Төмөрийн тэмдэглэл

Иррациональ тооны иррациональ зэрэг

temur — Sat, 27 Nov 2010 19:22:34 +0000

Иррациональ тооны иррациональ зэрэг рациональ тоо байж болох уу?

Хариулт нь дор бий.

бол гэсэн тоог авч үзье. Хэрэв нь иррациональ бол болно.

Өмнө нь тэгэхээр шалтгаан нь

temur — Mon, 25 Oct 2010 18:06:41 +0000

Ямар нэг үйл явдал А өөр нэг үйл явдал Б-ийн өмнө нь болсон учраас А нь Б-ийн шалтгаан гэж ярих.

Жишээ:

Би энэ архийг перцтэй хольж ууснаас хойш 2 хоногийн дараа ханиад маань ор сураггүй эдгэсэн. Архи перцтэй уух ханиаданд сайн сайн.
Энэ засгийн газрыг ажиллаж эхэлснээс хойш Монголын эдийн засаг их сайжирч байгаа. Энэ нь шинэ засгийн газрын супер дупер бодлогоос шалтгаалж байгаагаас зайлахгүй.
Энэ хүүхдийн үсийг авснаас хойш нэг л өвчин ороогоод байх боллоо. Үсийг нь буруу өдөр авчихсан юм шиг байна.

Жишээ нэмээрэй!

Эйлерийн үржвэр

temur — Wed, 18 Aug 2010 03:45:10 +0000

Евклидийн теоремийн Эйлерийн баталгаанд дараах адилтгал шийдвэрлэх үүрэг гүйцэтгэсэн

Үүнд нь анхны тоон задаргаандаа -ээс их анхны тоог агуулдаггүй тоонуудын олонлог

Жишээ нь нь 2-ын сөрөг биш зэргүүдээс тогтсон олонлог, нь 2 ба 3-ын сөрөг биш зэргүүдийн үржвэрүүдээс тогтсон олонлог гэх мэт. Тухайлбал үргэлж байна. Арифметикийн үндсэн теоремаас үед олонлог натурал тоон олонлогийг бүрхэх нь ойлгомжтой. Тэгэхээр (1) адилтгалын баруун гар тал дахь нийлбэр үед (гармоник цуваа учир) сарних ба ингэснээр уг адилтгалын зүүн гар тал дахь үржвэр мөн сарнихад хүрч төгсгөлгүй олон анхны тоо оршин байх нь батлагдана. Арай өөр өнцгөөс, (1) адилтгалыг дараах формал адилтгалд утга оноохын тулд төгсгөлгүй нийлбэр ба үржвэрийг төгсгөлөг нийлбэр ба үржвэрээр сольсон хувилбар гэж үзэж болно.

Энэ формал адилтгалын баруун гар тал төгсгөлгүй учир зүүн гар талд нь төгсгөлгүй олон анхны тоо байх ёстой гэсэн өгүүлбэрийг дээрх хязгаартай баталгааны товчлол мэтээр ойлгож болно.

(2) адилтгалд утга оноох өөр хувилбарууд бий. Үүний нэг жишээ нь 1' title='s>1' class='latex' /> байх бодит тоо бэхлээд, цувааны гишүүн -ийг -ээр солих явдал болно. Энэ шинэ цуваа (1' title='s>1' class='latex' /> үед) абсолют нийлдэг цуваа болох нь интеграл шинжүүрээс илэрхий:

Эйлерийн зета функц. s нь 1 рүү дөхөх үед төгсгөлгүй рүү, s ихсэхэд 1 рүү явна.

Дээрх илэрхийлэл Эйлерийн зета функцийг тодорхойлох ба одоо (2) адилтгалд утга оноохын тулд зүүн гар тал дахь үржвэр нь яаж өөрчлөгдөх вэ гэдгийг тодруулаад, (ө.х. нь рүү дээрээс нь дөхөх) хязгаар авна гэсэн үг. Абсолют нийлдэг цуваатай ажиллах нь төгсгөлөг нийлбэртэй ажиллахаас үндсэндээ ялгагдахгүй. Өмнөхтэй адил аргументаар (2)-ийн зүүн гар тал хэлбэрийн үржвэрт хувирахыг хялбархан шалгаж болно. Гэвч энд бид арай өөр шууд баталгаа оруулъя.

