрын тооцоог ихээр хялбарчилсан тэмдэглэгээнүүдийг оруулж ирснээрээ онцлогтой. Жишээлбэл,

\displaystyle  x^2-2x-3=2

гэсэн тэгшитгэл Диофантын тэмдэглэгээгээр

\displaystyle  \Delta\!^\gamma\bar\alpha\Psi\varsigma\bar\beta M\bar\gamma\iota\sigma M\bar\delta

болно. Үүнд

  • {\Delta\!^\gamma} нь үл мэдэгдэгчийн квадрат зэрэг (ө.х. {x^2}),
  • {\varsigma} нь үл мэдэгдэгчийн дан зэрэг (ө.х. {x^1=x}),
  • {M} нь үл мэдэгдэгчийн тэг зэрэг (буюу 1),
  • {\bar\alpha,\bar\beta,\bar\gamma,\bar\delta} нь харгалзан 1, 2, 3, 4 тоонууд,
  • {\iota\sigma} нь «тэнцүү» гэсэн үгийн товчлол,
  • {\Psi} тэмдгийн өмнөх гишүүд эерэг, ардах гишүүд нь бүгд сөрөг (ө.х. өмнөө хасах тэмдэгтэй) гэж тооцогдоно. [Үнэндээ Диофант доошоо харсан {\Psi} тэмдэгтийг хэрэглсэн боловч энэ блог дээр тийм тэмдэгт гаргах боломж олдсонгүй.]

Тэгэхээр дээрх тэгшитгэл

\displaystyle  x^2\cdot1-(x^1\cdot2+x^0\cdot3)=x^0\cdot4

маягтай бичигдэж байна гэсэн үг. Иймэрхүү тэмдэглэгээнүүд нь одоогийнхтой харьцуулахад болхи мэт боловч тэр үедээ том дэвшил байсан байж таараа. Үргэлжлүүлэн унших

Posted in Алгебр | Tagged , , , , , , , , | Сэтгэгдэл бичих

Шугаман хувиргалт

E ба F нь K талбар дээрх шугаман огторгуйнууд болог. Хэрэв T:E\rightarrow F буулгалт дурын x,y\in E векторууд ба \alpha\in K скалярын хувьд T(\alpha x+y)=\alpha T(x)+T(y) нөхцлийг хангадаг бол түүнийг шугаман хувиргалт (өөрөөр шугаман функц, шугаман буулгалт, шугаман оператор) гэнэ. Шугаман хувиргалтын дүр ба цөмийг харгалзан

\mathrm{im}\, T=\{Tx : x\in E\}

ба

\mathrm{ker}\,T=\{x\in E:Tx=0\}

гэж тодорхойлно.

Жишээ 1. Дурын бэхлэгдсэн \alpha\in K элементийн хувьд x\mapsto\alpha x : E\rightarrow E нь шугаман хувиргалт болно. Иймд адилтгал хувиргалт x\mapsto x, тэг буулгалт x\mapsto0 нь шугаман хувиргалтууд.

Лемм. \mathrm{im}\,T\subset F ба \mathrm{ker}\,T\subset E нь шугаман дэд огторгуйнууд болно. Мөн T:E\rightarrow F нь инъектив байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь \mathrm{ker}\,T=\{0\} байх явдал ба цаашилбал T нь инъектив үед түүний урвуу T^{-1}:\mathrm{im}\,T\rightarrow E нь шугаман хувиргалт байна.

Дасгал 1. Дээрх леммыг батал.

Жишээ 2. X нь E-ийн шугаман дэд огторгуй бол натурал проекцлол \pi:E\rightarrow E/X нь шугаман хувиргалт болно. Цаашилбал дурын шугаман хувиргалт T:E\rightarrow F нь E\stackrel{\pi}\rightarrow E/X\stackrel{t}\rightarrow F гэж задрах зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь X\subset\mathrm{ker}\,T байх явдал болно.

Хэрэв шугаман хувиргалт T:E\rightarrow F нь инъектив ба сюръектив бол түүнийг E-ийн F дээрх (шугаман огторгуйн) изоморфизм гэнэ. Хоёр шугаман огторгуйн хооронд изоморфизм оршдог бол тэдгээрийг хоорондоо изоморф огторгуйнууд гэдэг. Хоорондоо изоморф огторгуйнууд ижил шугаман бүтэцтэй байна.

