Эйлерийн баталгаа

$p_i$ нь $i$ дэх анхны тоо, $\pi(x)$ нь $x$ -ээс хэтэрдэггүй анхны тоонуудын тоо бол дорх функцийг авч үзье

$f(x)=\displaystyle\prod_{i=1}^{\pi(x)}\frac{1}{1-\frac1{p_i}}.$

Энэ үржвэрт орж буй үржигдэхүүн бүр нэгээс их тул $f$ нь үл буурах функц болно. Хэрэв анхны тоонуудын тоо төгсгөлөг байсан бол $x$ -ийг ихэсгээд байхад дээрх үржвэр бүх анхны тоонуудыг оролцуулсан үржвэрт хүрээд цаашид өөрчлөгдөхөө зогсоно. Өөрөөр хэлбэл хамгийн их анхны тоог $q$ гэвэл $x\geq q$ байх $x$ болгоны хувьд $f(x)=f(q)$ байх байсан. Эйлер $x\to\infty$ үед $f(x)\to\infty$ гэж баталсан ба эндээс анхны тоонуудын тоо төгсгөлгүй гэж мөрдөх нь ойлгомжтой. Нэг ийм баталгааг дор сийрүүлэв.

$f$ -ийн тодорхойлолтод орж буй нэг үржигдэхүүнийг сонирхвол энэ нь буурах геометр прогрессийн нийлбэр болохыг ажиглаж болно:

$\displaystyle\frac{1}{1-\frac1{p_i}}=1+\frac1{p_i}+\left(\frac1{p_i}\right)^2+\left(\frac1{p_i}\right)^3+\ldots=\sum_{k=0}^\infty\frac1{p_i^k}.$

Үүнийгээ $f$ -ийн тодорхойлолтод орлуулаад, $n=\pi(x)$ гэсэн товчлол хийвэл

$f(x)=\displaystyle\sum_{k_1=0}^\infty\ldots\sum_{k_n=0}^\infty\frac1{p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots p_n^{k_n}}.$

Өөрөөр хэлбэл ${f(x)}$ нь $x$ -ээс бага бүх анхны тоонуудын сөрөг биш зэргүүдийг оролцуулан гаргаж болох бүх үржвэрүүдийн урвуунуудын нийлбэртэй тэнцүү. Арифметикийн үндсэн теоремоор $p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots p_n^{k_n}$ дотор давтагдах тоо байхгүй. Иймд анхны тоон задаргаандаа $p_n$ -ээс их анхны тоог агуулдаггүй тоонуудын олонлогийг

$M(n)=\{p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots p_n^{k_n}:k_i\geq0\}$

гэвэл

$f(x)=\displaystyle\sum_{m\in M(n)}\frac1{m}.$

Жишээ нь $M(1)$ нь 2-ын сөрөг биш зэргүүдээс тогтсон олонлог, $M(2)$ нь 2 ба 3-ын сөрөг биш зэргүүдийн үржвэрүүдээс тогтсон олонлог гэх мэт. Тухайлбал үргэлж $1\in M(n)$ байна. Одоо $n=\pi(x)$ гэдгийг санавал $x$ -ээс хэтрэхгүй ямар ч эерэг бүхэл тоо анхны тоон задаргаандаа $p_n$ -ээс их анхны тоог агуулахгүй. Тэгэхээр $M(n)$ нь $x$ -ээс хэтрэхгүй бүх эерэг бүхэл тоог агуулна: $\{1,\ldots,\lfloor{x}\rfloor\}\subset M(n)$ буюу

$f(x)=\displaystyle\sum_{m\in M(n)}\frac1{m}\geq\sum_{m=1}^{\lfloor{x}\rfloor}\frac1{m}$

үүнд $\lfloor{x}\rfloor$ нь $x$ -ээс хэтрэхгүй хамгийн их бүхэл тоо. Дээрх тэнцэл бишийн баруун гар тал $x\to\infty$ үед хязгааргүй руу тэмүүлэх тул зүүн гар тал нь мөн хязгааргүй руу явах болж бидний батлах гэсэн зүйл батлагдана.

Үүнээс гадна дээрх баталгаа $f$ функцийн өсөлтийн хурдны талаар мэдээлэл өгнө:

$\displaystyle f(x)\geq\sum_{m=1}^{\lfloor{x}\rfloor}\frac1{m}\geq\ln(\lfloor{x}\rfloor+1)\geq\ln x.$

$i$ дэх анхны тоо $i$ -ээс эрс их байх нь ойлгомжтой: $p_i\geq i+1$ . Үүнийг ашиглан

$\displaystyle\frac{1}{1-\frac1{p_i}}=\frac{p_i}{p_i-1}=1+\frac1{p_i-1}\leq1+\frac1{i}=\frac{i+1}i$

гэж бичиж болох ба эндээс

$f(x)=\displaystyle\prod_{i=1}^{\pi(x)}\frac{1}{1-\frac1{p_i}}\leq\prod_{i=1}^{\pi(x)}\frac{i+1}i=\frac21\cdot\frac32\cdots\frac{\pi(x)+1}{\pi(x)}=\pi(x)+1.$

Тэгэхээр дараах теорем батлагдана.

Теорем. $\pi(x)+1\geq\ln x.$

Дараах зурагт энэ үр дүнг Евклидийн баталгаанаас гаргасан үнэлэмжтэй жишиж үзүүлэв.

π(x), ln(x) ба lnln(x)

Like this:

Be the first to like this post.

One Response to Эйлерийн баталгаа

d says:

2010/04/27 at 03:57

$\pi(x)$

Хариу үлдээх Cancel reply

Enter your comment here...

Fill in your details below or click an icon to log in:

Email (зайлшгүй) (Address never made public)

Нэр (зайлшгүй)

Website

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out / Өөрчлөх )

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out / Өөрчлөх )

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out / Өөрчлөх )

Цуцлах

Connecting to %s

	Дэмбэрэлсүрэн Оролма… on Програмчлалын хэл гэж юу …
	Jacksparrow on Програмчлалын хэл гэж юу …
	Romun on Үл тоогчийн аргумент
	Romun on Хуурамч ацан шалаа
	nakutsitsi on Логик төөрөгдлүүд