Эйлерийн үржвэрийн теорем. 1' title='s>1' class='latex' /> үед Энд -ээр авсан нийлбэрийг бүх натурал тоогоор, -ээр авсан үржвэрийг бүх анхны тоогоор авсан гэж ойлгоно.

Баталгаа. нь анхны тоонуудын алинд ч хуваагдаггүй бүх натурал тоонуудын олонлог болог

Жишээ нь нь сондгой тоонуудын олонлог, нь 2 ба 3-ын алинд нь ч хуваагддаггүй тоонуудын олонлог гэх мэт. Тухайлбал үргэлж байна. Өөрөөр, нь (1-ийг эс тооцвол) анхны тоон задаргаандаа зөвхөн -ээс их анхны тоонуудыг л агуулдаг бүхэл тоонуудын олонлог юм

Одоо 1' title='s>1' class='latex' /> үед дараах үржвэрийг сонирхъё

Үүнд 1' title='s>1' class='latex' /> учир зета функцийг тодорхойлж буй цуваа абсолют нийлэх ба уг цувааг тоогоор үржүүлэхэд хаалт нээх хууль биелнэ. Дээрх илэрхийллийг -ээр үржүүлбэл

болно. Энд бид сондгой тоонууд нь 2 ба 3-ын алинд нь ч хуваагддаггүй тоонууд ба 3-т хуваагддаг сондгой тоонуудаас тогтоно, ө.х. гэдгийг ашигласан. Үүнтэй төстэйгөөр цааш нь үржүүлэн явбал дараах үр дүнд хүрнэ.

Үүнд сүүлийн тэнцэтгэлд -ыг, ө.х. болохыг ашигласан (цуваанууд абсолют нийлдэг учир ингэж төгсгөлөг нийлбэр мэтээр харьцаж болж буйг дахин сануулъя). Одоо хоёр талаас нь хязгаар авбал

буюу

болж теорем батлагдана.

Эцэст нь энэ теоремаа ашиглаж анхны тоонуудын тоог төгсгөлгүй болохыг дахин нэг харъя. Бид 1' title='s>1' class='latex' /> үед

болохыг баталсан. Хэрэв анхны тоонуудын тоо төгсгөлөг байсан бол тэнцэтгэлийн баруун гар тал дахь илэрхийлэл үед (төгсгөлөг ширхэг төгсгөлөг тоонуудын үржвэр учир) төгсгөлөг байна. Гэвч зүүн гар тал нь үед хязгааргүй рүү явах учир үүнтэй харшилж анхны тоонуудын тоог төгсгөлөг биш болохыг харуулна. Тэгэхээр Эйлерийн зета функц дээр онцгой цэгтэй, тодруулбал

байгаа нь анхны тоонуудын тоо төгсгөлөг биш гэдэгтэй холбоотой байх нь.

Эйлерийн баталгаа

temur — Mon, 26 Apr 2010 03:41:38 +0000

нь дэх анхны тоо, нь -ээс хэтэрдэггүй анхны тоонуудын тоо бол дорх функцийг авч үзье

Энэ үржвэрт орж буй үржигдэхүүн бүр нэгээс их тул нь үл буурах функц болно. Хэрэв анхны тоонуудын тоо төгсгөлөг байсан бол -ийг ихэсгээд байхад дээрх үржвэр бүх анхны тоонуудыг оролцуулсан үржвэрт хүрээд цаашид өөрчлөгдөхөө зогсоно. Өөрөөр хэлбэл хамгийн их анхны тоог гэвэл байх болгоны хувьд байх байсан. Эйлер үед гэж баталсан ба эндээс анхны тоонуудын тоо төгсгөлгүй гэж мөрдөх нь ойлгомжтой. Нэг ийм баталгааг дор сийрүүлэв.