S,T:E\rightarrow F хоёр шугаман хувиргалт өгөгдсөн үед тэдгээрийн нийлбэрийг

(S+T)(x)=S(x)+T(x),\qquad x\in E,

гэж, \alpha\in K ба T-ийн үржвэрийг

(\alpha T)(x)=\alpha T(x),\qquad x\in E,

гэж тодорхойлъё. Тэгвэл E-ээс F рүү буулгасан бүх шугаман хувиргалтуудын олонлог L(E,F) нь дээрх үйлдлүүдийн хувьд K дээрх шугаман огторгуй болно. Бид L(E,K) огторгуйг E-ийн (алгебрын) хосмог огторгуй гээд E^*=L(E,K) гэж тэмдэглэнэ. Энэ хосмог огторгуйн элементүүдийг E дээрх шугаман хэлбэрүүд (эсвэл шугаман функционалиуд) гэж ярьна.

Одоо E,F ба G нь K дээрх шугаман огторгуйнууд, T:E\rightarrow F ба S:F\rightarrow G нь шугаман хувиргалтууд болог. Тэгвэл ST үржвэрийг композиц ашиглан ST=S\circ T:E\rightarrow G гэж тодорхойлно. S ба T-ийн композиц (буюу давхарлалт) нь

(S\circ T)(x)=S(T(x)),\qquad x\in E,

гэж тодорхойлогддогийг санавал шугаман хувиргалтуудын үржвэрийн дараах чанаруудыг (хэрэгтэй бүх үржвэрүүд нь тодорхойлогдсон үед) хялбархан баталж болно:

  1. R(ST)=(RS)T,
  2. R(S+T)=RS+RT; (R+S)T=RT+ST,
  3. \alpha (ST) = (\alpha S)T = S(\alpha T).

Хэрэв вектор огторгуйд дээрх 3 нөхцлийг хангахаар үржих үйлдэл тодорхойлгогдсон бол түүнийг (шугаман) ассоциатив алгебр гэдэг. Алгебрын үржих үйлдэл нь нэгжтэй бол түүнийг нэгжтэй (эсвэл унитал) алгебр гэнэ. Алгебрын элементүүд урвуутай байх албагүй.

Тэгэхээр E дээрх бүх шугаман хувиргалтуудын огторгуй L(E)=L(E,E) нь шугаман ассоциатив алгебр болох нь. Адилтгал хувиргалт композиц үржвэрийн хувьд нэгж учир энэ нь нэгжтэй алгебр. T\in L(E) нь урвуутай байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь \mathrm{im}\,T=E ба \mathrm{ker}\,T=\{0\} байх явдал болно.

Дээр S ба T-ийн композицийг бид E\stackrel{T}\rightarrow F\stackrel{S}\rightarrow G\,=\,E\stackrel{S\circ T}\rightarrow G гэж тодорхойлсон байгаа. Энд S нь

S_*:T\mapsto S\circ T:L(E,F)\rightarrow L(E,G)

гэсэн буулгалт тодорхойлж байна. S_*T=S\circ T элементийг T-ийн S-ийн дагуух түлхлэг гэж нэрлэдэг. Нөгөө талаас, T нь

T^*:S\mapsto S\circ T:L(F,G)\rightarrow L(E,G)

гэсэн буулгалт тодорхойлно. T^*S=S\circ T элементийг S-ийн T дээрх татлага гэж нэрлэдэг. S_* ба T^* буулгалтуудыг шугаман болохыг хялбархан харуулж болно.

Татлагын тодорхойлолтонд G=K гэж авснаар T^*:L(F,K)\rightarrow L(E,K) буюу T^*:F^*\rightarrow E^* байна. Өөрөөр хэлбэл T:E\rightarrow F шугаман хувиргалт болгоны хувьд T^*:F^*\rightarrow E^* гэсэн шугаман хувиргалт харгалзуулж болно. Энэ T^*T-ийн хосмог (эсвэл хөрвүүлсэн) хувиргалт гэдэг.