-ийн тодорхойлолтод орж буй нэг үржигдэхүүнийг сонирхвол энэ нь буурах геометр прогрессийн нийлбэр болохыг ажиглаж болно:

Үүнийгээ -ийн тодорхойлолтод орлуулаад, гэсэн товчлол хийвэл

Өөрөөр хэлбэл нь -ээс бага бүх анхны тоонуудын сөрөг биш зэргүүдийг оролцуулан гаргаж болох бүх үржвэрүүдийн урвуунуудын нийлбэртэй тэнцүү. Арифметикийн үндсэн теоремоор дотор давтагдах тоо байхгүй. Иймд анхны тоон задаргаандаа -ээс их анхны тоог агуулдаггүй тоонуудын олонлогийг

гэвэл

Жишээ нь нь 2-ын сөрөг биш зэргүүдээс тогтсон олонлог, нь 2 ба 3-ын сөрөг биш зэргүүдийн үржвэрүүдээс тогтсон олонлог гэх мэт. Тухайлбал үргэлж байна. Одоо гэдгийг санавал -ээс хэтрэхгүй ямар ч эерэг бүхэл тоо анхны тоон задаргаандаа -ээс их анхны тоог агуулахгүй. Тэгэхээр нь -ээс хэтрэхгүй бүх эерэг бүхэл тоог агуулна: буюу

үүнд нь -ээс хэтрэхгүй хамгийн их бүхэл тоо. Дээрх тэнцэл бишийн баруун гар тал үед хязгааргүй руу тэмүүлэх тул зүүн гар тал нь мөн хязгааргүй руу явах болж бидний батлах гэсэн зүйл батлагдана.

Үүнээс гадна дээрх баталгаа функцийн өсөлтийн хурдны талаар мэдээлэл өгнө:

дэх анхны тоо -ээс эрс их байх нь ойлгомжтой: . Үүнийг ашиглан

гэж бичиж болох ба эндээс

Тэгэхээр дараах теорем батлагдана.

Теорем.

Дараах зурагт энэ үр дүнг Евклидийн баталгаанаас гаргасан үнэлэмжтэй жишиж үзүүлэв.

π(x), ln(x) ба lnln(x)

Евклидийн теорем

temur — Thu, 22 Apr 2010 17:55:11 +0000

Менделеевийн үелэх системийн 200 гаран элементийн атомууд бүх химийн бодисыг бүрдүүлдэг. Үүнтэй төстэйгээр анхны тоонууд бүх бүхэл тоонуудыг бүрдүүлдэг. Дараах теоремд бүх анхны тоог химийн элементүүд шиг нэг нэгээр нь судалж гүйцээх аргагүй болохыг харуулна.

Евклидийн теорем. Төгсгөлгүй олон анхны тоо оршин байна.

Баталгаа. Эсрэгээр нь анхны тоонуудын тоог төгсгөлөг гэж үзье. Тэгвэл бүх анхны тоонуудыг хооронд нь үржүүлээд нэгийг нэмэхэд гарах тоо нь ямар ч анхны тоонд хуваагдахгүй. Тодруулбал, бүх анхны тоог

гэж дугаарлаад

гэвэл нь -ийн алинд ч хуваагдахгүй. Учир нь хэрэв бол нь 1-ийн хуваагч болох байсан. Тэгэхээр нь анхны тоонуудын үржвэрт задардаггүй бүхэл тоо болж зөрчилд хүрнэ.