Posted in Алгебр, Шугаман алгебр | Tagged , , , , , , , , | Сэтгэгдэл бичих

Шугаман огторгуй

Дараах зүйлүүд өгөгдсөн болог:

  1. Талбар K; Энэ талбарын элементүүдийг бид цаашид \alpha,\beta гэх мэт жижиг грек үсгүүдээр тэмдэглэх ба коэффициентүүд, эсвэл скалярууд гэж нэрлэнэ.
  2. Аддитив абелийн бүлэг M; Энэ бүлгийн элементүүдийг бид энд x,y гэх мэт жижиг латин үсгүүдээр тэмдэглэх ба векторууд гэж нэрлэнэ.
  3. Скаляр \alpha\in K ба вектор x\in M бүрийн хувьд тэдгээрийн үржвэр гэж нэрлэгдэх ямар нэг вектор \alpha\cdot x\in M харгалзуулах дүрэм (\alpha, x)\mapsto\alpha\cdot x. Бид \alpha\cdot x гэхийг ихэвчлэн \alpha x гэж бичих ба энэ үржих үйлдлийг дараах аксиомуудыг хангадаг байхыг шаардана:
  • \alpha(x+y)=\alpha x+\alpha y (вектор нийлбэрийн хувьд хаалт нээх хууль).
  • (\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta x (скаляр нийлбэрийн хувьд хаалт нээх хууль).
  • (\alpha\beta)x=\alpha(\beta x) (бүлэглэх хууль).
  • 1x=x.

Тэгвэл M бүлгийг (K талбар ба скаляраар үржих үйлдэлтэй нь хамт авч үзэж буй үед) K талбар дээрх шугаман огторгуй (өөрөөр вектор огторгуй) гэж нэрлэнэ. Бодит тоон талбар дээрх шугаман огторгуйг бодит шугаман огторгуй, комплекс тоон талбар дээрхийг нь комплекс шугаман огторгуй гэнэ. Бид ихэнхдээ бодит эсвэл комплекс шугаман огторгуйг авч үзэх учир дээрх тодорхойлолтыг шууд K=\mathbb{R} эсвэл K=\mathbb{C} болгоод уншсан ч болно. Гагцхүү шугаман огторгуйн скалярууд нь зөвхөн бодит тоонууд байх албагүй гэдгийг санаж байх хэрэгтэй.

Дээрх аксиомууд нь үндсэндээ скаляраар үржих үйлдлийг M дээрх абелийн бүтэц ба K дээрх цагираг бүтцийг хадгалдаг байхыг шаардана (K нь зөвхөн цагираг үед M-ийг модуль гэнэ).

Жишээ 1. Бодит тоон олонлогийг нэмэх үйлдлийнх нь хувьд абелийн бүлэг мэтээр үзэж, бодит тоогоор үржих үйлдлийг скаляр үржвэр болгон авбал \mathbb{R} нь бодит шугаман огторгуй болно. Үүнтэй төстэйгөөр \mathbb{C} нь комплекс шугаман огторгуй болно.

Жишээ 2. Комплекс тоон олонлогийг нэмэх үйлдлийнх нь хувьд абелийн бүлэг мэтээр үзэж, комплекс тоог бодит тоогоор үржих үйлдлийг скаляр үржвэр болгож авснаар \mathbb{C} нь бодит шугаман огторгуй болно. Энэ огторгуй нь дээрх жишээн дэх комплекс вектор огторгуйгаас ялгаатай.

Жишээ 3. \mathbb{R}^n=\{(\xi_1,\ldots,\xi_n):\xi_1,\ldots,\xi_n\in\mathbb{R}\} нь n урттай бодит тоон дарааллуудын олонлог болог. Хэрэв x=(\xi_1,\ldots,\xi_n), y=(\eta_1,\ldots,\eta_n), ба \alpha\in\mathbb{R} бол \mathbb{R}^n дээрх вектор нийлбэр, тэг вектор, эсрэг вектор, скаляр үржвэрийг дараах байдлаар тодорхойлъё:

  • x+y=(\xi_1+\eta_1,\ldots,\xi_n+\eta_n)
  • 0=(0,\ldots,0)
  • -x=(-\xi_1,\ldots,-\xi_n)
  • \alpha x=(\alpha\xi_1,\ldots,\alpha\xi_n).

\mathbb{R}^n нь бодит шугаман огторгуй болохыг амархан шалгаж болно. Мөн үүнтэй төстэйгөөр комплекс шугаман огторгуй \mathbb{C}^n-ийг тодорхойлно. Үүнчлэн, дурын талбар K өгөгдсөн үед түүн дээрх шугаман огторгуй K^n-ийг тодорхойлж болно.

Дээрх жишээнд тэг вектор (0\in M) ба тэгийн тоо (0\in\mathbb{R}) ижил тэмдэглэгдэж байгаа боловч ерөнхийдөө вектор уу тоо юу гэдэг нь хаана хэрэглэгдэж байгаагаас нь ойлгомжтой байдаг. Хэрэв ойлгомжтой биш байж мэдэхээр бол ямар нэг байдлаар ялгаж өгөх хэрэгтэй.