Дээрх баталгаанаас нь анхны тоонуудын төгсгөлөг олонлог бол дэх тоонуудын үржвэрээс нэгээр их тоо анхны тоон задаргаандаа -д ордоггүй анхны тоог агуулна гэж гарна. Тухайлбал дэх анхны тоог гэвэл нь дээр тодорхойлогдсон -ээс хэтрэхгүй

Тэгэхээр энэ баталгаа нь зөвхөн анхны тооны тоог төгсгөлгүй гэж харуулаад зогсохгүй бас анхны тоонуудын тархалтын нягтын талаар бага зэрэг мэдээлэл өгч байна. Анхны тооны тархалтын нягтыг хэмжихийн тулд бодит тоо -ээс хэтрэхгүй бүх анхны тооны тоог гэж тэмдэглэе:

: π(x) функцийн график

x\}.' title='\pi(x)=\min\{n:p_{n+1} > x\}.' class='latex' />

Иймд жишээ нь, үед , мөн , байна. Ингэж тодорхойлогдсон функц нь сөрөг биш бүхэл утга авдаг үл буурах функц байх нь мэдээж. Энэ функцийг хичнээн нарийн мэднэ анхны тоонуудын байрлалын талаар төчнөөн их мэдээлэлтэй болно гэдэг нь мөн ойлгомжтой. Жишээ нь анхны тоонуудын тоо төгсгөлгүй гэдэг нь

гэдэгтэй эквивалент. Цаашилбал -ийн өсөлтийн хурд анхны тооны тархалтын нягтын талаар мэдээлэл өгнө.

Евклидийн теоремийн баталгаанаас, ба

байх дараалал тодорхойлбол байхыг харж болно. Тэгэхээр

байх ба дараалал нь ерөнхийдөө факториал мэтээр өсдөг дараалал тул дээрх тэнцэтгэл бишийн баруун гар тал дахь илэрхийлэл -ээс хамааран факториалын урвуу функц мэтээр (маш удаанаар) өснө. Гэвч дээрх аргументийг сайн шахвал үүнээс арай дээр үнэлэмж гаргаж авч болно.

Теорем. ба \log_2\log_2 x' title='\pi(x)+1>\log_2\log_2 x' class='latex' /> байна (сүүлийн тэнцэл бишид ).

Баталгаа. үед тул теоремын эхний хэсэг үнэн. Одоо байх бүх -ийн хувьд гэж үзье. Тэгвэл

болж теоремийн эхний хэсэг батлагдана. Одоо нь байх бүхэл тоо болог. Тэгвэл ба теоремийн эхний хэсгээс гэдгийг тооцвол теоремийн сүүлийн хэсэг батлагдана.

Энэ теоремд дурдагдаж буй логарифмуудийн суурийг ихэсгэх замаар тэнцэтгэл бишийн зүүн гар тал дахь -ийг арилгах боломжтой. Тухайлбал логарифмуудыг натурал логарифмуудаар сольвол гэж гаргаж болно.

Тэмдэглэл. нь үнэндээ мэтээр өсдөг функц юм. Тэгэхээр дээрх теорем дахь нь асар ихээр баримжаалсан үнэлэмж гэсэн үг. Сүүлд бид илүү нарийн үр дүнгүүдийг авч үзнэ.

π(x) ба lnln(x)

Арифметикийн үндсэн теорем

temur — Wed, 21 Apr 2010 23:58:13 +0000

Анхны тоо гэдэгт 1-ээс их бөгөөд 1 болон өөрөөсөө өөр эерэг бүхэл тоонд хуваагддаггүй (ө.х. 1' title='p>1' class='latex' /> ба, гэдгээс эсвэл гэж гардаг ) бүхэл тоог ойлгоно. Тэгэхээр хэрэв нь анхны тоо биш (ө.х. зохиомол тоо) бол тодорхойлолт ёсоор байх хоёр тооны үржвэрт задрах нь: . Одоо тоонууд мөн зохиомол эсэхээсээ хамаараад үржвэрүүдэд задарна. Энэ процессийг задаргаанд орж байгаа тоонууд бүгд анхны болтол нь үргэлжлүүлбэл ямар ч зохиомол тоог анхны тоонуудын үржвэрт задалж болох нь харагдана. Мэдээж нь анхны тоо байсан бол нэг үржигдэхүүнтэй үржвэрт задарна гэж үзэж болно. Дүгнэвэл ямар ч 1' title='n>1' class='latex' /> бүхэл тоог анхны тоонуудтайгаар

хэлбэртэй бичиж болно. Химид ямар ч молекул атомуудаас бүтсэн байдаг шиг арифметикт ямар ч бүхэл тоо анхны тоонуудаас бүтсэн байдаг байх нь. Дараах теорем нь энэ аналогийг улам лавшруулна: ямар ч бүхэл тоог түүний бүрэлдэхүүнд орж буй анхны тоонуудын “найрлагатай” адилтгаж болно (ө.х. нэг бүхэл тоог хоёр өөр аргаар гаргаж болохгүй).

Арифметикийн үндсэн теорем. Нэгээс их ямар ч бүхэл тоо анхны тоонуудын үржвэрт (үржигдэхүүнүүдийн байр солихыг тооцохгүй бол) нэг утгатай задарна.

Баталгаа. Бидний батлах гэж буй теорем нь ямар ч 1' title='n>1' class='latex' /> бүхэл тоог

ба

байхаар анхны тоонуудын үржвэрт цор ганц аргаар задалж болно гэсэнтэй адилхан. Одоо 1' title='n>1' class='latex' /> нь нэгээс олон янзын задаргаатай хамгийн бага тоо бөгөөд

ба , нь эрэмбэлэгдсэн анхны тоонууд гэж үзье. Тэгвэл тул Евклидийн лемм ёсоор эсвэл байна. Хэрэв сүүлийнх нь үнэн бол тул энэ тоо анхны тоонуудын үржвэрт нэг утгатай задрах ба байх олдоно. Хэрэв эхнийх нь үнэн бол дээрхтэй төстэйгээр тул байна. Тэгэхээр ямар ч тохиолдолд байх олдоно. Одоо нь анхны тоонуудын үржвэрт нэг утгатай задарна гэдгийг ашиглавал тоонууд тоонуудтай харгалзан тэнцүү болоход хүрэх ба үржигдэхүүнүүдийн эрэмбэлэгдсэн чанараас гэж гаргаж болно. Өөрөөр хэлбэл тоонууд тоонуудтай харгалзан тэнцүү болж теорем батлагдана.

Евклидийн алгоритм

temur — Tue, 20 Apr 2010 17:34:26 +0000

Эерэг бүхэл b' title='a>b' class='latex' /> тоонуудын хувьд

байг. Мөн тоонуудын хамгийн их ерөнхий хуваагчийг гэж тэмдэглэе. Хэрэв бол байх нь тодорхой. Нөгөө талаас хэрэв 0' title='r>0' class='latex' /> бол

байна. Учир нь хоёуланг хуваадаг тоонууд мөн -ийг хуваах ба хоёуланг хуваадаг тоонууд мөн -г хуваана. Евклидийн алгоритм нь энэ процессийг 0 үлдэгдэл өгтөл нь давтаж -г олох алгоритм юм. Дээрх хосоос хосыг гаргах үйлдлийг гэвэл, Евклидийн алгоритмийг гэж бичиж болох ба эндээс байхыг харж болно. Одоо энэ алгоритм нь төгсгөлөг алхмын дараа зогсоно гэдгийг харуулъя. Үүний тулд ба гэсэн тэмдэглэгээг оруулбал үед

гэж бичиж болно.

Үлдэгдлийн чанараар үед r_{i+1}' title='r_{i}>r_{i+1}' class='latex' />, өөрөөр хэлбэл нь эрс буурдаг сөрөг биш бүхэл тоон дараалал тул ямар нэг төгсгөлөг -ийн хувьд болж алгоритм зогсоно.

Энэ алгоритмийн чанарыг ашиглан дараах чухал үр дүнгүүдийг баталж болно.

Безугийн лемм. Эерэг бүхэл тоонуудын хувьд

тэгшитгэл бүхэл шийдтэй.