Жишээ 4. A нь ямар нэг олонлог, \mathbb{R}^A нь A дээр тодорхойлогдсон бодит утга авдаг бүх функцүүдийн олонлог болог. Энэ олонлог дээр шугаман огторгуйн бүтэц дараах байдлаар оруулъя:

  • {}[x+y](a)=x(a)+y(a), x,y\in\mathbb{R}^A, a\in A (функцүүдийн нийлбэр)
  • 0(a)=0, a\in A (тэг функц)
  • {}[-x](a)=-x(a), x\in\mathbb{R}^A, a\in A (эсрэг функц)
  • {}[\alpha x](a)=\alpha x(a), x\in\mathbb{R}^A, a\in A, \alpha\in\mathbb{R} (функцийг тоогоор үржүүлэх)

Эдгээр үйлдлүүдийн хувьд \mathbb{R}^A нь бодит шугаман огторгуй болохыг хялбархан баталж болно. Мөн \mathbb{R}^n нь үүний A=\{1,\ldots,n\} байх нэг тухайн тохиолдол болохыг харж болно.

Жишээ 5. \mathbb{R} дээрх бүх олон гишүүнт фунцүүдийн олонлог \mathbb{R}[x] нь Жишээ 4-т тодорхойлсонтой адил үйлдлүүдийн хувьд шугаман огторгуй болно. Зэрэг нь n-ээс хэтрэхгүй бүх олон гишүүнт фунцүүдийн олонлог P_n мөн шугаман огторгуй болно.

Дасгал 1. \mathbb{R}[x]-г шугаман огторгуй гэж харуул. Мөн P_n-ийг.

Дасгал 2. K нь талбар ба M нь түүн дээрх шугаман огторгуй байг. Мөн A нь ямар нэг олонлог, M^A нь A дээр тодорхойлогдсон M-ээс утга авдаг бүх функцүүдийн олонлог бол M^AK дээрх шугаман огторгуй болгох бүтэц тодорхойл. Өөрөөр хэлбэл M^A дээр аддитив абелийн бүлгийн бүтэц, мөн шугаман огторгуйн аксиомуудыг хангадаг байхаар K-ийн элементүүдээр үржих үйлдэл оруул.

Дасгал 3. x ба y нь векторууд ба \alpha нь скаляр бол дараах чанаруудыг батал.

  • 0+x=x
  • -0=0
  • \alpha\cdot 0=0
  • 0\cdot x=0
  • Хэрэв \alpha x=0 бол \alpha=0 эсвэл x=0 байна (эсвэл хоёул биелнэ).
  • -x=(-1)x

Хэрэв шугаман огторгуйн дэд олонлог мөн (эх огторгуйтайгаа ижил скаляр ба ижил скаляраар үржих үйлдлийн хувьд) шугаман огторгуй болдог бол түүнийг шугаман дэд огторгуй гэдэг. Жишээлбэл, P_n нь \mathbb{R}[x]-ийн шугаман дэд огторгуй, {}\mathbb{R}[x] нь \mathbb{R}^{\mathbb{R}}-ийн шугаман дэд огторгуй болно. Шугаман огторгуйн аливаа дэд олонлогийг шугаман дэд огторгуй эсэхийг шалгахын тулд зөвхөн уг дэд олонлог нь (эх огторгуйнхаа абелийн бүтцийн хувьд) дэд бүлэг ба скаляраар үржих үйлдлийн хувьд битүү эсэхийг нь шалгахад хангалттай. Үүнийг арай тодруулъя.

Лемм. M нь K талбар дээрх шугаман огторгуй ба B\subset M болог. Тэгвэл B нь M-ийн шугаман дэд огторгуй болох гарцаагүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь дараах хоёр зэрэг хангагдаж байх явдал болно:

  • x,y\in B бол x-y\in B;
  • \alpha\in K ба x\in B бол \alpha x\in B.

Дасгал 4. Дээрх леммыг батал.

Дасгал 5. Шугаман огторгуй \mathbb{R}[x] ба дараах нөхцлийг хангах бүх олон гишүүнт функц p-ээс тогтох түүний дэд олонлог V-г авч үзье.

(а) p-ийн зэрэг нь 3.

(б) 2p(0)=p(1).

(в) 0\leq t\leq 1 бол p(t)\geq0.

(г) Бүх t-ийн хувьд p(t)=p(1-t).

Аль тохиолдолд нь V шугаман дэд огторгуй болох вэ?

Posted in Алгебр, Шугаман алгебр | Tagged , , , | Сэтгэгдэл бичих