Баталгаа. үед баталгаа илэрхий тул Евклидийн алгоритм эхний давталтан дээрээ зогсдоггүй гэж үзье. Евклидийн алгоритмийн дэх давталтыг

буюу

гэж бичиж болно. Өөрөөр хэлбэл нь ба хоёрын бүхэл коэффициенттэй шугаман эвлүүлэг байна. Тэгэхээр индукцээр нь ба хоёрын бүхэл коэффициенттэй шугаман эвлүүлэг болно.

Тэмдэглэл. Дурын тэг биш бүхэл тооны хувьд гэж тодорхойлбол дээрх лемм эдгээр тоонуудын хувьд мөн хүчинтэй болохыг хялбархан харж болно.

Дасгал. ба 1' title='n>1' class='latex' /> бүхэл тоонууд харилцан анхны байх (ө.х. ) гарцаагүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь

тэгшитгэл бүхэл шийдтэй байх явдал гэдгийг батал.

Анхны тоо гэдэгт 1-ээс их бөгөөд 1 болон өөрөөсөө өөр эерэг бүхэл тоонд хуваагддаггүй (ө.х. 1' title='p>1' class='latex' /> ба, гэдгээс эсвэл гэж гардаг ) бүхэл тоог ойлгоно.

Евклидийн лемм. Хэрэв эерэг бүхэл тоонууд ба анхны тооны хувьд бол эсвэл байна.

Баталгаа. Эсрэгээр нь нь тооны хуваагч биш гэж үзье. Тэгэхээр нь анхны тоо учир -тай харилцан анхны, ө.х. гэсэн үг. Безугийн лемм ёсоор

байх бүхэл тоонууд олдоно. Дээрх тэгшитгэлийн хоёр талыг -ээр үржүүлбэл

болох ба учир тэнцэтгэлийн зүүн гар тал -д хуваагдана.

Тэмдэглэл. Дээрх леммийг эерэг бүхэл тоо болгоны хувьд үнэн байлгадаг тийм тоо бүр анхны байна. Энд ямар ч анхны биш тооны хувьд леммийг зөрчдөг тоонууд олдоно гэж харуулахад хангалттай.

Зураг өлгөх

temur — Tue, 23 Feb 2010 19:16:32 +0000

Бие биенээсээ бага зэрэг зайтай зэрэгцээ хоёр хадаас хананд хадаастай байгаа ба эдгээрийг ашиглан та зураг өлгөх гэж байна гэж бод. Зургийн дээд ирмэгийн хоёр захад уртхан шиг утасны хоёр үзүүрийг бэхэлсэн байгаа. Утсыг хоёр хадаас хоёулан дээгүүр нь тохсон үед аль нэг хадаасыг нь сугалбал зураг унахгүй, нөгөө үлдсэн хадаасан дээрээ өлгөөстэй үлдэнэ. Харин зургийг зөвхөн нэг хадааснаас нь дүүжилбэл зөвхөн тэр хадаасыг сугалж байж л зургийг унагаана (нөгөөг нь сугалбал мэдээж зураг унахгүй). Хоёр хадаасны алийг нь ч сугалсан зураг унадаг байхаар өлгөж болох уу? Болох бол яаж өлгөх вэ? Болохгүй бол яагаад?

Цэгийн орчин ба ялгарал

temur — Fri, 21 Aug 2009 20:50:58 +0000

нь топологи огторгуй болог. Тэгвэл цэгийн орчин гэдэгт байх задгай олонлог -г агуулсан -ийн дэд олонлогийг ойлгоно. Өөрөөр хэлбэл ба байх олонлогийг цэгийн орчин гэнэ. (Тухайлбал орчин нь задгай олонлог байх албагүй; хэрэв задгай бол уг орчинг задгай орчин гэнэ. Мөн байж болохыг анхаар.)

Жишээ. олонлогийг стандарт топологитой нь авч үзье. Тэгвэл хэрчим нь дурын цэгийн орчин болно.

Жишээ. Дорх зургуудад дээрх байдлыг дүрсэлжээ. Эхний зурагт V нь p цэгийг агуулсан задгай дугуйг агуулах учир p цэгийн орчин болно. Хоёрдахь зурагт хэрэв V нь тэгш өнцөгт бол аль ч оройнхоо орчин болж чадахгүй гэдгийг дүрсэлж үзүүлсэн байна. (Википедиа дээрээс авсан зургууд)

топологи огторуйн ялгаатай хоёр цэг , , болгоны хувьд , , ба байх , хоёр задгай олонлог олддог бол -ийг Хаусдорф огторгуй гэнэ. (Энэ тодорхойлолтод задгай олонлог гэдгийг орчин гэдгээр сольж болох нь ойлгомжтой.) Хаусдорф шинж нь топологи огторгуйн цэгүүд хоорондоо хэр зэрэг “тусгаар” оршихыг заадаг ялгарлын аксиом юм. Үүнээс өөр олон ялгарлын аксиом байдаг.

Энэ зураг дээр x ба y цэгүүдийг агуулсан хоорондоо огтололцдоггүй хоёр дугуйг хавтгай дээр яаж байгуулахыг дүрсэлсэн байна.

Дасгал 1. нь стандарт топологитойгоо Хаусдорф огторгуй үүсгэнэ гэж харуул.

Дасгал 2. ба , , , болог. Тэгвэл нь дээр топологи тодорхойлох ба нь Хаусдорф биш гэж харуул.

Торсор гэж юу вэ

temur — Thu, 20 Aug 2009 20:30:58 +0000

Дунд сургуулийн физикээс бид дэлхийн гадаргуугийн ойролцоо хүндийн хүчний потенциал энергийн тоон хэмжээг илэрхийлэхийн тулд дурын нэг цэг (цаашид 0-цэг гэе) сонгож аваад түүний потенциал энергийг шууд 0 гэж тодорхойлдгийг мэднэ. Ингээд бусад цэгүүд дээрх энергийг 0-цэг дээрхтэй харьцуулж тодорхойлдог. Хэрэв ийм цэг сонгож аваагүй бол потенциал энергийн тоон хэмжээний тухай ярих нь утгагүй. 0-цэг сонгож авсан л бол аль ч цэгийн хувьд потенциал энерги нь нэн даруй тодорхойлогдох ба үүнээс гарах физик үр дүнгүүд 0-цэгийг хаана сонгож авснаас хамаарахгүй. Мөн хоёр цэг дээрх потенциал энергүүдийг шууд нэмж болохгүй, нэг цэг дээрх энерги дээр нь уг хоёр цэгийн хоорондох энергийн зэрүүг л нэмж болно. Үүнийг бас өөрөөр бид физик хэмжилтээр зөвхөн хоёр цэгийн хоорондох потенциал энергийн зөрүүг л хэмжиж чадна, потенциал энергийн тоон хэмжээ нь өөрөө бол физик хэмжигдэхүүн биш юм гэж хэлж болно. Потенциал энерги нь тоо биш харин торсор болно. Бодит тоон олонлогийг R гэж тэмдэглэвэл, потенциал энергийн зөрүү нь R-т, потенциал энерги нь өөрөө R-торсор гэгчид харъяалагдана.

G нь e нэгж элемент бүхий бүлэг ба X нь ямар нэг олонлог болог. Тэгвэл G-ийн дурын элемеэнт g ба X-ийн дурын элемент x-ийн хувьд X-ээс цор ганц элемент gx-г харгалзуулсан дүрэм дараах нөхцлүүдийг хангадаг бол уг үйлдлийг G бүлгийн X дээр үйлчлэх үйлчлэлийг тодорхойлж байна гэнэ:

1. ex = x, үүнд e нь G-ийн нэгж, x нь X-ийн дурын элемент,
2. (gh)x = g(hx), үүнд g, h нь G-ийн дурын элементүүд, x нь X-ийн дурын элемент.

Харин X-ийн дурын хоёр элемент x ба y-ийн хувьд y = gx байх g цор ганц олддог бол X олонлогийг G-торсор гэж нэрлэнэ. Энэ цор ганц g-г нь бид y-ийг x-д харьцуулсан харьцаа гээд y/x гээд тэмдэглэчихье.

Торсор бүлгээс юугаараа ялгаатай вэ? G бүлгийн хувьд хоёр элементийг хооронд нь үржүүлж хувааж болно. Харин G-торсор X-ийн хувьд хоёр элементийг хооронд нь үржүүлж болохгүй, зөвхөн X-ийн нэг элементийг G-ийн нэг элементээр үржүүлж X-ийн элемент гаргаж авч болно. X-ийн хоёр элементийг хооронд нь харьцуулбал G-ийн элемент гарна.

Одоо өмнөх потенциал энергийн жишээ рүү гээ эргэж оръё. Бид потенциал энергийг ямар нэг X олонлогийн элементүүдээр илэрхийлэгдэнэ гэж үзье. Бодит тоон олонлог R нь нэмэх үйлдлийнхээ хувьд бүлэг тодорхойлно. Үндсэн үйлдэл маань нэмэх үйлдэл учраас дээрх ерөнхий тодорхойлолтод үзсэн тэмдэглэгээ, нэр томъёонуудыг үүндээ тохируулан өөрчилбол их зохимжтой. Тухайлбал, g бодит тооны (X олонлогийн) x элемент дээрх үйлчлэлийг g+x гэж, y-ийг x-д харьцуулсан харьцааг y-ээс x-г хассан ялгавар гээд y-x гэж тэмдэглэе. Тэгвэл хоёр потенциал энергийн ялгавар нь бодит тоо, потенциал энерги дээр бодит тоог нэмбэл потенциал энерги (энэ нь R-ийн X дээрх үйлчлэл) гардаг гэдгийг бид мэднэ. Эндээс бид X нь R-торсор гэдгийг харлаа.

Дээрх 0-цэг сонгож авдаг явдлыг энд юу гэж тайлбарлах вэ? Энэ нь X-ээс нэг z гэсэн элемент сонгож аваад X-ийн дурын элемент x-т R-ийн x-z гэсэн элемент харгалзуулж байна гэсэн үг. Энэ харгалзаагаар R-ийн X дээрх үйлчлэл R дээрх нэмэх үйлдэлд, X-ийн хоёр элементийн ялгавар R дээрх хасах үйлдэлд бууна. Өөрөөр хэлбэл бид R дээр өөр дээр нь торсор бүтэц оруулчихлаа. Бидний авч үзсэн харгалзаа харилцан нэг утгатай бөгөөд R-ийн элементүүдээр үүсгэгдсэн энэ торсортой манай торсор X изоморф болно. Ийм изоморфизмын тоо хязгааргүй олон (ялгаатай z бүр ялгаатай изоморфизмыг төрүүлнэ) бөгөөд бүгд хоорондоо тэгш эрхтэй.

Афин хавтгай (ө.х. скаляр үржвэрээ “мартсан” Евклидийн хавтгай) нь мөн торсорын жишээ болно. Афин хавтгайн хоёр цэгийг хооронд нь нэмэх нь утгагүй, цэг дээр векторыг (шилжилт) нэмж өөр нэг цэг гаргаж авч болох ба хоёр цэгийн ялгавар вектор гардаг. Харин афин хавтгайд координатын эх сонгож авснаар хавтгайн бүх цэгийг координатын эх дээр эхлэлтэй векторуудад харилцан нэг утгатай харгалзуулж болно. Эндээс афин хавтгай нь R²-торсор болохыг харж болно. Ер нь торсорыг нэгжээ (аддитив бүлгүүдийн хувьд 0 цэгээ) “мартсан” бүлэг гэж ойлгож болно.